幂函数公开课

猜想是一种数学方法，是数学研究中的 发现法，是一种创造性的直觉思维方式， 是关于数学规律的联想和设想。
幂函数
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值 问题引入
我们先看几个具体问题: 用y来表示,则它们的函数关系式将是:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她
需要支付p= w 元 y x
km / s
一、幂函数的定义 思考1：以上问题中的函数有什么共同特 征，具有什么共同形式？ (1) y=x （1）均是以自变量为底的幂； (2) y=x2 （2）指数为常数； 3 (3) y=x （3）自变量前的系数为1. (4) y=x （4）只有一项. (5) y=x-1
1 2
α的函数 上述问题中涉及的函数，都是形如y=x
猜测：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y
(2)当a<0时，y=xa有如下性质：
①图象都通过点(1，1)；
1 0
②在第一象限内，为减函数；
a<0
1
③在第一象限内，图象向上与y
x 轴无限地接近，向右与x轴无限
地接近。
思 考 4、 对 幂 函 数 y=x ,（ Z ） 指 数 与 函 数 奇 偶 性 的 关系有何猜想？
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S a 22 y x
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 形的边长 a S 2 y x
11 2
V a3 y x
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 (5)如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平
均速度 V tx11 y
y
yx yx
3

1 2
, 1)
2
yx
1
yx
1 2
1
O
y x
1
1
x
二.幂函数的图象特征
思考1. 每个幂函数的特点都相同吗？你认为它 们的最大区别在那里？ 幂函数由于指数α的不同，它们的定义域,值域， 单调性、奇偶性，所过特殊点也不同。 思考2、你认为幂函数的图像可能分布在那些 象限？不可能分布在那些象限,为什么？这些 图像分布可能和幂函数的什么性质有关系？ 第Ⅰ象限有图象，二三象限可能有， 也可能没有图象，第Ⅳ象限没有图象.奇偶性。
在[ 0 , ) 上是增函数
单调性：
在 ( ,0 ]上是减函数
是否过点（1，1），（0，0）？
（1，1），（0，0）
1
函数y x 2 的图像和性质
[ 定义域： 0 , )
值 域：[ 0 , )
非奇非偶函数 奇偶性：
在 单调性： [ 0 , )上是增函数
是否过点（1，1），（0，0）？
（1，1），（0，0）
函数y=x－1的图象和性 质
0 （ 定义域： ， 0， + ）
值
0 （ ， 0， + ） 域：
奇偶性： 奇 函 数
在 单调性： （ - ， 0） 和 (0, )上 是 减 函 数
是否过点（1，1），（0，0）？
（1，1）
几个幂函数的性质:

当 是 偶 数 时 ， 幂 函 数 y=x 为 偶 函 数 ； 当 是 奇 数 时 ， 幂 函 数 y=x 为 奇 函 数 ；
思 考 5、 如 何 利 用 幂 函 数 的 性 质 作 出 幂 函 数 的 大 致 图 像 ？


（ 1） 研 究 幂 函 数 的 定 义 域 与 奇 偶 性 。 （ 2） 根 据 性 质 做 出 幂 函 数 在 第 一 象 限 的 图 像 。 （ 3） 根 据 （ 1） ， 得 到 整 个 幂 函 数 的 图 像 。
1
x
yx
…
-2
-1

1 2 1 2 1
4
0
1 2 1 2 1 4
1
2
…
…
… … … …
-2
4 -8
-1
1 -1
0
0 0 0
1
1 1 1 1
2
4 8
2
1 2
…
… … … …
yx
2
yx
y x
3

1 8
1 8
1 2
2 2
y x
1

1 2
-1
-2
2
函数y=x的图象和性质
定义域：
R 值 域： R
递减
1 1，
单调性
特殊点 公共点
递增
在 (- ， 上 递 减 0)
递增
0 1 1， 0，
递增
1 0 1， 0，
1 1， 0， 0 1， 0， 1 0
1 1，
把以上图都放在 同一直角坐标系 中，观察它们的 相对位置关系？
y x ( 1, 2, 3,
(1) y 2
3
x
( 2) y
1 x
2
(3) y= -x2
(4) y x x
(5) y=x3+2
1 2 2 -1
例 2、 请 做 出 幂 函 数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x 的 图 像 ， 并 研 究 它 们 的 性 质 。
3
列表：
yx
1
yx
2
yx
3
yx
2
y x
思考3、研究幂函数y x 在第一象限的
a
图象特征：
y
a>1
a=1
0<a<1 a<0 O
1
1
x
x
猜测：
幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
(1)当a>0时，y=xa有如下性质：
y
a>1 ①图象都通过点(0,0),(1,1)； a=1 ②在第一象限内，为增函数 0<a<1
1 0 1
x
③当a>1时，幂函数的图象下凹； 当0<a<1时，幂函数的图象上 凸。
yx
定义域 值域 奇偶性
R R
奇函数
在 R上
yx
R
2
yx
R R
1
3
y x
2
y x
1
x
y
x 0
y 0
x
y
x 0
y 0
y
y 0
偶函数
在 ( 0， )上 递 增 +
奇函数
在 R上
非奇非偶
在 ( 0， )上 +
奇函数
在( 0， )和(- ， 上 + 0)
奇偶性： 奇 函 数
在 R 上是增函数 单调性：
是否过点（1，1），（0，0）？
（1，1），（0，0）
函数y=x3的图象和性质
定义域： R 值 域： R 奇偶性：奇 函 数
在 单调性： R 上是增函数
是否过点（1，1），（0，0）？
（1，1），（0，0）
2的图象和性质 函数y=x
定义域： R 值 域：[ 0, ) 奇偶性：偶 函 数
（ 1） 当 n为 偶 数 时 ， 幂 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 。 （ 2） 当 n为 奇 数 ， 而 m也 为 奇 数 时 ， 幂 函 数 为 奇 函 数 。 当 n为 奇 数 ， 而 m为 偶 数 时 ， 幂 函 数 为 偶 函 数 。
小结
1、幂函数的定义 形如 y=xα的函数叫幂函数。 以自变量x为底数； 指数为常数； 自变量x前的系数为1； 只有一项。 2、与指数函数的区别： 看未知数x是指数还是底数 若x是指数，则它是指数函数，如y= 2x 若x是底数，则它是幂函数，如y=x2 3、幂函数定义的应用 ①判断哪些函数是幂函数 ②了解幂函数的性质，并会用性质 做大致图像。
练习
(1) y x
2
作出下列幂函数的大致图像：
1 5 1 2
(2) y x (3) y x 3 (4) y x 4 (5) y x 3
m
探究、若幂函数的指数是分数，即幂函数y x n ( m , n Z , 且 m , n互 质 )， 那 么 整 数 m , n的 奇 、 偶 性 与幂函数奇偶性有什么关系？
α>1
a=1
0<α<1
α<0
作 业 1、 P79 第 2 题 。 作 业 2、 证 明 ： （ 1） 幂 函 数 y=x ,( >0)在 （ 0， ） 上 为 增 函 数 ？ + （ 2） 幂 函 数 y=x ,( 0)在 （ 0， ） 上 为 减 函 数 ？ +

（ 3） 幂 函 数 y=x ,（ Z ） 当 是 偶 数 时 ， 函 数 为 偶 函 数 ？ 当是奇数时，函数为奇函数？
4.幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同. (1).所有幂函数的图象都通过点(1,1);
(2).当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数. (3).如果α>0,则幂函数在(0,+∞) 上为增函数;过点（0，0）。 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
思考2、以上函数成为幂函数,那么幂函数如 何定义？
一般地,函数y x 叫做幂函数(power function) , 其中x是自变量, 是常量.

思考3：指数函数y=ax与幂函数y=xα 有什么区别？ 如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？
看看未知数x是指数还是底数
例1、判断下列函数是否为幂函数：