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基本不等式教案范文一、教学目标1.知识与技能目标a.掌握基本不等式的定义和基本性质；b.掌握不等式的加减乘除性质；c.能够解决基本不等式的证明和计算问题。
2.过程与方法目标a.通过例题引导学生发现不等式的性质；b.引导学生进行探究性学习，提高独立解决问题的能力；c.培养学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度目标a.培养学生的数学思维和抽象思维能力；b.培养学生的合作意识和团队精神；c.培养学生的实际问题解决能力。
二、教学重点1.不等式的加减和乘除性质；2.不等式的证明和计算方法。
三、教学难点1.不等式的证明方法；2.复杂不等式的解决方法。
四、教学方法1.探究教学法：通过解决例题引导学生发现不等式的性质；2.讲授教学法：通过讲解和示范的方式，介绍不等式的性质和解决方法；3.案例分析法：通过分析实际问题的案例，引导学生解决不等式问题。
五、教学过程1.引入a.导入问题：小明计划购买一款手机，他想知道自己有多少钱可以花在手机上。
请问该怎样计算？b.引导学生讨论，并给予提示，引出不等式的概念。
2.探究不等式的性质a.通过解决一些简单的例题，让学生发现不等式的性质。
b.给出以下几个例题：（1）若a>b，b>0，则a+b>b；（2）若a > b，b > 0，则ab > b；（3）若a>b，b>0，则a/b>1c.让学生在小组内讨论，并找出规律。
d.分组展示结果，学生进行交流与讨论。
e.教师总结不等式的加减和乘除性质。
3.不等式证明a.讲解不等式证明的一般方法，包括逆否命题法、反证法等。
b.通过案例讲解不等式证明的具体步骤和技巧。
c.给出以下例题：（1）证明：若a>b，b>0，则a+b>0。
（2）证明：对于任意实数x，都有x>-1c.引导学生运用之前学到的证明方法进行解答，然后进行讨论。
4.解决不等式问题a.讲解不等式的解决方法，包括绝对值法、区间法等。
《基本不等式》教案教学三维目标：1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.教学重点、难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导：基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。
在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.教学过程：一、基础梳理基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b+（当且仅当a b 时取""=号 ）代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。
常见变形：（1）ab222a b + （2）222a b + 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）b a a b +2（a ，b 同号且不为0）3、算术平均数与几何平均数如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数.4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）问题：（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：已知x ，y 都大于0则（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ；（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 .二、课前热身1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ）A. 22a b +B.C. 2abD. a b +2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++3、.1,0)1(的最小值求若xx x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=⋅≥+x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=⋅≥+≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+>a a a三、课堂探究1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
基本不等式教案教案标题：基本不等式教案教学目标：1. 理解和运用基本不等式的概念；2. 掌握基本不等式的性质及解题方法；3. 提升对不等式问题的分析和解决能力。
教学准备：1. 教师：白板、标志笔、多媒体设备；2. 学生：教科书、练习册、笔、纸。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）利用一些简单的实例向学生介绍不等式的概念，并引发对不等式的思考，例如：3 > 2、4 ≠ 5。
步骤二：教学（30分钟）1. 解释基本不等式的定义和性质，包括大于、小于、大于等于、小于等于等概念。
2. 介绍不等式的运算规则，如相加、相减、相乘等，以及这些运算对不等式的影响。
3. 演示并分析如何解决一步骤的基本不等式方程，引导学生理解解不等式方程的思路和方法。
4. 提供一些具体的例子，让学生通过实际操作来练习解决不等式方程的能力。
步骤三：巩固（15分钟）1. 设计一些巩固练习，让学生独立或合作完成，检测他们对基本不等式的理解和应用。
2. 在学生完成练习后，逐个检查答案，并解释如何得出正确答案。
步骤四：拓展（10分钟）1. 提出一些扩展问题，要求学生运用基本不等式的知识，解决更复杂的不等式问题。
2. 引导学生思考应用不等式解决实际问题时可能遇到的困难，并讨论如何克服这些困难。
步骤五：总结（5分钟）总结基本不等式的概念、性质和解题方法，并鼓励学生运用这些知识解决更多的不等式问题。
教学扩展：1. 鼓励学生品尝到不同类型不等式的实例，如一元一次不等式、绝对值不等式等，扩展他们对不等式的理解和应用。
2. 提供更多的练习和挑战题，提高学生解决不等式问题的技巧和速度。
3. 引导学生进行小组或个人项目，研究不等式在实际生活中的应用，如经济学、生物学等领域。
衡量评估：1. 教师观察学生在课堂上的互动和参与度；2. 学生完成的练习和作业的准确性和完整性；3. 学生通过小组或个人项目展示的能力和创造性。
注意事项：1. 教师应根据学生的实际情况和学习进度，调整教学步骤和难度，确保教学效果；2. 鼓励学生积极参与互动，提出问题并解答；3. 考虑学生的不同学习特点和能力，利用多种教学方法和资源，提供个性化的教学指导。
《不等式的性质》教学设计一. 教学内容解析；本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5〕》〔人教A 版〕第三章第一节的第二课《不等式的性质》。
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这局部内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及根底．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系根底上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比拟两个实数大小的方法和不等式的性质。
二．教学目标设置；1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2.理解并掌握比拟两个实数大小的方法．3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比拟实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．三．学生学情分析；在的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是〔1〕利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，〔2〕学习关于不等式原来不完善的地方，比方对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。
教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用．四．教学策略分析；这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的根本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜测不等式的根本性质，并给出证明。
让学生体会“运算〞在研究不等式性质中的关键作用。
为了研究不等式的性质，首先学习比拟两实数大小的方法，这是论证不等式性质的根本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生根本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．五．教学过程设计；引入：1．古诗横看成岭侧成峰，远近上下各不同，引出不等关系。
康乐中学教学设计(首页)教学设计(续页)教学过程二次备课 第1课时（一）创设情景，导入课题如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.（二）师生互动，探究新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a,b ,那么正方形的边长为22a b +. 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +. 因为4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.2．得到结论：一般的，假设)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.222ab b a ≥+ 3．基本不等式2a b ab +≤的产生. 特别的，假设a>0,b>0,对于ab b a 222≥+，我们用分别a 、b 代替a 、b ，可得2a b ab +≥.通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 1）指导同学自己完成这个基本不等式的代数证明用分析法证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2≥ 0 （4） 显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.4. 基本不等式2a b ab +≤的几何意义 探究：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b.过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？师生共同讨论：易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 所以：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 5. 基本不等式的其它解释或描绘1）假设把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理能够表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2）在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（三）概念辨析，应用举例例1. 求证 .21,)1(≥+∈+aa R a 时当。
《基本不等式》教学设计民乐一中 数学组 张宏俪一、 [教学目标]（1）学会推导不等式2a b +≤，理解基本不等式的几何意义 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念（3）会用基本不等式求一些简单的最值问题二、 [教学重点]应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2b a ab +≤的证明过程及应用。
三、 [教学难点]理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义，基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）。
四、 [教学过程]一、 创设情景，提出问题；上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。
在此基础上，引导学生认识基本不等式。
让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。
[问] 你能给出它的证明吗？学生在黑板上板书。
特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？ 答案： ),(02>+≤b a b a ab 。
【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。
三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述：若0,0>>b a ，则有2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，2b a ab +=。
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
这次白话文为您整理了高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。
高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
基本不等式的应用教案教案标题：基本不等式的应用教案教案目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 学会应用基本不等式解决实际问题；3. 提高学生的数学解决问题的能力。
教学重点：1. 掌握基本不等式的定义和性质；2. 学会将基本不等式应用于实际问题的解决；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学难点：1. 将基本不等式应用于实际问题的转化和解决；2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教师准备：课件、教材、黑板、粉笔等；2. 学生准备：课本、笔、纸等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一些实际问题，引起学生对基本不等式的兴趣，如：小明和小红的身高差距不超过10厘米，他们的身高分别是x厘米和y厘米，那么x 和y之间的关系是什么？Step 2：讲解基本不等式的概念和性质（10分钟）教师通过课件或黑板，讲解基本不等式的定义和性质，如：a > b表示a大于b，a ≥ b表示a大于等于b，等等。
Step 3：应用基本不等式解决实际问题（25分钟）教师通过实际问题的展示，引导学生运用基本不等式解决问题，如：小明和小红的身高差距不超过10厘米，小明的身高是120厘米，那么小红的身高范围是多少？Step 4：练习与讨论（15分钟）教师布置一些练习题，让学生独立完成，并进行讨论和解答，以巩固所学知识。
Step 5：归纳总结（5分钟）教师与学生一起总结基本不等式的应用方法和技巧，强调解决实际问题时的思考过程和步骤。
Step 6：作业布置（5分钟）教师布置一些练习题作为课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过引导学生运用基本不等式解决实际问题，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
在教学中，要注重引导学生思考和讨论，提高他们的参与度和学习兴趣。
此外，教师还可以通过多种教学手段，如实物展示、小组讨论等，激发学生的学习兴趣和动力。
208响水二中高三数学（理）一轮复习教案 第七编 不等式 主备人 张灵芝 总第34期§7.4 基本不等式:ab ≤2ba +基础自测1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b3=1，则a +2b 的最小值为 . 答案 7+262.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x ,y ∈R +，且x +4y =1,则x ·y 的最大值是 . 答案161 3.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 .答案 44.x +3y -2=0，则3x +27y +1的最小值为 . 答案 75.（2008·江苏，11）x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy 2的最小值是 .答案3例题精讲例1 已知x ＞0,y ＞0,z ＞0.求证：⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8.证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0,∴x y +x z ≥x yz 2＞0, y x +y z≥y xz 2＞0. z x +z y ≥zxy 2＞0,∴⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥xyz xy xz yz ∙∙8=8.（当且仅当x =y =z 时等号成立） 例2 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值； （2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（3）若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值. 解（1）∵x ＞0,y ＞0,x 1+y 9=1,∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 91 =x y +y x 9+10≥6+10=16. 当且仅当x y =yx 9时，上式等号成立，又x 1+y 9=1,∴x =4,y =12时，(x +y )min =16.209（2）∵x ＜45,∴5-4x ＞0,∴y =4x -2+541-x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1. (3)由2x +8y -xy =0,得2x +8y =xy ,∴y 2+x 8=1,∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 28=10+x y 8+y x 2 =10+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y 4≥10+2×2×y x x y ∙4=18,当且仅当x y 4=y x,即x =2y 时取等号， 又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6,∴当x =12,y =6时，x +y 取最小值18. 例3某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级 污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建 造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造 单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x 162米.则总造价f (x )=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x +80×162 =1 296x +x 1002961⨯+12 960=1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 960≥1 296×2x x 100∙+12 960=38 880（元）， 当且仅当x =x100(x ＞0),即x =10时取等号. ∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.（2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16.设g (x )=x +x 100⎪⎭⎫⎝⎛≤≤168110x . g （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数，∴当x =1081时(此时x 162=16), g (x )有最小值，即f (x )有最小值1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元. 巩固练习1.已知,a ,b ,c 均为正数，且a +b +c =1，求证：a 1+b 1+c1≥9.210证明a 1+b 1+c 1= a c b a +++b c b a +++c c b a ++=3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a a c +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b b c ≥3+2+2+2=9.当且仅当a =b =c =31时取等号. 2.若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x =-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x∵-4＜x ＜1,∴-(x -1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2 -21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1当且仅当-(x -1)= ()11--x ，即x =2（舍）或x =0时取等号.即max22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x =-1.3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时）的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v (千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs ，全程运输成本为y =(a +bv 2) v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈（0,c ］. （2）依题意，有s ,b ,a ,v 都是正数.因此y =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①若b a ≤c ,则当且仅当v =bv a ⇒v =ba时,y 取到最小值. ②若ba≥c ,则y 在（0，c ］上单调递减，所以当v =c 时，y 取到最小值. 综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v =ba ； 当ba≥c 时，行驶速度应该为v =c. 回顾总结 知识211方法 思想课后作业一、填空题1.若不等式x 2+ax +4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围是 . 答案 a ≥-52. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为. .答案 23-23.已知0＜x ＜1，则x (3-3x )取得最大值时x 的值为 . 答案21 4.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax +by -2=0 （a ,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x -4y -6=0，则a 2+b1的最小值是 . 答案 3+225.函数y =log 2x +log x (2x )的值域是 . 答案 （-∞，-1］∪［3，+∞）6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 答案 207.（2008·徐州调研）若实数a ,b 满足ab -4a -b +1=0 (a ＞1),则(a +1)(b +2)的最小值为 . 答案 278.若a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，则xa 2+yb 2≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y b 时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f (x )=x 2+ x219-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 . 答案 25 51 二、解答题2129.（1）已知0＜x ＜34，求x (4-3x )的最大值； （2）点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，求2x +4y 的最小值.解 （1）已知0＜x ＜34,∴0＜3x ＜4.∴x (4-3x )=31(3x )(4-3x )≤3122343⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =34当且仅当3x =4-3x ,即x =32时“=”成立.∴当x =32时，x (4-3x ）的最大值为34. （2）已知点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，所以x +2y =3.∴2x +4y ≥2y x 42=2y x 22+=232=42. 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=3242y x yx ，即x =23,y =43时“=”成立.∴当x =23,y =43时，2x +4y 的最小值为42.10.已知a 、b ∈（0，+∞），且a +b =1,求证：(1)a 2+b 2≥21; (2)21a +21b≥8; (3)21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225; (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1≥425.证明 由⎪⎩⎪⎨⎧=+≥+,b a ,ab ba 12 a 、b ∈（0，+∞），得ab ≤21⇒ab ≤41⇒ab 1≥4.（当且仅当a =b =21时取等号） (1)∵a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ≥1-2×41=21，∴a 2+b 2≥21. (2)∵21a +21b ≥ab 2≥8,∴21a +21b≥8.(3)由(1)、(2)的结论，知21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b =a 2+b 2+4+21a +21b ≥21+4+8=225,∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225.(4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1=a b +b a +ab +ab 1=a b +b a +21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ab ab +2≥2+2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2=425. 11.设a ＞0,b ＞0,a +b =1. （1）证明：ab +ab 1≥441; (2)探索猜想，并将结果填在以下括号内： a 2b 2+221ba ≥（ ）；a 3b 3+331ba ≥（ ）；213（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明. （1）证明 方法一 ab +ab 1≥441⇔4a 2b 2-17ab +4≥0 ⇔(4ab -1)(ab -4)≥0. ∵ab =(ab )2≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a =41,∴4ab ≤1，而又知ab ≤41＜4,因此（4ab -1）(ab -4)≥0成立，故ab +ab 1≥441. 方法二 ab +ab 1=ab +ab ⋅241+ab ⋅2415，∵ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a =41，∴ab 1≥4，∴ab⋅2415≥415. 当且仅当a =b =21时取等号.又ab +ab∙241≥2ab ab ∙∙241=21， 当且仅当ab =ab⋅241，即ab 1=4,a =b =21时取等号.故ab +ab 1≥42+415=441（当且仅当a =b =21时，等号成立）. （2）解 猜想：当a =b =21时， 不等式a 2b 2+221b a ≥( )与a 3b 3+331b a ≥( )取等号，故在括号内分别填16161与64641.（3）解 由此得到更一般性的结论： a n b n +nn ba 1≥4n +n41.证明如下：∵ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a =41,∴ab 1≥4.∴a n b n +n n b a 1=a n b n +n n n b a ⋅241+n n n n ba ⋅-22414 ≥2nn nnn ba b a ⋅⋅241+nn 22414-×4=n42+nn 4142-=4n +n41，当且仅当ab =41,即a =b =21时取等号. 12.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，x ∈N *，1≤x ≤96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3a元. （注：次品率p =产品总数次品个数×100%，正品率=1-p )（1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数； （2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？214解 （1）依题意可知：p =x-1003(1≤x ≤96,x ∈N *),日产量x 件中次品有xp 件，正品有x -px 件，日盈利额T =a (x -px )-3a px =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004. (2)∵T =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--x x x 1004001004=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x 1004004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----x x 100400100104 ≤a (104-2400)=64a ，所以当100-x =20，即x =80时，T 最大.因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值.。
