第2讲 速算与巧算(裂项法)

（二）活动应注意事项：
分析应聘者笔迹时，要依赖笔迹学专家的分析，不可单凭自己的主观臆断。
42+39+50-38-42+48+37 一、谈话导入，揭示课题
点拨：算式中的数都接近40，可以将40
安排好备用面试日期和时间，以防应聘者不能按照你指定的时间参加面试。安排充裕的面试间隔时间，因为让应聘者相遇是很尴尬的事情。这会使他们紧张，不能正常发挥。如面
方法归纳
记时速算
（1）125+78+75+22 （2）172+55+62+45+28 （3）9+97+996+995 （4）1996+2997+4998+3999 （5）27+249+51+173 （6）56+94+150
300 362 2097 13990 500 300
记时速算
（1）87+97+107+57+47 （2）82+92+102+94 （3）653-498 （4）876-395-399 （5）865-489 （6）379- 299+3999-299
加法的运 算定律
熟练掌握加减 法的运算法则
减法的运 算性质
凑整法
拆数法
小试牛刀
用简便方法计算下面各题 （1）275+156+225+44 （2）9999+998+97+9 （3）68+192+40 （4）68+78+88+98 （5）529-395
(1)凑整法 (2)先凑整再减 (3)拆数法 (4)先凑整再减/拆数法 (5)补数法

六年级《速算与巧算》教案教学部主管：时间：2016年月日●运算律回顾：加法交换律：a+b=b+a 乘法交换律：a×b=b×a加法结合律：a+b+c=a+(b+c）乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)减法的性质：a－b－c=a－(b+c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)●提取公因数：这个方法等同于课内所学的乘法分配律的逆运算。

一般情况下；用提取公因数法解决的题目有两个特征。

一、要有“公因数”（共同的因数）；如果是“疑似”公因数（例如38和3.8或者38和19）我们可以借助下面几个方法对它进行加工。

①a×b=(a×10)×(b÷10) ②ab×c=cb×a ③a×b×c=a×(b×c)二、要有互补数。

●裂项的计算技巧：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩“裂差”型运算分数裂项“裂和”型运算整数裂项●知识点一：提公因数法题型一、直接提取：例1：计算3×101-6.3【思路导航】把算式补充完整；6.3×101-6.3×1；学生就很容易看出两个乘法算式中有相同的因数6.3。

省略“1”的写法；同学要看的出。

【解答】原式=6.3×（101-1）=6.3×100=630【随堂练习】13419+861519×0.25+0.625×861519+861519×0.125例2：计算7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816【思路导航】观察整个算式的过程中；你有没有发现局部的公因数呢？将局部进行提取公数计算；看看会发生什么事情？【解答】原式=7.816×（1.45+1.69）+3.14×2.184=7.816×3.14+3.14×2.184 （这里是不是可以继续提取公因数了呢）=3.14×（7.816+2.184）=3.14×10=31.4总结：在加减乘除混合运算中；先观察有无公因数。

寻找相邻项
在分式中寻找相邻的项，特别是那些 具有相反符号的项，它们是裂项相消 的关键。
裂项相消法的注意事项
验证因式
在应用裂项相消法之前，要确保 分母中的因式是正确的。错误的
因式会导致后续计算出错。
保持代数恒等性
在应用裂项相消法时，要确保等式 的两边在经过变换后仍然保持恒等， 即等式的两边在变换后具有相同的 值。
3
分数裂项相消法的练习题
如求$frac{1}{2} + frac{1}{6} + frac{1}{12} + frac{1}{20} + ldots$的和，可以通过裂项相消法 快速得出结果。
代数表达式的裂项相消法练习
代数表达式裂项相消法的原理
将代数表达式拆分成多个部分，使得在求和或求积的过程中某些项相互抵消，简化计算过 程。
消法快速得出结果。
06Biblioteka 总结与展望裂项相消法的总结
裂项相消法是一种重要的数学方 法，主要用于解决数列求和问题。
它通过将一个数列拆分成若干个 子数列，然后利用相邻子数列的 相消性质，简化了数列求和的过
程。
裂项相消法在数学中有着广泛的 应用，不仅在数列求和中有用， 还可以用于解决一些组合数学问
题。
裂项相消法的应用前景与展望
02
裂项相消法的原理
分数的裂项
01 分数裂项法
将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以 便于计算。
02 常见裂项形式
如$frac{1}{n(n+1)}$可以拆分为$frac{1}{n}frac{1}{n+1}$。
03 裂项技巧
根据分数的分子和分母特点，选择合适的拆分方 式，简化计算。

裂项法讲解裂项法是一种数学方法，用于将一个复杂的数学式子分解成一些简单的项之和。

在求解一些数学问题时，使用裂项法可以更加便捷地得到答案。

本文将介绍裂项法的基本原理和应用方法。

下面是本店铺为大家精心编写的4篇《裂项法讲解》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《裂项法讲解》篇1裂项法是一种将一个复杂的数学式子分解成一些简单的项之和的方法。

通常情况下，我们将一个式子拆分成多个项，然后再进行求和。

这样做的好处在于，我们可以将一个复杂的问题分解成一些简单的子问题，从而更容易地解决。

下面，我们将介绍裂项法的基本原理和应用方法。

1. 基本原理裂项法的基本原理是将一个式子拆分成多个项，然后将这些项相加得到原式。

每个项通常都是一个常数与一些变量的乘积。

我们可以将这些项按照变量的次数排列，然后进行求和。

例如，我们将式子 $1/x$ 拆分成多个项，可以得到:$$frac{1}{x} = frac{1}{1times x} = frac{1}{x} - frac{1}{x+1} + frac{1}{x+1} - frac{1}{x+2} + frac{1}{x+2} - frac{1}{x+3} + cdots$$2. 应用方法裂项法通常应用于求解一些数学问题，例如求和、积分等。

下面，我们将介绍一些常见的应用方法。

(1) 求和裂项法最常见的应用就是求和。

例如，我们可以使用裂项法求解以下问题:$$1 +2 +3 + cdots + n = frac{n(n+1)}{2}$$我们可以将式子拆分成多个项，然后进行求和，得到:$$1 +2 +3 + cdots + n = 1 + (1+1) + (1+2) + cdots + (1+n-1) = n - 1 + n = frac{n(n+1)}{2}$$(2) 积分裂项法还可以用于积分。

《裂项法讲解》篇2裂项法是数学中一种常用的求和方法，主要用于求解一些可以拆分成多项式的和式。

分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论：0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。

分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

（2）
1 202 50505 13131313 21 2121 212121 21212121
例 3.
（1）
解析：
1 1 1 1 ... 1 3 3 5 5 7 99 101
（2）
5 7 9 11 13 15 6 12 20 30 42 56
裂项求和的规律：
1 1 1 （） 1 a (a 1) a a 1 1 1 1 1 (2) ( ) (a, b为两个连续自然数，且a b) ab a b ba 1 1 1 1 (3) ( )(a, b, c为三个连续自然数，且a b c) abc 2 ab bc 1 1 1 1 (4) ( )(a, b, c, d 为四个连续自然数，且a b c d ) abcd 3 abc bcd
速算与巧算
例 3.
（1） 85
31 42
（2）166
1 41 20
（3） 97
26 33
解析：解决这类问题的突破口，在于整数部分要能与分母进行约分，所以要把整数部分拆开，写 成两个数的和或差的形式，其中一个数要能跟分数的分母约分。 解答：
（1） 85
31 42 31 =（ 84+1 ） 42 31 31 = 84 +1 42 42 31 = 62+ 42 31 = 62 42
我能行：
1、 （1） 475 475
475 478
（2） 51 71
2 3
5 3
3 4
7 4 9 91 4 5 5
2、 （1）
267 123 894 894 124 627
（2）
1 1568 1569 1567

第二讲速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A 和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？。

裂项法在上一学期的第一讲，我们提到古埃及人很喜欢使用单位分数，除了32以外，他们将所有的分数都用若干个分母不同的单位分数和的形式来表达。

以81为例，你能将其分成4个不同的单位分数和的形式吗？在解决这个问题之前，我们先学习和探讨一些分数和整数求和的方法与技巧。

对于某些有一定规律的分数(整数)求和，我们往往使用“裂项”的方法来求解。

所谓“裂项”是指把所需求值的每个数或部分数拆成两个或以上的数和或差的形式。

如：4131121-=。

这样就为后面的相抵消创造了条件。

如：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯31121311；⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯431321214321等等。

而这种方法的实质是分数通分的逆运用，我们在验证式子是否正确的时候，也可以通分后再看两边是否相等。

常见的方法有如下两种：1．直接裂项即一般而言先直接裂项，然后才开始计算前面应该乘以多少。

如：6421⨯⨯ ①先确定分成两个数差的形式，641421⨯-⨯；②再确定是否需要在括号⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯641421前，乘上某个数； 4816421=⨯⨯，641421⨯-⨯＝12124181=-，显然⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯≠⨯⨯6414216421，但是48141241=⨯。

所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯641421416421； ③最后看看这种形式的分数是否都可以这么拆。

如：10861⨯⨯，按上面的规律应该是⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯10818614110861； 验证，480110861=⨯⨯，480112014180148141108186141=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯，满足。

于是，我们就可以说，我们上面的拆法是正确的。

当然还可以更一般的证明。

运用上面的三步走，我们还可以写出：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=+⨯d k k d d k k 111)(1；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-+⨯⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1k k k k k k k ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋯⨯+⨯+⨯+--+⋯++⨯=+⨯⋯⨯+⨯+⨯)()3()2()1(1)1()2)(1(11)()2()1(1n k k k k n k k k k n n k k k k2．利用通项裂项对于那些不易直接裂项的求值问题，可以试试通项法。

第二讲 速算和巧算速算和巧算是数学学习中的一个重要内容，同学们也一定希望自己在计算时，算得正确迅速又合理灵活吧！那么怎样才能做到这些呢？首先必须掌握一些计算法则，定律、性质和拆、拼等一些技巧性方法。

其次是要整体观察题目，找出数据特点及它们之间的联系。

三是联想一些相关的运算定律和性质，选择最佳算法，从而使较复杂的计算题能很快的计算出结果。

例题1、计算：4.981.874.2989.12-++试一试1、4.2863.7643.5434.3867.2357.456--++-例题2、计算：4996949962981+--试一试2、计算：79884256214383842+---例题3、计算：24864242088241344÷+÷+÷试一试3、计算：91017199171715÷+÷+÷+÷例题4、24.73941.11⨯÷⨯÷⨯试一试4、75.01.87.25.24.25.78.425.2÷⨯÷÷÷⨯⨯例题5、62.1259869.12.197371972⨯+⨯+⨯试一试5、2.498.154.236⨯+⨯例题6、4.69.434.316.3⨯+⨯试一试6、8.28.733.612.7⨯+⨯例题7、19199199919999199999++++试一试7、49999949999499949949++++例题8、999999999999⨯⨯+⨯+试一试8、9999999999999999999999999÷+⨯++例题9、991.191.191.1991991+++试一试9、994.194.194.1991994+++1、23.9112.8991.7889.6778.5667.4556.3445.2334.12++++++++2、238.05.238.06.738.0⨯+÷+⨯3、)493929199()413121111(+++++++++4、1.025.668625.0625.099⨯-⨯-⨯5、11.237.911.237.1589.737.989.737.15⨯-⨯+⨯-⨯6、3.562.148.353.078.248.717.3+--+-+7、38.027242.64.172⨯+⨯ 8、8.0925.376.13÷+⨯9、8)2612574125(⨯⨯+⨯ 10、)397281(397562⨯÷⨯11、35.04.2)25.15.34.1(-÷÷+ 12、4.69.684.316.3⨯+⨯13、19951996199619971997199819981999⨯+⨯-⨯-⨯14、[]25.036.263.12.0)242.3825.016.35(÷--⨯÷+⨯1、71.19971.9777.9977.199-++2、68.92468.72468.52468.32468.124++++3、200115)4.2175.025786.06.78(⨯÷⨯+⨯-4、8.28.733.612.7⨯+⨯ 5、135135852852852135⨯-⨯6、12543508251400÷÷+÷÷7、1369141311913139÷+÷+÷+÷+÷8、28423.05.1275.33.426.3⨯⨯-⨯⨯ 9、1.9323225.025.1⨯⨯⨯10、)22242527()111094321(⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11、62.048.538.151.048.619.2---++12 、[]2.0255.0)5.26(26⨯-÷-⨯13、)305.105.1()7.95.24.8(+÷÷+⨯。

速算与巧算(特点， 定义：在数学运算中，根据数的某些特点， 利用一些法则、定律进行合理、快速、巧 利用一些法则、定律进行合理、快速、 妙的简捷算法，简称为速算与巧算。 妙的简捷算法，简称为速算与巧算。
在速算与巧算中常用的三大基本 思想： 思想：
3、乘法交换律： 乘法交换律：
两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。 b=b× 两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。即：a×b=b×a 一般地，多个数相乘，任意改变相乘的次序，其积不变。 一般地，多个数相乘，任意改变相乘的次序，其积不变。 d=d× 即：a×b×c×d=d×b×a×c
4、乘法结合律： 乘法结合律：
2、加法结合律： 加法结合律：
几个数相加，先把前两个数相加， 几个数相加，先把前两个数相加，再加上第 三个数；或者，先把后两个数相加， 三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个 数相加，它们的和不变。 数相加，它们的和不变。即： a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
常见运算定律及其方法： 常见运算定律及其方法：
两个数相加(或相减)再乘另一个数， 两个数相加(或相减)再乘另一个数，等于把这个数分别同两 个加数或减数相乘，再把两个积相加或相减，得数不变。 个加数或减数相乘，再把两个积相加或相减，得数不变。 (b+c)=a×b+b× (a+b)×c=a×c+b× 即: a×(b+c)=a×b+b×c, (a+b)×c=a×c+b×c, (b-c)=a× (a-b)×c=a× a×(b-c)=a×b-b×c, (a-b)×c=a×c-b×c,
3、几种常见的特殊因数乘积的巧算 、
（8）尾同头合十的两个两位数的乘法：先用 ）尾同头合十的两个两位数的乘法： 两个因数的个位数字相乘， 两个因数的个位数字相乘，并把积直接写在 末尾，如果积不满10，十位上补0， 末尾，如果积不满 ，十位上补 ，然后再将 两个因数的十位数字相乘的积加上个位数字 的和，写在两个数字相乘的积的前面。 的和，写在两个数字相乘的积的前面。 计算（ ） 例11计算（1） 45×65 计算 × （2） 59×59 ） × （3） 26×86 ） × （4） 81×21 ） × 解： （1） 45×65=2925 ） × （2） 59×59=3481 ） × （3） 26×86=2236 ） × （4） 81×21=1701 ） ×

分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。

2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。

3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。

4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。

5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。

典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。

再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。

这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。

21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－25544、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋990098995、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯四、分组法：计算20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++）热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯6、2+421133011120171215613++++7、565542413029201912116521++++++8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋2002200211、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++)12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++）13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，有 2Sn＝n2＋n (n∈N*). (1)求数列的通项公式 an； (2)若 bn＝(－1)n＋1a1n＋an1＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
11
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归纳总结
看
2裂
验
12
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消
课后作业
1．已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2a2＝S2＋12， a3＝2. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
裂项法求数列的前n项和
1
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数列求和的常见方法
公式法 裂项相消法 错位相减法 分组求和法 并项求和法 倒序相加法
2
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裂项相消法
裂项法，是分解与组合思想在数列求和中的具体 应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重 新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目 的。
15
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谢谢！
16
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明：Tn＜12.
14
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课后作业
3.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n) ＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an；
n＋1 (2)令 bn＝(n＋2)2a2n，数列的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn＜654.
3
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常见的裂项求和
an＝n(n1＋1)＝1n－n＋1 1 an＝n(n1＋k)＝1k1n－n＋1 k an＝n(n＋11)(n＋2) ＝n(n1＋1)－(n＋1)1(n＋2)
an＝
1 n＋ n＋1

速算与巧算及分数裂项求和一、知识梳理速算与巧算指根据运算律、去括号法则、分数与除法关系等知识使运算简便，便于口算。

分数裂项是计算特殊形式分数加减运算的一种特殊方法。

分数裂项的实质是将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。

例 3121232361-=⨯-= 41314343127+=⨯+= 二、方法归纳整数运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。

乘法分配律是最常见的一种运算定律。

另外，分数的运算技巧和方法主要有凑整法、裂项法、代数法等。

运算定律和性质1．加法运算定律：a ＋b ＝b ＋a (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)2．乘法运算规律：a ×b ＝b ×a (a ×b)×c ＝a ×(b ×c) a ×(b ＋c) ＝a ×b ＋a ×c3．带符号搬家1）在加减混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a －b ＋c ＝a ＋c －b a ＋b －c ＝a －c ＋b2）在乘除混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a ÷b ÷c ＝a ÷c ÷b a ÷b ×c ＝a ×c ÷b4．添括号、去括号添加括号原则： a ＋b ＋c ＝a ＋(b ＋c) a ×b ×c ＝ a ×(b ×c)a ＋b －c ＝a ＋(b －c) a ×b ÷c ＝ a ×(b ÷c)a －b －c ＝a －(b ＋c) a ÷b ÷c ＝ a ÷(b ×c)a －b ＋c ＝a －(b －c) a ÷b ×c ＝ a ÷(b ÷c)5.分数裂项的方法：将一串分数中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，从而简化计算。

三角函数中的应用实例
总结词
简化三角函数计算
详细描述
裂项相消法在三角函数中也有着重要的应用。对于一些复杂的三角函数式，如三角函数的乘积、除法 等，可以利用裂项相消法将其拆分成易于处理的形式，从而简化计算过程。这种方法在解决三角函数 相关问题时，如求值、化简等，能够大大提高解题效率。
数列求和中的应用实例
04裂项相消法的进阶技巧裂相消法的变形技巧变形技巧一
将通项公式变形为两个部分，使 得相邻的项能够相互抵消，从而 简化求和过程。
变形技巧二
通过调整系数或变量的形式，使 得相邻的项具有相同的部分，以 便于相消。
裂项相消法的组合技巧
组合技巧一
将多个裂项相消法的实例组合在一起 ，以解决更复杂的问题。
THANKS
感谢观看
求 (1/3 - 1/6 + 1/9 1/12 + ...) 的值。
这道题同样可以利用裂项 相消法进行求解，但需要 注意相邻两项之间的符号 变化规律，正确拆分并相 消各项。
高阶练习题与解析
总结词
练习题1
解析
练习题2
解析
挑战裂项相消法的复杂 应用
求 (1/2 - 1/3 + 1/4 1/5 + ...) 的值。
组合技巧二
将裂项相消法与其他数学方法结合使 用，以获得更广泛的应用。
裂项相消法的拓展技巧
拓展技巧一
通过推广裂项相消法的应用范围，将 其应用于更广泛的数学问题中。
拓展技巧二
探索裂项相消法的深层次原理，进一 步深化对这一数学方法的理解。
05
裂项相消法的练习题与解析
基础练习题与解析
总结词
练习题1
解析
这道题是裂项相消法的 复杂应用，相邻两项之 间的符号变化规律较为 复杂，需要仔细观察并 正确拆分各项，才能得 到最终结果。

目录第一讲速算与巧算（一）一、凑十法同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于101＋9＝10，2＋8＝10，3＋7＝10，4＋6＝10，5＋5＝10巧用这些结果，可以使计算又快又准。

例1计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：1＋2＝3，3＋3＝6，6＋4＝10，10＋5＝15，15＋6＝21，21＋7＝28，28＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。

若是利用凑十法，就能克服这种缺点。

二、凑整法同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：1＋19＝20，11＋9＝30，2＋18＝20，12＋28＝40，3＋17＝20，13＋37＝50，4＋16＝205＋15＝20，15＋55＝70，6＋14＝20，16＋64＝80，7＋13＝20，17＋73＝90，8＋12＝20又如：15＋85＝100，14＋86＝100，25＋75＝100，24＋76＝100，35＋65＝100，34＋66＝100等等。

巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。

像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。

例2计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：例3计算2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：例4计算2＋13＋25＋44＋18＋37＋56＋75解：用凑整法：三、用已知求未知利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。

下面再举两个例子。

例5计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。

最新小学奥数 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。