2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期4.4、探索三角形相似的条件导学案20

第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件第3课时一、教学目标1．经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法．2．了解相似三角形的判定定理3．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识．二、教学重点及难点重点：掌握判定定理3，会运用判定定理3判定两个三角形相似．难点：会准确运用三角形相似的判定定理3来判定两个三角形是否相似．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资《复习相似三角形判定AA、SAS》动画，《相似三角形判定SSS》动画，《相似三角形的判定》微课.五、教学过程【复习引入】1．我们学过的相似三角形的判定方法有哪些？它们分别是从哪个角度进行判别的？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论．讨论结果：我们学过的相似三角形的判定方法有：定义法；判定定理1（两个角分别相等的两个三角形是相似三角形）；判定定理2（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似呢？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．设计意图：通过复习相似三角形的判定方法，类比之后，学生猜测出其他判定方法，为本节课的学习做好铺垫．【探究新知】想一想现在我们考虑增加“另两边成比例”的条件，看△ABC和△A'B'C'一定相似吗？也就是如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成“做一做”．做一做画△ABC与△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．设法比较∠A与∠A'的大小．△ABC与△A'B'C'相似吗？改变k值的大小，再试一试．（师生活动：教师引导学生用直尺和圆规任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．比较∠A与∠A'的大小来判定△ABC和△A'B'C'是否相似．改变k值的大小，再试一试．发现：三边成比例的两个三角形相似．设计意图：在教师的引导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．【典例精析】例如图，在△ABC和△ADE中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度数．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．解：∵，∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．设计意图：培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【课堂练习】1．若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍，得到△A1B1C1，则下列结论正确的是（）．A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B．△ABC与△A1B1C1不一定相似C．△ABC与△A1B1C1的相似比为D．△ABC与△A1B1C1的相似比为22．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm．当△DEF 的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似？应选（）．A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm3．下列图形不一定相似的是（）．A．有一个角是100°的两个等腰三角形B．有一个角是60°的两个等腰三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个角是45°的两个等腰三角形4．下列条件中，不能使△ABC和△A′B′C′相似的是（）．A．∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3C．∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3D．AB=3，AC=5，BC=7，A′B′=，A′C′=，B′C′=5．如下图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）．6．如图，若A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格纸中的格点，且每个方格都是边长为1的正方形，为使△DME∽△ABC，则点M应是F，G，H，O点中的（）．A．F B．G C．H D．O师生活动：教师出示练习，找几名学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：通过练习，激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性，培养学生独立解决问题的能力．7．如图，已知．求证：AD·CE=BD·AE．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．C．2．C．3．D．4．D．5．B．6．B．7．证明：∵，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAD=∠CAE．又∵，即，∴△ABD∽△ACE．∴．∴AD·CE=BD·AE．设计意图：通过学生自主练习，可以查看学生答题的情况，统计差错及目标达成率，也可以让学生真正地动手、动脑，从而达到很好地掌握知识的目的．六、课堂小结这节课我们主要学习了相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.4 探索三角形相似的条件（3）1．相似三角形的判定定理3。

探索三角形相似的条件【学习目标】课标要求：1、知道黄金分割的定义；2、会找一条线段的黄金分割点；3、会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；目标达成：1、找一条线段的黄金分割点2、会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；学习流程：【课前展示】文明古国埃及的金字塔，它的每面的边长与高之比接近于0.618．第二组：摄影中的黄金分割第三组：人体与黄金分割【创境激趣】【自学导航】1、在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =，那么称线段AB 被点C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比. 其中618.01:215:≈-=AC AB . 即618.0≈ABAC .【合作探究】1、 如何找到一条线段的黄金分割点？ 多数学生尝试画出1cm 、2cm 的线段，通过计算找到黄金分割点大概的位置.可以用这种方法大概的找到当线段长为a 时黄金分割点的位置，但不能精确地找到.【展示提升】典例分析 知识迁移1、 已知线段AB ，按照如下方法画图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使AB BD 21=； （2）连接AD ，在DA 上截取D E=DB ；（3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 为线段AB 的黄金分割点.【强化训练】1、 练习 1.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m ）.练习2.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68m ，下半身1.02m ，她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到1cm ）A B C练习3.古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形，画成如图中的矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BCAB BE BC提出问题：点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察与思考、交流、讨论、解【归纳总结 】 1. 知道黄金分割的定义；2.会找一条线段的黄金分割点；3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；【板书设计】探索三角形相似的条件 （第 4课时）黄金分割 例【教学反思】1.教学设计注重揭示数学的现实意义，学习黄金分割不仅是实现线段比例的要求，更是体现了数学的现实意义，它体现了数学与建筑、摄影、经济等各方面的联系密切，使学生认识到数学不是孤立的、干巴巴的数学，它是生活的一部分。

4.4.2 探索相似的条件（2）班级： 姓名： 年 月 日教学目标： 理解相似三角形的判定条件2，并能根据具体问题进行适当的判定。

教学重点：掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

教学难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用一 、知识储备：1.相似三角形的相关概念(1)三个角对应_______ 、三条边对应_______的两个三角形叫做相似三角形 (2)相似三角形的对应角 _____，各对应边________ .(3)相似比等于______的两个三角形全等.2.（1）两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？（2）如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？（3）如果增加一角相等，你能说出有哪几种可能的情况吗？（4）全等三角形有哪些判定方法? 类比三角形全等的判定,你认为可能还有哪些方法能判定两个三角形相似?(请大胆猜想)二、创设情境如图，A ，B 两点被池塘隔开，为测量A ，B 两点间的距离，在池塘边任选一点C ，连接AC ，BC ，并延长AC 到D ，使CD=21AC ，延长BC 到E ，使CE ＝21BC ，连接DE ，如果测量DE=20m ，那么AB=2×20=40m 。

你知道这是为什么吗？三、合作探究、交流展示：1.画△ABC 与△A’B’C’，使∠A=∠A’，C A AC B A AB ''=''都等于给定的值k 。

设法比较∠B 与∠B’的大小（或∠C 与∠C’）。

△ABC 和△A’B’C’相似吗？2.改变k 值的大小，再试一试。

归纳总结：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3.如果△ABC 与△A’B’C’两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？归纳总结：两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形 。

四、设问质疑，探究尝试例2：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点。

新北师大版九年级数学上册4.4.探索三角形相似的条件导学案学 习目 标 1.熟练掌握相似三角形的定义； 2.熟练掌握三角形相似的判定方法；3.能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。

. 重点：掌握相似三角形的判定定理难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用知识链接：【回顾与思考】1．对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？2．相似三角形的定义是什么？你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？ 【合作学习】合作1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？ 合作2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A =∠A ′都等于∠α，∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比C B BCC A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.由此得到相似三角形的判定方法1：【例题学习】如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C ，AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。

备注（教师复备栏及学生笔记）备注（教师复【巩固训练】1、如图D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠AED=∠C ，△ABC 与△ADE 相似吗？如果相似请写出证明过程AB C ED2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．（二） 【知识回顾】 1，如图，12∠=∠，添加一个条件使得ADE ∆∽ACB ∆ . 2，两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？如果增加一角相等，你能说出有哪几种可能的情况吗？ ,【合作学习】1、（1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和C A AC''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′（或∠C 与∠C ′）的大小，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？ （2）改变k 值的大小，再试一试.判定方法2： 2.如果△ABC 与△A ’B ’C ’两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？ 备栏及学生笔记）备注（教师复备栏及学装订线21ED CB A结论：【例题学习】 例：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =34，求DE 的长.AB CE D（三） 【知识回顾】我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？ 【合作学习】画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小； （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.改变k 值的大小，再试一试.判定方法3：例：如图在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =ACAE ，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.生笔记备注（教师复备栏及学生笔记【巩固练习】1、如图，AB•AE=AD•AC ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△ADE ．2、依据下列条件，证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似.AB =10 cm,BC =8cm,AC=16cm,A ′B ′=16cm,B ′C ′=12.8 cm ，A′C ′=25.6cm ，【拓展运用】如图△ABC 与△ADE 有公共点A ，∠DAB=∠CAE ，试添加一个条件，使△ABC ∽△ADE ，并加以证明.ABCDE【归纳小结】250°) EDF1.650°)4ABC3.2。

第四章图形的相似§4.4探索相似三角形的条件 知识点1.相似三角形判定定理1（1）相似三角形的定义相似三角形的定义:三角对应______，三边对应___________的两个三角形叫相似三角形. 相似三角形的表示方法:△ABC 与△DEF 相似,记作______________.（2）相似三角形判定定理1：____________________对应相等的两个三角形相似.（3）三角形相似常见图形⑴ 已知：DE ∥BC则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑵ 已知:∠B=∠AED 则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑶ 已知：∠ADC=∠ACB则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑷ 已知：AB ∥DE B EB则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑸已知:∠B=∠E则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑹已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB于D互余的角:_______________________________相等的角:_____________________________________相似的三角形:_______________________________等积式:_______________________________.典型例题【例1】．如图，有三个三角形，其中相似的是（）A．（1）和（2）B．（2）和（3）C．（1）和（3）D．（1）（2）（3）三个都相似【例2】如图10，口ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BEBC＝23，那么BFDF＝．B D【例3】．如图，E 是▱ABCD 的边CD 延长线上一点，连接BE ，交AC 于点O ，交AD 于F ，则图中的相似三角形（不包括全等）共有（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对【例4】．如图，D 是△ABC 中BC 边上的一点，E 为AD 边上的一点，若∠DAC ＝∠B ，CD ＝CE ．试说明△ACE ∽△BAD ．【例5】．如图，在□ABCD 中，过点A 作AE 丄BC 于点，连接DE ,F 为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B ．(1)求证：△ADF ∽△DEC ；⑵若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．D知识点2.相似三角形的判定方法2两边______________且_________________的两个三角形相似【例1】 如图1，要使△ACD ∽△ABC ，需要补充的条件是( )A ．B ．C ．DB AD CD ⋅=2 D ．AB AD AC ⋅=2 【例2】. 如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,D 为CB 延长线上一点,E 为BC 延长线上点,且满足AB 2=DB· CE.求证:△ADB ∽△EAC.BC AB CD AC =AC BC AD CD =【例3】：如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,求证:△ADQ∽△QCP.【例4】. 如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；知识点3.相似三角形的判定方法3_______________________________的两个三角形相似【例1】. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )【例2】. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AE ACDE BCAD AB==，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.【例3】. 如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（1）求证：△ACF∽△GCA；（2）求∠1+∠2的度数．【例4】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．综合题【例1】．下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是( )A．△ABC中，AB＝8，AC＝4，∠A＝105°，△A'B'C'中，A'B'＝16，B'C＝8，∠A'＝100°B．△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35，△A'B'C'中，A'B'＝36，B'C'＝40，CA'＝70C ．△ABC 和△A'B'C'中，有''''AB BC A B B C =，∠C ＝∠C' D ．△ABC 中，∠A ＝42°，∠B ＝118°，△A'B'C'，中，∠A'＝118°，∠B'＝15°【例2】．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD ，CE 相交于G ．试说明13GE GD CE AD ==【例3】．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，试说明：(1)△ABF ∽△ACE ．(2)△AEF ∽△ACB ．【例4】．如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．(1) CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？(2)连接EF，交CD于点O，线段OC、OF、OE、OD成比例吗？【例5】．已知如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14．则在DB上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与P、B、A为顶点的三角形相似，如果存在求出DP的长，如果不存在，说明理由．【例6】．如图△ABC中，AB=8，AC=6，如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B出发沿BA方向向点A运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发沿AC方向向点C运动，设运动时间为t（单位：秒），问t为何值时△ADE与△ABC相似．【例7】．如图，已知直线y＝－12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B、O、C三点构成的三角形与△AOB相似，求此时点C的坐标．。

北师大版九年级数学（上）第四章探索三角形相似的条件（2）导学案4.6一、学习目标1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题．二、温故知新1．下列说法中正确的个数是( )①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A．4 B．3 C．2 D．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE 折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( )A.12B．2 C．3 D．4三、自主探究：阅读课本p912—92探究（一）相似三角形的判定方法2：（1）.我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？（2）全等三角形有哪些判定方法?类比三角形全等的判定,你认为可能还有哪些方法能判定两个三角形相似?(请大胆猜想)请同学们证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．探究（二）如果△ABC与△A’B’C’两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？（1）2.5510657FEDCBA3.56(2)2743F EDCBA请同学们证明：两角对应相等的两个三角形相似。

例：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点。

AE=1.5，AC=2，BC=3，且43ABAD=，求DE的长。

EDCBAFECBA四、随堂练习1.如图，（1）若=ABAE________,则△ABC∽△AEF；（2）若∠E＝________，则△ABC∽△AEF。

2.如图,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5,△DEF中,∠E=52°,DE=7,EF=3,•△ABC•与△EDF 是否相似?为什么?52°73FE D2.552°5.5CBA3、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB=2，BD=1，DC=3， 求证:△ABD ∽△CBA五：本课小结：本节课知识点：你还有什么收获或困惑？六．当堂检测：1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( ) A .AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADE C . AE AC ＝DEBC D ．∠C ＝∠AEDE D CBA2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC相似的是()（A) （B) （C) （D)3、如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF ＝41BC ，那么图中与△ADE 相似的三角形有___________.课堂作业：P93： 习题4.6。