《2.14定积分与微积分基本定理》 学案

§定积分与微积分基本定理考纲解读分析解读 1.了解微积分基本定理,会求函数的定积分.2.理解定积分的几何意义,会求曲边梯形的面积.3.本节在高考中分值为5分左右,属中低档题.五年高考考点一定积分的计算1.(2014陕西,3,5分)定积分(2x+e x)dx的值为()+2+1答案C2.(2014湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()====答案A3.(2013江西,6,5分)若S1=()<S2<S3<S1<S3<S3<S1<S2<S1答案B4.(2015湖南,11,5分)dx=.答案0教师用书专用(5—7)5.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是().1答案C6.(2013湖南,12,5分)若x2dx=9,则常数T的值为.答案37.(2013福建,15,5分)当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+…+x n+…=.两边同时积分得:答案考点二定积分的意义1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()答案D2.(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()+25ln5+25ln+25ln5+50ln2答案C3.(2015天津,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案教师用书专用(5)5.(2014辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是.答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一定积分的计算1.(2018北师大附中期中,5)若a=e x dx,b=xdx,c=dx,则a,b,c的大小关系是()<b<c<c<a<a<b<b<a答案D2.(2017湖南摸底联考,5)设实数a=log23,b=lo,c=,则()>b>c>c>b>a>c>c>a答案A3.(人教A选2—2,一,1-6A,1,变式)已知f(x)=(e为自然对数的底数),则f(x)dx=()C. D.答案D考点二定积分的意义4.(2018江西重点中学联考,6)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,过C,M,D三点的抛物线与CD围成阴影部分,则向正方形内随机撒一粒黄豆,黄豆落在阴影部分的概率是()A. B. C. D.答案D5.(2017山西大学附中第二次模拟,13)曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.6.(人教A选2—2,一,1-7B,1,变式)计算:dx=.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018湖南衡阳联考,10)如图,函数f(x)=的图象与x轴围成一个山峰形状的图形,设该图形夹在两条直线x=t,x=t+2(-2≤t≤2)之间的部分的面积为S(t),则下列判断正确的是()(0)=4ln2+2(-2)=2S(2)(t)的最大值为S(1)(t)在[-2,2]上的最大值与最小值之差为6-4ln2答案D2.(2017湖北百所重点校联考,5)“b≤dx”是“函数f(x)=为R上的单调函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B3.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,9)如图,△ABC中的阴影部分是由曲线y=x2与直线x-y+2=0所围成的,向△ABC内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.答案D4.(2016河北保定一模,7)若二项式的展开式中的常数项为-540,则(3x2-1)dx=()二、填空题(共5分)5.(2017福建泉州晋江平山中学期中,13)曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=所围成的图形的面积为.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1定积分的求解1.(2017江西仿真模拟,3)设f(x)+g(x)=2tdt,x∈R,若函数f(x)为奇函数,则g(x)的解析式可以为()x+x答案C2.(2016安徽池州二模,5)dx=()2222答案C方法2求曲边梯形的面积3.(2017湖南衡阳第二次联考,14)我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图所示,在空间直角坐标系的xOy平面内,若函数f(x)=的图象与x轴围成一个封闭的区域A,将区域A沿z轴的正方向平移4个单位,得到几何体如图(1),现有一个与之等高的圆柱如图(2),其底面积与区域A的面积相等,则此圆柱的体积为.答案π+4。

定积分与微积分基本定理复习（课堂导学案）班级：；姓名：；学习小组组；号课前准备·明确目标【目标导引】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。

2. 学生能够利用定积分相关知识解决实际应用问题，会用微积分基本定理解决相关问题。

3. 通过小组合作的形式提升学生分析解决问题的能力。

自主学习·求知探究知识梳理教与学感悟1．定积分中，a，b分别叫做积分下限与积分上叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x∫421 x dA.176 B.143 C.136 D.116∫101－x2d＝1x，直线＋52所围成的封闭图形的面积为⎭⎫＋1x2π⎰sin2x2d(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．考点二利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4 C.163D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．考点四：定积分在物理中的应用[例4]列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误． 2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7122．(2014·高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.本节学习感悟：定积分与微积分基本定理（教案设计部分）设计人： 审核：吕厚杰【教学目标】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。

第二篇 函数、导数及其应用专题2.14 定积分与微积分基本定理【考纲要求】1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念． 2．了解微积分基本定理的含义. 【命题趋势】定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积. 【核心素养】本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查. 【素养清单•基础知识】 1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x ；(3) ⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．4．定积分的几何意义定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S . ①S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；②S ＝－⎠⎛a b (x )d x ；③S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x ；④S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. 【素养清单•常用结论】 1．常见被积函数的原函数 (1) ⎠⎛a bc d x ＝cx |b a ；(2)⎠⎛ab x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3) ⎠⎛ab sin x d x ＝－cos x |b a ；(4) ⎠⎛abcos x d x ＝sin x |b a ；(5) ⎠⎛ab 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6) ⎠⎛ab e x d x ＝e x |b a .2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 【真题体验】1．若s 1＝⎠⎛12x 2d x ，s 2＝⎠⎛121x d x ，s 3＝⎠⎛12e x d x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( )A ．s 1<s 2<s 3B ．s 2<s 1<s 3C ．s 2<s 3<s 1D ．s 3<s 2<s 1【答案】B【解析】 因为s 1＝13x 3∣21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x ∣21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x ∣21＝e 2－e>3，所以s 2<s 1<s 3. 2.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4【答案】D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x3得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)， 所以S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4∣2 0＝4，故选D ．3.已知t >1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__________.【答案】 2【解析】 ⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )∣t 1＝t 2＋t －2，从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.4.汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__________m ． 【答案】 25【解析】 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)∣50＝25(m)．【考法拓展•题型解码】 考法一 定积分的计算 答题模板：计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值． 【例1】 计算下列定积分．(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x . 【答案】见解析【解析】 (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3∣10＋(x 2)∣10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )∣π0－sin x ∣π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x ∣21＋ln x ∣21 ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x ,＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 考法二 定积分的几何意义及应用 归纳总结(1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．【例2】 (1)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6【答案】C【解析】作出曲线y ＝x 和直线y ＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x ∣40＝23×8－12×16＋2×4＝163. (2)(2019·湖南雅礼中学质检)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程．【答案】见解析【解析】 (2)如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.,令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ．S 曲边△AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，所以x 0＝1. 从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. 考法三 定积分在物理中的应用 归纳总结：定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4，t ＝－83(舍去)，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )∣40＝4＋25ln 5(m)． (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为__________J.【解析】由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ∣42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36 (J)． 【易错警示】易错点 定积分的几何意义理解错误【典例】 如图，函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )A ．⎠⎛ab f (x )d xB ．⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC ．－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD ．－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x【错解】：A ，B ，C【错因分析】：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为x 轴上方的定积分减去x 轴下方的定积分．【正解】：如图所示，在[a ，c]上，f(x)≤0；在[c ，b]上，f(x)≥0，所以函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的阴影部分的面积S ＝－⎠⎛a c f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx ，故选D ．【跟踪训练】 (2019·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)dxC ．⎠⎛02(x 2－1)dxD ．⎠⎛01(x 2－1)dx ＋⎠⎛12(1－x 2)dx【答案】A【解析】 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下阴影部分的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|dx .1．定积分⎠⎛01x (2－x ) d x 的值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】A【解析】 令y ＝x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x (2－x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，0≤x ≤1的面积，即为π4.2．计算：⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝__________.【答案】 0【解析】 因为y ＝x 3cos x 为奇函数，所以⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝0.3．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为__________．【答案】 43【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)． 所以所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝⎛⎭⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎫－14x 2＋1d x ＝43.4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为__________．【答案】4π3【解析】 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )∣π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.5.物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是__________m ． 【答案】 130【解析】 设A ，B 两物体运动t s 后相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10tdt ＝5，所以t 3＋t －5t 2＝5，解得t ＝5，所以A 物体从出发到相遇时的运动距离为53＋5＝130(m)． 【考卷送检】 一、选择题1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1)【答案】C【解析】 ⎠⎛01e x d x ＝e x ∣10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝( ) A ．e 2－2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1【答案】C【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )∣e 1＝e 2，故选C ． 3.求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【答案】A【解析】 由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2【答案】D【解析】 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x －2ln x ∣42＝4－2ln 2.5.若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【答案】B【解析】 S 1＝13x 3∣21＝73，S 2＝ln x ∣21＝ln 2，S 3＝e x ∣21＝e 2－e.因为ln 2<1<73，e 2－e ＝e(e －1)>e>73，故S 2<S 1<S 3，故选B ．6.如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A ．2πB ．1πC ．12D ．π－2π【答案】D【解析】 因为⎠⎜⎛0 π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1，故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7. ⎠⎜⎛0π2(cos x －sin x )d x ＝________.【答案】 0【解析】 ⎠⎜⎛0 π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π2＝0. 8.若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.【答案】 e 2＋12【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ∣e 1＝e 2＋12. 9.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________．【答案】 22－2【解析】 由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0 π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)． 三、解答题 10.求下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .【答案】【解析】 (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22∣21－x 33∣21＋ln x ∣21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x ＝,sin x ∣0－π＋e x ∣0－π＝1－1e π. 11.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积． 【答案】【解析】 因为(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，其与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． 所以y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3∣20＝4－83＝43. 12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式． 【答案】见解析【解析】 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x得x 2－8x －t (t －8)＝0，所以x 1＝t ，x 2＝8－t .因为0≤t ≤2，所以直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t[(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2∣t 0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x ∣2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 13.求曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π4与x 轴围成的图形的面积． 【答案】见解析【解析】 当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，5π4时，f (x )<0. 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－⎠⎜⎛π 5π4sin x d x ＝－cos x ∣π0＋cos x ⎪⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22.。

《1・4・2微积分基本定理》导学案5【课标转述】通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。

【学习目标】1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法【学习过程】一、复习：定积分的概念：用定义计算定积分方法步骤：二、新课探究：我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较-•般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之I、可的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为V(t)(v(r)><?),则物体在时间间隔「丁T 1内经过的路程可用速度函数表示为小 o另一方而，这段路程还可以通过位置函数S(t)在百込］上的增S-5(7；)-5(7；)来表达，即|%a)d「s(G-s(7；)而S'(r) = v(r)。

对于一般函数芦(兀),设尸3 =加'是否也有fbI f(x)dx = F(b) — F(ci)J a若上式成立，我们就找到了用f(力的原函数(即满足^，(劝二广(兀))的数值差F(b) —F(G)来计算/(x)在［a,b］上的定积分的方法。

注：1、定理如果函数F(X)是⑺小］上的连续函数f(劝的任意一个原函数，则f(x)dx = F(b) — F(a)2、为了方便起见,还常用尸(兀)『表示F(b)_F(a)，即b >f(x)dx = F(x)^=F(b)-F(a)该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分Z间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

《定积分与微积分基本定理》教案章节一：定积分的概念1.1 引入定积分的概念1.2 定积分的几何意义1.3 定积分的性质1.4 定积分的计算方法章节二：定积分的计算2.1 定积分的换元法2.2 定积分的分部积分法2.3 定积分的三角函数法2.4 定积分的特殊函数法章节三：定积分的应用3.1 定积分在几何中的应用3.2 定积分在物理中的应用3.3 定积分在经济学中的应用3.4 定积分在其他领域的应用章节四：微积分基本定理4.1 微积分基本定理的引入4.2 微积分基本定理的证明4.3 微积分基本定理的应用4.4 微积分基本定理的拓展章节五：定积分的进一步应用5.1 定积分的双重积分5.2 定积分的三重积分5.3 定积分的线积分5.4 定积分的面积分《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节六：定积分的数值计算6.1 梯形法则6.2 辛普森法则6.3 柯特斯法则6.4 蒙特卡洛方法章节七：定积分的误差分析7.1 梯形法则的误差分析7.2 辛普森法则的误差分析7.3 柯特斯法则的误差分析7.4 蒙特卡洛方法的误差分析章节八：微积分基本定理的应用8.1 微积分基本定理在求解不定积分中的应用8.2 微积分基本定理在求解定积分中的应用8.3 微积分基本定理在求解极限中的应用8.4 微积分基本定理在求解导数中的应用章节九：定积分的优化问题9.1 利用定积分求解最大值和最小值9.2 利用定积分求解极值问题9.3 利用定积分求解最值问题的应用实例9.4 利用定积分求解实际问题中的优化问题章节十：定积分与微积分基本定理的综合应用10.1 利用定积分和微积分基本定理解决实际问题10.2 定积分和微积分基本定理在工程中的应用10.3 定积分和微积分基本定理在科学研究中的应用10.4 定积分和微积分基本定理在其他领域的应用《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节十一：定积分的物理意义11.1 定积分在物理学中的作用11.2 定积分与力学中的功11.3 定积分与电磁学中的电场强度11.4 定积分在热力学中的应用章节十二：定积分在工程中的应用12.1 定积分在土木工程中的应用12.2 定积分在机械工程中的应用12.3 定积分在电子工程中的应用12.4 定积分在生物医学工程中的应用章节十三：定积分在经济与管理中的应用13.1 定积分在经济学中的优化问题13.2 定积分在金融学中的应用13.3 定积分在运筹学中的应用13.4 定积分在管理科学中的应用章节十四：定积分在现代科技中的应用14.1 定积分在计算机科学中的应用14.2 定积分在数据科学中的应用14.3 定积分在中的应用14.4 定积分在其他现代科技领域的应用章节十五：定积分与微积分基本定理的复习与提高15.1 定积分的基本概念与性质的复习15.2 微积分基本定理的复习与应用15.3 定积分的计算方法的巩固与提高15.4 定积分在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析重点：1. 定积分的概念和几何意义2. 定积分的计算方法：梯形法则、辛普森法则、柯特斯法则和蒙特卡洛方法3. 定积分的应用领域：几何、物理、经济学等4. 微积分基本定理的引入、证明和应用5. 定积分的数值计算和误差分析6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等难点：1. 定积分的换元法和分部积分的具体操作2. 定积分的三角函数法和特殊函数法的应用3. 微积分基本定理的证明过程中的理解和应用4. 定积分的数值计算方法的误差分析5. 定积分在实际问题中的优化问题和应用实例6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等，这些应用领域的理解和实际问题解决能力的培养。

定积分与微积分基本定理一. 教学内容：定积分与微积分基本定理二. 教学目的：1. 了解定积分的定义和定积分的几何意义；2. 会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。

三. 重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。

［知识分析］知识点1：定积分的定义1. 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的．它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下： （1）把闭区间［a ，6］用n ＋1个分点（包括两个端点0n x a,x b ==）分为任意n 个小区间，并非要求一定分成n 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n 等分的方法去布列分点． （2）在每个小区间i x ∆上，点ξ的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即i i 1i x x 2-+ξ=，也可以取在小区间的两个端点，即i i x ξ=或i i 1x -ξ=，还可以取在小区间的其他任何位置（i ＝1，2，…，n ）． （3）从几何意义上讲，i i f ()x ξ⋅∆（i ＝1，2，…，n ）表示以i x ∆为底边，以i f ()ξ为高的第i 个小矩形的面积，而不是第i 个小曲边梯形的面积，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑表示n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高． （4）总和n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑取极限时的极限过程为“i x 0∆→”（n →∞），当分割无限变细，即n →∞时，不一定能保证和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积．（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义n 1bi iax 0i 0f (x)dx lim f ()x -∆→==ξ⋅∆∑⎰实际上给出了定积分baf (x)dx⎰的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用．2. 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bb ba a a f (x)dx f (u)du f (t)dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分baf (x)dx⎰与积分区间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如12(x1)dx+⎰与320(x 1)dx+⎰的值就不同。

导学案 定积分与微积分基本定理学习目标：1、通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；2、了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分；3、理解掌握定积分的几何意义和性质；4、了解微积分基本定理的含义，会用微积分基本定理求定积分．重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义、微积分基本定理． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义、用微积分基本定理求定积分．预习内容：1、求曲边梯形的面积．如上图，求由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S ．解：（1）分割，在区间[01]，上等间隔地插入1n -个点，将区间[01]，等分成n1[0]n ，，12[]n n ，，⋅⋅⋅，1[1]n n-，，记第i 个区间为1[](12)i ii n n n-=，，，，，其长度为11i i x n n n-∆=-=，分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，⋅⋅⋅，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑.（2）近似代替，记2()f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1[]i in n -， 上，可以认为函数2()f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值1()i f n-，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1[]i in n-，上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内 “以直代曲”，则有221111()()()(12)i i i i i S S f x x i n n n n n---'∆≈∆=∆=∆==⋅⋅⋅，，， （3）求和，由①，上图中阴影部分的面积2111111()()nnnn i i i i i i S S f x n n n ===--'=∆=∆==∑∑∑== = ，从而得到S 的近似值n S S ≈= .（4）取极限，分别将区间[01]，等分8，16，20，⋅⋅⋅等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即0x ∆→时，111(1)(1)32n S n n=--趋向于S ， 从而有1111111lim lim()lim (1)(1)323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-==⋅=--=∑. 知识要点1、定积分：设()f x 定义在区间[]a b ，上，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间1[]i i x x -，上取一点(12,)i i n ξ=⋅⋅⋅，，，，作和式：11()()nni i i i b af x f n ξξ==-∆=∑∑，当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记为：()baf x dx ⎰， 即()baf x dx ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，其中函数()f x 叫做 ，b 叫积分 ，a 叫积分 ，()f x dx 叫 ，1中的例题可用积分式 表示.2、函数()f x 在区间[]a b ，上连续且满足()0f x ≥，则由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x = 所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为：S = .3、函数()f x ，()g x 在区间[]a b ，上连续且满足()()f x g x ≥，则由直线x a =，x b =和曲线()y f x =，()y g x =所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为：S = .4、求()y f x =，()y g x =所围成的曲边梯形的面积的步骤： .5、定积分的性质：性质1 、⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （0k ≠）（定积分的线性性质）； 性质2 、1212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）； 性质3 、()()()()b c baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加性）.6、原函数、函数()f x 是函数()F x 的导函数，即对任意x I ∈有'()()F x f x =，则称 是()f x 在I 上的一个原函数.7、微积分基本定理：如果 ，且()f x 在[]a b ，上可积，则()baf x dx =⎰= .预习检测：1、定积分⎰bacdx （常数0c >）的几何意义是 .2、由sin y x =，0x =，2x π=，0y =所围成图形的面积写成定积分的形式是 .3、定积分⎰badx x f )(的大小（ ）.A 、与)(x f 和积分区间[]a b ，有关，与i ξ的取法无关B 、与)(x f 有关，与区间[]a b ，及i ξ的取法无关C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]a b ，无关D 、与)(x f 、区间[]a b ，和i ξ的取法都有关 4、下列等式或不等式成立的个数是（ ）. ①⎰⎰=101)()(dx x f dt t f ；②dx x dx x xdx ⎰⎰⎰=+ππππ0220sin sin sin ；③dx x dx x aa a ⎰⎰=-02 ；④11dx <⎰⎰ A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、利用定积分的几何意义求解下列定积分. （1）21(1)x dx +⎰； （2）22||x dx -⎰；（3）a-⎰（0a >）； （4）4()f x dx ⎰ ，其中01()113434x x f x x x x ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，，，.典型例题例1、（1）求sin y x =在[0]π，上的阴影的面积S ；（2）求2sin xdx ππ⎰；20sin xdx π⎰．例2、计算：（1）41⎰； （2）22(1)x dx +⎰； （3）211dx x ⎰； （4）2211dx x ⎰．例3、求由曲线y =与直线4x =，0y =所围成的曲边梯形的面积S ．例4、求由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S ．课堂练习：1、计算下列定积分（1）215dx -⎰； （2）032x dx -⎰； （3）0⎰； （4）91⎰； （5）311dx x ⎰；（6）11edx x --⎰； （7）102x dx ⎰； （8）10xe dx ⎰； （9）2sin xdx ππ⎰； （10）26cos xdx ππ⎰.2、计算下列定积分： （1）3(1)(3)t t dt -+⎰； （2）220(2)x x dx -⎰；（3）2cos2d πθθ⎰； （4）2121()x x dx -+⎰．3、由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 .4、由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形面积为 .。

《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。

3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。

二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。

2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。

3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。

4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。

三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。

2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。

3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。

2. 第二课时：微积分基本定理的证明。

3. 第三课时：微积分基本定理的应用。

4. 第四课时：定积分的综合练习。

六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。

2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。

3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。

七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。

2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。

3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。

八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。

2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。

高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》教案章节：第一章定积分的概念教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义和性质。

2. 学会计算简单的定积分，并能应用定积分解决实际问题。

教学内容：1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法4. 定积分的应用教学步骤：1. 引入定积分的概念，引导学生思考如何求解曲线下的面积。

2. 讲解定积分的定义，解释定积分的几何意义和物理意义。

3. 引导学生通过图形和实例理解定积分的性质，如线性性、保号性等。

4. 教授定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等。

5. 提供实际问题，让学生应用定积分解决实际问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲线路的距离等。

教学练习：a. 定积分表示曲线下的面积。

b. 定积分具有线性性。

c. 定积分可以大于曲线下的面积。

a. 定积分的几何意义是曲线下的面积。

b. 定积分的物理意义是曲线下的质量。

c. 定积分的计算方法有牛顿-莱布尼茨公式和分部积分法。

a. ∫(从0到1) x^2 dxb. ∫(从1到2) e^x dx教学评价：1. 学生能够理解定积分的概念和性质。

2. 学生能够掌握定积分的计算方法。

3. 学生能够应用定积分解决实际问题。

教案章节：第二章微积分的基本定理教学目标：1. 理解微积分的基本定理，掌握微积分的基本定理的内容和应用。

2. 学会计算不定积分和定积分，并能应用微积分的基本定理解决实际问题。

教学内容：1. 微积分的基本定理的定义2. 微积分的基本定理的内容3. 微积分的基本定理的应用教学步骤：1. 引入微积分的基本定理，引导学生思考如何求解曲线的原函数。

2. 讲解微积分的基本定理，解释微积分的基本定理的意义和应用。

3. 引导学生通过图形和实例理解微积分的基本定理的应用，如计算曲线的面积、求解曲线与坐标轴的交点等。

4. 教授不定积分和定积分的计算方法，如基本积分表、换元积分法等。

第3讲 定积分与微积分基本定理一、知识梳理 1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫作积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫作积分区间，f (x )叫作被积函数，x 叫作积分变量，f (x )d x 叫作被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．其中F (x )叫作f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、教材衍化1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112xd xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012xd xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102xd x ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.2． ⎠⎛2e ＋11x －1d x＝________． 解析：⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 答案：13．若⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1.答案：－14．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t 21 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝________．解析：⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2－1＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2＋3. 答案：3t 2＋3 2.⎠⎛22－x 2d x ＝________解析：⎠⎛22－x 2d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠⎛22－x 2d x ＝14π×(2)2＝π2.答案：π23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案：43[学生用书P53]定积分的计算(多维探究)角度一 利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛122xd x ；(2)⎠⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x .【解】 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪31＋1x ⎪⎪⎪31＝223. 角度二 利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ；(2)⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x .【解】 (1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)． 故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5，5]上是奇函数． 所以⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x .所以⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．1.⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －xd x ＋⎠⎛01e xd x＝－e －x ⎪⎪⎪1-1＋e x ⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝________．解析：⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分求平面图形的面积(师生共研)(一题多解)求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积． 【解】如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.设阴影部分的面积为S ，则对如图所示的四种情况分别有：(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x .(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .1．已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎛01(x 2＋2x －2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13.答案：132.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 答案：－1定积分在物理中的应用(师生共研)(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.【解析】 (1)令v (t )＝0得，3t 2－4t －32＝0， 解得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去. 汽车的刹车距离是⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(t ＋1)]⎪⎪⎪40 ＝4＋25ln 5.(2)由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．【答案】 (1)C (2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .1．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t＝t 3＋t －5t 2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.2．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位： N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1，所以原式＝342(J)．答案：342[学生用书P274(单独成册)][基础题组练]1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a3＝1，所以a ＝1.3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈（1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43D ．π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.5.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B ．310 C.14D ．15解析：选A.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A. 6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛－111d x ＝x |1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时F (x )所做的功等于________．解析：由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫110e x ＋x d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25.答案：－e 10－259．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x . 解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22⎪⎪⎪21－x 33⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x ＝sin x ⎪⎪⎪0－π＋e x ⎪⎪⎪0－π＝1－1e π. 10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43. [综合题组练]1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )A.329 B ．4－ln 3C ．4＋ln 3D ．2－ln 3 解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.（舍）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. 故阴影部分的面积为⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪31＝4－ln 3. 2．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：333.⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝________． 解析：⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案：π2＋e －1e－2 4．若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44－x 3⎪⎪⎪20＝－4. 答案：－45．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是 A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当S 1＝S 2时，t ＝33.。