数学苏教版必修5基本不等式(教案)

基本不等式教案
教案：基本不等式
一、教学目标：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法；
3. 能够解决基本不等式的求解问题。

二、教学重点：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法。

三、教学难点：
能够解决基本不等式的求解问题。

四、教学步骤：
1. 导入新知识：
与学生进行一段对话，了解学生对不等式的认识程度，并引出本节课的主题。

2. 概念解释：
通过例子及图示，简单明了地向学生解释什么是不等式，以及不等式的表示方法，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。

3. 基本不等式的求解方法：
介绍几个基本不等式的求解方法，并通过具体的例子进行讲解，如将不等式转化为方程、利用数轴图解法等。

4. 练习与巩固：
通过对一些简单的不等式进行练习，让学生逐步掌握基本不等式的求
解方法，并在解题过程中注意注意解题步骤和思路。

5. 拓展应用：
给学生一些有挑战性的不等式问题，让他们进一步巩固和应用所学的
求解方法，并在解答过程中培养他们的综合运用能力和创新思维。

6. 归纳总结：
对本节课的内容进行归纳总结，梳理基本不等式的求解方法，并强调
解题时的注意事项。

7. 课堂作业：
布置一些不等式的练习题，让学生独立完成并交作业。

五、教学资源：
教学课件、练习题。

六、教学评估：
通过课堂练习及作业的完成情况，评估学生对基本不等式的掌握情况。

七、教学反思：
根据学生的学习情况及问题反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。

基本不等式的证明（1）【三维目标】：一、知识与技能1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；二、过程与方法1.通过实例探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力 【教学重点与难点】：重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 难点：理解基本不等式2a b ab +≤等号成立条件及“当且仅当b a =时取等号”的数学内涵【学法与教学用具】：1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。

从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。

定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 提问：2a b+与ab 哪个大？ 2.基本不等式2a bab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

基本不等式的证明学习目标：1理解基本不等式的内容及证明．重点2能运用基本不等式证明简单的不等式．重点3能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点问题引入：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。

不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。

那么如何合理地表示物体的质量呢？简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=2ba+表示物体的质量。

这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为l1,l2，物体实际质量为M，根据力学原理（当物体处于平衡状态时，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂）有。

由此可知，物体的实际质量是。

对于正数a,b，我们把2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？我们先取一些数作试验:算结果表明ab≤2。

也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等。

[自主预习·探新知]思考如何证明不等式错误!≤错误!a>0，b>01．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么错误!错误!当且仅当a＝b时取“＝”，我们把不等式称为基本不等式．[合作探究·攻重难]，b为正数，证明下列不等式成立：1ba ab≥2;2 a1a≥2.=16，∈(−2,+∞),求此函数的最小值。

x+2变式：求函数＝错误!>－1的最小值，并求相应的值．应用基本不等式应注意的问题：1．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”成立吗？为什么？2．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”,∈[4,+∞)成立吗？为什么？[当堂达标·固双基] 1．a＋1≥2错误!a>0中等号成立的条件是________．__2．函数f＝2＋错误!>0有最小值为______．3．已知>0，则函数f＝7－－错误!的最大值为________．4．已知a，b，c，d都是正实数．求证：错误!＋错误!≥45当>－1时，求＝错误!的最大值，并求相应的值．总结提炼：。

第10课时：基本不等式（1）一、学习目标1.探索并了解基本不等式的证明过程。

2.体会证明不等式的基本思想方法。

3. 理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等二、学法指导1.理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤。

2.注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。

三、课堂探究：1、问题情境：某金店有一不准确的天平（臂长不等），你要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，分别称得a 和b ，那么项链的实际质量是多少呢？2、学生活动：3、猜想结论：四、建构数学1、如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？2、通过严格证明，得出下列结论：定理：3、观察下图，尝试给出上述基本不等式的几何意义是什么？4、这个基本不等式可否推广到“1,)n n n N >∈个（非负数”的情形呢四、数学应用1、例题例1.（1） 设0a >，证明：12a a +≥变式1：求函数1y x x =+的值域。

点评：通过这一题你有什么感想呢？b（2）设,a b 为正数，证明2b a a b +≥。

变式1：设,a b为正数，求证a b +≥ 点评：变式2：11,,1,4a b R a b a b∈+=+≥设且求证问题：你还能变出题来吗？例2、比较大小(lg lg )1,,lg 22a b a b a b P Q R ++>>===若，则,,P Q R 的大小关系为 。

2、练习(1)、有下列关于不等式的证明：4(1),,2;(2)0,4;(3)2;(4),0,()())() 2.b a a b R x x x a b x xa b R ab a b ab b a ba a ∈+≥=<+≤=≥=∈<⎡⎤+=--+-≤--=-⎢⎥⎣⎦若则若则1若x>0，则cosx+cosx 若且则cosx cosx 其中证明过程正确的序号是 .（2）、,(0,),a b ∈+∞若试比较大小2,2a b ab a b++,则 .（3）、已知,,a b c 均为正数，且1111,9a b c a b c ++=++≥求证：（4）、 若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 ，a b +的取值范围是五、回顾小结学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结。

第11课时：基本不等式（2）一、学习目标1.进一步掌握基本不等式；２.３.基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、学法指导1.利用基本不等式求最值时要注意一正二定三相等。

2.当运用基本不等式时条件不满足时，有时可以运用拆分和配凑的方法变成和式和积式,使条件满足。

三．课前预习：1.重要不等式：________________________________2.基本不等式：________________________________四、课堂探究最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 五．例题讲解：例1.已知函数()+∞-∈++=,2,216x x x y ，求此函数的最小值。

变式：将()+∞-∈,2x 改为[)+∞∈,4x ，求此函数的最小值。

点评：例2求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求此时的x 的值变式1：求(42)(04)y x x x =-<<的最大值，并求此时的x 的值变式2:0,0,2520,lg lg x y x y x y >>+=+已知且求的最大值例3、0,0,1,a b a b >>+=≤已知五、巩固训练(选做)1.求函数2294x x y +=的最小值，并求函数取最小值时x 的值。

2. 求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值。

3.已知02x <<，求函数()f x =x 值。

六、反思总结七、课后作业1、若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是； 2、设a ，b R +∈，a+2b=3，则11a b +最小值是； 3、当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是； 4、若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项；。

第八课时 基本不等式（一）教学目标：1． 学会推导并掌握均值不等式定理；2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。

教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

教学过程：重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab由上面的结论，我们又可得到定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）数列意义问：a ，b ∈R －？例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。

课 题：基本不等式的证明一、学生起点分析学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。

在两个数的算术平均数和几何平均上，我我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。

这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。

二、教学任务分析《不等式》是高中必修5的第三章，《不等式的证明》是第一节的内容。

教材分析本节内容安排了1个学时本小节内容包括两个正数的算术平均数和几何平均数的证明及其证明，其次是基本不等式，主要从证明和应用两个方面进行探究。

利用正数的算术平均数和几何平均数我们可以求某些非二次函数是最值。

本小节主要从三个不等式的常见方法——比较法，分析法，综合法，来对基本不等式给予证明。

教材地位及作用不等式是高中的重点也是难点，证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立。

由于不等式的形式多样多种，所以不等式的证明也就灵活多样，具体问题具体分析是不等式的精髓。

用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点，在具体的题目中，“正数”条件往往易从提示中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常设计为一个难点，这需要灵活的变形技巧。

因此，“定值”条件决定着基本不等式的可行性，这是解决最值的关键。

近几年还往往和三角函数、立体几何综合求最值。

三、教学目标分析教学目标：知识目标：1，知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平均数和几何平均数。

2，理解基本不等式的证明过程。

技能目标：1，掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。

2，通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。

3，体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

高中数学必修五《基本不等式》精品教案教师引导学生通过面积的比较，抽象出基本不等式，并让学生探索取等号的条件。

1.让学生计算正方形ABCD和直角三角形的面积，从而理解不等式的含义。

2.引导学生通过观察前面得到的结论，归纳出基本不等式ab≤(a+b)/2.3.让学生思考取等号的条件，即a=b时等号成立。

4.引导学生思考例子，如何验证取等号的条件。

5.让学生总结基本不等式的几何意义和取等号的条件。

教学环节问题设计意图师生活动巩固练1．已知a，b为正数，且ab=1，求证a+b≥2.2．已知a，b为正数，且a+b=2，求证ab≤1.1.让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固所学知识。

2.引导学生运用基本不等式解决实际问题，加深对基本不等式的理解。

1.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。

2.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。

五．教学反思本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法，让学生从实际问题出发，通过观察、探究、归纳等方式，深入理解基本不等式的几何意义和取等号的条件。

同时，通过多媒体辅助教学，加深学生对基本不等式的理解。

在巩固练环节，让学生通过实际问题的解决，加深对基本不等式的应用。

整节课教学紧密联系实际，符合学生的研究兴趣和认知规律，达到了预期教学目标。

6.能否用代数证明不等式a2+b2≥2ab？7.如果用a、b替换不等式a+b≥2ab中的a、b，前提条件是什么？能得到什么结论？8.能否用代数证明基本不等式？9.请用语言文字表述基本不等式？从数列的角度又如何描述呢？10.你们能否利用这个图形解释基本不等式的几何意义吗？教师引导学生：假设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，让学生计算正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和，证明不等式a2+b2≥2ab。

2.发挥学生自主研究的能动性，让学生在证明过程中体会分析法的证明思想，并从代数和几何的不同角度理解不等式，拓展学生的思维空间。

《基本不等式》教学设计基本不等式教学设计一、教学目标1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 掌握基本不等式的证明方法；3. 能够运用基本不等式解决实际问题。

二、教学内容1. 基本不等式的定义；2. 基本不等式的证明方法；3. 基本不等式的应用。

三、教学过程设计1. 导入（5分钟）在开始教学之前，通过简单的例子引出不等式的概念，以提高学生的学习兴趣和主动性。

例如：已知a > b，b > c，求a与c的大小关系。

2. 理论讲解（15分钟）首先，介绍基本不等式的定义：若a > b，则a - b > 0，这就是基本不等式的定义。

接着，讲解基本不等式的性质：可以对不等式两边同时加上（或减去）同一个数，且不等号的方向不变；可以对不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，且不等号的方向不变，对不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向反转。

3. 证明方法教授（30分钟）以证明a² ≥ 0为例，介绍基本不等式的证明方法。

步骤一：假设a > 0，根据基本不等式的定义，有a - 0 > 0，即a > 0。

步骤二：两边同时乘以a得到a² > 0，即a² ≥ 0。

步骤三：当a = 0时，直接代入原不等式得到0² ≥ 0，即0 ≥ 0。

结论：无论a为正数还是零，都有a² ≥ 0成立。

4. 练习与讨论（25分钟）分发练习题给学生，让他们尝试证明不等式的正确性，并在学生结束练习后，采用板书的形式，对解题思路和方法进行梳理和讲解。

5. 应用实例（20分钟）给学生提供一些实际问题，让他们运用基本不等式解决问题。

例如：已知a + b = 10，求a² + b²的最小值。

6. 拓展延伸（10分钟）引导学生思考更复杂的不等式问题，例如：证明(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc。

7. 总结归纳（5分钟）对本节课所学的基本不等式内容进行总结，强调基本不等式在数学证明和实际问题解决中的重要性。

课题：基本不等式教学目标通过实例，引导学生得出基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界．教学重点、难点重点：通过实例，引导学生得出基本不等式．应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过程．难难难通过实例，引导学生得出基本不等式．．．．．．．．．．教学过程一、问题情境设计意图：让学生体会生活中的数学，从问题中抽离出数学概念。

二、学生活动设计意图：启发学生思维，提高他们探索问题的能力。

三、建构数学1得出基本不等式:设计意图：体会猜想到理论论证的过程，得出不等式证明的方法。

2．代数证明，得出结论证法一（作差法）：证法二（分析法）：证法三（综合法）：设计意图：猜想——理论，规范证明题的解题。

深化认识：称ab 为b a ,的几何平均数；称2b a +为b a ,的算术平均数 基本不等式2b a ab +≤又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰设计意图：提高学生应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2b a ab +≤的证明过程。

4．应用举例，巩固提高 1,a b 例：设为正数，证明下列不等式成立：112 2 2b a a a b a+≥+≥（）（）设计意图：让学生在解题中体会基本不等式，探究出基本不等式的三要素：一正二定三相等。

162 ,(2,)2y x x x =+∈-+∞+例：已知函数，求此函数的最小值.设计意图：让学生体会配凑出使用基本不等式的形式，继续体会基本不等式的三要素：一正二定三相等。

让学生总结出基本不等式知识点下的两种题型：不等式的证明和函数的最值。

5．归纳小结，反思提高基本不等式：若+∈R b a ,，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式的几何解释（数形结合思想）素材1：故事后续：从前有个金店的天平坏了，天平两臂的长度不相等。

《普通高中数学课程标准》对“基本不等式的证明”这一内容的教学要求是探索并了解基本不等式的证明过程；体会证明不等式的基本思想方法；会用基本不等式解决简单的最值问题．通过本节课的教学，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义，充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫．
“基本不等式的证明”的教学设计
一、基本情况
1、教材分析
“基本不等式的证明”是苏教版必修5中3．4．1节的内容，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的极好素材，在知识体系中起着承上启下的作用．作为证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．本节内容是在学生系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，同时，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是不可或缺的，所以它也为后续的学习奠定基础．
3、目标定位
教学目标：（1）了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明过程，并能正确地运用基本不等式解决简单的最值问题；
（2）通过基本不本
不等式证明简单的不等式；
（3）在探求基本不等式的过程中，体会数学建模的思想，感受数学形式化结论的一般
形成过程：实验、观察、猜想、归纳、抽象、概括，形成结论，发展学生的数学思维能力．
教学重点：基本不等式证明的三种方法．
教学难点：基本不等式的应用．
4、教学策略
《普通高中数学课程标准》中指出：学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程．教学中要紧扣新课程的这一理念来处理教材，组织和实施教学活动．

1．理解基本不等式的内容及证明．重点 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．重点 3．能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点
教材整理1 算术平均数与几何平均数 阅读教材P 96，完成下列问题．
对于正数a ，b ，我们把 称为a ，b 的算术平均数， 称为a ，b 的几何平均数． 教材整理2 基本不等式
阅读教材P 97～P 98，完成下列问题．
如果a ，b 是正数，那么错误! 错误!当且仅当 时取“＝”，我们把不等式 a ≥0，b ≥0称为基本不等式．
题型一 基本不等式的证明
例1：证明：如果a ，b 是正数，那么错误!≤错误!
题型二 用基本不等式证明不等式 例2：证明：如果a ，b 是正数 12≥+b a a b ；221
≥+a
a
变式2：证明：+a
题型三 用基本不等
例3：已知函数=y
变式3：求函数y =
＝错误!>－1的最小。

第九课时 基本不等式（二）教学目标：使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。

教学重点、难点：均值不等式定理的应用。

教学过程：1．复习回顾2．例题讲解：例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴y ∈[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时，y ≤－2∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例2：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1x －1 的最小值 解：y ＝（x －1）＋1x －1＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3 ∴函数的最小值是3问题：x ＞8时？ 总结：一正二定三相等。

介绍：函数y ＝x ＋1x的图象及单调区间例3：求下列函数的值域（1）y = x 2＋3x ＋5x ＋1 （2）y = x ＋1 x 2＋3x ＋5解：（1）y ＝(x ＋1) 2＋(x ＋1)＋3x ＋1 ＝(x ＋1) ＋ 3x ＋1＋ 1 当x ＋1＞0时，y ≥2 3 ＋1 ；当x ＋1＜0时，y ≤－2 3 ＋1即函数的值域为：（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞）（2）当x ＋1≠0时，令t = x 2＋3x ＋5x ＋1则问题变为：y = 1t，t ∈（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞） ∴y ∈[1 －2 3 ＋1 ，0）∪（0，1 2 3 ＋1] 又x ＋1 = 0时，y = 0即y ∈[－ 1＋2 3 11 ，2 3 －111] 说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。

例4：求下列函数的最大值（1）y ＝2x （1－2x ）（0＜x ＜12） （2）y ＝2x （1－3x ）（0＜x ＜13）例5：已知x ＋2y ＝1，求 1x ＋1y的最小值。

3．课堂小结一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

基本不等式说课稿（第一课时）姚荣一、教材的地位和作用“基本不等式”是全日制普通高中新课程标准实验教科书数学必修5“不等式”一章的内容，是解决许多实际问题的重要工具。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材，同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．二、学情分析认知分析：学生已经了解了不等关系的数学模型是解决许多实际问题的重要工具，本节中我们将在以前学习的不等式知识的基础上，通过对基本不等式的研究，学会用它们解决相关的问题，并从中感受数学的价值。

能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.三、教学方法和教学手段从发展学生认识问题、探索问题、研究问题的能力角度考虑，本节课准备采用“问题教学法”的思想进行教学设计.即由教师作为“顾问、设计者”组织教学，学生在问题解决的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构.教学手段：多媒体课件、通过简洁的板书突出重点，强化解题的规范，以提高课堂效益。

四、教学目标知识和能力目标：（1）探索并了解基本不等式的证明过程；（2）体会证明不等式的基本方法；（3）能应用基本不等式解决一些简单的问题；过程和方法目标：（1）运用比较法、分析法和综合法去证明基本不等式（2）利用数形结合的思想（3）运用拆项、凑项和换元的方法，创造使用基本不等式的条件情感态度和价值观目标：提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和数学交流能力，发展独立获得数学知识的能力和创新意识 教学重、难点 基本不等式及其证明 五、教学过程： 1情境导入探究1某金店有一不准确的天平（臂长不等），你要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，分别称得a 和b ，然后把两次称得重量的平均数 作为项链的重量,你认为这种称法是否合理？探究2用一个两臂长短有差异的天平能否称得物体的实际重量呢？ 动画引入 实践应用，解决问题（1）.算术平均数：对于正数a,b,我们 把叫做a,b 的算术平均数（2）.几何平均数：对于正数a,b,叫做a,b 的几何平均数 3.动手试算,猜想结论 计算下列各式(其中p>0),并把它们的大小关系表示出来.4猜想结论2ba ab +≤如何证明这一结论？ab(,0)2a ba b +≤≥0,0a b >>已知2a b+2a b+5总结：证明不等式的方法（一）比较法——作差—变形—判号—结论。

第2课时不等式【学习导航】学习要求1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理一些逆向问题．2.学会解决一些简单的整点问题． 【课堂互动】自学评价１．不等式组表示的平面区域.２．整点： . 【精典范例】 例1．画出下列不等式组所表示的区域(1) 2124y x x y ì?ïïíï+>ïî(2) 004380x y x y ì>ïïï>íïï+-<ïïî【解】例2.如图, △ABC 三个顶点A(0 , 4) ,B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC 内任一点(x , y)所满足的条件.思维点拔：1.二元一次不等式组表示平面区域的画图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，求交． 2.由平面区域写不等式组，一要注意是否有等号，二要注意不要少写不等式． 追踪训练一 1. 画出下列不等式组所表示的区域(1)23142900x y x y x y ì+?ïïïï+?ïíï³ïïï³ïî (2)3263239x y x y x y x ì+?ïïïï<ïíï³ïïï?ïî (3)(x-y+1)(x+2y-2)>0听课随笔2.如图所示阴影部分可用二元一次不等式组表示 ( )A.1220y x y ì?ïïíï-+?ïîB.1220y x y ì?ïïíï-+?ïîC.02240x y x y ì£ïïï?íïï-+?ïïî D.02240x y x y ì£ïïï?íïï-+?ïïî例3利用平面区域求不等式组230236035150x y x y x y ì-->ïïï+-<íïï--<ïïî 的整数解.思维点拔：方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x 的范围来确定整数x(4)再通过x 的整数值来定y 的整数值．方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证．追踪训练二在坐标平面上, 不等式组13||1y x y x ì?ïïíï?+ïî所表示的平面区域内整数点个数为 ( )A.１B. ２C. ３D. ４x 听课随笔【师生互动】。

复习课学习要求1．温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。

2.体会分类讨论，等价转化，数形结合，函数方程四种数学思想的应用.【课堂互动】自学评价1.不等式组2680321x xxxìï-+>ïïí+ï>ïï-ïî的解集为．2.已知103180,0x yx yx yì+?ïïï+?íïï吵ïïî，则2z x y=+的最大值为．3.已知532x y+=，(,)x y R+Î，则xy的最小值为．4.已知,a b R+Î,则四个数:2aba b+,2a b+,,的大小关系为 .【精典范例】例1：解关于x的不等式：2(22)40ax a x-++>【解】例2：设a RÎ，关于x的一元二次方程227(13)20x a x a a-++--=有两学习札记个实根,,21x x 且12012x x <<<<，求a 的取值范围．【解】例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？例4.有正数y x ,都成立，求k 的最小值．本章总结回顾： 1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，会用函数思想来研究方程和不等式． ２．二元一次不等式(组)表示平面区域与线性规划问题是数形结合思想的运用。

画平面区域是线性规划的基础，常用选点法定侧，注意边界是否在区域内。