北师大版高一数学必修一必背重点：集合的含义与表示

§1集合的含义与表示1 •列出满足“大于5而小于10〃的所有整数6、7、8、9・2•实数可以分为有理数、无理数；有理数可以分为整鑿、分数；整数可以分为正整数、负整数、零・3 •到一个定点的距离等于定长的点的集合是Jg—1 •集合的含义(1)一般地，指定的某些对象的命体称为集合.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.(2)集合与元素的表示通常用大写字母A, B, C,…表示集合;通常用小写字母a, b, c,…表示集合中的元素.2 •元素与集合的关系3.常用数集及表示符号4.集合的表示方法列举法把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法5.集合的分类1・''高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗?〃高个子〃是一个含糊不清的概念,具有相对性,多高才算高【提示】?同样地「小河流〃的〃小〃具体指什么,是流量还是长度?它们都没有明确的标准，也就是说,它们都是一些不能够确定的对象•因此,它们都不能构成集合.2・''由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？【提示】在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的埶对象）1,2,4 ,并且都是确定的不同对象•因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.集合中元素的特性例已知集合人={1,0, a},若gA,【思路点拨］ 如果令2二1 , 0或“ ---求实数a 的值.【解析】(1)若Q二1 ,则a= ±1 ,当“ 1时，集合A中有两个相同元素1 ,舍去；当3= - 1时，集合A中有三个元素1,0 , - 1 ,符合.(2)若“2 二o ,贝h 二0 ,此时集合A中有两个相同元素0 ,舍去.(3)若a2 = a ,贝％ = 0或1 ,不符合集合元素的互异性，都舍去. 综上可知:a= - 1.题后感悟根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值, 再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验,特别是互异性,最易被忽略•另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运甩变式训练 1 •判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)｛a, b, c, d｝与｛d, c, b, a｝是两个不同的集合；(2)集合｛1,*,£0.50,0.71｝中有5个元素；(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；(4)集合A=｛(1, 一3)｝与B = ｛( —3,1)｝是同一集合.【解析］⑴不正确.因为集合中的元素具有无序性,即对于元素不要求顺序/只要是相同几个元素即可,故｛" , b , c , d｝与｛d z c z b , a｝是两个相同的集合.(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的z而j=0.50 z因此z此种表示不能构成集合•要想表示集合,应写作｛1, £ 0.71｝,含有4个元素.(3)正确•符合集合中元素的特性,它是一个无限数集.⑷不正确.A二｛(1 z - 3)｝表示的是由点(1 z - 3)组成的单元素点集，B二｛( -3,1)｝表示的是由点(・3,1)组成的单元素点集，而(1 ,・3)和(-3,1)是不同的两个点,因此A与B是不同的集合.元素与集合的关系例酥设集合A={xlx = 2k, keZ}, B = {xlx = 2k+1, kGZ}.若aWA, bGB,试判断a+b与A, B的关系.【思路点拨】因为A是偶数集z B是奇数集，所以a是偶数z b是奇数，从而a + b是奇数.【解析】*.aGA , /.a = 2k1(k i eZ)..*bGB , .*.b = 2k2 + l(k2^Z)..*.a + b 二2(k] + k2) + 1.又・k]十k2GZ ,.*.a + bGB ,从而a + b 毎A.题后感悟判断一个元素是不是某个集合的元素z就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质,反之,如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.2 •所给下列关系正确的个数是（）变式训练①71 ER；②盯毎Q；③OWN+；④1—41毎仃・A. 1 B. 2C. 3D. 4【解析】•・• 71是实数，是无理数，•••①②正确，N +表示正整数集,而0不是正整数；I ■ 41是正整数，二③④错误.【答案】B集合的表示方法例❸« 用适当的方法表示下列集合(1)比4大2的数；(2)方程x? + y2—4x + 6y+13 = 0 的解集；⑶不等式x-2>3的解的集合；(4)二次函数y = x2— 1图象上所有点组成的集合.［思路点拨］解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么,有限个还是无限个.【解析】（1）比4大2的数显然是6 ,故可表示为{6}.⑵方程x? + y2 - 4x + 6y + 13 = 0可化为(x - 2)2 + (y + 3)2 = 0・•・図=2 ・方程的解集为{Q #・3)}.〔y=_3(3)由x - 2>3 ,得x>5.故不等式的解集为{xlx>5}.(4)''二次函数y = x2 -啲图象上的点"用描述法表示为{(x z y)ly = x2-l}.(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存题后感悟在明显规律的集合,可采用列举法•应用列举法时要注意：①元素之间用“，〃而不是用〃、〃隔开;②元素不能重复;③不考虑元素顺序.(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.变式训练 3 •用适当的方法表示下列集合⑴二元二次方程组蔭孑的集合;⑵大于4的全体奇数组成的集合；(3)A=｛(x, y)lx+y = 3, xGN, yGN｝；⑷一次函数y=2x+1图象上所有点组成的集合.【解析】⑴列举法:｛(0,0) z (1,1)｝；⑵描述法：｛xlx = 2k+ 1 z k>2 z kEN｝；(3)列举法：因为xWN z yGN , x + y 二3 ,所以A 二{(0,3) z (1,2) z (2,1) , (3,0)}；⑷描述法:{(x z y)ly二2x + 1 }・1•集合的概念可以从以下几个方面来理解(1)集合是一个“整体";(2)构成集合的对象必须具有“确定"且“不同"这两个特征.这两个特征不是模棱两可的.判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合.2.对集合中元素三个特性的认识(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的•即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的•要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的•如方程(x— 1尸=0的解构成的集合为｛1｝,而不能记为｛1,1｝.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合｛a, b, c｝与｛b, a, c｝是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系.【注意】集合中元素的互异性在解题中经常用到•如已知两个集合的关系, 求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.3.使用描述法必须注意(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数对(点人或是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，女RxER是明确的，则xWR可以省略，只写其元素x；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且"、“ 或”等表示描述语句之间关系的词.下列说法：①集合｛xGNIx3 = x｝用列举法表示为｛— 1,0,1｝；②实数集可以表示为｛xlx为所有实数｝或決｝；③方程组卜+尸3的解集为仪=1, y = 2｝・ [x—y= —1其中正确的有（)A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【错解】A【错因] 对于描述法表示集合z—应清楚符号"｛Xlx的属性｝〃表示的是所有具有某种属性的X的全体z而不是部分；二应从代表元素入手,弄清楚代表元素是什么.【正解】①由X? = X ,即x(x2 - 1) = 0 ,得X = 0或X = 1或X = - 1 ,因为・1 N z故集合｛xWNIx3二X｝用列举法表示应为｛0,1｝・②集合表示中的符号"｛｝〃已包含”所有”、”全体”等含义，而符号〃R〃已表示所有的实数，正确的表示应为｛xlx为实数咸R③方程组匸二的解是有序实数对,x — y———1 而集合｛x=l z y二2｝表示两个方程的解集, 正确的表示应为｛(1,2)｝或｛(x, y)^二;｝【答案】 D 1 y_2 J1•下列关系中，正确的个数为（）①g GR；② Q；③ 1 — 31 N；A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B2•已知A={xl3-3x>0},则下列各式正确的是（④i-ieQ.A.3GAB.1GAC.OGAD.-l G A【解析】集合A表示不等式3 - 3x>0的解集.显然3,1不满足不等式，而0 , -1满足不等式，故选C.【答案】c3•已知集合A={1, a?},实数a不能取的值的集合是【解析】由互异性知再1 ,即aM±l ,故实数a不能取的值的集合是{1; -1}.【答案】{1，-1}4 •以方程x2 —2x —3 = 0和方程x2—X—2=0的解为元素的集合中共有多少个2•已知A={xl3-3x>0},则下列各式正确的是（）元素? 【解析】••方程x? - 2x - 3二0的解是X]二-1 z X2 = 3 ,方程Q - X - 2二0的解是X3 = - 1 / X4=2,・•・以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为-],2,3 ,共有3个元素.。

北大师版高一数学的含义与表示知识点北大师版高一数学集合的含义与表示知识点人才源自知识，而知识的获得跟广泛的阅读积累是密不可分的。

店铺为大家准备了高一数学集合的含义与表示知识点，欢迎阅读与选择!北大师版高一数学的含义与表示知识点篇11.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。

集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。

2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。

设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。

⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。

设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。

3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。

例如：是集合的元素，记作，读作“ 属于”; 不是集合的元素，记作，读作“ 不属于”。

4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。

特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。

5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。

⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。

北大师版高一数学的含义与表示知识点篇21、长度单位：是指丈量空间距离上的基本单元，是人类为了规范长度而制定的基本单位。

其国际单位是“米”（符号“m”），常用单位有毫米（mm）、厘米（cm）、分米（dm）、千米（km）等等。

长度单位在各个领域都有重要的作用。

2、米：国际单位制中，长度的标准单位是“米”，用符号“m”表示。

3、分米：分米（dm）是长度的公制单位之一，1分米相当于1米的十分之一。

高一数学上册《集合》知识点总结北师大版集合具有某种特定性质的事物的总体。

这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。

例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。

2、数学名词。

一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。

3、口号等等。

集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。

康托，这一整体就是集合。

组成一集合的那些对象称为这一集合的元素。

元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合与集合之间的关系某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。

空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。

任何集合是它本身的子集。

子集，真子集都具有传递性。

『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。

若A 是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。

中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。

』集合的几种运算法则并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A，或x ∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示素为元素的集合称为A与B的交，记作A∩B，读作“A 交B”，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。

那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。

再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。

那么说A∪B={1，2，3，5}。

图中的阴影部分就是A∩B。

有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。

结果是3，5，7每项减集合再相乘。

48个。

对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=∪例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=-无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。

北师大高一数学集合知识点数学是一门抽象而又广泛应用的学科，而数学中的集合是其中的一个基本概念。

在高中数学的学习中，我们需要熟悉和掌握关于集合的基本知识和运算法则。

本文将为大家介绍北师大高一数学集合知识点，帮助大家更好地理解和应用集合。

一、集合的概念集合是由确定的对象组成的整体。

这些对象称为集合的元素，用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。

例如，A={1, 2, 3, 4}表示一个集合A，它的元素是1、2、3、4。

集合中的元素是无序的，即集合中元素的排列顺序不影响集合的本身。

同时，集合中的元素是唯一的，即同一个元素不能重复出现在一个集合中。

二、集合的表示方法1. 列举法：直接列举集合中的元素。

例如，A={1, 2, 3, 4}。

2. 描述法：利用一个或多个性质描述集合中的元素。

例如，B={x|x是自然数且小于5}表示一个集合B，它的元素是小于5的自然数。

三、特殊集合1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

2. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用大写字母U表示。

四、集合的运算集合运算是对集合进行操作的方法，常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。

1. 并集：包含所有属于A或属于B的元素的集合称为A和B的并集，用符号∪表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

2. 交集：包含既属于A又属于B的元素的集合称为A和B的交集，用符号∩表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

3. 差集：属于A但不属于B的元素构成的集合称为A和B的差集，用符号\( \ A - B \)表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A - B={1}。

4. 补集：全集U中不属于集合A的元素构成的集合称为A的补集，用符号\( \ A' \)表示。

例如，若全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={2, 3}，则A'={1, 4, 5}。