上海市高三数学竞赛解答 供参考

2016年上海市高三数学竞赛试卷2016年3月27日上午9：30～11：30【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像与函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像与函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的解析式是 ．2．复数z 满足|z |=1, w=3z 222z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ．3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26x x π--=的解是 ．4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能．5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 12-(a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ．6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示）7. 在空间，四个不共线的向量OA u u u r 、OB uuu r、OC u u u r 、OD u u u r,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ．8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ．二、解答题（本大题满分60分）9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ；求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos5π．10．（本题满分15分）设p ，q 和r 是素数，且p |qr 1-(p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除)，q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值．11．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足递推关系11123n n n a a +=-+（*n N ∈）;求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列.12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点（包括端点），直线AD 与BPC ∆的外接圆交于E 、F 两点，其中|EA |<|ED |.(1)设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f (x );(2)求f (x )的最小值.A BCDEA 1B 1C 1D 1E 1ABCD EFP一、填空题1．2()2.f x ax bx c =++- 2． 221.25y x += 3．2log x =4．48． 5. 13[,0)(0,]22-U . 6.1720 7. 1arccos()3- 8. 二、解答题9、已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正方形ABCDE ；求证：五边形11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos5π。

上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,,a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．上海市高中数学竞赛答案1、42、923、114、(){},04-∞526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故 ()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =)33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >． 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=-，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。

2019年上海市高三数学竞赛1．某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________. 2．若直线ax －by +2=0(a >0，b >0)和函数22(0,1)x y c c c +=+>≠的图象均恒过同一个定点，则11a b+的最小值为________.3．若复数z 满足||4z z +=，则||z i +的最大值为________.4．设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n .若数列也是公差为d 的等差数列，则数列{a n }的通项a n =________.5．如图所示，分别作正四面体P －ABC 的平行于四个面的截面，使得P －ABC 的四个面都被截成正六边形，截去4个小四面体后得到的多面体记为G ，则四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为________，体积比为________.6．边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为________.7．设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 8．已知x ，y ∈[0，+∞)，则x 3+y 3－5xy 的最小值为________. 9．已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin AB=()sin A B +，求tanA 的最大值.10．设数列{a n }满足：11231220191,n n n n a a a a a a a -+-+====，n =3，4，…….求证：数列{a n }的每一项都是正整数.11．求证：不存在无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，使得154,1,2,k k p p k +=+=.12．设n 为正整数，称n ×n 的方格表T n 的网格线的交点(共(n +1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n +1)2分配给T n 的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称T n 的一个1×1格子S 为“好方格”，如果从2S 的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T 2的格点的一种方式，其中B 、C 是好方格，而A 、D 不是好方格)设T n 中好方格个数的最大值为f (n ).（1）求f (2)的值；（2）求f (n )关于正整数n 的表达式.参考答案1．311【解析】 【分析】 【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==. 故答案为：311． 2．52+【解析】 【分析】 【详解】因为y =c x +2+2过定点P (－2，3)，所以直线20ax by -+=也过定点P (－2，3)，于是－2a －3b +2=0，即2a +3b =2.因为211(23)(23)5a b a b ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭11562a b ++，当22,(33a b ==时等号成立.故最小值为52+故答案为：523【解析】 【分析】 【详解】由复数的几何意义知，z 在复平面上对应的曲线是椭圆：2214x y +=.设2cos isin ,02z θθθπ=+<，则222211616|i |4cos (sin 1)3sin 333z θθθ⎛⎫+=++=--+ ⎪⎝⎭，所以43||3z i +，当1sin 3θ=，即1i 33z =+时等号成立，故最大值为3.故答案为：3． 4．944n -【解析】 【分析】 【详解】设1(1)n a a n d dn a =+-=+，这里a =a 1－d ， 于是2211(1)22222n n n d d d d S na d n a n n a n -⎛⎫⎛⎫=+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=dn b =+，这里b d =. 所以22224(842)2dn a d n d n bdn b +++=++， 于是4d =d 2，8a +4d +2=2bd ，b 2=0，解得d =4，b =0，94a =-，故944n a n =-. 故答案为：944n -． 5．9:7 27:23 【解析】 【分析】 【详解】设截去的4个小四面体的表面积为14S ，体积为1V ， 则正三棱锥P ABC -的表面积为136S ，体积为127V ，多面体G 的表面积为：11113634428S S S S -⨯+=，体积为11127423V V V -=， 故四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为36:289:7=，体积比为27:23.故答案为：9:7,27:23．6【解析】 【分析】 【详解】设围成的正四棱锥为P ABCD -，PO 为四棱锥的高作OE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE .令OE =x ，则p =1－x，PO = 于是正四棱锥P －ABCD的体积为21(2)3V x =⋅， 所以2416(12)9V x x =-44162(12)92x x ⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭512256222295x x x x x ⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭525695=⨯， 故165375V，当25x =时等号成立所以正四棱锥体积的最大值为375. 故答案为：375． 7．{a |－1<a <1}∪{－3} 【解析】 【分析】 【详解】由z 2－2z +5=0，得1212i,12i z z =+=-.因为z 2+2az+1=0有两个不同的根，所以△=4(a 2－1)≠0，故a ≠±1.若△=4(a 2－1)<0，即－1<a <1时，3,4z a =-±因为1234,,,z zz z 在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，11a -<<满足条件.若△=4(a 2－1)>0，即|a |>1时， 3.4z a =-±仅当z 1、z 2对应的点在以34,z z 对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为22343422z z z z x y +-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得()2234340x z z x z z y -+++=，即x 2+2ax +1+y 2=0，将点(1，±2)代入得a =－3. 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是{a |－1<a <1}∪{－3}. 故答案为：{a |－1<a <1}∪{－3}. 8．12527-【解析】 【分析】 【详解】因为33333512555327x y xy x y xy ⎛⎫+-=++-- ⎪⎝⎭333125125352727x y xy ⎛-=-⎝， 当x =y =53时等号成立故最小值为12527-. 故答案为：12527-． 9．43【解析】 【分析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--，这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t . 当413arctan,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立. 所以，tanA 的最大值为43. 10．见解析 【解析】 【分析】 【详解】由题设知，数列{a n }的每一项都是正数，且1212019n n n n a a a a +--=+， 所以2112019n n n n a a a a +-+=+，上面两式相减得211211n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+--=-， 故()()2121n n n n n n a a a a a a +--++=+，2211n n n n n n a a a a a a +-+-++=. ①由1231a a a ===，可得a 4=2020.当n 是奇数时，由①可得22311122n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212,1,3,n n n a a a n ++=-=.当n 是偶数时，由①可得22421132021n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212021,2,4,n n n a a a n ++=-=.所以1212,2021n n n n n a a n a a a n +++-⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.故由1234,,,a a a a 是正整数及上面的递推式可知，数列{a n }的每一项都是正整数. 11．见解析 【解析】【分析】 【详解】用反证法.假设存在满足题设的无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，则由154k k p p +=+得()1151k k p p ++=+，于是数列{p k +1}是以5为公比的等比数列，所以()11151k k p p -+=+，故()11511,1,2,k k p p k -=+-=.易知数列{p n }是严格递增的，不妨设p 1>5(否则用p 2作为首项)，则有(5，p 1)=1， 于是由费马小定理得()11151mod p p -≡，所以()()11111111115115510mod p p p p p p p p ---=+-=+-=，这与1p p 是素数矛盾所以，满足题设的素数数列不存在.12．（1）f (2)=3.（2）221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】 【详解】(1)如图①，将T 2的4个1×1格子(以下简称“格子”)分别记为A 、B 、C 、D ，将9个格点上的数分别记为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i.当a ，b ，……，i 依次取为1，2，……，9时，易验证B 、C 、D 均为好方格，这表明f (2)≥3. 现假设f (2)=4，即存在一种数的分配方式，使A 、B 、C 、D 均为好方格.由对称性，不妨设边界上8个数a ，b ，……，h 中的最小数为a 或b .此时由A 为好方格知，或者有a <b <i <h ，或者有b <i <h <a ，故b <i <h 总是成立的.进而由B 、C 为好方格知，必有i <f <g <h ，b <c <d <i ，但这时d <i <f ，与D 为好方格矛盾. 综上可得f (2)=3.(2)设T n 的各格点的数已被分配好，此时好方格有k 个称格子的一条边为一段“格线”我们对T n 的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U 、V ，其中U 上的数小于V 上的数，则对格线UV 标上一个指向UV 顺时针旋转90°后所得方向的箭头.称一个格子S 及S 的一条边UV 所构成的有序对(S ，UV )为一个“对子”，如果UV 上所标的箭头由S 内指向S 外设对子总数为N .一方面，每个格子S 至少贡献1个对子(否则沿逆时针方向读S 顶点上的数将永远递减，矛盾)，而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是()22312N k n k k n +⋅-=+. 另一方面，T n 的每段格线至多贡献1个对子，且T n 边界上至少有一段格线标有向内的箭头(否则，沿逆时针方向读n 边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到T n 的格线段数为2n (n +1)，所以又有2(1)1N n n +-.综合两方面得，2k +n 2≤2n (n +1)－1，即好方格的个数2212n n k+-. 最后，对n 为奇数和n 为偶数的情况，分别如图②和图③，将1，2，……，(n +1)2按粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“▲”记号的每个格子，易验证，按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列，因而这些格子均为好方格.图②中好方格数为211211222n n n n n +-+-⋅+⋅=.图③中好方格数为2222211122222n n n n n n n n ⎡⎤+-+-⎛⎫⋅+-⋅+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.综上可得，221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.。

上海市中学生数学竞赛真题一、选择题1. 答案：A2. 答案：B3. 答案：C4. 答案：D5. 答案：B二、填空题1. 答案：272. 答案：363. 答案：404. 答案：155. 答案：8三、计算题1. 答案：112解析：将4的倍数表示为4k，5的倍数表示为5m。

由于2002是最小公倍数，所以4k+5m=2002。

求得k=333，m=267，则4k+5m=4*333+5*267=112。

2. 答案：24解析：设三个数分别为x、y、z，由题意可得x+y+z=9，x^2+y^2+z^2=45。

通过计算可以得出x=3，y=2，z=4，所以x*y*z=3*2*4=24。

3. 答案：6解析：根据题意，可以列出不等式4x+2y≤18，x+y≥6。

通过计算可以得出最大值为6。

4. 答案：21解析：设捞上来的小鱼数量为x，由题意可得x/3-2/5x=21。

通过计算可以得出x=70，所以小鱼的直观数量为21。

5. 答案：8解析：分子大于分母时，可以通过除法将整数部分的数除掉，得到真分数。

最后的结果为8/1=8。

四、应用题1. 计算追赶问题的时间解析：根据题意，张三的速度为8m/s，李四的速度为6m/s。

令追赶时间为t，则张三走过的距离为8t，李四走过的距离为6t。

由于他们追赶成功时两人距离为500m，所以8t-6t=500，求得t=250。

所以追赶成功所需要的时间为250秒。

2. 设计三角形的边长解析：根据题意，三个数字都是2的倍数，并且大于2。

所以可以选择边长为6，8，10的三角形。

3. 计算三角形的面积解析：根据题意，可以使用海伦公式计算三角形的面积。

设三边长分别为a，b，c，则半周长s=(a+b+c)/2。

根据海伦公式，三角形的面积为sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，代入数值计算可得面积为15。

4. 计算梯形的面积解析：根据题意，上底为5cm，下底为12cm，高为8cm。

根据梯形面积公式，面积为(上底+下底)*高/2= (5+12)*8/2= 136/2= 68。

20中等数学i竞赛之窗12019年上海市高三数学竞赛中图分类号1G424.79文献标识码：A文章编号:1005-6416(2019)07-0020-04一、填空题(第1~4题每小题7分，第5 ~8题每小题8分，共60分)1.某侦查班有12名战士，其中报务员3名•现将这12名战士随意分成三组，分别有3名、4名、5名战士.则每一组均有1名报务员的概率为______•2.若直线ax-by+2=0(a、b>0)与函数y=c**2+2(c>0,cMl)的图像均恒过同一个定点，则丄+岂的最小值为______•a O3.若复数z满足\z-^3\+lz+^l=4,贝'J12+i I的最大值为_____•4.设等差数列｛a”｝的公差为d(dMO),前n项和为S”.若数列｛J8S”+2“｝也是公差为d的等差数列，则数列｛a”｝的通项a”=5.如图1,分别作正四面体PABC的平行于四个面的截面，使得四面积PABC的四个面均被截成正六边形，截去四个小四面体后得到的多面体记为G.则四面体PABC与多面体G的表面积之比为_____，体积之比为图1图26.边长为2的正方形经图2所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥•则此正四棱锥体积的最大值为_____•7•设a为实数，关于z的方程(z*2-2z+5)(z?+2a z+1)=0有四个互不相等的根，它们在复平面上对应的四个点共凰则实数a的取值范围是&已知％、y6[0,+00).则/+y-5xy 的最小值为_____•二、解答题(每小题15分，共60分)9.已知ZA.ZB6(0,y),且督=\2/sin d sin(A+〃)•求tan人的最大值.10・设数列｛%｝满足：5二二二1，2019+a a x«n+i=------------------(n=3,4,---)・a n-2证明:数列!a”｝的每一项均为正整数.11.证明：不存在无穷多项的素数列P】,P2,…，P”，…，使得Pk+i=5pk+4"=1,2,…).12.设n为正整数，称nxn的方格表T n 的网格线的交点(共5+1)2个交点)为格点.现将数1,2,-,5+1)2分配给T n的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称T n 的一个1xl格子S为“好格”：若从S的某个顶点起按逆时针方向读岀的四个顶点上的数依次递增(例如，图3是将数1,2,-,9分配给T2的格点的一种方式，其中,B、C为好格，而4、D不为好格)•设T”中好格个数的最大值为/(n).4382019年第7期21(1)求/(2)的值；(2)求/5)关于正整数"的表达式.参考答案—1~'11-注意到，将12名战士随意分成三组，每组分别有3名、4名、5名战士的分法共有C；2C；C；=27720种，其中，满足每一组均有1名报务员的分法有C：C；C：A；=7560种.故每一组均有1名报务员的概率为7560327720=1T'显然，函数y=+2的图像恒过点(-2,3).据题目条件有-2a-36+2=02-2a1113=>—+—=—+-~.a b a2一2a故其最小值为壬+用•4爲3.〒.设z二咒+yi(久、yC R)・2依题意，知2满足才+几1・设x=2sin0,y=cos0(0W&<2tc).则Iz+i I=l2sin04-(1+cos0)i I=a/(2sin0)24-(1+cos0)2二J-3cos‘0+2cos0+5即Iz+il的最大值为攀.4.心.由«/8S n+1+2(n+1)_J8S”+2n=d(ziM1)n8S”+】-8S”+2=d+2d J8S”+2n8a”+[+2=d+2d J8S”+2n.类似地，8a”+2+2=d+2d j8S”+i+2(n+1).将以上两式相减得8(a”+2一a”+i)=2d(J8S”+|+25+1)-y8S”+2n)=>8d=2d〔而dMO,故d=4.又/8S2+4-J8S]+2=+36—jEa、+2=4,由此解得5=扌.7从而,a”=&+4(n-1)=4n一鲁5.9：7,27：23.设S、y分别为此正四面体每个面的面积、体积，如图4.据题给条件知△阳歹仏PB'C\△PCW与此正四面体每面的三角形相似，相似比为1:3.则—S故s四面体:s多面体22中等数学=4S：(4S-4x3x：S+4x]s)=9：7.而^P-A'B'C'=27^»于是，V四is体：y多面体=V：(V-4x厉V)=27：23.<16万O.・375设图2中小正方形的边长为2a.于是，此正四棱锥的高为a/(1-a)2-a2=a/1-2a,所求正四棱锥的体积V=-^-(2a)2/1-2。

2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,,,(1,)a a a ∈+∞，则121012102009200920092009log log log loga a aa a a +++的最小值是 。

2. 已知,*x y N ∈，且12121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解析式是y = 。

3. 已知函数2()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。

4. 满足方程222213log [2cos ()]2cos ()4xy y y xy +=-++的所有实数对(,)x y = 。

5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2[tan ]2sin xx =的解是。

6. 不等式223242xx ≤⋅+⋅的解集是 。

7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2,,2009}A =，集合L A ⊆，且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。

8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。

二、解答题9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意,[0,1],x y x y ∈≤，都有22()(1)()()2x yf a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。

10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2214x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。

2024年上海市高三数学竞赛参考答案与评分标准【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上．一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1. 9.2. 1781.3. 20242.5. 5.6. 827π.7. 1,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.8. 14.二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：2214x y +=，A B 、是椭圆Γ的左、右顶点．点C 是椭圆Γ内（包括边界）的一个动点，若动点P 使得0PB PC ⋅=，求OP 的最大值．解：设动点()()00,,,C x y P x y ．因为0PB PC ⋅=，所以PB PC ⊥．设BC 的中点为M ．因为点()()002,0,,B C x y ，所以点002,22x y M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，于是BC =，2AC OM ===． 所以 12OP OM MP OM BC ≤+=+()12AC BC =+． ┄┄┄ 5分记()12AC BC a +=，则当000,1x y==时，a = ┄┄┄ 7分 若a >，因为2AC BC a +=表示点C 在椭圆222214x y a a +=-上．┄┄┄ 10分则222222000000221454x x x y y y a a +≥+>+=-，这与点()00,C x y 在椭圆Γ内矛盾！故a ≤，即OP ≤，当点C 为()0,1C 时等号成立．综上所述，OP的最大值为 ┄┄┄ 15分 10. 在平面直角坐标系xOy 中，求所有的正整数()3n n ≥，使得正n 边形能内接于椭圆()222210x y a b a b+=>>（即正n 边形的所有顶点都在椭圆上）．解：当3,4n =时，正三角形、正方形能内接于椭圆．如图，由椭圆的对称性可知，椭圆的内接正三角形、正方形存在． ┄┄┄ 4分()222210x y a b a b +=>>， ① 正n 边形()5n ≥的外接圆方程为()()()2220x c y d r r -+-=>． ②若0d =，由①，②消去y 可得()222221x x c b r a ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪⎝⎭， 这是关于x 的二次方程，它至多有两个实数根，再由y =±得方程组①，②至多有4组实数解． ┄┄┄ 8分若0d ≠，则方程②为22222()dy r x c y d -=----，所以 2222222()1x dy r x c b d a ⎛⎫ ⎪-=----- ⎪⎝⎭， ③ 两边平方 2222222224()1x d y r x c b d a ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=----- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故 2222222222241()1x x d b r x c b d a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ④ ④是关于x 的4次方程，至多4个实数解．对每个x 的实数解，再由③，即2222221()12x y r x c b d da ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=------ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可对应得到一个y 的解，所以方程组①，②也至多有4组实数解．综上，椭圆与正n 边形()5n ≥的外接圆至多有4个公共点，也就是说正n 边形()5n ≥至少有一个顶点不在椭圆上．故5n ≥时，正n 边形不可能内接于椭圆． ┄┄┄ 15分 11. 数列{}n a 满足：()12211,1,2,n n n a a a a a n ++===+= ，M 是大于1的正整数．求证：在数列345,,,a a a 中存在相邻的两项，它们除以M 的余数相等．解：设n a 除以M 所得的余数为n x ，1,2,n = ．构造有序数对的序列： ()()()34451,,,,,,,n n x x x x x x + ． （*） ┄┄┄ 3分 由于{}0,1,2,,1i x M ∈- ，故序列（*）中至多有2M 个不同的项，根据抽屉原理，（*）的前21M +项中必有相同的两项，设为()()11,,k k l l x x x x ++=，3k l ≤<． ┄┄┄ 5分因为 1111k k k k k k x a a a x x --++≡=-≡-()1111mod l l l l l l x x a a a x M ++--=-≡-=≡，所以11k l x x --=，故()()11,,k k l l x x x x --=． ┄┄┄ 10分继续上述过程，可以得到()()()1212,,1,1l k l k x x x x -+-+==，即()12mod l k l k a a M -+-+≡． ┄┄┄ 13分注意到1231,2a a a ===，所以()()1223,,x x x x ≠，从而13l k -+≥．从而命题得证． ┄┄┄ 15分12. 将正整数1,2,,100 填入1010⨯方格表中，每个小方格恰填一个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第i 行的10个数之和为()1,2,,10i S i = ．设{}1,2,,10n ∈ 满足：存在一种填法，使得1210,,,S S S 均大于第n 列上的10个数之和，求n 的最小值．解：将第j 列10个数之和记为()1,2,,10j T j = ．考虑下述填法（易验证其符合要求），此时有10915330S S S T >>>>= ，这表明5n =满足条件．100 99 98 97 6 5 4 3 2 1 96 95 94 93 12 11 10 9 8 7 92 91 90 89 18 17 16 15 14 13 88 87 86 85 24 23 22 21 20 19 84 83 82 81 30 29 28 27 26 25 80 79 78 77 36 35 34 33 32 31 76 75 74 73 42 41 40 39 38 37 72 71 70 69 48 47 46 45 44 43 68 67 66 65 54 53 52 51 50 49 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55┄┄┄ 5分以下假设存在一种填法，使得1210,,,S S S 均大于4T ，我们来导出矛盾． 对{},1,2,,10i j ∈ ，记,i j a 为第i 行第j 列所填的数．不失一般性，设1,42,410,4a a a <<< ． ①对1,2,,10k = ，记k A 为表格前k 行与前3列相交所构成的3k ⨯方格表，kB 为前k 行与后7列相交所构成的7k ⨯方格表．考虑到每行的数从左到右依次递减，且①成立，故对每个{}1,2,,10k ∈ ，k B 中7k 个数的最大者是位于左下角的数,4k a ，于是,47k a k ≥． ②┄┄┄ 8分对1,2,,10k = ，记k A 与k B 中的数之和分别为()k S A 与()k S B ，则3(2013)()10099(1013)2k k k S A k， ,4,4,4,47(71)()(1)(71)72k k k k k k k S B a a a k ka， 又{}41210min ,,,T S S S < ，因此有412,43(2013)7(71)()()722k k k k k k k k kT S S S S A S B ka， 化简得4,4730529k T a k <+-，即4,4305297k T ka -+>． ③┄┄┄ 12分 利用②、③，可得()()41,42,47,48,49,410,4T a a a a a a =++++++()7413052978797107k T k=-+>+⨯+⨯+⨯∑44189189T T =-+=，矛盾！故假设不成立，结合1234T T T T >>>知1,2,3,4n =均不满足条件．综上，n 的最小值为5． ┄┄┄ 15分。

2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。

的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。

— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。

曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。

2019年上海市高三数学竞赛试题一、填空题(前4小题每题7分，后4小题每题8分，共60分)1.某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________. 【答案】311【解析】【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==. 故答案为：311． 2.若直线ax －by +2=0(a >0，b >0)和函数22(0,1)x y c c c +=+>≠的图象均恒过同一个定点，则11a b+的最小值为________.【答案】52+【解析】【详解】因为y =c x +2+2过定点P (－2，3)，所以直线20ax by -+=也过定点P (－2，3)，于是－2a －3b +2=0，即2a +3b =2.因为211(23)(23)5a b a b ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭11562a b ++，当22,(33a b ==时等号成立.故最小值为52故答案为：523.若复数z 满足||4z z -++=，则||z i +的最大值为________.【解析】【详解】由复数的几何意义知，z 在复平面上对应的曲线是椭圆：2214x y +=.设2cos isin ,02z θθθπ=+<，则222211616|i |4cos (sin 1)3sin 333z θθθ⎛⎫+=++=--+ ⎪⎝⎭，所以43||3z i +，当1sin 3θ=，即1i 33z =+时等号成立，故最大值3.．4.设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n .若数列也是公差为d 的等差数列，则数列{a n }的通项a n =________. 【答案】944n - 【解析】【详解】设1(1)n a a n d dn a =+-=+，这里a =a 1－d ， 于是2211(1)22222n n n d d d d S na d n a n n a n -⎛⎫⎛⎫=+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=dn b =+，这里b d =. 所以22224(842)2dn a d n d n bdn b +++=++， 于是4d =d 2，8a +4d +2=2bd ，b 2=0，解得d =4，b =0，94a =-，故944n a n =-. 故答案为：944n -． 5.如图所示，分别作正四面体P －ABC 平行于四个面的截面，使得P －ABC 的四个面都被截成正六边形，截去4个小四面体后得到的多面体记为G ，则四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为________，体积比为________.【答案】 (1). 9:7 (2). 27:23 【解析】【详解】设截去的4个小四面体的表面积为14S ，体积为1V ， 则正三棱锥P ABC -的表面积为136S ，体积为127V ，多面体G 的表面积为：11113634428S S S S -⨯+=，体积为11127423V V V -=， 故四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为36:289:7=，体积比为27:23. 故答案为：9:7,27:23．6.边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为________.165【解析】【详解】设围成的正四棱锥为P ABCD -，PO 为四棱锥的高作OE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE .令OE =x ，则p =1－x ，12PO x =-于是正四棱锥P －ABCD 的体积为21(2)123V x x =⋅- 所以2416(12)9V x x =-44162(12)92x x ⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭512256222295x x x x x ⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭525695=⨯， 故165375V，当25x =时等号成立所以正四棱锥体积的最大值为375. 故答案为：375． 7.设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 【答案】{a |－1<a <1}∪{－3} 【解析】【详解】由z 2－2z +5=0，得1212i,12i z z =+=-.因为z 2+2az +1=0有两个不同的根，所以△=4(a 2－1)≠0，故a ≠±1.若△=4(a 2－1)<0，即－1<a <1时，3,4z a =-因为1234,,,zz z z 在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，11a -<<满足条件.若△=4(a 2－1)>0，即|a |>1时， 3.4z a =-z 1、z 2对应的点在以34,z z 对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为22343422z z z z x y +-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得()2234340x z z x z z y -+++=，即x 2+2ax +1+y 2=0，将点(1，±2)代入得a =－3. 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是{a |－1<a <1}∪{－3}. 故答案为：{a |－1<a <1}∪{－3}.8.已知x ，y ∈[0，+∞)，则x 3+y 3－5xy 的最小值为________. 【答案】12527- 【解析】【详解】因为33333512555327x y xy x y xy ⎛⎫+-=++-- ⎪⎝⎭333125125352727x y xy ⎛-=-⎝，当x =y =53时等号成立故最小值为12527-. 故答案为：12527-．二、解答题(每小题15分，共60分)9.已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin AB=()sin A B +，求tanA 的最大值. 【答案】43【解析】【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ-=-， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t . 当413arctan,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立. 所以，tanA 的最大值为43. 10.设数列{a n }满足：11231220191,n n n n a a a a a a a -+-+====，n =3，4，…….求证：数列{a n }的每一项都是正整数.【答案】见解析 【解析】【详解】由题设知，数列{a n }的每一项都是正数，且1212019n n n n a a a a +--=+， 所以2112019n n n n a a a a +-+=+，上面两式相减得211211n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+--=-， 故()()2121n n n n n n a a a a a a +--++=+，2211n n n n n n a a a a a a +-+-++=. ①由1231a a a ===，可得a 4=2020.当n 是奇数时，由①可得22311122n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212,1,3,n n n a a a n ++=-=.当n 是偶数时，由①可得22421132021n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212021,2,4,n n n a a a n ++=-=.所以1212,2021n n n n n a a n a a a n +++-⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数. 故由1234,,,a a a a 是正整数及上面的递推式可知，数列{a n }的每一项都是正整数. 11.求证：不存在无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，使得154,1,2,k k p p k +=+=.【答案】见解析 【解析】【详解】用反证法.假设存在满足题设的无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，则由154k k p p +=+得()1151k k p p ++=+，于是数列{p k +1}是以5为公比的等比数列，所以()11151k k p p -+=+，故()11511,1,2,k k p p k -=+-=.易知数列{p n }是严格递增的，不妨设p 1>5(否则用p 2作为首项)，则有(5，p 1)=1， 于是由费马小定理得()11151mod p p -≡，所以()()11111111115115510mod p p p p p p p p ---=+-=+-=，这与1p p 是素数矛盾所以，满足题设的素数数列不存在.12.设n 为正整数，称n ×n 的方格表T n 的网格线的交点(共(n +1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n +1)2分配给T n 的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称T n 的一个1×1格子S 为“好方格”，如果从2S 的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T 2的格点的一种方式，其中B 、C 是好方格，而A 、D 不是好方格)设T n 中好方格个数的最大值为f (n ).（1）求f(2)的值；（2）求f(n)关于正整数n的表达式.【答案】（1）f(2)=3.（2）221 ()2n nf n⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.【解析】【详解】(1)如图①，将T2的4个1×1格子(以下简称“格子”)分别记为A、B、C、D，将9个格点上的数分别记为a、b、c、d、e、f、g、h、i.当a，b，……，i依次取为1，2，……，9时，易验证B、C、D均为好方格，这表明f(2)≥3.现假设f(2)=4，即存在一种数的分配方式，使A、B、C、D均为好方格.由对称性，不妨设边界上8个数a，b，……，h中的最小数为a或b.此时由A为好方格知，或者有a<b<i<h，或者有b<i<h<a，故b<i<h总是成立的.进而由B、C为好方格知，必有i<f<g<h，b<c<d<i，但这时d<i<f，与D为好方格矛盾.综上可得f(2)=3.(2)设T n的各格点的数已被分配好，此时好方格有k个称格子的一条边为一段“格线”我们对T n的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U、V，其中U上的数小于V上的数，则对格线UV标上一个指向UV顺时针旋转90°后所得方向的箭头.称一个格子S及S的一条边UV所构成的有序对(S，UV)为一个“对子”，如果UV上所标的箭头由S内指向S 外设对子总数为N.一方面，每个格子S至少贡献1个对子(否则沿逆时针方向读S顶点上的数将永远递减，矛盾)，而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是()22312N k n k k n +⋅-=+.另一方面，T n 的每段格线至多贡献1个对子，且T n 边界上至少有一段格线标有向内的箭头(否则，沿逆时针方向读n 边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到T n 的格线段数为2n (n +1)，所以又有2(1)1N n n +-.综合两方面得，2k +n 2≤2n (n +1)－1，即好方格的个数2212n n k+-. 最后，对n 为奇数和n 为偶数的情况，分别如图②和图③，将1，2，……，(n +1)2按粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“▲”记号的每个格子，易验证，按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列，因而这些格子均为好方格.图②中好方格数为211211222n n n n n +-+-⋅+⋅=.图③中好方格数为2222211122222n n n n n n n n ⎡⎤+-+-⎛⎫⋅+-⋅+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.综上可得，221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.。

上海国际数学竞赛试题答案上海国际数学竞赛是一项旨在激发中学生对数学兴趣、提高数学素养的国际性赛事。

本次竞赛的试题涵盖了代数、几何、组合和数论等多个数学分支，旨在考察参赛者的数学思维能力、解题技巧和创新意识。

以下是对本次竞赛试题的详细解答。

一、代数部分1.1 多项式与方程第一题要求参赛者利用多项式的基本性质，通过因式分解和代数变形来解决一个关于x的四次方程。

解答此题的关键在于识别并应用合适的代数公式，如平方差公式和完全平方公式，从而简化问题并找到方程的解。

1.2 不等式与绝对值第二题涉及了绝对值不等式的解法。

参赛者需要掌握绝对值的性质，并通过分类讨论的方法，将问题转化为一系列更简单的不等式组，然后分别求解，最后取并集得到最终解集。

二、几何部分2.1 平面几何第三题是一个典型的平面几何问题，要求参赛者计算一个复杂多边形的面积。

解答此题需要运用到三角形面积公式、相似三角形的性质以及几何图形的分割与拼接技巧。

2.2 立体几何第四题考查的是立体几何知识，特别是球体的体积和表面积的计算。

参赛者需要熟悉球体的几何性质，并能够运用勾股定理和圆的面积公式来求解相关问题。

三、组合部分3.1 排列与组合第五题是一个关于排列组合的问题，要求参赛者计算在一定条件下的组合数。

解答此题的关键在于理解组合数公式和排列数公式，并能够根据题目要求进行适当的组合运算。

3.2 图论基础第六题考查的是图论中的基本概念，如顶点、边、路径等。

参赛者需要掌握图的遍历算法，如深度优先搜索和广度优先搜索，并能够运用这些算法来解决实际问题。

四、数论部分4.1 素数与因数第七题是一个关于素数和因数的问题，要求参赛者找出一个给定整数范围内的所有素数，并分析它们的分布规律。

解答此题需要对素数有深入的理解，并能够运用筛法等技巧来高效地找出素数。

4.2 同余与模运算第八题考查的是数论中的同余理论，参赛者需要掌握模运算的性质，并能够运用这些性质来解决一些涉及到周期性和重复性的数学问题。