数值分析15切比雪夫插值

插值MATLAB实现（牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值）插值是数值分析中的一种方法，通过已知数据点的函数值来估计函数在其他点的值。

MATLAB提供了多种方法来实现插值，包括牛顿差商插值、插值误差分析、龙格现象和切比雪夫插值。

下面将详细介绍这些方法的实现原理和MATLAB代码示例。

1.牛顿差商插值：牛顿差商插值是一种基于多项式插值的方法，其中差商是一个连续性的差分商。

该方法的优势在于可以快速计算多项式的系数。

以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [coeff] = newton_interpolation(x, y)n = length(x);F = zeros(n, n);F(:,1)=y';for j = 2:nfor i = j:nF(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endendcoeff = F(n, :);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，返回值coeff表示插值多项式的系数。

2.插值误差分析：插值误差是指插值函数与原始函数之间的差异。

一般来说，通过增加插值节点的数量或使用更高次的插值多项式可以减小插值误差。

以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [error] = interpolation_error(x, y, x_eval)n = length(x);p = polyfit(x, y, n-1);y_eval = polyval(p, x_eval);f_eval = sin(pi*x_eval);error = abs(f_eval - y_eval);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，x_eval表示插值节点的x坐标，error表示插值误差。

3.龙格现象：龙格现象是插值多项式在等距插值节点上错误增长的现象。

实验名称：龙格反例的数值实验实验目的与要求：1、了解切比雪夫多项式零点插值；2、运用切比雪夫多项式零点插值法避免龙格现象。

3、与等距节点构造插值多项式比较。

实验内容：龙格反例的数值实验在区间[–5，5 ]上分别取11阶切比雪夫多项式的零点22)12(cos 5π+=k x k ( k = 0，1，2，……，10) 和等距节点作插值结点，计算函数211)(xx f +=在结点处的值 y k = f (x k )。

构造插值多项式L 10(x )，∑==10010)()(k k k y x l x L 其中，∏≠=--=n k j j j k j k x x x x x l 0)()()(。

取自变量点 t k = – 5 + 0.05k ( k =0，1，…，201)，分别计算切比雪夫零点、等距节点插值多项式L k (x )和被插值函数f (x )在离散点t k ( k =0，1，…，201)上的值，并绘出三条曲线比较。

实验环境与器材：9#505机房、《数值分析》实验过程（步骤）或程序代码：function y=Lagrange(x,n,xx,yy)sum=0; %初始化for k=1:n+1lk=1; %初始化for i=1:n+1if k~=ilk=lk*(x-xx(i))/(xx(k)-xx(i));endendsum=lk*yy(k)+sum;endy=sum;clcclearfor i=1:11 %下标只能从1开始x1(i)=-5+10*(i-1)/10;x2(i)=5*cos((2*i-1)*pi/22);y1(i)=1/(1+x1(i)*x1(i));y2(i)=1/(1+x2(i)*x2(i)); %y1,y2分别是在两种节点处得到的函数值endh=0.05;for k=1:202x3(k)=-5+(k-1)*h;y11(k)=Lagrange(x3(k),10,x1,y1);y22(k)=Lagrange(x3(k),10,x2,y2);y(k)=1/(1+x3(k)*x3(k));%y11,y22分别为利用切比雪夫零点和等距节点构造出的插值多项式在离散点处的值endplot(x3,y11,'r');hold onplot(x3,y22,'g');hold onplot(x3,y,'b')%被插值函数在离散点处值的曲线图hold onxlabel('-5<=x<=5');ylabel('y');legend('f(x)=1/(1+x^2)','等距节点插值多项式','切比雪夫多项式零点插值多项式'); xlim([-5,5])实验结果与分析：分析：由高次插值的病态性质，我们知道次数n太高时会出现龙格现象，即L n(x)并不收敛于f(x)，由上图我们也可以看到运用等距节点构造的插值多项式的确出现了龙格现象，因此并不适用。

方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent nmm n m n m m n n C mααα----==+-∑，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数．因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为[][][]24124cos(arccos )2cos(arccos )cos(arccos )cos(arccos )nn n n n n n x x x x αα-----=-++…124242n n n n n n x x x αα-----=-++…．于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：0()1T x =，1()T x x =，22()21T x x =-，33()43T x x x =-，424()88+1T x x x =-， 535()1620+5T x x x x =-，6426()3248+181T x x x x =--．第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=)2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈． 5．函数列{}()n T x 的生成函数为21(),,112n n n xtT x t t R t xt t≥-=∈≤-+∑． （分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系21()2()()n n n T x xT x T x ++=-，,x C n N ∈∈．（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式()()()01n x x x x x ω=--…()1()n n n x x x P x --=-中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里{}1111()min()n n n nn n P H x P x xP x --*--∞∞∈-=-．定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，111()())2(n n n n n x x P x x T ω**--=-=， 与零的偏差最小，其偏差为112n -．()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为：230123()1,()2,()41,()84U x U x x U x x U x x x ===-=-，424()16121U x x x =-+，535()32326U x x x x =-+，6426()6480241U x x x x =-+-．第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈． 3．函数列{}()n U x 的生成函数为2(),,112nn n U x t t R t xt t ≥=∈≤-+∑． 4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤． 5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系21()2()(),,n n n U x xU x U x x C n N ++=-∈∈．两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则0()()nn i n i i U x T x x -==∑.证明 由两类切比雪夫多项式的定义得21),12(n n nT xt t x x t t ∞=-=-+∑ 而2211112121xt xt t xt t xt-=⨯-+-+-, 则(((())))n nnnnnn i n n n i i n n n t tUx T x x T x t x t∞∞∞∞-=======∑∑∑∑∑.比较式在子两边n t 项的系数，即有0(())nn i i n i U x T x x -==∑.4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-， 满足()()()(1)1(1)!n n x n R x f x n ξω+=+.其中[]{}{}[]010101,,,,min ,,,,,max ,,,,,n n n x x x x x x x x x x x x a b =⊂⎡⎤⎣⎦，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏.插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法：当取定第一类切比雪夫点21cos,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏()12n n T x -+=.令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max(1)!2(1)!n n nn x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。

一、介绍MATLAB 是一款用于高级数学和工程计算的软件，切比雪夫数值积分是一种常见的数值积分方法。

本文将介绍MATLAB中切比雪夫数值积分的原理和实现方式，并结合实例进行详细讲解。

二、切比雪夫数值积分原理切比雪夫数值积分是一种通过在特定区间上拟合切比雪夫多项式来进行数值积分的方法。

其原理是利用切比雪夫多项式的性质，将被积函数在给定区间上进行插值拟合，从而计算积分值。

切比雪夫数值积分的优点在于其在一定条件下可以达到很高的精度，尤其适用于非光滑函数的数值积分。

三、MATLAB中的切比雪夫数值积分实现在MATLAB中，可以利用内置的函数chebfun来实现切比雪夫数值积分。

chebfun是一个专门用于处理切比雪夫多项式的工具包，其中包含了丰富的函数和方法，可以方便地进行数值积分。

1. 定义被积函数需要定义被积函数，并将其转换为chebfun对象。

如果要计算函数f(x)在区间[a, b]上的积分值，可以使用以下代码将f(x)转换为chebfun对象：```matlabF = chebfun((x) f(x), [a, b]);```2. 计算积分值接下来，可以使用内置的积分函数sum来计算切比雪夫数值积分的结果。

可以使用以下代码计算chebfun对象F在区间[a, b]上的积分值：```matlabI = sum(F);```这样，就可以得到函数f(x)在区间[a, b]上的切比雪夫数值积分结果I。

四、实例演示接下来，我们通过一个具体的实例来演示MATLAB中切比雪夫数值积分的实现。

假设要计算函数f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的积分值。

1. 定义被积函数定义函数f(x) 并转换为chebfun对象：```matlabF = chebfun((x) sin(x), [0, pi]);```2. 计算积分值使用sum函数计算积分值：```matlabI = sum(F);```通过上述步骤，就可以得到函数f(x)在区间[0, π]上的切比雪夫数值积分结果I。

高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。

1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。

一、简介Matlab是一种强大的数学软件，可以用它进行各种数学计算和工程分析。

其中，切比雪夫函数是一种常用的数学函数，常用于信号处理、滤波和逼近理论中。

在Matlab中配置切比雪夫函数配置点，可以帮助我们进行更准确的数学计算和工程分析。

本文将介绍如何在Matlab 中配置切比雪夫函数配置点的方法和步骤。

二、切比雪夫函数的定义1. 切比雪夫函数是一类以俄罗斯数学家切比雪夫命名的函数，在数值分析中常用于多项式逼近和最优逼近理论。

2. 切比雪夫多项式是一组正交多项式，满足特定的正交性质，可以用于逼近任意函数。

3. 切比雪夫函数的配置点是在切比雪夫多项式的基础上，选取一定数量的点，用这些点来逼近目标函数。

三、在Matlab中配置切比雪夫函数配置点的步骤1. 打开Matlab软件，进入命令窗口。

2. 输入以下命令来配置切比雪夫函数配置点：```matlabn = 10; 设置配置点的数量x = cos(pi*(0:n)/n); 计算切比雪夫配置点```3. 这段代码的含义是，首先设置配置点的数量为10个，然后利用cos函数和切比雪夫多项式的关系，计算出切比雪夫函数的配置点。

4. 运行以上代码，即可得到切比雪夫函数的配置点。

四、切比雪夫函数配置点的应用1. 在信号处理中，可以利用切比雪夫函数配置点进行信号的滤波和去噪。

2. 在数值分析中，可以利用切比雪夫函数配置点进行函数的逼近和插值。

3. 在工程分析中，可以利用切比雪夫函数配置点进行复杂数据的处理和分析。

4. 切比雪夫函数配置点在各个领域都有着重要的应用价值。

五、总结本文介绍了在Matlab中配置切比雪夫函数配置点的方法和步骤，以及切比雪夫函数配置点的定义和应用。

通过配置切比雪夫函数配置点，可以帮助我们进行更准确的数学计算和工程分析。

切比雪夫函数配置点在信号处理、数值分析和工程分析等领域有着重要的应用价值，可以帮助我们解决实际问题，提高工作效率和准确性。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！六、 Matlab中切比雪夫函数配置点的优势1. 灵活性高：Matlab提供了丰富的函数和工具箱，能够灵活地配置切比雪夫函数的配置点，满足不同问题的需求。

课程设计课程名称：数值分析设计题目：学号：姓名：完成时间：2014.11.18题目一： 解线性方程组的直接法 设方程组Ax b =，其中250002511125555111x x x x x x A x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 矩阵中10.1(0,1,,5)k x k k =+=，b 由相应的矩阵元素计算，使解向量(1,1,,1)T x =。

(1) A 不变，对b 的元素6b 加一个扰动410-，求解方程组；(2) b 不变，对A 的元素22a 和66a 分别加一个扰动610-，求解方程组； (3) 对上述两种扰动方程组的解做误差分析。

一.数学原理：本计算采用直接法中的列主元高斯消元法，高斯列主元消元法原理如下： 1、设有n 元线性方程组如下：1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1nx x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝1nb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2、第一步：如果a11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组：a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1 a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2 b (1)2 . . . . . . . = . a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1 b (1)n-1 a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x n b (1)n简记为：A (2) x = b (2) 其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb (2)I = b (1)I – l i1 * b (1)1 , I = 2,3,...,n 第二步：如果a (2)22 != 0,令l i2= a （2）i2/a （2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11 a(1)12. . . a(1)1nx1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2nx2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n xn-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn xnb(n)n简记为：A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：Xn = b(n) / a(n)nnXi = ( b(k)k- ∑ a(k)kj x j ) / a(k)kk二．解题过程：1.由题中所给条件可求出b。

切比雪夫插值点坐标变换导语切比雪夫插值是一种在数值分析中常用的插值技术。

它在给定一组离散数据点的情况下，通过构造逼近曲线来估计其他位置的函数值。

切比雪夫插值点坐标变换则是对切比雪夫插值算法中的数据点进行坐标变换，以便更好地逼近所需的函数形状。

本文将详细探讨切比雪夫插值点坐标变换的原理、方法和应用。

原理切比雪夫插值是基于切比雪夫多项式的插值方法。

切比雪夫多项式是一组正交多项式，其定义如下：T n(x)=cos(n⋅arccos(x))其中，T n(x)是一个n次多项式。

在切比雪夫插值中，我们使用这些正交多项式作为基函数，并通过线性组合的方式来逼近目标函数。

为了实现这一目标，我们需要选择适当的插值点。

由于切比雪夫多项式在[−1,1]区间上取得最大值和最小值，因此我们可以选择在该区间上均匀分布的插值点来进行插值。

这些插值点称为切比雪夫节点，其定义如下：x k=cos((2k−1)π2n), k=1,2,...,n其中，n是插值点的数量。

方法切比雪夫插值点坐标变换的方法基于以下观察：通过将自变量的值从[−1,1]映射到其他区间，我们可以改变插值点的密度分布，从而更好地逼近所需的函数形状。

具体而言，假设我们希望将自变量的值从[−1,1]线性映射到[a,b]。

我们可以使用以下变换公式将切比雪夫节点映射到新的插值节点：x k′=12[(b−a)x k+(b+a)]其中，x k′是映射后的插值节点。

经过这样的变换，我们可以在[a,b]区间上获得更密集的插值点，从而提高插值的精度。

应用切比雪夫插值点坐标变换在实际应用中具有广泛的用途。

以下是一些常见的应用领域：数据拟合切比雪夫插值点坐标变换可以用于拟合离散数据点，并生成一个逼近的曲线。

通过选择适当的插值节点和坐标变换，可以使拟合曲线更好地适应数据点，并提高预测精度。

数值积分切比雪夫插值点坐标变换可以用于数值积分问题。

通过将积分区间映射到[−1,1]区间，并选择切比雪夫节点作为插值点，可以在积分近似中达到更高的精度。

切比雪夫插值数学原理
切比雪夫插值是一种数学方法，其原理是基于切比雪夫多项式的性质，通过选择特定的节点来构造插值多项式。

切比雪夫多项式是一种在[-1,1]区间内
定义的数学函数，具有一些重要的性质，如对称性、递推关系和零点性质等。

在切比雪夫插值中，首先需要选择一组节点x1,x2,...,xn，这些节点称为切比雪夫节点。

然后，使用这些节点来构造一个插值多项式，该多项式将通过所有这些节点。

具体来说，对于给定的n个节点x1,x2,...,xn，切比雪夫插值多项式为：
P(x)=∑(−1)k+1(n−k)![P(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k+1} \binom{n-k}{k} x^{n-k} T_{n-k}(x) \quad (x \in [-1,1])](
切比雪夫插值的数学原理基于以下事实：对于给定的节点x1,x2,...,xn，构造的插值多项式P(x)将通过这些节点，并且在[-1,1]区间内具有最小的最大误差。

这意味着，与其他插值方法相比，切比雪夫插值具有更好的数值稳定性。

切比雪夫插值在实际应用中具有广泛的应用，例如在数值分析、逼近论、函数近似等领域。

它可以用于构造近似函数、求解微分方程、数值积分和信号处理等问题。

切比雪夫插值点坐标变换一、背景介绍切比雪夫插值是一种多项式插值方法，它的优点是具有较高的稳定性和精度。

在实际应用中，我们需要对插值点进行坐标变换，以满足特定的要求。

本文将详细介绍切比雪夫插值点坐标变换的方法。

二、切比雪夫插值基础知识1. 插值多项式给定n个不同的插值节点x0,x1,...,xn-1和对应的函数值f0,f1,...,fn-1，我们可以构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=fi(i=0,1,...,n-1)。

这个多项式就是插值多项式。

2. 切比雪夫节点在[-1,1]上定义了n个切比雪夫节点：xi=cos[(2i+1)π/(2n)](i=0,1,...,n-1)这些节点在最大误差方面具有最优性质。

3. 切比雪夫插值多项式使用切比雪夫节点进行插值得到的多项式就是切比雪夫插值多项式：Ln(x)=∑(i=0,n-1)f(xi)li(x)其中li(x)表示拉格朗日基函数：li(x)=∏(j=0,j≠i,n-1)(x-xj)/(xi-xj)三、切比雪夫插值点坐标变换1. 平移变换如果我们需要将插值点向右平移a个单位，则新的插值点为：xi'=xi-a(i=0,1,...,n-1)此时，切比雪夫插值多项式变为：Ln(x)=∑(i=0,n-1)f(xi')li(x)2. 缩放变换如果我们需要将插值点在x轴方向上缩小b倍，则新的插值点为：xi'=xi/b(i=0,1,...,n-1)此时，切比雪夫插值多项式变为：Ln(x)=∑(i=0,n-1)f(xi')li(x/b)3. 旋转变换如果我们需要将插值点沿逆时针方向旋转θ角度，则新的插值点为：xi'=(xi*cosθ-yi*sinθ,yi*cosθ+xi*sinθ)(i=0,1,...,n-1)此时，切比雪夫插值多项式变为：Ln(x)=∑(i=0,n-1)f(xi')li((x,y)R(-θ))其中R(-θ)表示逆时针旋转θ角度的矩阵。

第22卷第6期2023年11月杭州师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f H a n g z h o uN o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )V o l .22N o .6N o v .2023收稿日期:2022-06-08 修回日期:2022-06-24基金项目:国家自然科学基金项目(11601110).通信作者:赵 易(1976 ),女,教授,博士,主要从事函数逼近论研究.E -m a i l :z h a o yi @h z n u .e d u .c n d o i :10.19926/j.c n k i .i s s n .1674-232X.2022.06.082基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值闫志楠,赵 易(杭州师范大学数学学院,浙江杭州311121)摘 要:文章研究基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值及其相关性质,讨论了重心拉格朗日插值公式的具体构造及其计算速度,推导其在加权L p 范数意义下的逼近阶,选取采样函数利用M a t l a b 绘图并比较插值误差.由图示及数据表可知,误差随采样函数光滑性的增强或插值节点个数的增加而变小.关键词:重心拉格朗日插值;第四类切比雪夫节点;采样函数;插值误差中图分类号:O 174.41 M S C 2020:41A 05;41A 50;65D 05 文献标志码:A文章编号:1674-232X (2023)06-0628-090 引言拉格朗日插值是计算数学中的一类经典算法,其定义如下:p (x )=ðnj =1f j l j (x ),l j (x )=ᵑnk =1,k ʂj (x -x k )ᵑn k =1,k ʂj(x j -xk ).(1)式(1)中的x j 为n 个互异的插值节点,f j 为对应的插值节点函数值或数据列表,则p (x )为n -1次多项式,其中拉格朗日插值函数l j 同为n -1次多项式,且满足l j (x k )=1,j =k ,0,j ʂk,{j ,k =1, ,n .易见p (x )满足插值条件,即p (x j )=f j .许多研究者对拉格朗日插值及其敛散性进行了研究,如文献[1-5].观察拉格朗日插值公式可知,它的计算量比较大,当增加1个节点(x n +1,fn +1)时就需重新整体计算,计算p (x )需O (n 2)次乘法运算和O (n 2)次加法运算,且计算结果不稳定[1].基于这部分原因,研究者们对拉格朗日插值公式进行了修正,例如改进的拉格朗日公式[1]:p (x )=l (x )ðnj =1w jx -x j f j ,(2)其中l (x )=(x -x 1)(x -x 2) (x -x n ),w j =1ᵑk ʂj (x j -x k),j =1,,n .通过对原始拉格朗日公式的修正改写,式(2)的计算量明显减少.其他改进如牛顿插值公式㊁延拓的拉格朗日插值等,可参见文献[6-9].虽然原始的拉格朗日公式计算量较大,但它的优点也十分明显:从其结构来看,拉格朗日基函数l j (x )既不依赖于函数f j ,也不依赖于节点的排列次序,而这正是牛顿插值等公式所不具有的,因此,拉格朗日插值公式在积分方程㊁偏微分方程数值解等领域有着广泛应用[10-12].如何能既保持拉格朗日公式自身的优点,又优化其计算复杂度,成为对该插值方法的一个研究方向.利用等式1=ðnj =1l j (x )=l (x )ðnj =1w j x -xj ,并代入改进的拉格朗日插值公式中:p (x )=l (x )ðnj =1w jx -x j f j l (x )ðnj =1w jx -x j ,即可得重心拉格朗日插值公式[13]p (x )=ðnj =1w jx -x jfjðnj =1w jx -xj ,(3)其中w j =1ᵑk ʂj (x j -x k),j =1,,n .通过在改进的拉格朗日插值公式中加上分母得到重心拉格朗日插值公式,这样的形式事实上变成了有理插值且具有良好对称性,其表达形式更为简洁.同时,注意到式(3)的结构表达,当插入新的节点(x n +1,fn +1)时,计算更为简化.而重心拉格朗日插值公式的数值计算稳定性是其另一个优势[14].本文将选取第四类切比雪夫节点构造具体的重心拉格朗日插值公式,进而研究对f (x )的逼近性质,推导在加权L p 范数意义下的逼近误差估计.最后通过数值模拟,分析基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值公式对采样函数的逼近效果,并通过程序分析计算的复杂度,进一步说明公式的有效性.1 基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值记第四类n 次切比雪夫多项式S n (x )=s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x ),其中x j =c o s 2j π2n +1,j =1, ,n 为S n (x )的零点.由式(3)知,构造第四类切比雪夫节点重心拉格朗日插值公式的关键在于计算出相应的w j .设S n (x )=A n (x -x 1)(x -x 2) (x -x n ),其中x 1,x 2, ,x n 为n 次第四类切比雪夫多项式的零点,由文[15]可知A n =12n ,由于w j =1ᵑk ʂj (x j -x k),j =1,,n ,显然1S n '(x j )与w j 至多相差1个与j 无关的常数A n ,即w j =A n1S n '(x j).具体构造其重心拉格朗日插值公式的过程如下:S n '(x )=s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x)æèçççöø÷÷÷'=926 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值(s i n ((n +12)a r c c o s x ))'㊃s i n (12a r c c o s x )-si n ((n +12)a r c c o s x )㊃(s i n (12a r c c o s x ))'s i n 2(12a r c c o s x )=-(n +12)c o s ((n +12)a r c c o s x )㊃s i n (12a r c c o s x )+12si n ((n +12)a r c c o s x )㊃c o s (12a r c c o s x )1-x 2㊃s i n 2(12a r c c o s x ).现将x j =c o s 2j π2n +1代入S n '(x ),可得S n '(x j )=11-c o s 22j π2n +1㊃-(n +12)c o s ((n +12)2j π2n +1)㊃s i n j π2n +1+12c o s j π2n +1㊃s i n ((n +12)2j π2n +1)s i n 2j π2n +1=1s i n 2j π2n +1㊃12c o s j π2n +1㊃s i n ((n +12)2j π2n +1)-(n +12)c o s ((n +12)2j π2n +1)㊃s i n j π2n +1s i n2j π2n +1=1s i n 2j π2n +1㊃-(n +12)㊃(-1)j ㊃s i n j π2n +1s i n 2j π2n +1=(-1)j +1(n +12)s i n 2j π2n +1㊃s i nj π2n +1.则1S n '(x j )=s i n 2j π2n +1㊃s i n j π2n +1(-1)j +1(n +12)=(-1)j +1㊃2s i n 2j π2n +1㊃s i n j π2n +12n +1.由1S n '(x j )与w j 的关系及重心拉格朗日差值公式(3)可知重心拉格朗日插值公式p (x )具有如下表达:p (x )=ðnj =1A n ㊃22n +1㊃(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j f j ðn j =1A n ㊃22n +1㊃(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j =ðnj =1(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j f j ðn j =1(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j .2 误差分析对拉格朗日插值的研究较多集中于其发散性质上[16-20],本节研究重心拉格朗日插值公式在L p ,φ意义下的收敛性质.2.1 基础知识设n 为非负整数,记[-1,1]上的n 阶连续可导函数的全体为C (n )[-1,1],特别地,当n =0时,将[-1,1]上连续函数的全体记为C [-1,1].设函数φ(x )ȡ0是(-1,1)上的连续可积函数.对任意f ɪC [-1,1],记fɕ,φ= f φ ɕ=m a x -1ɤx ɤ1f (x )φ(x )为函数f 在[-1,1]上以φ(x )为权的加权L ɕ范数.特别地,当φ(x )=1时,ɕ,φ即为函数f 在[-1,1]上的最大范数,简记为f ɕ.同时,当1ɤp ɤɕ时,对f ɪC [-1,1],定义其在[-1,1]上以φ(x )为权的加权L P 范数36杭州师范大学学报(自然科学版)2023年fp ,φ=ʏ1-1f (x )p φ(x )d x ()1p.特别地,当φ(x )=1时,fp ,φ即为函数f 的L p -范数,简记为f p.2.2 点态估计关于拉格朗日插值多项式p (x ),有以下经典结论.定理1 设f ɪC (n )[-1,1],拉格朗日插值多项式为p (x ),x 1,x 2, ,x n 为插值节点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,则存在ξɪ[-1,1],使得f (x )-p (x )=w n (x )n !f (n )(ξ),其中w n (x )=ᵑnj =1(x -x j).证明过程可参考文献[6].基于第四类切比雪夫节点的拉格朗日插值多项式则有以下更精确的估计.定理2 设f ɪC (n )[-1,1],p (x )是基于第四类切比雪夫多项式零点的拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为插值节点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,则有f (x )-p (x )ɤ2n +12n ㊃n !m a x -1ɤx ɤ1f n(x ). 此定理的证明可参考文献[15].2.3 L p ,φ估计定理3 设f ɪC (n )[-1,1],p (x )是基于第四类切比雪夫多项式零点的重心拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为上述插值节点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,权φ(x )=O (θp ),则当1ɤp ɤɕ时有f (x )-p (x )p ,φɤM ㊃C 1p ㊃π2n㊃n !,(4)其中x =c o s θ,C 为正的常数,在不同情况下取值可能不同.证明 由φ(x )=O (θp ),可记φ(x )ɤC ㊃θp (C >0);由f ɪC (n )[-1,1],可知 f (n ) ɕɤM ,其中M >0.现对式(4)左边作出估计,可得f (x )-p (x )p ,φ=ᵑnj =1(x -x j )n !㊃f (n )(ξ)p ,φɤM ㊃ᵑnj =1(x -x j )n !p ,φ.(5)为进一步估计式(5),考虑12n㊃S n (x )=12n ㊃s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )=ᵑnj =1(x -x j ).现主要对S n (x )进行估计,注意到s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )pp ,φ=ʏ1-1s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )pφ(x )d x .令x =c o s θ,可得s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )pp ,φ=ʏπ0s i n ((n +12)θ)ps i nθ2p㊃φ(c o s θ)㊃s i n θd θɤʏπ01s i nθ2p㊃φ(c o s θ)㊃s i n θd θɤʏπ0πpθp ㊃φ(c o s θ)㊃s i n θd θɤ136 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值ʏπ0πpθp㊃C㊃θP s i nθdθ=2㊃C㊃πP=C㊃πP.将上述估计代入f(x)-p(x)p,φ,可得f(x)-p(x)p,φɤM㊃C1p㊃π2n㊃n!,即定理得证.注1当φ(x)=(a r c c o s x)p时,符合定理的条件,则估计f(x)-p(x)p,φɤM㊃π2n-1㊃n!成立,其中M为正的常数.定理4设fɪC(n)[-1,1],p(x)是基于第四类切比雪夫多项式零点的重心拉格朗日插值多项式, x1,x2, ,x n为上述插值节点且满足-1ɤx1ɤx2ɤ ɤx nɤ1,权φ(x)=O(θp),则当p=ɕ时有f(x)-p(x)ɕ,φɤCπ2n㊃n!,其中x=c o sθ,C为正的常数.证明由φ(x)=O(θ),可记φ(x)ɤC㊃θ(C>0);由fɪC(n)[-1,1],可知f(n)ɕɤM,其中M>0.现估计f(x)-p(x)ɕ,φ=ᵑn j=1(x-x j)n!㊃f(n)(ξ)ɕ,φɤM㊃ᵑn j=1(x-x j)n!ɕ,φ.为了得到上述估计,考虑12n㊃S n(x)=12n㊃s i n((n+12)a r c c o s x)s i n(12a r c c o s x)=ᵑn j=1(x-x j).对S n(x)进行估计:s i n((n+12)a r c c o s x) s i n(12a r c c o s x)ɕ,φ=m a x-1ɤxɤ1s i n((n+12)a r c c o s x)s i n(12a r c c o s x)㊃φ(x).现令x=c o sθ,可得s i n((n+12)a r c c o s x) s i n(12a r c c o s x)ɕ,φ=m a x0ɤxɤπs i n((n+12)θ)s i nθ2㊃φ(c o sθ)ɤm a x0ɤxɤπ1s i nθ2㊃φ(c o sθ)ɤm a x0ɤxɤππθ㊃φ(c o sθ)ɤCπ,将上述估计代入 f(x)-p(x) ɕ,φ可得f(x)-p(x)ɕ,φɤM㊃Cπ2n㊃n!,定理得证.注2当φ(x)=a r c c o s x时,符合定理的条件,则估计f(x)-p(x)ɕ,φɤM㊃π2n㊃n!成立,其中M 为正的常数.2.4其他结论注意到第三类切比雪夫多项式与第四类切比雪夫多项式具有类似结构,以下探究第三类切比雪夫多项式的逼近性质.236杭州师范大学学报(自然科学版)2023年第三类切比雪夫多项式定义为V n (x )=c o s ((n +12)a r c c o s x )c o s (12a r c c o s x ),将-x 代入V n (x ),且记x =c o s θ,则-x =-c o s θ=c o s (π-θ)(-1ɤx ɤ1),可得V n (-x )=c o s ((n +12)a r c c o s (-x ))c o s (12a r c c o s (-x ))=c o s ((n +12)a r c c o s c o s (π-θ))c o s (12a r c c o s c o s (π-θ))=c o s ((n +12)(π-θ))c o s (12(π-θ))=(-1)ns i n ((n +12)θ)s i n θ2=(-1)nS n (x ). 注意到当n 取偶数时,V n (-x )=S n (x ),因此对上述讨论的第四类切比雪夫多项式满足的逼近性质,V n (-x )也满足,即可得到以下推论.推论1 设f ɪC (n )[-1,1],q (x )是基于V n (-x )多项式零点的重心拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为第四类切比雪夫多项式的零点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,权φ(x )=O (θp ),则当1ɤp <ɕ时有f (x )-q (x )p ,φɤM ㊃C 1p ㊃π2n㊃n !,其中n 为偶数,x =c o s θ,C 为正的常数.推论2 设f ɪC (n )[-1,1],q (x )是基于V n (-x )多项式零点的重心拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为第四类切比雪夫多项式的零点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,权φ(x )=O (θ),则当p =ɕ时有f (x )-q (x )ɕ,φɤC π2n㊃n !,其中n 为偶数,x =c o s θ,C 为正的常数.3 数值模拟3.1 切比雪夫多项式及其零点图像图1给出了n =10及n =20时第四类切比雪夫多项式及其零点的图像,其中横轴表示x 坐标,纵轴表示y 坐标,*代表第四类切比雪夫多项式的零点.图1 第四类切比雪夫多项式的图像F i g .1 T h e i m a g e o f t h e f o u r t hC h e b y s h e v p o l yn o m i a l 336 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值3.2 重心插值对采样函数的逼近情况分别选取4类函数,得到基于第四类切比雪夫多项式节点的重心拉格朗日公式对各个函数的逼近情况(图2).其中,图2a 2c 选定函数f (x )=x ,图2d 2f 选定函数f (x )=x 1.2,图2g2i 选定函数f (x )2,图 选定函数f (x )11+x5图2 重心公式对4种不同类型函数的逼近情况F i g .2 A p p r o x i m a t i o no f t h e b a r y c e n t r i c f o r m u l a t o f o u r d i f f e r e n t t y pe s of f u n c t i o n s 如图2所示,对于前三类函数,其光滑性不断增强,重心公式对它们的逼近效果也随之愈佳(纵向),且由图可知,重心公式对函数的逼近效果随节点个数的增加逐渐变优(横向).当然,在原始的拉格朗日插值中出现的龙格现象对于某些函数仍会出现,例如f (x )=11+x5,这说明重心拉格朗日插值公式仍有一定局限性.436杭州师范大学学报(自然科学版)2023年3.3 逼近误差分析为更明确地展示逼近效果,设p (x )为基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值,选取函数f (x )=x ,f (x )=x 1.2和f (x )=x 2s i n x ,分析当x 在节点间选取(即不同于第四类切比雪夫节点)时p (x )-f (x )的误差,结果列于表1.表1 f (x )与p (x )的误差T a b .1 T h e e r r o r b e t w e e n f (x )a n d p (x )函数x jf (x )p (x )p (x )-f (x )f (x )=x c o sπ70.9009688679024190.9016655802898806.967123874612735e -04c o s3π140.7818314824680300.781366772007078-4.647104609514230e -04c o s5π140.4338837391175580.433770297768475-1.134413*********e -04c o s3π70.2225209339563140.2241227085377310.001601774581416c o s23π420.1490422661761740.147996939822998-0.001045326353176f (x )=x 1.2c o sπ70.8823720471445760.8827156248730353.435777284587216e -04c o s3π140.7442790340690440.744049787141379-2.292469276646836e -04c o s5π140.3671538181966780.367097774872973-5.604332370512388e -05c o s3π70.1647574451670010.1655488269287267.913817617250241e -04c o s23π420.1018524158219410.101359062303873-4.933535180683957e -04f (x )=x 2s i n x c o sπ70.6363502059479350.6363502106665174.718582635732105e -09c o s3π140.4306820615868630.430682060002041-1.584821940348036e -09c o s5π140.0791420361667020.079142035939921-2.267801363364796e -10c o s3π70.0109275457101180.0109275468755111.165393654842251e -09c o s23π42-0.003298521126757-0.003298522716439-1.589681925592140e -09 注:n =10.3.4 复杂度分析w j 的表达式与计算是重心拉格朗日公式的重点,计算w j 的M a t l a b 代码如下:n =10;x =c o s (2.*pi .*(1:n ) ./(2.*n +1));w=1;j=2;f o r k =1ʒ10i f j ~=k w=w *(x (j )-x (k )); e n de n d 1/w此处以j =2,n =10,x j =c o s 2j π2n +1为例.注意到上述代码中对w j 计算形成了1个循环,这就意味着重心拉格朗日插值公式的运算次数仅需O (n )次,而原始拉格朗日插值公式的运算则需要O (n2)次,通过运算次数的比较,即可说明重心拉格朗日插值公式的计算复杂度优于原始拉格朗日插值公式.536 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值636杭州师范大学学报(自然科学版)2023年参考文献:[1]S C O T TLR.N u m e r i c a l a n a l y s i s[M].P r i n c e t o n:P r i n c e t o nU n i v e r s i t y P r e s s,2011.[2]B Y R N EGJ,M I L L ST M,S M I T HS J.O nL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o nw i t h e q u i d i s t a n t n o d e s[J].B u l l A u s t r a lM a t h S o c,1990,42(1):81-89.[3]E R DÓSP.P r o b l e m s a n d r e s u l t s o n t h e t h e o r y o f i n t e r p o l a t i o n I[J].A c t 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i g h t e d n o r m i s d e d u c e d.F i n a l l y,t h e i n t e r p o l a t i o nf ig u r e s a r e d e p i c t e d a n d th ei n t e r p o l a t i o ne r r o r s a r ec o m p a r e db y s e l e c t i n g s a m p l i n gf u n c t i o na n du t i l i z i ng M a t l a b.F r o m th e g r a p ha n dt h ed a t at a b l e,i tc a nb e c o n c l u d e d t h a t t h e e r r o r s d e c r e a s ew i t ht h ee n h a n c e m e n t o f t h e s m o o t h n e s so f t h es a m p l i n g f u n c t i o no r t h e i n c r e a s eo f t h e i n t e r p o l a t i o nn o d e sn u m b e r.K e y w o r d s:b a r y c e n t r i cL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n;t h e f o u r t h t y p e o f C h e b y s h e vn o d e s;s a m p l i n g f u n c t i o n;i n t e r p o l a t i o n e r r o r。