运筹学建模.ppt

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第二章——运筹学建模方法

1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据数学建模模型求解检验模型准备应用模型实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。

包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。

2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。

典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。

另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。

2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣客户，期望以合理的价格获得可靠的产品供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。

这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。

在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。

大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。

82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。

n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。

运筹学ppt课件

– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组合
网络优化
内
优排序问题化统筹图
容
对策论
随排队论
机优化
13
组织宝洁公司法国国家铁路
应用
Interface 每年节支期刊号（美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿降低成本并加快了市场进入速度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，

运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件

A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量目标函数约束条件：产量约束、销量约束、非负

《运筹学建模》课件

ห้องสมุดไป่ตู้ 致谢
感谢您的耐心学习，希望这门课程能为您的工作和学习带来帮助。
《运筹学建模》PPT课件
在本课程中，我们将探讨运筹学建模的基础知识和实际应用，介绍常用的数学建模方法并通过案例分析和实践操作，帮助您掌握运筹学建模的基本方法。
课程介绍
课程目标和重要性
了解运筹学建模的基础知识，掌握数学建模方法，应用于实际问题中。
课程内容概述
学习运筹学基础知识，数学建模方法以及案例分析和实践操作。
模型，规划模型和分类模型。
3
优化模型
掌握最优化方法，了解规划和线性规划等优化模型。
案例分析与实践
通过案例分析掌握运筹学建模的基本方法
通过典型案例，让学生了解运筹学建模的基本方法。
联系实际问题进行实践操作
通过实际问题，让学生实践运筹学建模的技巧。
课程总结与展望
总结课程的学习内容和收获
回顾主要的课程内容和知识点，总结学习内容和收获。
展望运筹学建模在未来的发展
讨论运筹学建模在未来的应用和发展，探讨新的研究方向和趋势。
QA
什么是运筹学建模？
运筹学建模是运用数学建立数学模型对复杂问题进行求解的过程。
运筹学模型有哪些类型？
运筹学模型主要有优化模型、规划模型和分类模型等。
如何学好运筹学建模？
通过理论学习和实际操作相结合，不断实践和提高建模技能。
运筹学基础知识
1 运筹学的定义和背景
掌握运筹学的定义和起源，了解当前运筹学的研究热点和趋势。
2 运筹学在实际生活与工作中的应用
通过典型案例，介绍运筹学在各个领域的实际应用。
数学建模方法
1
建模的步骤和方法论

运筹学教学课件(全)

实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的，即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最优解，则最优解必在可行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不

《运筹学建模》PPT课件

线性规划一般模型
• 其它形式
n
M a x f c j x j j 1
s. t.
n j 1
aij x
j
bi
i 1,
,m
xj 0
j 1,
,n
M ax f C T X
s
.t
.
A
X X
b 0
线性规划中的一些名词和术语
• 线性规划模型三要素： • 决策变量 • 约束条件 • 目标函数
限制，满足于
线性规划例
• 求解方法一：图解法
线性规划例
• 求解方法二：单纯形法
Max f 1500 x1 2500 x2
3x1 2 x2 x3
65
s.
t.
2
x1
x2 3x2
x4
40
x5 75
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5
线性规划例
• 第一次迭代：
运筹学分支
• 运筹学一般包含：线性规划，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划，随机规划，模糊规划；
• 图论与网络，排队论，存贮论，对策论，搜索论，维修更新理论，排序与运筹方法等。
运筹学定义
• （1）为决策机构在对其控制下的业务活动进行决策时，提供以数量化为基础的科学方法（P.M.Morse 和G.E.Kimball给出的）。
对偶问题
产品设备
A1
A2
A3 总工时限
制/h
甲
2
1
3
70
乙
4
2
2
80
丙
3
0
1
15
丁
2
2
0
50
单位利润 8

运筹学线性规划数学模型PPT课件

• 线性规划（概论）
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析，对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克，国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金，使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金，以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
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一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线性规划数学模型的建立。
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例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价（千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。求该厂产值最大的生产方案。
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• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分

运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型

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• 第三步：确定目标函数第三步：以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值，和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值最高的目标可表示为：最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数这就是该问题的目标函数。目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量，是问题中要确定的未知量，表明规划中的用数量表示的方案、措施，可由决策者决方案、措施，定和控制。定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备原材料A 原材料原材料B 原材料利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其：中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm

数学建模_运筹学模型(四)

产品生产规划某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ，热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？（2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ，热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：m i n 21814x x z+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧..t s ,0,30008001000,800200400,556050212121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买31（kg ），B 购买310（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3485个单位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为,55605010021≥+≥x x在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；（2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间. 解：（1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x（2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ；将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .运输规划问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。

运筹学PPT完整版

线性规划问题的数学模型
4. 建模步骤
(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；
(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束； (3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划数学模型的一般形式
2x1 + 2x2 ≤ 12
A 2
B 1
C 4
D 0
利润（元）
Ⅰ
2
Ⅱ
有效台时
2
12
2
8
0
16
4
12
3
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
线性规划问题的数学模型
例1.4 某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量
项目设备 A（h）设备 B（h）调试工序（h）利润（元） Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5 x1， x2≥0
9、决策分析(Decision Analysis) ：主要研究定量化决策。
本课程的教材及参考书
选用教材

《运筹学教程》胡运权主编（第3版）清华出版社《运筹学基础及应用》胡运权主编哈工大出版社
参考教材

16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权

线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
Page 29
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析问题描述
模型建立与修改
模型求解与检验
结果分析与实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩（40％）
期末成绩（60％）
课堂考勤（50％）
平时作业（50％）

运筹学课件ppt下载

通过具体案例展示线性规划问题的建模过程，如生产计划、资源分配等问题。
单纯形法求解过程
单纯形法原理
介绍单纯形法的基本思想、算法步骤和求解过程。
迭代过程
详细阐述单纯形法的迭代过程，包括入基、出基、检验数计算等操作。
初始可行解
讲解如何找到一个初始可行解作为算法的起点。
终止条件
说明单纯形法的终止条件及如何判断最优解。
存储模型要素
需求、补充、成本、存储策略等。
常见存储模型
经典EOQ模型、动态规划模型、随机存储模型等。
存储论求解方法及实例分析
求解方法
数学解析法、数值计算法、仿真模拟法等。
实例分析
以某企业为例，运用存储论优化其库存管理策略，降低库存成本。
排队论基本概念及模型构建
排队论定义
研究等待线（队列）的数学理论和方法，又称随机服务系统理论。
最短路径问题
通过实例分析最短路径问题的动态规划解法，如
Dijkstra算法、Floyd算法等。
1
背包问题
针对不同类型的背包问题，探讨其动态规划解法及应用
场景。
资源分配问题
研究资源分配问题的动态规划模型及求解方法，如多阶段资源分配问题等。
生产与存储问题
分析生产与存储问题的动态规划解法，讨论其在企业生产管理中的应用。
整数约束
决策变量需满足整数约束条件，如人员数量、设备台数等。
目标函数选择
根据问题类型，选择合适的目标函数，如成本最小化、利润最大化等。
分支定界法求解过程
初始可行解
通过松弛整数约束，得到一个初始可行解。
分支过程
根据初始可行解，将问题分解为若干个子问题，分别求解。

运筹学单纯形法ppt课件

• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0，则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120

x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条件两端同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松弛变量xs
加入人工变量
xa
减去剩余变量xs
加入人工变量xa

清华大学运筹学完整ppt课件2024新版

分支定界法的优缺点
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需要多次迭代和比较。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加割平面来切割掉原问题中不满足整数约束条件的部分，从而得到新的可行域，并在新的可行域上继续求解。
割平面法的步骤
构造一个割平面，将原问题的可行域切割为两部分；求解切割后的问题，若得到的最优解满足整数约束条件，则停止迭代；否则继续添加割平面进行切割，直到得到满足整数约束条件的最优解或确定原问题无解。
线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析
对偶问题
每一个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题，对偶问题的目标函数和约束条件与原问题密切相关。
对偶性质
原问题和对偶问题之间存在一系列重要的性质，如弱对偶性、强对偶性等。
灵敏度分析
灵敏度分析用于研究当原问题的参数发生变化时，最优解和最优值会如何变化。这对于实际问题中的决策制定具有重要意义。
THANK YOU
感谢聆听
最优解
03
目标函数等值线与可行域的交点中，使目标函数达到最优（最
大或最小）的点称为最优解。
单纯形法
初始基可行解
单纯形法从一个初始基可行解开始，该解通常是通过添加人工变量构造的。
迭代过程
单纯形法通过一系列迭代过程，不断改进当前解，直到找到最优解或确定问题无解。
旋转操作
在每次迭代中，单纯形法通过旋转操作将当前非基变量替换为基变量，同数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定义
整数规划是一类要求部分或全部决策变量取整数值的数学规划问题。
02
整数规划问题的分类
根据整数变量的取值范围，可分为纯整数规划、混合整数规划和 0-1整数规划。

运筹学数学建模7-9

a21 x1 a22 x2 L a2n xn (, )b2 , L
am1 x1
am2 x2
L
amn xn
(, )bm ,
xi 0, x j 0, i i1 ,L , ik , j j1,L , jl .
线性规划模型标准型:
线性规划模型标准型矩阵表示：
maxz= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
X [x1, x2,L , xn ]T ,
xi 0, i 1,L , n.
b [b1, b2 ,L , bm ]T , b 0,
1.线性规划的一般形化为标准型的一般步骤 (1) Min f = cX 转化为max z = cX
(2) ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn bi 加松弛变量yi ai1 x1 ai2 x2 L ain xn yi bi
模型分析与假设对目标函数的贡献与x取值成正比对约束条件的贡献与x取值成正比对目标函数的贡献与x取值无关对约束条件的贡献与x取值无关每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和时间是与各自产量无关的常每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和是与时间相互产量无关的常数加工a的牛奶桶数是实数线性规划模型其临床表现为持续性进行性的多个智能功能域障碍的临床综合征包括记忆语言视空间能力应用辨认执行功能及计算力等认知功能的损害
(1) x3 = x4 x5 , x4 , x5 0 (2) x1 +x2 +x3 +x6 =7 (3) x1 x2 +x3 x7 =2
合理下料问题
设按第i种下料方式的
有长度为8米的某型号圆钢，现需要长度为2.5米的毛坯
圆钢xi根，i=1,2,3,4

第七讲运筹学建模 ppt课件

16
表 7-5
17
(3)模型的建立与求解.
如上讨论，我们可给出“生产时序的安排”所对应的“运
输问题模型”：
44
min z=
cij xij
i1 j1
4
c ij x ij a i
i1
4
s . t . c ij x ij b j
j1
x ij 0
(7.1.4)
18
x11＝10， x12＝15， x23＝5， x33＝20， x34＝10， x44＝10
0 , 决定不投资第 j个项目 xj 1 ，决定投资第个 j项目(j1 ,2 ,3 ,4 )
因每一年的投资不超过所能提供的可用资金数，故该 0—1型整数规划问题的约束条件为：
36
5x1 4 x2 3x3 8x4 18
8
x1 x1
7 x2 10 Βιβλιοθήκη 29 x3 6 x4 2 x3 10 x4
x33
15 25
x14 x24 x34 x44 2 0
(7.1.2)
12
过该公司的实际生产能力，xij应满足：
x11 x12 x13 x14 25
xx2324
x23 x44
x24
35 30
x44
10
(4.2.3)
13
下面构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用表”.因第i月生产并用于第j月交货的引擎数的实际成本cij应该是其生产单位成本再加上存储、维护费用，从而我们可得其 “成本费用表”如表7-4所示.
5
表 7-1
6
表 7-2
7
由以上的讨论，对产销平衡的情形，我们可给出其运输问题的数学模型如下：

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对偶问题
• 由上面的表可知，生产一件产品A1需要各设备台时分别为2h，4h，3h，2h，如果将2h， 4h，3h，2h不用于生产产品A1，而是用于出租，租费应满足（为了不蚀本，租费不能少于利润，否则还不如自己生产产品合算呢！） 2 y1+4y2+3 y3+2 y4≥8，依次可分析得线性规划模型如下
• （3）出基变量为当进基变量增大时，首先下降为零的基变量，本例为x5
线性规划例
• 第二次迭代
（1）取x2，x3，x4为基变量，x1，x5为非基变量，可行解为（0，25，15，15， 0），f＝62500
f 62500 1500x1 2500x5 / 3

x2 x3

线性规划中的一些名词和术语
• 可行解——满速线性规划全部约束条件的解
• 可行域——全体可行解的集合 • 最优解——使得目标函数实现最小值
（或最大值）的可行解 • 最优值——最优解的目标函数值
线性规划模型标准型
• LP
n
min f c j x j j 1

s.t.

n j 1
• 解：设xj为第j种（甲、乙）产品的生产件数 j＝1，2 ，则由题意知，问题可转化为
线性规划例
Max f 1500x1 2500x2
3x1 2x2 65
s.
t.

2 x1
x2 3x2

40 75
x1, x2 0
• 注：Max为Maximize求f的最大值，s.t. 为Subject to约束，限制，满足于
欧美，在20世纪前叶，1914年提出了军事运筹学中的兰彻斯特（Lanchester）战斗方程；1917年排队论的先驱者丹麦工程师爱尔朗（Erlang）在哥本哈根电
话公司研究电话通信系统时，提出了排队论的一些著名公式；20世纪20年代初提出了存贮论的最优批量公式；20世纪 30年代，在商业方面列温逊已经运用运
求线性规划方法－软件
LINDO软件包首先由Linus Schrage开发，现在，美国的LINDO系统公司（LINDO System Inc.）拥有版权，是一种专门求解数学规划（优化问题）的软件包。它能求解线性规划、（0，1）规划、整数规划、二次规划等优化问题，并能同时给出灵敏度分析、影子价格以及最优解的松弛分析，非常方便实用。
25 15
3x1
x5 2x5
/3 /3
x4 15 2x1 x5 / 3
线性规划例
• （2）选择进基变量：方法同第一次迭代，本例为x1
• （3）出基变量：方法同第一次迭代，本例为x3
线性规划例
• 第三次迭代：
（1）取x1，x2，x4为基变量，x3，x5为非基变量，可行解为（5，25，0，5，0）， f＝70000
• 约束条件： a11x1 a12x2
s.
t.
a21x1

a22
x2

a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
称xj为决策变量，cj为价值系数和费用系数， aij为约束系数或技术系数，bi为资源系数。
线性规划例
引例：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每种产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的机时数如下表
设备A 设备B 设备C 利润（元/件）
产品甲 3 2 0
1500
产品乙设备能力（h）
2
65
1
40
3
75
2500
线性规划例
• 问：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？
线性规划一般模型
• 其它形式
n
Max f c j x j j 1

s.
t.

n j 1
aij x j

bi
i 1,
,m

xj 0
j 1,
,n
Max f CT X
s.t.
AX X

b 0
线性规划中的一些名词和术语
• 线性规划模型三要素： • 决策变量 • 约束条件 • 目标函数
f 70000 500x3 500x5

x1 x2

5 25
x3
/
3

2x5 x5 /
/ 3
9
x4 5 2x1 / 3 x5 / 9
线性规划例
• 2）选择进基变量：已无，因此该可行解即为最优解，结束。
线性规划一般模型
• 目标函数： Max f c1x1 c2 x2 cn xn
aij x j

bi
i 1,
,m

xj 0
j 1,
,n
min f CT X
AX b
s.t.
X 0
min{CT X | AX b, X 0}
求线性规划方法－单纯形法
G.B.Danting在1947年提出了求解线性规划问题的方法——单纯形法(simplex method)，其原理是：如果（LP）的可行域K不是空集，我们从K的某一顶点 X0出发，判别它是否为最优解？若不是，沿着边界找它邻近的另一个顶点，它应比原来的顶点优，看它是否为最优解？若不是，再沿着边界找它邻近的顶点。通过逐次迭代，直至找出最优解。
对偶问题
产品设备
A1
A2
A3 总工时限
制/h
甲
2
1
3
70
乙
4
2
2
80
丙
3
0
1
15
丁
2
2
0
50
单位利润 8
10
2
/千元
对偶问题
• 解：设xj为产品Aj的生产件数 j＝1,2,3，则由题意知，问题可转化为如下的线性规划问题
Max f 8x1 10x2 2x3
2x1 x2 3x3 70
运筹学的来源和组成
• 运筹学的三个来源：军事、管理和经济。 • 运筹学的三个组成部分：运用分析理论、
竞争理论和随机服务理论（排队论）
运筹学分支
线性规划是由美国运筹学工作者 G.B.Dantzig在1947年发表的结果，提出单纯形法。列昂杰夫在1932年提出了投入产出模型；冯·诺伊曼（Von Neumman）和O.Moogenstern合著（1944年）的《对策论与经济行为》是对策论的奠基作，同时该书已隐约地提出了对策论与线性规划对偶理论地紧密联系。
cj
j 1,
,n
yi 0 i 1, , m
设 yˆ* ( y1*, y2*, , ym* )T 为对偶问题（D）的最优解，
则称为y原i* 有问题（P）第i个约束对应的影子价格（Shadow Price）
对偶规划－影子价格
• 影子价格的经济含义：（1）影子价格是对现有资源实现最大效益的一种估价。根据上例，企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租；第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。
对偶问题
Min f 70 y1 80 y2 15y3 50 y4
2 y1 4 y2 3y3 2 y4 8
s. t. 3y1y122y2y22yy33
10 2
y1, y2 , y3 0
• 说明：企业为了能够得到租用设备的用户，使出租设备的计划成交，在价格满足约束条
筹思想来分析商业广告和顾客心里等； 20世纪30年代末，美英对付德国……， 20世纪50年代中期，我国著名的科学家
钱学森、许国志等将运筹学从西方引入中国……。
运筹学在管理方面的应用
• 生产运作，物资库存管理，物资运输，组织人事管理，市场营销，财务管理和会计，计算机应用和信息系统开发，城市管理等。
• 4.运输问题：m个物资产地B1, B2, …, Bm，n个物资销地A1, A2,…, An，si为产地Bi产量，dj为销地Aj的销量，cij表示把物资从产地Bi运到销地Aj的单位运价，xij表示把物资从产地Bi运到销地Aj的运输量，问应如何运输才能使
运费最小？
对偶问题
• 引例：某工厂计划在下一生产周期生产3种产品A1, A2, A3，这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工时、各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的单位利润，如下表。问如何安排生产计划，才能使工厂得到最大利润？
• （2）运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
• （3）运筹学是给出问题坏的答案的艺术，否则的话问题的结果会更坏。
运筹学的原则
为了有效地应用运筹学，必须遵循下列六条原则：
（1）合伙原则（2）催化原则（3）互相渗透原则（4）独立原则（5）宽容原则（6）平衡原则
（1）取x3，x4，x5为基变量，x1，x2为非基变量，基本可行解为（0，0，65，40， 75），f＝0
f 1500x1 2500x2

x3 x4

65 3x1 2x2 40 2x1 x2
x5 75
3x2