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容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。
即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。
A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。
求平面图形中阴影部分的面积，是每年小升初考试中得几何热点，思维能力要求高，学生失分率高。
由于阴影部分的图形常常不是以基本几何图形的形状出现，没法直接利用课本中的基本公式来计算，所以比较麻烦，有的甚至无法求解。
家长辅导孩子处理这类型的几何题，除了要让孩子熟练地掌握平面图形的概念和面积公式之外，关键还在于懂得如何“巧用方法、妙在变形”。
以下是小学阶段常见的求阴影面积的方法，家长可以让孩子边做边总结方法，逐一攻关。
求阴影部分的面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
小升初小学六年级数学复习总结·知识点专项练习题+答案（22）容斥原理知识要点：1、“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。
对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。
2、核心：画出韦恩图，弄清楚每一个部分图中所表示的含义。
习题精选：1. 育才小学六年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有30人，有12人两个小组都参加。
这个班有（）人参加了语文或数学兴趣小组。
A.33B.46C.50D.572. 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴有（）人。
A.21B.6C.74D.373. 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。
这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有（）人。
A.5B.10C.12D.164. 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的有9人。
这个班一共有（）人。
A.35B.44C.45D.505. 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有（）人。
A.15B.16C.18D.206. 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有（）幅。
A.3B.4C.5D.67. 解放大路小学五年级三班有36名同学。
调查显示，参加数学课外活动小组的有25人，参加语文课外活动小组的有23人，没有两个课外活动小组都不参加的同学。
两个课外活动小组都参加的同学有（）人。
A.9B.10C.12D.148. 四（2）班学生对英语、语文、数学三门功课中至少有一门感兴趣。
容斥原理在数学中是一种常用的计数方法，通常用于处理具有重复计数的问题。
在六年级的数学课程中，我们也学习了容斥原理的应用，特别是在解决阴影面积的题目时会用到这个原理。
阴影面积题目一般指的是计算由多个图形组成的区域的面积，其中某些部分被其他图形覆盖或重叠而形成阴影。
容斥原理是一种非常有效的解决方法，在这个问题中也能够派上用场。
例如，考虑一个矩形和一个圆形组成的图形区域。
矩形的长为10，宽为6，圆形的半径为4。
我们需要计算这个图形区域的阴影面积。
首先，我们可以计算矩形的面积，即长乘以宽，得到60平方单位。
然后，我们计算圆形的面积，即π乘以半径的平方。
在这个例子中，半径为4，那么圆形的面积为16π平方单位。
接下来，我们需要考虑矩形和圆形的重叠部分。
使用容斥原理，我们可以通过减去重叠部分的面积来避免重复计数。
重叠部分是由矩形和圆形的交集部分组成的，可以通过计算圆心到矩形边界的距离来确定。
在这个例子中，圆心到矩形左边界的距离是6-4=2。
我们知道圆形与矩形的交集是由两个四分之一圆组成的，而每个四分之一圆的面积为1/4乘以π乘以半径的平方。
在这个例子中，半径为4，所以一个四分之一圆的面积为4π/4=π平方单位。
因为重叠部分是由两个四分之一圆组成的，所以重叠部分的面积为2个π平方单位。
最后，我们可以通过应用容斥原理得到阴影面积。
阴影面积等于矩形的面积加上圆形的面积减去重叠部分的面积。
阴影面积 = 矩形面积 + 圆形面积 - 重叠部分面积= 60 + 16π - 2π = 60 + 14π 平方单位最后的结果是一个带有π的阴影面积，如果需要精确的数字，可以用计算器计算π的近似值。
在实际的阴影面积问题中，可能会涉及多个图形的组合，使用容斥原理可以将问题分解成更小的部分，简化计算过程。
通过理解和掌握容斥原理，我们可以更好地解决这类题目。
容斥原理是数学中一个非常重要的概念，它不仅在阴影面积问题中有应用，还可以应用于其他计数问题。
星系站备课教员：第二讲容斥原理一、教学目标： 1. 理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2. 培养逻辑思维和数学思考能力。
3. 培养良好的书写习惯。
二、教学重点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
三、教学难点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：一个家庭里有2个爸爸和2个儿子，同学们你们知道这个家庭有几个人吗？生1：4个啊，2+2=4啊。
生2：一个家庭怎么会有2个爸爸呢？师：这问题问的太好了，同学们，你爸爸叫你爷爷叫什么？生：爸爸啊。
师：那你爷爷管你爸爸叫什么呢？生：儿子。
师：所以这个家庭有几个人啊？生：3个。
师：也就是说爸爸既是爸爸也是儿子对吗？生：是的。
师：所以对于重复的题，我们在计算的时候要排除。
也就是我们这节课所要学习的内容。
【板书课题：容斥原理】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
师：同学们，最后班主任问了什么问题？生：谁语文、数学作业都没有做完？师：是的，但是有没有人举手啊？生：没有。
师：那说明什么？生：全班的人都至少做完一门作业。
师：至少做完一门作业都包括什么呢？生：只做完数学作业，只做完语文作业，语文、数学作业都做完。
师：现在我把我们班分成三组，第一组代表只做完语文作业的，第二组代表语文、数学都做完的，第三组代表只做完数学作业的，都明白自己都代表什么吗？生：明白。
师：那么我们班的人数怎么求？生：就等于三个组的人数和。
师：如果我问谁做完语文作业，那么哪些人会举手？生：第一组和第二组的人。
师：这些人有多少个？生：……（根据实际情况的人数）师：那如果我问谁做完数学作业呢？生：第二组和第三组的人。
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理容斥原理，也称为重叠原理或包含与排除原理。
原理一：两个集合A,B 相交合并成一个集合C,C 的元素个数等于A ，B 的个数和减去A 、B 的公共元素的个数，如下图所示：即：C=A+B-AB 或 AB=A+B-C原理二：三个集合A.B,C 两两都交合并点一个集合D.D 的元素个数等于A,B.C 的个数减去A.B.C 两两公共元素加上A.B.C 公共元素的个数。
如下图所示：即D=A+B+C-AB-BC-AC+ABC 或ABC=D+AB+BC+AC-A-B-C 。
1. 某校五年级举行语文和数学竞赛,参加人数占全年级人数的25，参加语文占竞赛人数的25，参加数学竞赛的占竞赛人数的34,两项都参加的有12人，全年级共有多少人？2.36名学生参加数学竞赛,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人,两题都没答对的有多少人?3.50名同学面向老师站成一行,老师先让大家从左到右按1,2,3,......依次报数,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学还有多少名?4.有一栋居民楼,每家都订不同的两份报纸,该居民楼共订了三种报纸,其中《楚天都市报》34份,《武汉晚报》30份,《武汉晨报》22份,那么订《武汉晚报》和《武汉晨报》的共有多少家？5、胜一小学六年级课外活动分体育、音乐、书法三个小组，分别有54人,46人.36人同时参加体育.音乐的有4人,同时参加体育书法的有7人.同时参加着乐,书法的有10人。
三个组都参加的有2人,参加课外活动一共多少人？6、桌子上放有甲,乙,西三个正方形;甲、丙重叠部分占甲正方面积的14,乙丙重叠都分占乙正方形面积的25,丙正方形与甲.乙正方形重叠部分占丙正方形面积的19,甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形面积的13,求甲正方形与乙正方形面积的最简整数比？7、某校五年级共有110人,参加语文、数学、英语三科活动小组,每人至少参加一组，已知参加语文小组的有52人,只参加语文小组的有16人;参加英语小组的有61人,只参加英语小组的有15人，参加数学小组的有63人,只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人?8、一次数学竞赛,小王做对的题目占题目总数的23.小李做错5题,两人都做错的题数占题目总数的14,小王做对了多少题?9、某班有60人,其中42人会游泳，46人会骑车,50人会溜冰,55人会打乒乓球,可以肯定至少有多少人这四项都会?10、40名同学在做3道数学题时,有25人做对第一题,有28人做对第二题,有31人做对第三题,那么至少有多少人做对了三道题?11.某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。
容斥原理六年级练习题容斥原理是组合数学中的一种重要的计数方法，用于解决多个集合的交集问题。
通过巧妙地运用容斥原理，我们可以简化计算，得到更加准确的结果。
下面是一些六年级容斥原理的练习题，帮助你更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：在一个班级里，有30名学生。
其中，15人会打篮球，20人擅长足球，10人会弹吉他。
求至少会其中一项活动的学生人数。
解答：根据容斥原理，我们可以通过求各个集合的并集和交集来得到答案。
首先，将篮球、足球和吉他三个集合的人数加起来：15 + 20 + 10 = 45。
然后，计算篮球和足球的交集人数：15 + 20 - 交集人数 = 45。
同样地，计算篮球和吉他的交集人数：15 + 10 - 交集人数 = 45。
再计算足球和吉他的交集人数：20 + 10 - 交集人数 = 45。
最后，计算篮球、足球和吉他的交集人数（即同时会这三项活动的人数）：15 + 20 + 10 - 交集人数 = 45。
根据容斥原理，最后求得的结果应该是至少会其中一项活动的学生人数，即总人数减去同时会这三项活动的人数：30 - 交集人数。
练习题二：一个选择题有4个选项，如果A、B、C三个人都至少选对了一半的题目，问至少有多少人都选对了一半的题目。
解答：假设选择题总数为n，A、B、C三个人都至少选对了一半的题目的人数为x。
根据容斥原理，我们可以得到以下等式：A选对了一半的题目：n/2 = x + m + kB选对了一半的题目：n/2 = x + m + lC选对了一半的题目：n/2 = x + k + l其中，m代表只有A和B两个人全部选对的题目数量，k代表只有A和C两个人全部选对的题目数量，l代表只有B和C两个人全部选对的题目数量。
根据以上等式，我们可以得到以下关系：n = 3x + 2(m + k + l)由于选项总数为4个，所以n必须是4的倍数。
我们假设n = 4k，其中k为正整数。
代入得到的关系式，我们可以得到：4k = 3x + 2(m + k + l)化简得到：k = 3x + 2(m + l)由于k为正整数，所以可以得到：3x + 2(m + l) ≥ 1因为题目中要求至少有多少人都选对了一半的题目，所以我们要找到满足以上条件的最小正整数x。
六年级容斥原理阴影面积课件一、引言容斥原理是数学中的一个重要概念，可以用于解决计数问题。
而阴影面积则是几何学中的一个问题，常常需要通过计算来求解。
本课件将通过容斥原理来解决一个有关阴影面积的问题，帮助六年级学生更好地理解和应用容斥原理。
二、背景知识回顾在开始讲解容斥原理和阴影面积问题之前，我们先来回顾一些相关的背景知识。
1. 集合和元素在数学中，集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
组成集合的对象称为元素。
2. 集合的运算在集合中，常用的运算有并集、交集和差集。
- 并集：设A和B是两个集合，它们的并集记作A∪B，表示包含所有属于A或属于B的元素。
- 交集：设A和B是两个集合，它们的交集记作A∩B，表示包含同时属于A和属于B的所有元素。
- 差集：设A和B是两个集合，表示属于A但不属于B的元素的集合称为A与B的差集，记作A-B。
3. 容斥原理容斥原理是一种计数原理，用于求解有关集合的问题。
它的基本思想是通过加减操作，考虑重复计数的情况，从而得出准确的计数结果。
三、阴影面积问题现在我们来解决一个有关阴影面积的问题。
如下图所示，一个矩形区域被两个正方形所覆盖，我们需要求解阴影部分的面积。
┌───┐ ┌────┐│ │ │ ││ │ │ ││ A │ │ B ││ │ │ ││ │ │ │└───┘ └────┘假设矩形的长为L，宽为W，而其中一个正方形A的边长为X，另一个正方形B的边长为Y。
1. 求解过程首先，我们可以将整个矩形区域看作是正方形A与正方形B的并集。
然后，我们分别计算出正方形A和正方形B的面积，并求出它们的并集面积。
最后，通过容斥原理，我们可以得出阴影部分的面积。
具体的计算步骤如下： - 步骤一：计算正方形A和正方形B的面积。
- 正方形A的面积为X²。
- 正方形B的面积为Y²。
- 步骤二：计算正方形A和正方形B的并集面积。
- 正方形A与正方形B的并集面积为(A∪B) = X² + Y²。
六年级容斥原理求阴影部分面积
在数学中，容斥原理是一种用于计算集合交集的方法。
它可以帮助我们计算两个或多个集合的交集的大小，而不需要逐个计算每个元素的个数。
在这个问题中，我们需要求解一个阴影部分的面积，我们可以使用容斥原理来解决。
首先，让我们定义两个集合A和B。
集合A表示一个矩形的区域，而集合B表示一个圆形的区域。
我们的目标是计算这两个区域的交集，也就是阴影部分的面积。
使用容斥原理，我们可以得到以下公式：
|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|
其中，|A|表示集合A的面积，|B|表示集合B的面积，|A ∪ B|表示集合A和B的并集的面积。
现在，让我们具体计算这些值。
假设矩形的长为L，宽为W，圆形的半径为r。
集合A的面积可以通过矩形的长乘以宽来计算，即|A| = L * W。
集合B的面积可以通过圆形的面积公式来计算，即|B| = π * r^2。
集合A和B的并集的面积可以通过将集合A的面积和集合B的面积相加，然后减去它们的交集的面积来计算，即|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。
最后，我们可以使用容斥原理的公式来计算阴影部分的面积，即|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|。
希望这个解答能够帮助你求解阴影部分的面积。
如果你提供具体的数值，我可以帮助你进行计算。
容斥原理公式
容斥原理是组合数学中一种用于计算集合操作交、并的计数方法。
它的基本思想是利用集合的特性，将复杂的计数问题转化为多个简单的计数问题，并通过相减的方式得到最终的计数结果。
具体而言，设有n个集合A1, A2, ..., An，容斥原理给出了计
算它们的交集和并集元素个数的公式：
交集元素个数 = 并集元素个数 - 第一类包含一个集合的元素个数 + 第二类包含两个集合的元素个数 - ... + （-1）^n-1 第n类
包含n个集合的元素个数
其中，“第一类包含一个集合的元素个数”是指计数某个集合
Ai的元素个数；“第二类包含两个集合的元素个数”是指计数
某两个集合Ai∩Aj的元素个数；依此类推，分别计数包含1个、2个、...、n个集合的元素个数。
而交集元素个数就等于
所有这些计数结果的交替相加减。
容斥原理的应用非常广泛，不仅仅可以用于计算集合交、并的元素个数，还可以用于解决排列组合、概率统计等领域的问题。
通过合理地选择集合和定义计数量，可以灵活地运用容斥原理解决各种复杂的计数问题。
六年级奥数-重叠问题容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式法：运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题《C表示两个集合的并集，A；B表示两个集合，AB表示两个集合的交集》。
运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关问题。
《D表示三个集合的并集，A；B；C表示三个不同的集合，AB；AC；BC表示两个不同集合的交集，ABC表示三个集合的交集》图象法：根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。
例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。
那么《1》只参加数学竞赛的有多少人？《2》参加竞赛的一共有多少人？《3》没有参加竞赛的一共有多少人？例3：某校有三个兴趣小组，体育；书法和美术。
已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人；24人和30人。
同时参加体育；书法兴趣小组的有5人，同时参加体育；美术兴趣小组的有2人，同时参加书法；美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。
而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。
问有多少同学只喜欢语文？例5：分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？例6：某商店调查该商店出售的A；B两种商品销售情况，在被调查的家庭对象中，有1/3不用A商品，有4/7不用B商品，另外有22家既用A商品也用B商品，有1/6的家庭则两种产品都没有用，问该商店共调查了多少户家庭？例7：某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说。
六年级容斥原理练习题
容斥原理是概率论中的一个重要原理，可以用于解决涉及多个事件的概率计算问题。
在六年级数学中，我们也可以运用容斥原理来解决一些错排、组合问题等。
以下是一些关于容斥原理的练习题，供同学们进行练习。
练习题1：
某班有30位学生，其中15人喜欢音乐，20人喜欢体育，10人既喜欢音乐又喜欢体育。
请问至少有多少位学生既不喜欢音乐也不喜欢体育？
练习题2：
甲、乙、丙三位同学是某班的值日生，每周值日一天。
如果要求甲同学在星期一值日，乙同学在星期三值日，丙同学在星期五值日，那么这样的安排共有多少种？
练习题3：
某班有30位学生，其中15人喜欢英语，18人喜欢数学，12人喜欢音乐。
其中恰好3人即喜欢英语又喜欢数学，4人既喜欢英语又喜欢音乐，5人既喜欢数学又喜欢音乐。
请问这个班级有多少人？
练习题4：
在一个小说比赛中，参赛者需要选择一个主题，主题共有A、B、C 三个选项。
每个参赛者必须选择一个主题进行创作，并且选定主题后
不能更换。
如果有10位参赛者，其中有4位选择了A主题，3位选择
了B主题，2位选择了C主题，1位参赛者选择了两个主题。
那么最终
有多少位参赛者选择了至少一个主题？
练习题5：
小明有5个相同的红球，4个相同的绿球，3个相同的蓝球。
他希
望从中选择4个球放入一个盒子里，要求盒子中至少有一种颜色的球。
那么小明一共有多少种不同的放球方法？
通过以上几道练习题，我们可以较好地掌握容斥原理在解决数学问
题中的运用。
希望同学们能够认真思考并正确解答，提高数学问题解
决能力。
第8讲 容斥原理一、知识点：容斥原理类型一：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，甲类或乙类个数=甲类个数+乙类个数－既甲类又乙类的物体个数 容斥原理类型类型二：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－甲类或乙类个数 容斥原理类型类型三：如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－（总体共有个数—既非甲类又非乙类个数）森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。
”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。
”结果统计出森林中共有70种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。
”这个统计对吗？ 现在我们用维恩图表示：要求鸟类与兽类共多少种,可以：+得出结论：鸟类与兽类共多少种=鸟类+兽类— 蝙蝠这个故事反映的是一个数学原理，我们把这个数学原理称为包含排除原理，即容斥原理。
鸟类 80 种兽类 70种蝙蝠 1种鸟类与兽类共？ 兽类70种鸟类—蝙蝠=79（种）二、例题讲解：包含与排除问题其实也叫容斥问题。
A AB B （韦恩图）（1)容斥原理的第一种类型：例题1：四年级(2)班每人都参加了一种兴趣小组，参加舞蹈组的有23人，参加合唱团的有40人，既参加舞蹈组又参加合唱团的有15人，全班共有多少人？ 练习：1、四年甲班学生采集标本，采到昆虫标本的有26人，采到植物标本的有32人，两种豆采到的有10人，全班有学生多少人？2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。
这个文艺组一共有多少人？甲类乙类即甲 又乙 维恩图合唱团 40人舞蹈组 23人15人共？植物标本 32人昆虫标本 有26人10人共？如果被统计的事物有甲、乙两类，那么， 甲和乙的总个数=甲个数+乙个数－既是甲又是乙的个数。
六年级奥数——容斥原理六年级奥数——容斥原理姓名得分1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况：全班学生都借有语文活数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学课外书都借的有多少人？2、六一班有46人，其中会骑自行车的有17人，会游泳的有14人，既会骑自行车又会游泳的4人，问两样都不会的有多少人？3、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的20人，那么懂俄语的教师有多少人？4、有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米？5、在1～100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有几个？6、在1至10000中不能被5或7整除的数有多少个？7、在1至10000之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有多少个？8、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有几人？9、分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和？10、在100个学生中，音乐爱好者56，体育爱好者75人，那么既爱好音乐，又爱好体育得最少有几人，最多有几人？11、某校有学生960人，其中有510人订阅“作文报”，有330人订阅“数学报”，有120人订阅“科学爱好者”，全校学生中有270人订阅两种报刊，有58人三种都订，那么学校中没有订阅任何报刊的有几人？12、某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150人，外科92人，其中内外两科都求诊的18人，这一天共来了多少个病人？13、在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，那么甲班共有多少人？14、不超过30的正整数中，是3的倍数或4的倍数由多少个？。
第31讲容斥原理
例1在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个?
例2某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人?
例3100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语、83人懂英语、65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人?
例4在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个? 例5某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、l9人、20人。
语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。
这个班最多能有多少人?
1、某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。
问：两样都不爱好的有多少人？
2、分母是105的最简真分数共有多少个？
3、一个家电维修站有80%的工人精通修彩电，有70%的工人精通修空调，10%的工人两项都不熟悉。
问：两项都精通的工人占百分之几？
4、在自然数1~100中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？
5、在自然数1~200中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？
6、在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人？最多有多少人？
7、64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。
三种杂志都订的有多少人？8、某小学六年级的学生中有88%的是“歌迷”，80%的是“球迷”，60%的是“棋迷”。
那么，该校六年级学生“球迷”中至少有百分之几是“歌迷”？“棋迷”中至少有百分之几是“球迷”？
9、70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，跳远得奖的29人，短跑与投掷两项都得奖的12人，跑、跳、投三项都得奖的有5人，只得跳远奖的7人，只得投掷奖的15人，求：（1）只得短跑奖的人数；(2)只得两项奖的人数；（3）一项奖都未得的人数。
10、如右图所示，甲、乙、丙三个正方形的面积分别为25平方厘米、16平方厘米和9平方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平方厘米，且甲、乙公共部分为10平方厘米，乙、丙公共部分为6平方厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分面积。
