22二分法及函数模型

知识图谱-函数与方程零点的概念与二分法零点存在性判断定理函数与方程综合第02讲_函数模型及其应用错题回顾函数与方程知识精讲一．函数零点的概念1．函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．2．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3．二次函数的零点：，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．二．函数零点存在性判定定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点．即存在，使得，这个也就是方程的根．说明：这样得到方程在区间内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值．三．函数零点的基本性质从“数”的角度看：即是使的实数．从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标．若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．四．二次函数零点的分布问题1．当，在区间上的最大值，最小值，令．若，则，；若，则，；若，则，；若，则．2．二次方程的实根分布及条件．（1）二次方程的两不等实数根中一根比大，另一根比小；（2）二次方程的两不等实数根都大于（3）二次方程在区间内有两不等实数根（4）二次方程在区间内只有一根（不包括两等根），当或检验另一根若在内成立．五．二分法1．二分法定义：我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再进行比较，按需求留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求函数零点的近似值（1）确定区间，验证，给定精确度．（2）求区间的中点．（3）计算①若，则就是函数的零点；②（2）若，则令；③若，则令．（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值（或），否则重复第二、三、四步．三点剖析一．注意事项利用零点存在性定理判定函数的零点个数时，当函数在区间上是连续不断的曲线，且，此时可得函数在区间存在零点，但个数不能确定，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．二．方法点拨函数零点个数的判断方法1．直接求零点令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．当单调，在内有且只有一个零点．3．利用图象交点的个数画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．题模精讲题模一零点的概念与二分法例1.1、函数的零点为________．例1.2、若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是x=0和x=____．例1.3、已知，函数恒有零点，求实数的取值范围．例1.4、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5例1.5、用二分法求方程的正实根的近似解(精确度)时，如果我们选取初始区间是，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．题模二零点存在性判断定理例2.1、已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的，x，f（x）对应值表如下：则函数y=f（x）存在零点的区间有（）A、区间[1，2]和[2，3]B、区间[2，3]和[3，4]C、区间[2，3]和[3，4]和[4，5]D、区间[3，4]和[4，5]和[5，6]例2.2、若方程2ax2-1=0在（0，1）内恰有一解，则实数a的取值范围是____．题模三函数与方程综合例3.1、设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A、B、C、D、例3.2、已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是_______．例3.3、已知函数f（x）=x2+（2-a）x+4，a∈R（1）若a=8，求不等式f（x）＞0的解；（2）若f（x）=0有两根，一根小于2，另一根大于3且小于4，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）=x2+（2-a）x+4在区间[1，3]内有零点，求实数a的取值范围．随堂练习随练1.1、函数f（x）=x3-3x+2的零点为（）A、1，2B、±1，-2C、1，-2D、±1，2随练1.2、函数的一个零点为1，则它的另外一个零点为________随练1.3、若，则方程的根是（）A、B、C、2D、随练1.4、设f（x）=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A、（1，1.25）B、（1.25，1.5）C、（1.5，2）D、不能确定随练1.5、用二分法求下图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（）B、A、C、随练1.6、已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表，那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A、（-∞，1）B、（1，2）C、（2，3）D、（3，+∞）随练1.7、已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是__________．随练1.8、函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________随练1.9、设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A、B、[﹣1，0]（﹣，﹣2]C、（﹣∞，﹣2]D、（﹣，+∞）自我总结课后作业作业1、若求下列函数的零点：（1）；（2）作业2、二次函数中，则函数的零点个数是（）A、没有零点B、有一个零点C、有2个零点D、不能确定作业3、设f(x)=()x-x+1，用二分法求方程()x-x+1=0在（1，3）内近似解的过程中，f（1）＞0，f（1.5）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，则方程的根落在区间（）A、（1，1.5）B、（1.5，2）C、（2，3）D、无法确定作业4、用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为____．作业5、函数f（x）=x-2-x+1的零点所在区间为（）A、（0，1）B、(1，)C、D、（2，3）(，2)作业6、已知关于x的方程为2kx2-2x-3k-2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（）A、k＞0B、k＜-4C、-4＜k＜0D、k＜-4或k＞0作业7、已知f（x），g（x）均是定义在[﹣2，2]的函数，其中函数f（x）是奇函数，函数f（x）在[﹣2，0]上的图象如图1，函数g（x）在定义域上的图象如图2，则函数y=f[g（x）]的零点个数（）A、3B、4C、5D、6作业8、设函数若f（﹣3）=f（﹣1），f（﹣2）=﹣3，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为个．。

高中数学课本内容分布文科必修一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用文科必修1一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、算法案例二、统计1、随机抽样2、用样本估量总体3、变量间相关关系三、概率1、随机事件概率2、古典概型3、几何概型必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、几何概型。

关于高中数学教材中“函数应用”内容的教学建议作者：武恒彬来源：《考试周刊》2013年第90期摘要：“函数应用”这部分内容体现了新课程强调发展学生数学应用意识和创新意识的思想。

在教学过程中教师要明确教学目标，准确把握基本要求；实现信息技术与“函数应用”学习的有效整合；引导学生领悟函数与方程的密切联系，体会函数思想。

关键词：高中数学教学函数应用教学策略信息技术高中数学《必修1》中的“函数应用”这一章包括两部分内容，一是函数与方程，二是函数模型及其应用。

函数应用的第一个重点是二分法及用二分法求方程近似解，第二个重点是函数模型的应用实例。

这部分内容在课程标准中首次独立成章，充分体现了新课程强调发展学生数学应用意识和创新意识的思想。

增加这部分内容，一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来；二是二分法这部分内容较好地体现了算法的思想，其有效、快速、规范的求解过程，可以为后面学习算法内容做好必要的准备。

因此，在教学过程中教师一定要强调对概念、结论的产生的背景和应用蕴涵的数学思想的理解，让学生领会什么是真正的应用。

一、明确教学目标，准确把握基本要求函数与方程（函数的零点与方程根的关系和用二分法求方程的近似解），函数模型及其应用（几类不同增长的函数模型和函数模型的应用实例）是本章学习的主要内容。

针对这些内容，课本提出了四个学习目标：①结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；②根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；③利用计算工具，比较指数函数，对数函数，以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

高中数学二分法二分法：1、定义：二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。

2、特点：二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。

3、应用场景：二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。

4、具体实现：二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。

5、优点：二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。

6、缺点：二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。

综上所述，二分法是一种有效的有限迭代的方法，是高中数学中必不可少的重要的求解手段，它可以用来求解函数在某一区间最大值、最小值等问题，可以获得近似精确的结果，但同时也有一些缺点需要注意，所以才能在快速有效精确的基础上找到最佳解。

二分法推论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二分法是一种非常重要的数学方法，它在计算机科学、数学和工程学等领域都有着广泛的应用。

本文将通过介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及探讨其优缺点，来阐明二分法的重要性和潜在价值。

通过本文的阐述，读者将更深入地了解二分法的应用领域和潜力，以及对未来发展的展望和建议。

内容1.2 文章结构文章结构部分:本文共分为引言、正文和结论三部分。

在引言部分，将简要概述文章的主题，并介绍文章的结构和目的。

接下来，在正文部分将详细介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及二分法的优缺点。

最后，在结论部分将总结二分法的重要性，展望二分法的未来发展，并提出结论和建议。

整篇文章将围绕二分法展开，深入探讨其相关的理论和实践应用，以期对读者有所启发和帮助。

1.3 目的本文的目的是探讨和分析二分法在实际问题中的应用以及其优缺点，以便更好地理解和应用这一算法。

同时，我们将总结二分法的重要性，展望其未来的发展，并提出结论和建议，希望能为相关领域的研究和实际应用提供有益的参考和指导。

通过本文的阐述和讨论，读者将对二分法有更深入的了解，并在实际问题的解决中能够更灵活地运用该算法，提高问题求解的效率和准确性。

2.正文2.1 二分法的基本概念二分法是一种常见的算法，用于在有序列表中查找特定元素的位置。

其基本思想是将目标元素与列表中间的元素进行比较，然后根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并不断缩小搜索范围，直到找到目标元素或确定其不存在于列表中。

具体来说，二分法的基本步骤如下：1. 首先，确定有序列表的起始位置和结束位置，以及目标元素的值。

2. 然后，找到中间位置的元素，并将其与目标元素进行比较。

3. 如果中间元素等于目标元素，则找到了目标元素的位置；否则，根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并更新搜索范围。

4. 继续对更新后的范围重复上述步骤，直到找到目标元素或确定其不存在。