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基于多面体终端域的Hammerstein-Wiener非线性预测控制李妍;毛志忠;王琰;袁平;贾明兴【期刊名称】《自动化学报》【年(卷),期】2011(37)5【摘要】Many actual systems are often represented as the Hammerstein-Wiener nonlinear models, where a linear dynamic subsystem is surrounded by two static nonlinear subsystems at its input and output.For Hammerstein-Wiener nonlinear systems with the input and output constraints, a predictive control synthesis algorithm based on polytopic terminal region is proposed.At the offiine stage, by constructing a series of the polytopic invariant sets, the terminal region is enlarged; in the polytopic invariant set, the nonlinear controller is designed, then the conservation of conventional linear control law design is reduced.At the online stage, by solving a finite number of linear matrix inequality optimization problems, not only the real-time demand can be satisfied, but also the control performance can be improved.Simulation results show the advantages of adopting polyhedron invariant set.%许多实际系统都可以表示成一种中间为线性动态子系统、输入输出端为非线性静态子系统的Hammerstein-Wiener 型非线性模型.针对输入和输出受约束的Hammerstein-Wiener型非线性系统,提出一种基于多面体终端域的预测控制综合算法.离线设计时,通过构造一系列多面体不变集,扩大了终端域;在多面体不变集内,设计非线性控制律,减少了常规线性控制律设计的保守性.在线计算时,通过求解有限个线性矩阵不等式(Linear matrix inequalities,LMIs)优化问题,不仅可以满足实时性要求,而且能够改善控制性能.仿真结果表明了采用多面体不变集的优越性.【总页数】10页(P629-638)【作者】李妍;毛志忠;王琰;袁平;贾明兴【作者单位】东北大学信息科学与工程学院,沈阳,110004;东北大学信息科学与工程学院,沈阳,110004;辽阳市发展和改革委员会,辽阳,111000;东北大学信息科学与工程学院,沈阳,110004;东北大学信息科学与工程学院,沈阳,110004【正文语种】中文【相关文献】1.基于面域理解的多面体三维重建 [J], 江涛;陆国栋;雷建兰;来建良2.基于凸多面体抽象域的自适应强化学习技术研究 [J], 陈冬火;刘全;朱斐;金海东3.基于约束的多面体抽象域的弱接合 [J], 陈立前;王戟;刘万伟4.基于多面体描述系统的鲁棒非线性预测控制 [J], 黄骅;何德峰;俞立5.一种基于多面体描述系统的非线性预测控制 [J], 邹志强;徐立鸿;袁梦因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
参数时变多面体不确定线性系统的鲁棒控制研究的开题报告一、研究背景和意义多面体不确定线性系统是一种广泛存在于控制系统中的复杂系统，具有很强的不确定性，例如存在测量误差、模型不精确、外部扰动等因素的干扰。
如何设计控制器来保证多面体不确定线性系统稳定性和性能优良，一直是控制领域中的热点问题。
鲁棒控制是一种针对不确定性和干扰的控制策略，可以应用于多面体不确定线性系统的控制问题中，得到广泛的应用。
因此，研究参数时变多面体不确定线性系统的鲁棒控制具有重要的理论和应用价值。
二、研究内容和方法本文将研究参数时变多面体不确定线性系统的鲁棒控制问题。
具体内容如下：1. 构建多面体不确定线性系统的数学模型，并分析其参数时变性质。
2. 研究多面体不确定线性系统的稳定性和性能分析方法。
3. 设计基于鲁棒控制理论的多面体不确定线性系统控制器，并对其鲁棒性进行评估。
4. 通过数值仿真实验验证所提出的鲁棒控制方法的有效性和鲁棒性。
本文主要采用数学理论分析和数值仿真实验相结合的方法来研究参数时变多面体不确定线性系统的鲁棒控制问题，提出具有鲁棒性能的控制策略，从而达到控制稳定性和性能优良的目的。
三、预期成果和意义本文的预期成果如下：1. 建立参数时变多面体不确定线性系统的鲁棒控制理论模型。
2. 提出具有鲁棒性能的控制策略，使得系统稳定性和性能得到有效保证。
3. 通过数值仿真实验验证设计的控制方案的有效性和鲁棒性。
本研究的意义在于针对工程实际问题，提出了适用于多面体不确定线性系统的鲁棒控制策略，并通过数值仿真实验验证了其有效性和鲁棒性，为工程应用提供了理论基础和可行性方案，具有较高的应用价值和推广价值。
第40卷第6期2023年6月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.40No.6Jun.2023一类具有凸多面体不确定性的非线性变参数系统鲁棒H∞控制周燕茹†,汪育成,付荣(厦门理工学院电气工程与自动化学院,福建厦门361024)摘要:针对具凸多面体不确定性的非线性变参数(NPV)系统,本文研究了其非线性鲁棒H∞控制问题.基于Lya-punov稳定性理论和多项式平方和(SOS)方法,对该系统设计了非线性鲁棒状态反馈镇定控制器.在此基础上,进一步考虑存在外部扰动情形,给出相应的非线性鲁棒H∞控制可解性条件.该条件以状态和时变参数依赖的线性矩阵不等式形式(LMIs)给出,可借助凸优化工具进行有效检验.最后,通过数值仿真验证了所得方法的有效性和优势.关键词:凸多面体不确定性;非线性变参数系统;鲁棒H∞控制;平方和引用格式:周燕茹,汪育成,付荣.一类具有凸多面体不确定性的非线性变参数系统鲁棒H∞控制.控制理论与应用,2023,40(6):995–1004DOI:10.7641/CTA.2022.20110Robust H∞control for a class ofnonlinear parameter-varying systems with polytopic uncertaintyZHOU Yan-ru†,WANG Yu-cheng,FU Rong(School of Electrical Engineering and Automation,Xiamen University of Technology,Xiamen Fujian361024,China) Abstract:This paper focuses on the nonlinear robust H∞control problem for a class of nonlinear parameter-varying (NPV)systems with convex polytopic uncertainties.A nonlinear robust state feedback stabilization controller is designed based on the Lyapunov stability theory and polynomial sum of squares(SOS)method.Furthermore,by taking into con-sideration the external disturbances,the corresponding solvability conditions of nonlinear robust H∞control are presented in the form of state-and time-varying parameter-dependent linear matrix inequalities(LMIs),which can be effectively checked with the aid of convex optimization tools.Finally,two numerical examples are given to verify the effectiveness and advantages of the proposed approach.Key words:convex polytopic uncertainty;nonlinear parameter-varying systems;robust H∞control;sum of squares Citation:ZHOU Yanru,WANG Yucheng,FU Rong.Robust H∞control for a class of nonlinear parameter-varying systems with polytopic uncertainty.Control Theory&Applications,2023,40(6):995–10041引言在航空航天、工业过程和机器人等领域中,各类系统普遍存在强非线性和快时变的动力学现象,成为了控制理论研究不容忽视的重要问题.近年来,由于线性变参数(linear parameter-varying,LPV)模型[1]可很好表征被控对象的时变特征,其相应的建模和控制方法受到广泛关注[2–4].另外,平方和(sum of squares, SOS)凸优化理论[5]的突破性进展,有力促进了多项式型非线性时不变系统研究[6–8].可是,对非线性时变问题来说,这两方面的研究进展虽各具优势但仍很不足.现有基于SOS的多项式系统研究忽视了时变特性,而LPV方法属于分段的类线性系统范畴,未能忠实地反映原被控对象的非线性动力学特征.鉴于此,本文作者所在项目组结合LPV模型和时不变多项式系统特征,采用含有变参数和状态多项式函数的非线性变参数(nonlinear parameter-varying, NPV)模型来描述被控对象,并开展了一系列研究工作.文献[9]严格定义了NPV概念,并研究了该类系统的指数镇定控制及其在倾转旋翼飞行器轨迹跟踪中的应用.文献[10]给出了一种混合稳定性定义,设计收稿日期:2022−02−14;录用日期:2022−08−18.†通信作者.E-mail:******************.本文责任编委:俞立.福建省自然科学基金项目(2020J01284),福建省中青年教师教育科研项目(JAT200495,JAT190675),厦门市科技计划项目(3502Z20203066)资助. Supported by the Natural Science Foundation of Fujian Province(2020J01284),the Education and Research Project of Young and Middle-aged Teachers in Fujian Province(JAT200495,JAT190675)and the Science and Technology Project of Xiamen City(3502Z20203066).996控制理论与应用第40卷了相应的NPV 系统混合H ∞控制方法.在提出参数依赖吸引域概念的基础上,文献[11]研究了NPV 系统的吸引域估计和局部镇定控制问题.此外,在NPV 系统的混合H 2/H ∞控制[12]、输入受限情况下的保性能控制[13]、基于非线性时变观测器的状态反馈镇定控制[14]以及基于扰动观测器的倾转旋翼飞行器过渡段控制[15]等方面也取得了阶段性成果.在这些已有工作基础上,本文率先针对NPV 系统存在凸多面体不确定性情形,给出了一种基于SOS 的非线性鲁棒H ∞控制设计方法.该方法的优势在于,所考虑的模型更具一般性,能更精确地表征被控对象,提高了整体控制设计的可靠性和作用范围;在SOS 框架下,将具多项式约束的非线性时变鲁棒H ∞控制问题转化为相应的凸规划问题,有效解决非线性和时变控制研究中普遍存在的计算困难;此外,所得控制器仅是关于状态变量、时变参数及其变化率的多项式或有理函数,便于工程实现.文中符号说明如下:R n ,R m ×n 和I 分别表示n 维实向量集、m ×n 维实矩阵集和适当维的单位矩阵;S n +表示n ×n 维实对称正矩阵集;对x ∈R n ,∥x ∥表示x 的2范数,R [x ]m ×p 和S [x ]m分别表示关于x 的实多项式构成的m ×p 维矩阵和m ×m 维对称矩阵;对方阵A ,He(A )=A +A T ;Φsos 表示SOS 多项式集.2问题描述和预备知识考虑如下一类不确定的多项式型NPV 系统:˙x (t )=(A (x (t ),σ(t ))+∆A (x (t ),σ(t )))x (t )+B 1(x (t ),σ(t ))w (t )+(B 2(x (t ),σ(t ))+∆B 2(x (t ),σ(t )))u (t ),z (t )=C (x (t ),σ(t ))x (t )+D 1(x (t ),σ(t ))w (t )+D 2(x (t ),σ(t ))u (t ),(1)其中:x (t )∈R n ,u (t )∈R m 和z (t )∈R r 分别是系统状态,控制输入和被控输出,w (t )∈R l 是外部扰动且满足∞∥w (t )∥2d t <∞,σ(t )∈R s 为时变参数向量;A (x (t ),σ(t )),C (x (t ),σ(t )),B i (x (t ),σ(t ))和D i (x (t ),σ(t ))(i =1,2)都是已知的适当维多项式矩阵,∆A (x (t ),σ(t ))和∆B 2(x (t ),σ(t ))是不确定矩阵.另外,该系统满足如下假设:假设1σ(t )和其导数˙σ(t )均实时可测.假设2给定向量h (1),h (2),···,h (p )∈R q 并定义多面体集α=co {h (1),h (2),···,h (p )}={h (t )∈R q |h (t )=p ∑j =1g j h (j ),p ∑j =1g j =1,g j ∈[0,1],t 0},则对于h (t ):=[h 1(t )h 2(t )···h q (t )]T ∈α,假设∆A (x (t ),σ(t ))=q ∑i =1h i (t )A (i )(x (t ),σ(t )),∆B 2(x (t ),σ(t ))=q ∑i =1h i (t )B (i )2(x (t ),σ(t )),(2)其中A (i )(x (t ),σ(t ))∈R n ×n 和B (i )2(x (t ),σ(t ))∈R n ×m 是给定的矩阵.显见,h (t )被限制在由h (1),h (2),···,h (p )这些顶点构成的凸多面体内,即设系统(1)具有形如式(2)的凸多面体不确定性.注1系统(1)的系数矩阵不依赖于状态或时变参数时,会分别退化成一类多项式型LPV 或非线性时不变系统,详见式(23)和式(25).换言之,本文研究的NPV 系统是这两类系统的推广,更具一般性.为便于陈述,接下来将与时间t 相关的量都进行简写,如x (t ),σ(t )和h (t )分别简写为x ,σ和h .另外,定义σk ,A k (x,σ)和A (i )k (x,σ)分别为σ,A (x,σ),A (i )(x,σ)的第k 行,˜J ={˜j 1,˜j 2,···,˜j ˜k }表示矩阵B 2(x,σ)+∆B 2(x,σ)中所有零行对应行标构成的集合,ˆJ ={ˆj 1,ˆj 2,···,ˆj ˆk }为矩阵[B 1(x,σ)B 2(x,σ)+∆B 2(x,σ)]中所有零行对应行标构成的集合,并令˜x =[x ˜j 1x ˜j 2···x ˜j ˜k ]T ,ˆx =[x ˆj 1x ˆj 2···x ˆj ˆk ]T .针对系统(1),设计下列状态反馈控制器:u =K (x,σ,˙σ)x,(3)其中K (x,σ,˙σ)∈R m ×n 是待设计控制器增益矩阵.结合式(1)–(3),可得相应闭环系统˙x =(A cl (x,σ,˙σ)+q ∑i =1h i A (i )cl (x,σ,˙σ))x +B 1(x,σ)w,z =C cl (x,σ,˙σ)x +D 1(x,σ)w,(4)其中:A cl (x,σ,˙σ)=A (x,σ)+B 2(x,σ)K (x,σ,˙σ);A (i )cl (x,σ,˙σ)=A (i )(x,σ)+B (i )2(x,σ)K (x,σ,˙σ);C cl (x,σ,˙σ)=C (x,σ)+D 2(x,σ)K (x,σ,˙σ).本文研究系统(1)的非线性鲁棒H ∞控制问题,具体是指设计一个时变参数及其导数依赖的状态反馈控制器(3),使得相应闭环系统(4)在零平衡点一致渐近稳定且有L 2−增益 γ.在本小节末,给出后续推导需要的定义和引理.定义1[5]设f (x )是一个关于x ∈R n 的多项式,若存在一组多项式f 1(x ),f 2(x ),···,f m (x )使得f (x )=m ∑i =1f 2i (x ),则称f (x )为SOS 多项式.由上述定义可知,f (x )是SOS 多项式就意味着f (x ) 0,反之则不一定成立.虽然SOS 条件是多项式非负的一个充分条件,但已有数值仿真结果表明由此带来的保守性很小[16],在某些情况下两者甚至是等第6期周燕茹等:一类具有凸多面体不确定性的非线性变参数系统鲁棒H ∞控制997价的[5,17],例如二次多项式.定义2[18]考虑系统Π:{˙x =A (x )x +B (x )w,z =C (x )x +D (x )w,其初始条件x (0)=0.给定标量γ>0,如果对所有的T 0和w (t )∈L 2[0,T ],都有T 0∥z (t )∥2d t γ2T∥w (t )∥2d t,则系统Π的L 2−增益 γ.引理1[19]设P (x )∈S [x ]m对所有x ∈R n都是非奇异的,则有∂P (x )∂x i =−P (x )∂P −1(x )∂x i P (x ),i =1,2,···,n.引理2[20]给定适当维数的矩阵E ,H 和G ,其中G 是对称的,则G +HF E +E T F T H T <0,对所有满足F T F I 的矩阵F 成立,当且仅当存在一个常数ε>0,使得G +εHH T +ε−1E T E <0.3主要结论首先考虑系统(1)不存在外部扰动w 情形,此时相应闭环系统为˙x =(A cl (x,σ,˙σ)+q ∑i =1h i A (i )cl (x,σ,˙σ))x,(5)对其运用Lyapunov 稳定性理论,可得出下列结论:定理1若存在一个连续可微的函数V (x,σ),V (x (0),σ(0))=0,使得对∀t 0和∀h ∈α有W 1(x ) V (x,σ) W 2(x ),(6)˙v j (x,σ) −W 3(x ),j =1,2,···,p,(7)则闭环系统(5)在零平衡点是一致渐近稳定的.其中W i (x )(i =1,2,3)是连续正定函数,˙v j (x,σ)=˙V(x,σ)|h =h (j ).证对系统(5),定义h (j )i 为h (j )的第i 行元素,有˙v j (x,σ)=˙V(x,σ)|h =h (j )=∂V (x,σ)∂σ˙σ+∂V (x,σ)∂x ˙x |h =h (j )=∂V (x,σ)∂σ˙σ+∂V (x,σ)∂x (A cl (x,σ,˙σ)+q ∑i =1h (j )i A (i )cl (x,σ,˙σ))x,(8)˙V (x,σ)=∂V (x,σ)∂σ˙σ+∂V (x,σ)∂x˙x =∂V (x,σ)∂σ˙σ+∂V (x,σ)∂x(A cl (x,σ,˙σ)x )+∂V (x,σ)∂x (q ∑i =1(p ∑j =1g j h (j )i )A (i )cl (x,σ,˙σ)x )=∂V (x,σ)∂σ˙σ+∂V (x,σ)∂x (A cl (x,σ,˙σ)x )+p ∑j =1g j (∂V (x,σ)∂x (q ∑i =1h (j )i A (i )cl (x,σ,˙σ)x )).(9)由于p ∑j =1g j =1且g j 0,结合式(7)–(9),易知˙V (x,σ)=p∑j =1g j ˙v j (x,σ) −W 3(x ),(10)最后,由式(6)(10)成立,可知闭环系统(5)在零平衡点是一致渐近稳定的.证毕.在上述结论基础上,进一步采用SOS 理论,可得出相应非线性鲁棒状态反馈控制器的求解方法.定理2考虑系统(1)不存在w 情形,对给定正多项式ε1(˜x ) ε2(˜x )和ε3j (x )(j =1,2,···,p ),若存在Y (x,σ,˙σ)∈R [x,σ,˙σ]m ×n 和P (˜x ,σ)∈S [˜x ,σ]n使得τT 0(P (˜x ,σ)−ε1(˜x )I )τ0∈Φsos ,(11)τT 1(ε2(˜x )I −P (˜x ,σ))τ1∈Φsos ,(12)−δT j (Ξ1j (x,σ,˙σ)+ε3j (x )I )δj ∈Φsos ,j =1,2,···,p,(13)则存在一个非线性鲁棒控制器(3)能保证闭环系统(5)在零平衡点一致渐近稳定,相应控制器增益矩阵K (x,σ,˙σ)=Y (x,σ,˙σ)P −1(˜x ,σ).其中:δj ∈R n ,τ1∈R n ,τ0∈R n ,Ξ1j (x,σ,˙σ)=−s ∑k =1∂P (˜x ,σ)∂σk σk −∑k ∈˜J∂P (˜x ,σ)∂x k (A k (x,σ)+q ∑i =1h (j )i A (i )k (x,σ))x +He(˜A j (x,σ)P (˜x ,σ)+˜B 2j (x,σ)Y (x,σ,˙σ)),˜A j (x,σ)=A (x,σ)+q ∑i =1h (j )i A (i )(x,σ),˜B 2j (x,σ)=B 2(x,σ)+q ∑i =1h (j )i B (i )2(x,σ).证首先,定义Lyapunov 函数V (x,σ)=x T ×P −1(˜x ,σ)x .由定义1,式(11)–(12)成立,可知0<ε−12(˜x )I P −1(˜x ,σ) ε−11(˜x )I,因此,显然有0<ε−12(˜x )∥x ∥2V (x,σ) ε−11(˜x )∥x ∥2,(14)这意味着V (x,σ)是正定且有界的.998控制理论与应用第40卷接着,对于闭环系统(5),有˙v j(x,σ)=(˙x T P−1(˜x,σ)x+x T P−1(˜x,σ)˙x+x T˙P−1(˜x,σ)x)|h=h(j)=x T(He(P−1(˜x,σ)(A cl(x,σ,˙σ)+q∑i=1h(j)iA(i)cl(x,σ,˙σ)))+∑k∈˜J∂P−1(˜x,σ)∂x k(A k(x,σ)+q∑i=1h(j)iA(i)k(x,σ))x+s∑k=1∂P−1(˜x,σ)∂σk˙σk)x=x T(He(P−1(˜x,σ)(˜A j(x,σ)+˜B 2j (x,σ)K(x,σ,˙σ)))+∑k∈˜J∂P−1(˜x,σ)∂x k(A k(x,σ)+q∑i=1h(j)iA(i)k(x,σ))x+s∑k=1∂P−1(˜x,σ)∂σk˙σk)x,(15)再由条件(13)可得Ξ1j(x,σ,˙σ)+ε3j(x)I 0,对其左右两边分别乘以P−1(˜x,σ),并令K(x,σ,˙σ)=Y(x,σ,˙σ)P−1(˜x,σ),则结合式(15)和引理1,可知˙v j(x,σ) −x T P−2(˜x,σ)ε3j(x)x,又由于0<ε−12(˜x)I P−1(˜x,σ),故˙v j(x,σ) −ε3j(x)ε−22(˜x)x T x.(16)根据定理1,由式(14)和式(16)成立,可知闭环系统(5)在零平衡点一致渐近稳定.证毕.注2P(˜x,σ)所有元素的最高阶数应为偶数(0,2,4,···),这是式(11)成立的前提条件.注3借鉴文献[19]的思想,上述证明选用一种依赖于系统状态和时变参数的多项式型或有理式型Lyapunov函数.这利用了B2(x,σ)+∆B2(x,σ)的结构特征,避免求Lyapunov 函数的一阶导数时出现与控制输入u相关的非凸项,且其相比V(x,σ)=x T P−1(σ)x情形可增加求出可行解的成功率.接下来考虑系统(1)存在外部扰动情形,给出相应的非线性鲁棒H∞控制可解性条件.定理3给定常数γ>0,正多项式ε1(ˆx) ε2(ˆx)和ε3j(x,σ)(j=1,2,···,p),若存在P(ˆx,σ)∈S[ˆx,σ]n和Y(x,σ,˙σ)∈R[x,σ,˙σ]m×n使得τT(P(ˆx,σ)−ε1(ˆx)I)τ0∈Φsos,(17)τT1(ε2(ˆx)I−P(ˆx,σ))τ1∈Φsos,(18)−ˆδT j(Ξ2(x,σ,˙σ)+ε3j(x)I)ˆδj∈Φsos,(19)则存在一个状态反馈鲁棒H∞控制器(3)能保证闭环系统(4)在零平衡点一致渐近稳定且有L2−增益 γ,相应控制器增益K(x,σ,˙σ)=Y(x,σ,˙σ)P−1(ˆx,σ).其中:Ξ2(x,σ,˙σ)=Ξ2j(x,σ,˙σ)∗∗B T1(x,σ)−γ2I∗Ξ3(x,σ,˙σ)D1(x,σ)−I,ˆδj∈R n+l+r,j=1,2,···,p,Ξ2j(x,σ,˙σ)=He(˜A j(x,σ)P(ˆx,σ)+˜B2j(x,σ)Y(x,σ,˙σ))−s∑k=1∂P(ˆx,σ)∂σk˙σk−∑k∈ˆJ∂P(ˆx,σ)∂x k(A k(x,σ)+q∑i=1h(j)iA(i)k(x,σ))x,Ξ3(x,σ,˙σ)=D2(x,σ)Y(x,σ,˙σ)+C(x,σ)P(ˆx,σ).证对于闭环系统(4),先定义Lyapunov函数V(x,σ)=x T P−1(ˆx,σ)x,可得˙v j(x,σ)+z T z−γ2w T w=(˙x T P−1(ˆx,σ)x+x T˙P−1(ˆx,σ)x+x T P−1(ˆx,σ)˙x)|h=h(j)+z T z−γ2w T w=x T He(P−1(ˆx,σ)(˜B2j(x,σ)K(x,σ,˙σ)+˜Aj(x,σ)))x+He(x T P−1(ˆx,σ)B1(x,σ)w)+x T(∑k∈ˆJ∂P−1(ˆx,σ)∂x k(A k(x,σ)+q∑i=1h(j)iA(i)k(x,σ))x+s∑k=1∂P−1(ˆx,σ)∂σk˙σk)x+(C cl(x,σ,˙σ)x+D1(x,σ)w)T(C cl(x,σ,˙σ)x+D1(x,σ)w)−γ2w T w=[xw]T[Γ11∗Γ21Γ22][xw],(20)其中:Γ11=He(P−1(ˆx,σ)(˜B2j(x,σ)K(x,σ,˙σ)+˜A j(x,σ)))+∑k∈ˆJ∂P−1(ˆx,σ)∂x k(q∑i=1h(j)iA(i)k(x,σ)+A k(x,σ))x+C Tcl(x,σ,˙σ)C cl(x,σ,˙σ)+s∑k=1∂P−1(ˆx,σ)∂σk˙σk,Γ22=D T1(x,σ)D1(x,σ)−γ2I,Γ21=B T1(x,σ)P−1(ˆx,σ)+D T1(x,σ)C cl(x,σ,˙σ).再由式(19)成立,易知Ξ2(x,σ,˙σ)<0,对其分别左乘和右乘diag{P−1(ˆx,σ),I,I},并根据Schur补引理和式(20),可知˙v j(x,σ)+z T z−γ2w T w<0,(21)第6期周燕茹等:一类具有凸多面体不确定性的非线性变参数系统鲁棒H ∞控制999进一步,由˙V (x,σ)=p ∑j =1g j ˙v j (x,σ)和p ∑j =1g j =1,有˙V(x,σ)+z T z −γ2w T w <0.(22)接着,在V (x (0),σ(0))=0条件下,对上式从t =0到t =T 进行积分,可得T(∥z (t )∥2−γ2∥w (t )∥2)d tV (x (0),σ(0))−V (x (T ),σ(T )) 0,根据定义2,可知系统(4)有L 2−增益 γ.最后,由式(19)成立显然有Ξ2j (x,σ,˙σ)+ε3j (x )I 0,余下的证明同定理2.证毕.在上述定理的基础上,令β=γ2,则其相应的最优H ∞问题可转化为下列SOS 凸优化问题.此时,若求得β的最小值为˜β,则对应γ的最小值γopt =√˜β.min β;s .t .式(17)–(19)成立.注意到,一方面,当系统(1)的系数矩阵不依赖于状态时,其退化成如下一类多项式型LPV 系统:˙x =(A (σ)+∆A (σ))x +B 1(σ)w +(B 2(σ)+∆B 2(σ))u,z =C (σ)x +D 1(σ)w (t )+D 2(σ)u (t ),(23)相应地,假设其不确定性满足∆A (σ)=q ∑i =1h i A (i )(σ),∆B 2(σ)=q ∑i =1h i B (i )2(σ),并对该系统设计状态反馈控制器u =K (σ,˙σ)x ,则可得到如下闭环系统: ˙x =(A cl (σ,˙σ)+q ∑i =1h i A (i )cl (σ,˙σ))x +B 1(σ)w,z =C cl(σ,˙σ)x +D 1(σ)w,(24)其中:A cl (σ,˙σ)=A (σ)+B 2(σ)K (σ,˙σ),A (i )cl (σ,˙σ)=A (i )(σ)+B (i )2(σ)K (σ,˙σ),C cl (σ,˙σ)=C (σ)+D 2(σ)K (σ,˙σ).另一方面,当系统(1)中系数矩阵只依赖于状态时,其退化成如下一类多项式型非线性时不变系统:˙x =(A (x )+∆A (x ))x +B 1(x )w +(B 2(x )+∆B 2(x ))u,z =C (x )x +D 1(x )w +D 2(x )u,(25)相应地,假设其不确定性满足∆A (x )=q ∑i =1h i A (i )(x ),∆B 2(x )=q ∑i =1h i B (i )2(x ),并对该系统设计非线性状态反馈控制器u =K (x )x ,则可得到如下闭环系统:˙x =(A cl (x )+q ∑i =1h i A (i )cl (x ))x +B 1(x )w,z =C cl (x )x +D 1(x )w,(26)其中:A cl (x )=A (x )+B 2(x )K (x ),A (i )cl (x )=A (i )(x )+B (i )2(x )K (x ),C cl (x )=C (x )+D 2(x )K (x ).在定理3的基础上,下面分别给出LPV 系统(23)和非线性时不变系统(25)的鲁棒H ∞控制可解性条件.推论1对系统(23),给定常数γ>0,正多项式ε1(σ) ε2(σ)和ε3j (σ)(j =1,2,···,p ),若存在Y (σ,˙σ)∈R [σ,˙σ]m ×n 和P (σ)∈S [σ]n使得τT0(P (σ)−ε1I )τ0∈Φsos ,τT 1(ε2I −P (σ))τ1∈Φsos ,−ˆδT j(Ξ2(σ,˙σ)+ε3j I )ˆδj ∈Φsos ,则存在一个非线性鲁棒H ∞控制器u =K (σ,˙σ)x 能保证闭环系统(24)在零平衡点一致渐近稳定且有L 2−增益 γ,相应控制器增益K (σ,˙σ)=Y (σ,˙σ)P −1(σ).其中:Ξ2(σ,˙σ)= Ξ2j (σ,˙σ)∗∗B T1(σ)−γ2I ∗Ξ3(σ,˙σ)D 1(σ)−I ,Ξ2j (σ,˙σ)=He(˜A j (σ)P (σ)+˜B 2j (σ)Y (σ,˙σ))−s ∑k =1∂P (σ)∂σk˙σk ,Ξ3(σ,˙σ)=C (σ)P (σ)+D 2(σ)Y (σ,˙σ),j =1,2,···,p.推论2对于系统(25),给定常数γ>0,正多项式ε1(ˆx ) ε2(ˆx )和ε3j ∈(x )(j =1,2,···,p ),若存在P (ˆx )∈S [ˆx ]n 和Y (x )∈R [x ]m ×n使得τT0(P (ˆx )−ε1(ˆx )I )τ0∈Φsos ,τT 1(ε2(ˆx )I −P (ˆx ))τ1∈Φsos ,−ˆδT j(Ξ2(x )+ε3j (x )I )ˆδj ∈Φsos ,则存在一个非线性鲁棒H ∞控制器u =K (x )x 能保证闭环系统(26)在零平衡点一致渐近稳定且有L 2−增益 γ,相应控制器增益矩阵K (x )=Y (x )P −1(ˆx ).其中:Ξ2(x )= Ξ2j (x )∗∗B T 1(x )−γ2I ∗Ξ3(x )D 1(x )−I,j =1,2,···,p,Ξ2j (x )=He(˜A j (x )P (ˆx )+˜B2j (x )Y (x ))−1000控制理论与应用第40卷∑k ∈ˆJ∂P (ˆx )∂x k (A k (x )+q ∑i =1h (j )i A (i )k (x ))x,Ξ3(x )=C (x )P (ˆx )+D 2(x )Y (x ).4数值仿真例1以文献[10]中的NPV 系统为仿真对象,其状态空间描述为˙x = σ11σ22x 121+σ2+σ22x 12 x +[01]w +[01]u,z =[00.1]x,(27)其中:x =[x 1x 2]T ,σ1=e t ,σ2=t .设该系统受多方面因素影响存在形如式(2)的不确定性,相关参数为A (1)(x,σ)=[σ1000],A (3)(x,σ)= 000σ2+σ222 ,A (2)(x,σ)= 00σ222x 10,B (i )2(x,σ)=0(i =1,2,3).另外,将h 限制在由顶点h (1)=[0.500]T ,h (2)=[−0.500]T ,h (3)=[00.50]T ,h (4)=[0−0.50]T ,h (5)=[000.5]T ,h (6)=[00−0.5]T 构成的凸八面体内,如图1所示.图1不确定向量h 的变化范围Fig.1Variation range of uncertain vector h对于系统(27),易知ˆJ ={1}.取Y (x,σ,˙σ)和P (ˆx ,σ)的阶数为2阶,给定ε1(ˆx )=10−6,ε2(ˆx )=4×104和ε3j (x )=0.01(j =1,2,···,6),并采用MATLAB 工具箱SOSTOOLS [5]进行H ∞性能指数γ优化问题求解,可得出非线性鲁棒H ∞控制器(3)及γopt =0.1617.接下来,为验证本文工作的有效性和优势,针对下列两个方面给出仿真结果和分析:1)存在不同扰动和不确定性的NPV 系统控制.为检验所设计方法的有效性,给定初始值x (0)=[−0.01−0.01]T 并绘制3种不同情况的仿真曲线:a)标称系统(nominal system,NS).h =p 1=0,w =0;b)受扰且不确定系统1(disturbed and uncertain sy-stem 1,DUS1).h =p 2=[0.05−0.10.35]T ,w ={2sin(5πt )+2cos(10πt ),0<t 0.1,0,t >0.1;c)受扰且不确定系统2(disturbed and uncertain sy-stem 2,DUS2).h =p 3=[−0.40.05−0.05]T ,w ={e 6t +t,0<t 0.3,0,t >0.3.图2和3是状态时间响应曲线,图4和图5分别是外部干扰和控制输入曲线.从这些图可看出,3种不同情形下的闭环系统在零平衡点都渐近稳定;随着时间增长,不确定性或扰动对系统影响逐渐消失,在0.5s 左右,两个受扰且不确定系统响应与标称系统保持一致.仿真结果表明,所得非线性鲁棒H ∞控制器能较好抑制外部扰动和适应大范围参数摄动.图2x 1的时间响应曲线Fig.2Trajectories of x1图3x 2的时间响应曲线Fig.3Trajectories of x 2第6期周燕茹等:一类具有凸多面体不确定性的非线性变参数系统鲁棒H ∞控制1001图4外部干扰wFig.4External disturbancesw图5控制输入u Fig.5Control input u2)NPV 系统和LPV 系统的非线性鲁棒H ∞控制.为进一步说明本文方法的优势,与LPV 方法进行对比研究.将系统(27)在零平衡点处线性化,可得出其形如式(23)的LPV 模型.在与DUS1相同仿真条件下,可求出该LPV 系统的非线性鲁棒H ∞控制器和γopt =0.1021,并绘制出两种方法相应的闭环仿真曲线.从图6–8可知,随着时间的增长,参数不确定性和外部干扰对LPV 和NPV 系统的影响逐渐消失,相应闭环系统状态都能收敛到零平衡点.然而,相比LPV 控制,NPV 控制收敛速度更快,超调更小,需要的控制力矩也更小,具有更好的控制性能图6LPV 系统和NPV 系统的x 1时间响应曲线Fig.6Trajectories of x 1for LPV and NPVsystems图7LPV 系统和NPV 系统的x 2时间响应曲线Fig.7Trajectories of x 2for LPV and NPVsystems图8LPV 系统和NPV 系统的控制输入u Fig.8Control inputs u of LPV and NPV systems例2为更好验证本文方法的有效性和优势,考虑文献[9,12]给出的倾转旋翼无人机模态转换阶段的纵向动力学NPV 模型,具体如下:{˙x =A (x,σ)x +B 1w +B 2(x,σ)u,z =Cx +D 1w +D 2u,(28)其中:x =[∆V ∆α∆ϑ∆q ∆H ]T ∈R 5,u =[∆F x t ∆F y t ∆M z ]T ∈R 3,σ=[τ˙τ]T ∈R 2;对应目标轨迹x ∗=[V ∗α∗ϑ∗q ∗H ∗]T 和输入基准值u ∗=[F ∗x t F ∗y t M ∗z ]T,∆V ,∆α,∆ϑ,∆q 和∆H 分别是倾转旋翼无人机速度误差、攻角误差、俯仰角误差、俯仰角速率误差和高度误差,∆F x t ,∆F y t ,∆M z 分别是沿机体x 轴和y 轴力的分量误差以及俯仰力矩误差,τ为倾转角,˙τ为倾转角速度;C =[10117],A (x,σ)=0−12F ∗y t 000A 21A 220100001000000∆ϑ−∆α−V ∗V ∗00,B 1= 10000,B 2(x,σ)= 0.5B 120B 21B 2200000019.45000 ;1002控制理论与应用第40卷D2=[001],D1=0,A21=−12(F∗x tα∗+F∗y t)(a∆V+2aV∗+b),A22=−F∗x t2[a(V∗+∆V)2+b(V∗+∆V)+c],B12=−12(α∗+∆α),B22=−12[a(V∗+∆V)2+b(V∗+∆V)+c],B21=−12(α∗+∆α)[a(V∗+∆V)2+b(V∗+∆V)+c];a=8.791×10−4,b=−0.03274,c=0.3491,α∗=−9.59×10−8τ3+1.563×10−5τ2−8.149×10−4τ+3.981×10−2,ϑ∗=α∗,H∗=20,V∗=−2.797×10−3τ2−2.973×10−2τ+23.04, q∗=(−2.877×10−7τ2+3.126×10−5τ−8.149×10−4)˙τ,F∗x t=(1.546×10−8τ2−1.118×10−2τ−5.935×10−2)˙τ,F∗y t=(2.169×10−7τ2+2.596×10−4τ+2.753×10−3)˙τ,M∗z=(−1.479×10−8τ2+1.607×10−6τ−4.189×10−5)¨τ+(−2.958×10−8τ+1.607×10−6)˙τ.为使该无人机轨迹设计更加系统化,采用常用的7段加减速算法[21]规划下列倾转角τ的轨迹,如图9所示.τ=78−t360,0 t 3,−0.15(t−3)2−0.45(t−3)+77.55,3<t 10,(t−10)360−0.15(t−10)2−2.55(t−10)+67.05,10<t 13,−3(t−13)+58.5,13<t 26,(t−26)360−3(t−26)+19.5,26<t 29,0.15(t−29)2−2.55(t−29)+10.95,29<t 36,−(t−36)360+0.15(t−36)2−0.45(t−36)+0.45,36<t 39,0,t>39.图9τ的轨迹Fig.9Trajectories ofτ假设受多方面因素影响,该倾转旋翼无人机的动力学参数a,b和c存在大范围摄动情形,将其表示为形如式(2)的凸多面体不确定性,相关参数为B(i)2(x,σ)=0(i=1,2,3),A(1)(x,σ)=00000∆A(1)21∆A(1)22000000000000000000,A(2)(x,σ)=00000∆A(2)21∆A(2)22000000000000000000,A(3)(x,σ)=000000∆A(3)22000000000000000000,∆A(1)21=−(F∗x tα∗+F∗y t)(a×∆V+2aV∗)2,∆A(1)22=−F∗x t a(V∗+∆V)22,∆A(2)21=−(F∗x tα∗+F∗y t)b2,∆A(2)22=−F∗x t b(V∗+∆V)2,∆A(3)22=−F∗x t c2.另外,同样将h限制在由6个顶点h(j)(j=1,2, (6)构成的如图1所示的凸八面体内.根据定理3,给定ε1(ˆx)=10−8,ε2(ˆx)=1,ε3j(x)=1×10−5(j=1,2,···,6)和γ=0.9,并取P(ˆx,σ)和Y(x,σ,˙σ)的阶数都为2阶,则通过SOSTOOLS求解可得出相应的非线性鲁棒H∞控制器(3).接下来,为验证本文工作的有效性和优势,针对下列两个方面给出仿真结果和分析:第6期周燕茹等:一类具有凸多面体不确定性的非线性变参数系统鲁棒H ∞控制10031)存在不同扰动和不确定性的NPV 系统控制.为验证所设计方法的有效性,给定初始值x (0)=[10.010.010.010.1]T ,并绘制出目标轨迹以及下列两种不同情况下的仿真曲线:a)DUS1.h =p 4=[0.10.20.2]T ,w ={200t +1000,0<t 15,0,t >15;b)DUS2.h =p 5=[−0.15−0.2−0.15]T ,w ={2000sin t,0<t 20,0,t >20.从图10–15可看出,随着时间增长,参数不确定性或扰动对倾转旋翼无人机系统的影响逐渐消失,在22s 左右,两个受扰且不确定情形下的系统响应与目标状态轨迹保持一致.在39s 左右,该倾转旋翼无人机完成从直升机到固定翼飞机的模态转换,随后以23.5m /s 的速度在固定翼模式保持稳定的飞行.仿真结果表明,本文所得非线性鲁棒H ∞控制器不仅很好实现了倾转旋翼无人机的模态转换控制,且对外部扰动和参数不确定性具有较强鲁棒性.7图10V 的轨迹Fig.10Trajectories ofV图11α的轨迹Fig.11Trajectories of α2)NPV 系统和LPV 系统的非线性鲁棒H ∞控制.为与LPV 方法作对比研究,将系统(28)在零平衡点线性化,可得出其LPV 模型,但在与NPV 系统同等仿真条件下,无法求出该LPV 系统的可行控制器.由此可见,本文方法更具一般性,可适用更大作用范围.图12ϑ的轨迹Fig.12Trajectories ofϑ图13q 的轨迹Fig.13Trajectories ofq图14H 的轨迹Fig.14Trajectories ofH图15外部干扰w Fig.15External disturbances w1004控制理论与应用第40卷5结论针对存在凸多面体不确定性和外部扰动的NPV系统,本文设计了一种基于SOS的非线性鲁棒H∞控制方法.该方法将LPV系统和多项式时不变系统框架下的一些重要思想推广应用到不确定NPV系统中,能更好表征被控对象的非线性、时变和不确定性特征,并可借助有效凸优化算法进行检验,有效克服了非线性和时变控制研究中普遍存在的计算困难.仿真结果表明,所得控制器在保证闭环系统一致渐近稳定的基础上,具有较好鲁棒性和自身优势.参考文献:[1]SHAMM J S.Analysis and design of gain scheduled control systems.Cambridge,MA,United States:Massachusetts Institute of Technol-ogy,1988.[2]PANDEY A P,DE OLIVEIRA M C.Discrete-time H∞control oflinear parameter-varying systems.International Journal of Control, 2019,92(12):2750–2760.[3]QUADROS M M,BESSA I V D,LEITE V J S.Fault tolerant con-trol for linear parameter varying systems:An improved robust virtual 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基于多面体系统表征的不确定性系统的鲁棒故障检测
王曰英;周平方;陈丽;段登平
【期刊名称】《化工自动化及仪表》
【年(卷),期】2009(036)005
【摘要】采用直接估计故障的方法研究用多面体系统表示的模型不确定性系统的鲁棒故障检测问题.基于全阶滤波器构造残差产生系统,采用线性矩阵不等式方法,推导出故障检测滤波器存在的充分条件.实例仿真结果表明,设计得到的故障检测滤波器能够很好地复现故障信号,并对外界扰动信号和系统的不确定性具有鲁棒性.【总页数】4页(P21-24)
【作者】王曰英;周平方;陈丽;段登平
【作者单位】上海交通大学,航空航天学院,上海,200240;上海交通大学,航空航天学院,上海,200240;上海交通大学,航空航天学院,上海,200240;上海交通大学,航空航天学院,上海,200240
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
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4.基于Riccati方程的时滞不确定性系统鲁棒H_∞滤波器设计 [J], 蔡云泽;何星;张卫东;许晓鸣
5.一类不确定性系统鲁棒H_∞控制器 [J], 付文
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多面体不确定线性系统具有约束满足保证的预测控制盛云龙;苏宏业;褚健【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2003(020)002【摘要】基于不变集理论，拓展了Chiscil等人提出的约束不变预测控制方法(IC-PC)，提出了一种适用于带约束多面体不确定线性系统的预测控制的框架.其关键在于为针对标称系统设计的在线优化问题附加适当的额外的鲁棒可行约束.若优化问题在初始阶段可行，则此约束可保证在线优化问题始终可行，从而保证了实际系统中约束条件的始终满足.同时提出了闭环系统鲁棒稳定的一个充分条件，可为成本函数的选择提供指导以保证预测控制器的鲁棒镇定.%Based on the invariant set theory, invariance constraint predictive control (IC-PC) first proposed by Chiscil et al, is extended and generalized to a framework of model predictive control for constrained linear systems with polytopic uncertainty. The crucial point is to reformulate online optimization problem corresponding to nominal model with an appropriate additional robust and feasible constraint. It is shown that in this configuration feasibility of online optimization problem as well as satisfaction of constraints for the real plant can be guaranteed in all time steps if the optimization problem is feasible at the initial stage. Moreover, a sufficient condition of robust stability is given for closed-loop uncertain system, which provides a guide to the choice of cost function to guarantee robust stability.【总页数】6页(P193-198)【作者】盛云龙;苏宏业;褚健【作者单位】工业控制技术国家重点实验室,浙江大学先进控制研究所,浙江,杭州,310027;工业控制技术国家重点实验室,浙江大学先进控制研究所,浙江,杭州,310027;工业控制技术国家重点实验室,浙江大学先进控制研究所,浙江,杭州,310027【正文语种】中文【中图分类】TP273【相关文献】1.凸多面体不确定时滞系统鲁棒模型预测控制 [J], 李善强;石宇静;陈东彦;王俊明2.改进的凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒稳定条件 [J], 胡军;陈东彦;赵岩峰3.多面体不确定时滞系统的鲁棒预测控制 [J], 张译江;刘飞4.连续时间多面体不确定系统的鲁棒预测控制 [J], 刘晓华;韩春艳5.多面体不确定系统时滞依赖鲁棒预测控制 [J], 刘晓华;于晓华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
