三年级奥数重叠问题

课题：重叠问题【知识讲解】重叠问题的解决方法。

例1.小丽将3块手帕用夹子夹在绳子上晾晒，每一块的手帕两边必须用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻两块手帕的两边，小丽一共要用多少个夹子？例2.人们排队上公共汽车，小红排在队伍的中间，无论是从前面数还是从后面数，她都是第4个，这一排队伍一共有多少人？例3.同学们排练舞蹈，15个同学排成一对，从左边数小宁排在第8，问从右边数小宁排在第几？例4.学校要举行鼓操表演，同学们排成方队，不论是从前往后数，还是从后往前数，或者从左往右数，还是从右往左数，王洁都是第4，这支方队有多少人？例5.有两块塑料板各长50厘米，把两块板钉成一个塑料板，中间钉在一起的重叠部分是10厘米，钉成的塑料板长是多少厘米？例6.二年级一班有36名学生，期末测试后，老师问：语文得“优”的请举手！结果有25人举手。

老师又问：数学得“优”的请举手！结果有30人举手。

最后老师问：两门都没有得“优”的请举手！没有人举手。

你知道这个班两门可都得“优”的有多少人吗？【巩固练习】1.幼儿园阿姨把洗好的6张床单用夹子夹在绳子上晾晒，每一张床单两边都用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻的两块床单，一共需要多少个夹子？2.小红准备把8张照片钉在墙上钉成一行，每一张照片两边都用钉子钉住，同一个钉子可以钉住相邻的两张照片，一共需要多少个钉子？3.小朋友们排成一排做操，不论是从前往后数还是从后往前数，小红都是第6个，这一排一共有多少个小朋友？4.一串珠子摆放在桌子上，这一串珠子上有一颗红色的珠子。

从左往右数这颗红色的珠子排在第18，从右往左数这颗珠子排在第32，这一串珠子一共有多少颗？5.16辆七成排成一列车队向前行进，从前面数，唯一的一辆黑色是小汽车是第9辆，问从后面数它是第几辆？6.二年级两个班的同学在做操时正好排成一个方形队伍，不论是从前往后数，还是从后往前数，或者从左往右数，还是从右往左数，李伟都是第5个，二年级两个班做操的同学一共有多少个？7.二（1）班同学排队做操，每行是人数同样多。

三年级奥数4种重叠问题三年级奥数4种重叠问题随着奥数热潮的兴起，越来越多的家长将孩子送进了奥数班。

而在奥数学习中，涉及到的重叠问题一直是让小学生头疼的难点之一。

下面，我们来分别介绍四种常见的重叠问题及其解法。

问题1：中国古代的皇帝有哪些名字？这是一道典型的排列组合重叠问题，因为存在不同的朝代和不同的皇帝名称，所以我们可以分类讨论。

假设有n个皇帝姓名，m个朝代，则总共可能的情况数为m的n次方。

例如，如果有2个朝代、3个不同的皇帝姓名，则总共可能的组合数为2的3次方，即8种。

问题2：小明手里有红、黄、蓝三个颜色的球各若干个，从中取出2个球，可能出现几种不同的颜色组合？这是一道组合问题，可以通过简单的计算得出答案。

假设红、黄、蓝三种颜色球的数量分别为a、b、c，则不同颜色组合的数量为ab+ac+bc。

问题3：在10个人中随机选取4个人，其中小明和小红不能同时被选中，有多少种可能？这是一道容斥原理的问题。

首先得出在10个人中任意选取4个人的可能组合数，即C(10,4)，然后减去小明和小红都不在其中的可能组合数，即C(8,4)，最后再加上小明和小红都在其中的组合数，即C(8,2)。

计算公式为C(10,4) - C(8,4) + C(8,2)。

问题4：现有红、黄、蓝、白四个颜色的球各m个，从中选取n个球，求使得四种颜色的球都被选中的组合数。

这是一道比较复杂的组合问题，需要采用容斥原理。

首先计算四个颜色都被选中的组合数，即C(m,1)^4，然后减去三个颜色被选中的组合数，即C(4,1)×C(m,1)^3。

但是这样计算仍然会有重复的情况，例如每个颜色都选中了两个球的情况，需要再次修正。

最终的计算公式为C(m,1)^4 - C(4,1)×C(m,1)^3 + C(4,2)×C(m,1)^2 - C(4,3)×C(m,1)。

综上所述，重叠问题在奥数中是十分常见的，但只要我们掌握了相应的解法，便能够轻松解决这些难点问题。

（三年级）暑期备课教员：第14讲重叠问题一、教学目标： 1. 知识与技能方面：使学生借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，并能用数学语言表述。

2.过程与方法方面：使学生感知集合图的产生过程，初步培养学生建模意识和能力，渗透多种方法解决问题的意识。

3.情感态度价值观方面：培养学生初步养成善于观察、善于思考的学习习惯。

二、教学重点：初步体会集合的有关思想方法，并能用之来解决实际问题。

三、教学难点：对重复部分的理解。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（6分)师：同学们，我想试试你们的反应快不快，请大家猜个脑筋急转弯，好吗？生：好。

师：有两个爸爸和两个儿子去动物园，每人买一张票，可是他们只买了三张票这是为什么？怎么会出现这2+2等于3的情况呢？生：因为有一个人既是爸爸又是儿子。

师：真棒，用了一组非常恰当的关联词：“既……又……”。

其实这两个爸爸和两个爷爷的身份分别是爷爷、爸爸、孙子对吧。

生：是的。

师：因为爸爸有两个身份，重叠了，所以我们算人数时只能算一次。

两个爸爸加上两个儿子是等于4人，但是要减去重复算了的一个爸爸，所以最后就等于3人，也就只需要买3张票了。

师：今天我们这节课要研究的就是与这有关的非常有趣的重叠问题。

（板书课题：重叠问题）二、探索发现授课（40分）（一）例题一：（12分）下列是参加学习小组的名单，语文小组有8人，数学小组有9人， 14人参加了学习小组，请问语文和数学都参加的有多少人？师：同学们，请看例题一，说一说自己的困惑。

生：语文小组有8人，数学小组有9人，为什么总人数不是17人，是14人？。

三年级奥数《重叠问题》三年级奥数《重叠问题》公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]第九讲：重叠问题【知识要点】：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。

数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？【思路导航】根据题意画出下图。

从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。

【课堂反馈1】1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个？【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？【思路导航】根据题意画出下图。

由图可看出：小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人；从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。

所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。

【小学三年级奥数讲义】重叠问题一、知识要点三（ 1）班准备给参加班级绘画比赛的 16 位同学和参加朗读比赛的 12 位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将 28 份纪念品发下去时，却多出 5 份，这是怎么回事？对了，因为有 5 位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了 5 份。

数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

二、精讲精练【例题 1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第 8 面；从后数起，红旗是第 10 面。

这行彩旗共多少面？练习 1：1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第 4 个，从后数起排在第7 个。

这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12 个，从右数起是第21 个。

这一行座位有多少个？【例题 2】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第 4 个，从右数起是第 3 个，从前数起是第 5 个，从后数起是第 6 个。

做操的同学共有多少个？练习 2：1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第 4 个。

跳舞的共有多少人？2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2 个，从右数第 4 个；从前数第3 个，从后数第 5 个。

鲜花队共多少人？【例题 3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长 120 厘米，中间重叠部分是 16 厘米，这两块木板各长多少厘米？练习 3：1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30 厘米，中间重叠部分是 6 厘米，原来两段纸条各长多少厘米？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35 厘米的木板。

三年级奥数专题第一讲重叠问题【一】25个小朋友排队,从左边数起小林是第12个,从右边数小刚是第9个。

小林和小刚之间隔着几个小朋友？练习1、同学们排队做操,一排有18个小朋友,从前面数起青青是第6个,从后面数起兰兰是第7个。

青青和兰兰之间有多少个小朋友？2、有30个工人排成一行,其中有两个工人戴帽子,从左往右数,第7个戴红帽子,从右往左数,第8个戴蓝帽子。

戴帽子的两个工人中间有几个人？【二】一群小朋友排成一队,从前往后数,小乐是第7个,从后往前数,小乐是第8个。

这群小朋友有多少个？练习1、13个小朋友站成一队,小明站在从前面数第8个,那么从后面数他排在第几个？2、鱼妈妈带着一群鱼宝宝在水中散步,不管从前往后数,还是从后往前数,鱼妈妈都是第5个。

鱼妈妈一共带了多少个鱼宝宝散步呢？【三】三年级组同学参加“六一”节团体操表演,每组排人数同样多,每竖排人数也同样多。

小微的位置从左数是第10人,从右数第8人,从前数第9人,从后数第7人。

参加表演的三年级同学有多少人？练习1、庆祝“六一”,同学们排成方形的鲜花队,无论从前、从后数,还是从左、从右数,李丽都在第4个。

鲜花队共有多少人？2、一共有360名学生做操,小林站在右起第6列,左起第13列。

如果每行人数同样多,小林前面7人,他后面有多少人？【四】把两块一样长的木板,钉在一起,成了一块长木板。

如果这块钉在一起的长木板长45厘米,中间重叠部分是5厘米。

这两块木板各长多少厘米？练习1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米,焊接后这根铁条有多长？2、把两条一样长的彩带扎在一起,形成一条更长的彩带。

这条彩带长27厘米,扎的部分每条彩带都用了3厘米。

原来这两条彩带各长多少厘米？【五】三年级科技活动组共有63人。

在一次定时科技活动比赛中,剪贴好一辆汽车模型的同学有42人,装配好一架飞机模型的同学有34人,每个同学都至少完成了一项活动。

问：同时完成这两项活动的同学有多少人？练习1、三（1）班有学生52人,订《语文导报》的有36人,订《数学报》的有42人,没有学生不订的。

第19讲重叠问题一、知识要点三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。

数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

二、精讲精练【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？练习1：1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个？【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？练习2：1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。

跳舞的共有多少人？2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。

鲜花队共多少人？【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？练习3：1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

第九讲：重叠问题【知识要点】：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。

数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面【思路导航】根据题意画出下图。

从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。

【课堂反馈1】1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

这队小朋友共有多少人2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个【思路导航】根据题意画出下图。

由图可看出：小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人；从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。

所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。

【课堂反馈2】1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。

一、简便计算。

（每题5分）（1）585+199（2）602+ 228（3）885-698（4）825-302（5）99999+9999+999 +99+9（6）121+119+120+118+123+122（7）246+178+254+322（8）471-284+129（9）745+837-545（10）785-227-373（11）457+（243+249）（12）871-（401-129）（13）455-（255-188）二、解决问题。

1.把两根长2米的木棍绑在一起，使其成为一根长木棍，中间重叠部分是6分米，这根长木棍有多长？2.把两根同样长的鸡毛掸子绑在一起，使它们变成一根10分米长的棍子，中间重叠部分是10厘米，原来每根鸡毛掸子有多长？3.从1楼走到4楼共要用30秒，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要用多少秒？4.有一根木头长6分米，打算把每根锯成6段，每锯开一处，需要5分钟，全部锯完需要多少分钟?5.小虎在做一道减法题时，把减数十位上的9写成了6，减数个位上的0写成了2，最后得到的差是376，正确的结果应该是多少？6.小龙在做一道减法题时，把被减数十位上的9看成了6，减数个位上的6看成了9，最后得到的差是545，正确的差是多少？重叠问题（1）（1）把两根长8分米的木棍绑在一起，使其成为一根长木棍，中间重叠部分是15厘米，这根长木棍有多长？（2）把两根长15厘米的纸条贴在一起，使其成为一条长纸条，中间重叠部分是4厘米，这根长纸条有多长？（3）把两根长2米的木棍绑在一起，使其成为一根长木棍，中间重叠部分是6分米，这根长木棍有多长？（4）把两段一样长的纸条贴在一起，是它们变成一段54厘米的纸条，中间重叠部分是6厘米。

原来的纸条有多长？（5）把两段一样长的纸条贴在一起，是它们变成一段100厘米的纸条，中间重叠部分是1分米。

原来的纸条有多长？（6）把两根长的鸡毛掸子绑在一起，使它们变成一根12分米长的棍子，中间重叠部分是8厘米，原来每根鸡毛掸子有多长？（7）两块木板各长80厘米，钉成一块木板，中间重叠部分是12厘米，这块长木板有多长？（8）两块木板各长80厘米，钉成一块长150厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？（9）两条长2分米的纸条，粘成一条长18厘米的长纸条，中间重合部分是多少厘米？（10）两根长2米的棍子，绑成一根长39分米的长棍子，中间重合部分是多少厘米？重叠问题（2）（1）同学们排队做操，每行每列的人数同样多。