§5.2 -5.3积分基本方法

积分的基本公式和法则积分是微积分的一个重要概念，它在数学中具有广泛的应用。

本文将介绍积分的基本公式和法则，帮助读者更好地理解和应用积分。

一、基本公式在介绍积分的基本公式之前，我们先来了解一下积分的定义。

积分可以理解为曲线与坐标轴所围成的面积。

具体来说，对于函数f(x)在[a,b]区间上的积分，可以表示为∫(a到b)f(x)dx。

1. 不定积分不定积分是指对一个函数进行积分，但没有明确的积分上下限。

不定积分可以表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示与x的无穷小增量。

不定积分具有以下基本公式：∫kdx = kx + C （k为常数，C为常数项）∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1，C为常数项）∫e^xdx = e^x + C （C为常数项）其中，kx表示k乘以x，x^n表示x的n次方。

2. 定积分定积分是指对一个函数在一个闭区间上进行积分，可以表示为∫(a到b)f(x)dx。

定积分的结果是一个具体的数值。

定积分的计算方法有多种，其中最常用的是牛顿-莱布尼茨公式和换元积分法。

牛顿-莱布尼茨公式可以简化定积分的计算，其表达式为：∫(a到b)f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)为f(x)的一个原函数。

二、积分的法则积分的法则是指在进行积分运算时，可以根据一些规律和性质简化计算过程。

积分的法则包括线性法则、分部积分法、换元积分法等。

1. 线性法则线性法则是指对于两个函数相加或相减的积分，可以分别对每个函数进行积分，然后再相加或相减。

具体表达式为：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx2. 分部积分法分部积分法是一种将积分运算转化为乘法运算的方法。

其基本公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这里的u(x)和v'(x)是原函数f(x)的两个因子，可以根据具体情况选择合适的函数进行求导和积分。

上的原函数, 故有 ( x) F( x) C, x [a, b]
C是待定常数, 即有
ax f (t)dt F (ax) C, x [a, b] a 0 C F (a)
18
x
C F(a),
a f (t)dt F ( x) C
bx f (t )dt F ( xb) F (a) x [a,b] a
它在该区间上的任意一个原函数在区间[a, b] 上的
增量. （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题—— 不定积分与定积分两者之间的内在联系
（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.
（4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又 简便的方法，使得定积分的计算大为简化。
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
部分的和的 形式.)
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
2 0
2sin x
2
2.
2
22
例 2 (2cos x sin x 1)dx 0
解
原式
2sin
x
cos
x
x
2
0
3
2
例 计算曲线y sin x在[0, ]上与x轴所围成的
平面图形的面积.
解 面积 A sin x dx 0
其中 s(t) v(t)
2
T2
T1
v(t )dt
s(T2 )
s(T1 )
启发 如果能从v(t)求出s(t),定积分 T2 v(t)dt
运算就可化为减法
s(T2 )
T1
s(T1 )运算.
这正是第四章已经解决了的微分运算的

分部积分U、V的选择
5^S/TY
第五章不定积分 第3节分部积分法
主讲 韩华
分部积分U、V的选择
一、幂函数乘三角函数
例1求积分J x cos xdx.
( 解(一) 令u — cosx, xdx = — d x2)= dv
2
2
J x cos xdx = ； cos x + J； sin xdx
显然，u,v'选择不当，积分更难进行.
—x[sin(ln x) 一 cos(lnJx)s]in一(ln x )dx
.•.J sin(ln x )dx= ； [sin(ln x) 一 cos(ln x)] + C.
经济数学
:积分
谢谢
THANK YOU
=x arcsin x + 41-X2 + c
同理可 求J arccos xdx = x arccos x — 41 — x2 + c
总结若被积函数是幂函数与反三角函数的乘 积，
就考虑设反三角函数为〃・
分部积分U、V的选择
I、幂函数乘对数函数
例5 求积分J x3 ln xdx.
解 u = In x, x 3dx = d f 于卜 dv,
分部积分U、V的选择
三、幂函数乘反三角函数
经济数学
例3 求积分 J x arctan xdx.
解令 u = arctan x, xdx = d
x2 =dv
X2
2
x arctan xdx =——
x~
arctan x
-J—d (arctan x )
J
2
x
x2 2
dx
arctan x 一 2—1 + x2

成立. ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.
注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的
中间变量变得与积分变量相同. 即
f [(x)] (x)dx 凑 f [(x)]d(x). 3
“凑微分”的方法有: (1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如
(3)
1 ln x dx x
解 原式
1 ln xd ln x
1
ln
xd(1 ln
x)
2
(1
ln
3
x)2
C
3
ex
(4)
dx ex 1
解 原式 d(ex 1) 2 ex 1 C
ex 1
例10 求下列各式的不定积分
(1)
xdx 3x2 4
注1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样. 注2: 本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的 不定积分. 换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分. 分两类讲:
1.根号里是一次式的,即 n ax b
2.根号里是二次式的,即 n a2 x2 , n x2 a2 .
x

1 4
sin
2x

C
同理可得

cos2
xdx

1 2
x

1 4
sin
2x

C
(2) sin3 xdx 解 原式 sin2 xdx cos x (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x c.
3
结论4: 一般地, 对形如 sinn xdx, cosn xdx 这样的不定积分