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1总复习第19讲 三角形的基本认识一、考点诠释 ㈠三角形的分类1、按角的大小关系分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形2、按边的大小关系分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）㈡三角形的角1、内角：三角形的内角和=180°2、外角：三角形的外角和=360°3、内外角的关系：如图，①∠1+∠2=180°；②∠1=∠3+∠4；③∠1>∠3、∠1>∠4 ㈢三角形的边1、三角形的两边之和大于第三边2、三角形的两边之差小于第三边 ㈣三角形的三条重要线段1、角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交，顶点与交点的连线（线段） 注：①内心（三角形三条角平分线的交点）到三角形各边的距离相等 ②外心（三角形三边中垂线的交点）到三角形各顶点的距离相等2、中线：顶点与对边中点的连线（线段）3、高线：从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段（线段） 注：①三角形的三线各有三条，并且都是线段②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，“三线合一” ㈤三角形的中位线：1、定义：三角形两边中点的连线（共有三条）2、定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 二、考题精练 ㈠选择题：1、以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）A 、（4、5、6）B 、（2、3、5）C 、（4、4、9）D 、（12、5、6） 2、已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A 、12或9 B 、12 C 、9 D 、7ABC D12 3423、到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ ） A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点C 、三条边的垂直平分线的交点D 、三条角平分线的交点 4、如图，在Rt △ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（ ）A 、10°B 、20°C 、30°D 、40°5、如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变， 请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A 、∠A=∠1+∠2 B 、2∠A=∠1+∠2 C 、3∠A=2∠1+∠2 D 、3∠A=∠1+2∠2 6、下列各图中，∠1大于∠２的是（ ）㈡填空题：7、如图，AB ∥CD ，则∠1= 。
中考数学一轮复习第19讲《直角三角形》【考点解析】知识点一：直角三角形的性质【例题】（·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．【变式】（·泰安，23，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是．【解析】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．根据同角的余角相等、等腰△ABE 的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠∠ACB＝∠FDB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA＝30°．知识点二：直角三角形的判定【例题】（·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．海里/小时 B． 30海里/小时C．海里/小时 D．海里/小时答案：D考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理．点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键．【变式】（3分）（•桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．解答：解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选A．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．知识点三勾股定理及其逆定理的应用【例题】（·山东省东营市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【解析】勾股定理、分类讨论思想，在图①中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.【变式】（·陕西·3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．知识点四：直角三角形的综合应用【例题】（·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A． B．6 C． D．【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．【解答】解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中，AC′==3，∴B′C=3﹣3，在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．【变式】（四川巴中，29，10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵▱ABCD ，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF ∽△DEC ， ∴，∴DE===12．在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE===6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错． 【典例解析】【例题1】（·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A ．32 B ．332C ．32D ．不能确定[答案]B[考点]勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。
