第三章《导数及其应用》章末总结(含答案)

第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)6．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －27．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数f (x )＝x1－x的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第三章 导数及其应用(B) 答案1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1， ∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0， 则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1， ∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析 由切点(1，f (1))在切线y ＝12x ＋2上，得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝12，∴f ′(1)＋f (1)＝12＋52＝3.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上所述，a ＝4. 15.439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0. 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， 当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0， 即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0， 即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0， 从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数． 而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－23x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x.∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

章末总结知识点考纲展示导数概念及其几何意义，导数的运算❶了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．❷能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．❸能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数在研究函数中的应用❶了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．❷了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．❸会利用导数解决某些实际问题.考点考题考源导数的几何意义(2015·高考全国卷Ⅱ，T16，5分)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.选修1-1 P85 A组T6 (2016·高考全国卷Ⅲ，T16，5分)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是____________.选修1-1 P85 A组T6 (2017·高考全国卷Ⅰ，T14，5分)曲线y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________.选修1-1 P110 A组T1导数的应用(2016·高考全国卷Ⅲ，T21，12分)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<x－1ln x<x；(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.选修1-1 P99B组(3)(4) (2017·高考全国卷Ⅲ，T21，12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－34a－2.(2017·高考全国卷Ⅲ，T21，12分)已知函数f(x)＝x－1－a ln x.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…·⎝⎛⎭⎫1＋12n<m，求m的最小值.二、根置教材，考在变中一、选择题1．(选修1-1 P110A组T2(2)改编)曲线f(x)＝e x ln x在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A ．eB ．e2C ．e 4D ．2e解析：选B.f ′(x )＝e xln x ＋e x x ＝e x (ln x ＋1x)，所以f ′(1)＝e ，f (1)＝0，所以曲线f (x )＝e x ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)，令x ＝0，得y ＝－e ，令y ＝0，得x ＝1. 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 S ＝12×e ×1＝e2，故选B. 2．(选修1-1 P 104 A 组T 2改编)将一边长为4的正方形铁片四角截去大小相同的四个小正方形后，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为( )A ．4B.12827C ．6D ．8解析：选B.设截去的小正方形的边长为x ，则做成的方盒体积V (x )＝x (4－2x )2＝4x 3－16x 2＋16x (0<x <2)， V ′(x )＝12x 2－32x ＋16＝4(3x 2－8x ＋4)＝4(x －2)(3x －2)，当V ′(x )＝0时，x ＝23；V ′(x )>0时，0<x <23；V ′(x )<0时，23<x <2，所以V (x )在⎝⎛⎭⎫0，23上是增函数，在⎝⎛⎭⎫23，2上是减函数， 所以V (x )max ＝V ⎝⎛⎭⎫23＝12827.选B.3．(选修1-1 P 99 B 组(3)改编)已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x －x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：选C.因为函数f (x )＝e x －x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，所以f (x )＝e x －x ＋a 的最小值大于零．由f ′(x )＝e x －1＝0，得x ＝0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )＝e x －x ＋a 的最小值为f (0)＝1＋a ，由1＋a >0，得实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．4．(选修1-1 P 99 A 组T 6(2)改编)已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则( ) A ．k ≥－3 B ．k ＞－3 C ．k ≤－3 D ．k ＜－3解析：选C.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值又f (二、填空题5．(选修1-1 P 99 B 组(4)改编)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．解析：因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1，当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0，得x <1a ，所以f (x )在(0，1a )上单调递增；令f ′(x )<0，得x >1a ，所以f (x )在(1a ，2)上单调递减．所以当x ∈(0，2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，所以ln 1a ＝0，所以a ＝1. 答案：1 6．(选修1-1 P 98练习(2)改编)设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．解析：若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立； 当x ＞0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而k ≥4； 当x ＜0，即x ∈[－1，0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4. 答案：4 三、解答题 7．(选修1-1 P 99B 组(4)改编)已知函数f (x )＝ln x －x .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋12x －m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2.求证：x 1＋x 2>1.解：(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，由f ′(x )＝1－x x >0，得0<x <1；由f ′(x )＝1－x x<0，得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，函数f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：根据题意得，g (x )＝ln x ＋12x －m (x >0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x －m 的两个零点，所以ln x 1＋12x 1－m ＝0，ln x 2＋12x 2－m ＝0.两式相减，可得lnx 1x 2＝12x 2－12x 1， 即ln x 1x 2＝x 1－x 22x 2x 1，故x 1x 2＝x 1－x 22lnx 1x 2.所以x 1＝x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2＝1－x 2x 12ln x 1x 2.令t ＝x 1x 2，其中0<t <1，则x 1＋x 2＝t －12ln t ＋1－1t 2ln t ＝t －1t 2ln t .构造函数h (t )＝t －1t －2ln t (0<t <1)，则h ′(t )＝（t －1）2t 2.因为0<t <1，所以h ′(t )>0恒成立，故h (t )<h (1)，即t －1t －2ln t <0.又因为ln t <0，所以t －1t2ln t>1，故x 1＋x 2>1.8．(选修1-1 P 99B 组(1)(3)改编)设函数f (x )＝e x ＋a sin x ＋b .(1)当a ＝1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，求b 的范围；(2)若f (x )在x ＝0处的切线为x －y －1＝0，求a 、b 的值．并证明当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>ln x . 解：(1)由f (x )＝e x ＋a sin x ＋b ， 当a ＝1时，得f ′(x )＝e x ＋cos x .当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1，cos x ∈[－1，1]，且当cos x ＝－1时，x ＝2k π＋π，k ∈N ，此时e x >1.所以f ′(x )＝e x ＋cos x >0，即f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝1＋b ，由f (x )≥0恒成立，得1＋b ≥0，所以b ≥－1.(2)由f (x )＝e x ＋a sin x ＋b 得f ′(x )＝e x ＋a cos x ，且f (0)＝1＋b .由题意得f ′(0)＝e 0＋a ＝1，所以a ＝0. 又(0，1＋b )在切线x －y －1＝0上． 所以0－1－b －1＝0.所以b ＝－2. 所以f (x )＝e x －2.先证e x －2>x －1，即e x －x －1>0(x >0)， 令g (x )＝e x －x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －1>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数． 所以g (x )>g (0)＝0，即e x －2>x －1.①再证x －1≥ln x ，即x －1－ln x ≥0(x >0)，令φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x，φ′(x )＝0时，x ＝1，φ′(x )>0时，x >1，φ′(x )<0时，0<x <1.所以φ(x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )min ＝φ(1)＝0.即x－1－ln x≥0，所以x－1≥ln x．②由①②得e x－2>ln x，即f(x)>ln x在(0，＋∞)上成立．。

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第三章 微分中值定理与导数的应用一 微分中值定理（A§3.1, §3.3; B §3.1, §3.2,§3.3 ） Ⅰ 内容要求（ⅰ）理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，了解泰勒中值定理以及用多项式逼近函数的思想。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关中值定理的验证性题型1．（7分）验证罗尔定理对x y sin ln =在]65,6[ππ上的正确性。

)65,6(20c o t 0)('πππξ∈=⇒=⇒=x x f2．（7分）试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

证明： []b a x rqx px y ,2∈++=，连续可导，由拉格朗日中值定理知，存在 )b ,a (∈ξ使得，))(()()('a b f a f b f -=-ξ 即：))(2()()(22a b q p r qa pa r qb pb -+=++-++ξ2a b +=ξ，即 ξ总是位于区间的正中间。

3．（7分）对函数x x f sin )(=及x x x F cos )(+=在]2,0[π上验证柯西中值定理的正确性22)42t a n (22s i n 1c o s -=+⇒-=-πππx xx ,2]4)22[a r c t a n (20πππ<--=<x 易知)2,0(π∈x4．选择题：（1）（4分）下列哪个函数在]1,1[-区间上满足罗尔定理------------------------（ C ）A x y =B ||x y =C 2x y = D xy 2=（2）（4分）若函数)(x f 在),(b a 上可导，21,x x 是),(b a 内两点，且21x x <，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得下列哪个等式一定成立（ D ）A ))(()()(a b f a f b f -'=-ξB ))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ；C ))(()()(22a x f a f x f -'=-ξD ))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ5．（6分）列举一个函数)(x f 满足：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内除某一点外处处可导，但在),(b a 内不存在点ξ，使).)(()()(a b f a f b f -'=-ξ例如：[]1,1,-∈=x x y 但在),(b a 内不存在点ξ，使).)(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立 （ⅱ）有关恒等式的证明问题6．（7分）证明恒等式：.1||,2arccos arcsin ≤=+x x x π解： 令1,arccos arcsin )(≤+=x x x x f01111)(22'=---=xxx f ，)1,1(-∈x ∴,)(C x f = 1,1(-∈x2,0π==C x ， 即 1,2a r c c o s a r c s i n <=+x x xπ而 2)1(,2)1(ππ=-=f f 故.1||,2arccos arcsin ≤=+x x x π7．（7分）证明恒等式：)1,1(,4arctan 11arctan-∈=--+x x xx π解：令)(x f =)1,1(,arctan 11arctan-∈--+x x x x0111111)1()1()1(.)11(11)(22222'=+-+=+--++--++=xxxx x x xx x fC x f =)(，即=)(x f )1,1(,arctan 11arctan-∈=--+x C x xx4,0π==C x )1,1(,4arctan 11arctan-∈=--+x x xx πⅢ 提高题型（ⅰ）利用罗尔定理证明中值问题8．（7分）若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<321，求证：存在),(31x x ∈ξ，使得.0)(=''ξf证明：（1）由已知得，)(x f 在[]21,x x ，[]32,x x 上满足罗尔定理的条件，故存在)x ,x (211∈ξ，)x ,x (322∈ξ，使得01=)(f 'ξ，02=)(f 'ξ；（2）又因为)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，于是)('x f 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(21ξξξ∈，使得0)("=ξf 。

高中数学第三章导数及其应用章末小结高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算，导数的几何意义，导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．专题一利用导数研究函数的图象通过导数研究函数图象的变化规律，是考试的热点题型．导数绝对值的大小，反映了函数变化的快慢，在图象上表现为陡缓；导数的正负，反映了函数的增减性，在图象上表现为升降．y＝f(x)的导数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )分析：解答本题可以从导函数递增，即切线斜率越来越大入手分析．解析：因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，即在区间[a，b]上各点处函数的变化率是递增的，故图象应越来越陡峭．由图易知选A.答案：A专题二 导数几何意义的应用导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中，此时关键是抓住切点，它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中若题中没有给出切点，往往需要设出切点．特别提醒：审题时注意两种说法：“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为 f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∵直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， ∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16整理得：x 30＝－8，∴x 0＝－2.∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标(x 0、y 0)、则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4 ∴x 0＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.专题三 利用导数研究函数单调性导数与函数的单调性相结合的常见问题： (1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能“∪”连接． (2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．函数f (x )＝ln x －a （x －1）x(x >0，a ∈R )．(1)试求f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求证：函数f (x )的图象存在唯一零点的充要条件是a ＝1.分析：解答(1)可以利用解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0得函数的单调区间；(2)可以从充分性与必要性两方面来证明．(1)解析：f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)，单调递增；当a >0时，x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上单调递减； x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)证明：充分性：a ＝1时，由(1)知，在x ＝1处有极小值也是最小值，即f (x )min ＝f (1)＝0.而f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴在(0，＋∞)上有唯一的零点x ＝1.必要性：f (x )＝0在(0, ＋∞)上有唯一解，且a >0，由(1)知，在x ＝a 处有极小值也是最小值f (a )，f (a )＝0，即ln a －a ＋1＝0.令g (a )＝ln a －a ＋1，g ′(a )＝1a －1＝1－aa.当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0，1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减． ∴在(0，＋∞) 上有唯一解a ＝1，使得g (a )＝0. 专题四 利用导数研究函数的极值与最值利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一，在主客观题中均有体现． (1)应用导数求函数极值的一般步骤： ①确定函数f (x )的定义域； ②解方程f ′(x )＝0的根；③检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号，若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值，若左负右正，则f (x )在此根外取得极小值，否则，此处不是f (x )极值点．(2)求函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．特别地：①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以判定f (x )在该点处取得最大(最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间 [0，2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在 [－3，3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3，3]上的单调性； (3)求出f (x )在[－3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值． 解析：(1)f (－1)＝kf (－1＋2)＝kf (1)＝k ×1×(1－2)＝－k .∵f (0.5)＝kf (2.5)，∴f (2.5)＝1k f (0.5)＝1k ⎝⎛⎭⎫－34＝－34k.(2)∵f (x )＝x (x －2)，x ∈[0，2]，设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)(x ＋2－2)＝kx (x ＋2)． 设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋2)(x ＋4)． 设2<x ≤3，则0<x －2≤1.又∵f (x －2)＝kf (x )，∴f (x )＝ 1kf (x －2)＝1k(x －2)(x －4)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2（x ＋2）（x ＋4），－3≤x <－2，kx （x ＋2），－2≤x <0，x （x －2），0≤x ≤2，1k （x －2）（x －4），2<x ≤3.k <0，由二次函数知识得f (x )在[－3，－2]上是增函数，在[－2，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，在(2，3]上是增函数．(3)由函数f (x )在[－3，3]上的单调性可知，f (x )在x ＝－3或x ＝1处取得最小值f (－3)＝－k 2或f (1)＝－1，而在x ＝－1或x ＝3处取得最大值f (－1)＝－k 或f (3)＝－1k.故有：①k <－1时，f (x )在x ＝－3处取得取小值f (－3)＝－k 2，在x ＝－1处取得最大值f (－1)＝－k .②k ＝－1时，f (x )在x ＝－3与x ＝1处取得最小值f (－3)＝f (1)＝－1，在x ＝－1与x ＝3处取得最大值f (－1)＝f (3)＝1.③－1<k <0时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝－1，在x ＝3处取得最大值f (3)＝－1k.专题五 导数的综合应用导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系． (1)解决恒成立问题．(2)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值点且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明a >0；(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围．分析：已知函数的极值点，即知f ′(x )＝0的根及不等式f ′(x )>0的端点，从而可证明(1)：解答(2)可以把问题转化为线性规划，利用图解法．解析：f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0， 由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）>0，f ′（1）<0，f ′（2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.由不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的ΔABC 的内部(如图所示)，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2，2)，C (4，2)．z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 取值范围⎝⎛⎭⎫167，8. 专题六 生活中的导数导数在生活中的应用主要有：(1)利用导数的意义，可以解决瞬时变化率问题；(2)利用导数可以解决实际生活，生产中的优化问题．设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，T (t )＝at 3＋bt 2＋ct ＋d (a ≠0)，其中温度的单位是 ℃，时间的单位是小时．中午12：00相应的t ＝0，中午以后相应的t 取正数，中午12：00以前相应的t 取负数(如早上8：00相应的t ＝－4下午16：00相应的t ＝4)．若测得该物体在早上8：00的温度为8 ℃，中午12：00的温度为60 ℃，下午13：00的温度为58 ℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00具有相同的变化率．(1)求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；(2)该物体在上午10：00到下午14：00这段时间(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？分析：本题函数关系式已经给出，只需确定其中的系数即可；解答(2)时可以利用导数求该函数的最值．解析：(1)因为T ′＝3at 2＋2bt ＋c ， 而T ′(－4)＝T ′(4)，故48a －8b ＋c ＝48c ＋8b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧T （0）＝d ＝60，T （－4）＝－64a ＋16b －4c ＋d ＝8，T （1）＝a ＋b ＋c ＋d ＝58，48a ＋8b ＋c ＝48a －8b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，d ＝60.∴T (t )＝t 3－3t ＋60(－12≤t ≤12)．(2)在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62 ℃.。

§3.1 导数的运算及几何意义1．导数与导函数的概念(1)当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号 f ′(x 0)表示，记作 f ′(x 0)＝limx 1→x 0 f x 1 －f x 0x 1－x 0＝limΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝limΔx →0 f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．基本初等函数的导数公式4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ x g x －f x g ′ x [g x ]2(g (x )≠0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)³ (2)³ (3)√ (4)³ (5)³1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．－73解析：选B.∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2， 即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 24．(2016²高考全国甲卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．求得(ln x ＋2)′＝1x ，′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 答案：1－ln 25．(2016²高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：先利用函数奇偶性求出x >0时f (x )的解析式，再求切线方程．因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －1类型一 导数的运算求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝ cos x ′e x－cos x e x′ e x 2＝－sin x ＋cos xex. (4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ²4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ³1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.类型二 导数的几何意义题点1 已知切点的切线方程问题(1)(2017²云南昆明一检)函数f (x )＝ln x －2x x的图像在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析 f ′(x )＝1－ln x x2，则f ′(1)＝1， 故该切线方程为y －(－2)＝x －1， 即x －y －3＝0. 答案 C (2)曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．解析 ∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， ∴三角形的面积S ＝12³1³23＝13.答案 13题点2 未知切点的切线方程问题(1)(2017²山东威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝ 1＋ln x 0 x 0，解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1,0)， ∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1， 即x －y －1＝0.故选B. 答案 B(2)(2016²高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析 设函数y ＝f (x )图像上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)²f ′(x 2)＝－1即可．y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(0)²f ′(π)＝－1，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)²f ′(x 2)＝1x 1x 2>0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)²f ′(x 2)＝e x 1＋x 2>0，故函数y ＝e x不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)²f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质．故选A.答案 A题点3 和切线有关的参数问题已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D. 答案 D导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1 ，y 0－y 1＝f ′ x 1 x 0－x 1 求解即可．(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢．2．(1)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ²1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.答案：－e(2)已知函数f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：依题意得2³1－3f (1)＋1＝0，即f (1)＝1，由切线的斜率k ＝23，则f ′(1)＝23，则f (1)＋f ′(1)＝53. 答案：53求曲线的切线方程条件审视不准致误(四)典例 (12分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况．易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②得，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要求该点是否为切点进行讨论．思想方法 感悟提高1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程．1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．课时规范训练(时间：40分钟)1．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ， 于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2³0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.2．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B.f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B.设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.4．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B.f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sinx 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.5. 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3³⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A.y ′＝－e xe x ＋1 2＝－1e x＋1e x ＋2， 因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ³1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1ex＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.7．已知f (x )＝x ln x ，若过曲线y ＝f (x )上的点P 的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：设P (m ，n )， 易知f ′(x )＝1＋ln x ， 则切线斜率为1＋ln m ＝2， 解得m ＝e ，∴n ＝m ln m ＝eln e ＝e. 答案：(e ，e)8．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．解析：先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， 又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0， 则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.答案：99．求下列函数的导数． (1)y ＝x ²tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln xx 2＋1. 解：(1)y ′＝(x ²tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ²⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ²cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′＋(x ＋1)′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝ ln x ′ x 2＋1 －ln x x 2＋1 ′x 2＋1 2＝1x x 2＋1 －2x ln x x 2＋1 2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋1 2. 10．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.(时间：25分钟)11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278B ．－2C ．2D ．－278解析：选A.设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.12．设曲线y ＝xn ＋1(n ↔N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1²x 2²…²x n 的值为( )A.1nB ．1n ＋1C.nn ＋1D ．1解析：选B.对y ＝xn ＋1(n ↔N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，由切线与x 轴的交点横坐标为x n ，不妨设y ＝0，所以x n ＝nn ＋1，则x 1²x 2²…²x n ＝12³23³34³…³n －1n ³n n ＋1＝1n ＋1，故选B.13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.答案：1．函数的单调性如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )>0，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是减少的．2．函数的极值如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是增加的，在区间(x 0，b )上是减少的，则x 0是极大值点，f (x 0)是极大值．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是减少的，在区间(x 0，b )上是增加的，则x 0是极小值点，f (x 0)是极小值．3．函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数 f (x )在某个区间内恒有 f ′(x )＝0，则 f (x )在此区间内没有单调性．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) 答案：(1)³ (2)√ (3)√ (4)³ (5)√1．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1aD ．(－∞，a )解析：选A.由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a .2．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x解析：选A.函数在上为减函数，所以在上y ′≤0，经检验只有A 符合．故选A. 3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1.2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析：选C.当k ＝1时，f ′(x )＝e x²x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x＋e x －2)，显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取到极小值，故选C.4．(教材改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图像，则f (x )的极小值点的个数为________．解析：由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正． 答案：15．设1<x <2，则ln x x，⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2，ln x2x2的大小关系是________．(用“<”连接)解析：令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数，∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln x x<1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x.又ln x2x2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝ 2－x ln x x2>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x<ln x 2x 2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x<ln x 2x 2 课时1 导数与函数的单调性类型一 不含参数的函数的单调性求函数f (x )＝ln xx的单调区间．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝ln x x，所以f ′(x )＝1－ln x x2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)， 单调递减区间为(e ，＋∞)． 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．．类型二 含参数的函数的单调性(2017²山东青岛模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a ＋1x－1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当－12≤a ≤0时，讨论f (x )的单调性．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，此时f ′(x )＝1x ＋1－2x2，f ′(2)＝12＋1－24＝1.又因为f (2)＝ln 2＋2＋22－1＝ln 2＋2，所以切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 整理得x －y ＋ln 2＝0. (2)f ′(x )＝1x ＋a －1＋ax2＝ax 2＋x －a －1x 2＝ ax ＋a ＋1 x －1 x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2. 此时，在(0,1)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 在(1，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 当－12≤a ＜0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a x －1 x 2.当－1＋a a ＝1，即a ＝－12时，f ′(x )＝－ x －1 22x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当－12＜a ＜0时，－1＋a a >1，此时在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上，当a ＝0时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－12＜a ＜0时，f (x )在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上单调递增；当a ＝－12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．2．(2017²陕西西安模拟)讨论函数f (x )＝(a －1)²ln x ＋ax 2＋1的单调性．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ↔⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ↔⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增． 类型三 利用函数单调性求参数(2017²辽宁锦州质检)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝1，f ′ 0 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ↔(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ↔(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ↔(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ↔(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ↔(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．在本例3(3)中，1．若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？ 解：∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 且g (x )在(－2，－1)内为减函数， ∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′ －2 ≤0，g ′ －1 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－3]． 2．若g (x )在单调减区间为(－2，－1)，求a 的值． 解：∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)， ∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3.3．若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．解：由引申探究1知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的范围是(－∞，－3]， 若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－22]，∴a 的范围是∪ 已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．3．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，求下列条件下实数a 的取值范围． (1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2<3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为分类讨论思想研究函数的单调性(五)典例 (12分)(2017²甘肃兰州市、张掖市联考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图像在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．思维点拨 依据g (x )的切线条件可得g ′(1)＝0得a ，b 关系，代g (x )后消去b ，对a 进行分类讨论确定g ′(x )的符号．(1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ， 则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .由函数g (x )的图像在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得：g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－ 2a ＋1 x ＋1x＝2ax －1 x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1， 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a，由g ′(x )<0，得12a <x <1，若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．(2)本题求解先分a ＝0或a >0两种情况，再比较12a和1的大小．思想方法 感悟提高1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性． 3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题的两种思路解决．1．f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ↔(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．2．注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点．课时规范训练(时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A.f ′(x )＝1－ln x x2， 当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数． ∴f (a )>f (b )．3．已知f (x )＝x 3－ax 在上为单调函数，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0＜a ≤25或a ≥1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[)1，＋∞9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ↔R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x －1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ↔(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ↔(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在．(时间：25分钟)11．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C.f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x ＝e x，由题意知当x ↔时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ≤0.g 1 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1 2＋ 2－2a ² －1 －2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.12．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ↔R 恒成立，则( ) A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)解析：选D.令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f xe x ′＝f ′ x e x－f x e xe 2x＝f ′ x －f xex<0，所以函数g (x )＝f xex是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f 1 e1<f 0 1，f 2 016 e2 016<f 01，故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e2 016f (0)．13．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ↔⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞14．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－ x －1 x －3 x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3)15．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ↔R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ↔，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′ x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a 1－x x， 当a >0时，f (x )的增区间为(0,1)， 减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)， 减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′ t <0，g ′ 3 >0.当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0时对任意t ↔恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，得m >－373.所以－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.课时2 导数与函数的极值、最值类型一 用导数解决函数极值问题题点1 根据函数图像判断极值设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 答案 D题点2 求函数的极值(2017²山东济南模拟)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ↔R )． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因为f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ↔(0，a )时，f ′(x )<0；当x ↔(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．题点3 已知极值求参数(1)(2017²广州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案 －7(2)(2017²福建福州质量检测)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝⎛⎭⎪⎫2，103D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析 若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ↔⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ↔⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax＋1≤0恒成立．当x ↔⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ↔⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ↔⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点， 实数a 的取值范围应是⎝⎛⎭⎪⎫2，103.答案 C(1)求函数f (x )极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．1．(1)(2015²高考陕西卷)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 解析：由题知y ′＝e x ＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .答案：y ＝－1e(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 解析：由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－ 2a ＋1 x 1＋x ，由题意得：f ′(1)＝0， 即－2a －2a －1＝0，解得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －1 1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.答案：－14类型二 用导数求函数的最值已知a ↔R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ↔(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ↔(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ↔(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ↔(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ↔(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以，当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae.2．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ↔(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ↔(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14 B ．13 C.12D ．1解析：选D.由题意知，当x ↔(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.类型三 函数极值和最值的综合问题(2017²四川德阳模拟)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)当x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在上的最小值． 解 因为f ′(x )＝x 2－a ， (1)当x ＝1时，f (x )取得极值， 所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1， 又当x ↔(－1,1)时，f ′(x )<0；x ↔(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1时符合题意． (2)①当a ≤0时，f ′(x )>0对x ↔(0,1)恒成立，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1. ②当a >0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，解得x ＝－a 或a . ⅰ.当0<a <1时，a <1，当x ↔(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ↔(a ，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3.ⅱ.当a ≥1时，a ≥1.x ↔(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .。

2015年高中数学全套备课精选第三章导数及其应用章末总结（含解析）苏教版选修1-1知识点一导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．例1已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．知识点二导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 2＋sin x ； (2)f (x )＝x (x －a )2.知识点三 导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .知识点四 导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．例4 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．例5 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.例2 解 (1)函数的定义域是R ，f ′(x )＝12＋cos x ，令12＋cos x >0， 解得2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )， 令12＋cos x <0， 解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )， 因此，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a 3，x 2＝a . ①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R上是增加的．例3 解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0， 所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ， 所以－32a ＝－62，所以a ＝63. 例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即2x 3－a x 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的，∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7，因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7.要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7.所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．。