甘肃省天水市第一中学2021届高三第五次考试理科数学试题

甘肃省天水市第一中学2021届高三上学期第一学段考试数学试题(理)一、单选题（每小题5分，共60分）1. 设集合{}1,0,1M =-，{}2N x x x =≤，则MN =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}1,1-D. {}1,0,1-『答案』B『解析』由2x x ≤， 解得01x ≤≤， 则{|01}N x x =≤≤. 又{1,0,1}M，所以{0,1}M N ⋂=. 故选：B.2. 已知函数2()1xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称 B. 函数()f x 在(,1)-∞上是增函数 C. 函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称D. 函数()f x 的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB //x 轴 『答案』A『解析』由题意22()211x f x x x ==+--， 则该函数的图象可由函数2y x=的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图，由图象可得：函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称，故A 正确； 函数()f x 在(,1)-∞上是减函数，故B 错误； 函数()f x 的图象不关于直线x ＝1对称，故C 错误；函数()f x 的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点A ，B ，使得直线AB //x 轴，故D 错误. 故选：A.3. 已知函数1()f x x=的导函数为()'f x ，若12()()''<f x f x ，则12,x x 的大小关系不可能为（ ） A. 120x x << B. 210x x << C. 120x x << D. 210x x <<『答案』B『解析』因为函数1()f x x=， 所以21()f x x'=-， 所以()'f x 在(),0-∞是增函数，在()0,+∞上是减函数， 当()12,0x x ∈-∞，时，因为12()()''<f x f x ，所以12x x <，当()120,x x ∈+∞，时，因为12()()''<f x f x ，所以21x x <， 故选：B.4. 已知2sin 1cos αα=+，其中α是第一象限角，则tan2α=（ ）A.12- B. 2 C.12D.13『答案』C『解析』因为2sin 1cos αα=+，所以224sin cos1cos sin 2222αααα=+-，所以22sincoscos 222ααα=，又α是第一象限角，所以cos02α≠，所以2sincos1222cos 2ααα=即1tan 22α=. 故选：C.5. 已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A. 关于直线23x π=对称B. 关于直线6x π=对称 C. 关于点2-03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D. 关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 『答案』D 『解析』由题意得22ππω=，故1ω=， ∴()cos(2)f x x ϕ=+，∴()cos[2()]cos(2)cos 263g x x x x ππϕϕ=-+=-+=，∴3πϕ=，∴()cos(2)3f x x π=+．∵2251()cos(2)cos 133332f ππππ=⨯+==≠±，21()cos(2)cos 166332f ππππ=⨯+==-≠±， ∴选项A,B 不正确． 又22()cos(2)cos()10333f ππππ-=-⨯+=-=-≠， 55()cos(2)cos()0121232f ππππ-=-⨯+=-=， ∴选项C,不正确，选项D 正确．选D ．6. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69『答案』C 『解析』()()0.23531t KI t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.7. 已知在ABC 中，22tan tan A a B b=，判断ABC 的形状为（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形『答案』C『解析』22tan tan A a B b =，22sin cos sin sin cos sin A B AB A B∴=cos sin cos sin B A A B∴=，sin cos sin cos A A B B ∴= sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=或2+2=A B π A B ∴=或+=2A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ．8. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“5a >5b ”是“log 5log 5a b <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案』D『解析』因为,a b 都是不等于1的正数，由5a >5b ，故可得1a b >>或10a b >>>或10a b >>>； 由log 5log 5a b <，故可得01b a <<<或01a b <<<或1a b >> 显然充分性和必要性均不成立. 故选：D.9. 若2233x y x y ---<-，则（ ） A ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<『答案』A『解析』由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A. 10. 若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上 A. 2470x y -= B. 2470x y +=C. 7240x y +=D. 7240x y -=『答案』B『解析』由条件可知2724cos 2cos1,sin 2sin cos 2252225θθθθθ=-=-==， 24tan 7θ-=．又24tan 7y x θ==-， 所以247x y =-，即2470x y +=. 故选：B ．11. 已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ） A. 1(0,)2eB. 1(,)2e+∞ C. 1(0,)eD. 1(,)e+∞『答案』A『解析』因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点，0m <不合题意，当0m >时，20mx >，当()ln 01f x x x =>⇒>， 即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切， 即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线，则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m=， 则有()()20000111,ln ln222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =， 因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点，方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：A.12. 已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ）A. (,2ln 2)-∞-B. (],2ln 2-∞-C. (,112ln 2)-∞-+D. (],112ln 2-∞-+『答案』C『解析』由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C.二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 命题“0x ∃∈R ，00ex x <”的否定是_______________.『答案』x ∀∈R ，e x x ≥ 『解析』命题“0x ∃∈R ，00ex x <”为特称命题，该命题的否定为“x ∀∈R ，e x x ≥”.故答案为：x ∀∈R ，e x x ≥.14. 曲线sin (0)y x x π=≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积为__________.『答案』－『解析』做出如图所示：，可知交点为151,,,6262ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此封闭图形面积为：55666611sin cos|223S x dx x xπππππ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰.15. 曲线2lny x x=+在点()1,b处的切线方程与直线10ax y--=垂直，则a b+=______．『答案』23『解析』∵()1,b是2lny x x=+的点，则1b=，12y xx'=+，显然在点()1,b处的斜率3k=，则切线方程为32y x=-，∵直线32y x=-与直线1y ax=-垂直，则31a=-，显然13a=-，则12133a b+=-=，故答案为：23．16. 设x、y是常数，且满足()()()()3312018111201811x xy y⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，则x y+的值是________.『答案』2『解析』构造函数()32018f x x x=+，该函数的定义域为R，且()()()()3320182018f x x x x x f x-=-+⋅-=--=-，则函数()32018f x x x=+为奇函数，且在定义域R为增函数.由()()()()3312018111201811x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，可得()()1111f x f y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，()()()111f x f y f y ∴-=--=-， 11x y ∴-=-，因此，2x y +=.故答案2.三、解答题（第17题10分；第18--22题每小题12分，共70分） 17. 已知函数()()22sin cos f x x x x =++（1）求它的单调递增区间； （2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域. 解：（1）())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈. 故此函数单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）由02x π<<，得42333x πππ<+<. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦， 故此函数的值域为(1⎤-⎦18. 已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是21a -，4a 等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*11n n n b n N a a +=∈.求数列{}n b 的前n 项和n T . 的解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵6336a a d -==，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+，∴3113a a -=+，2111a a -=+，416a a =+， ∵31a -是21a -，4a 的等比中项，∴()()232411a a a -=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a = ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+ （2）由（1）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭∴1212n n T b b b =++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭。

精心整理2021年甘肃省天水一中高考数学三模试卷〔理科〕一、单项选择题〔每题5分，共60分〕1．〔5 分〕假设集合 M ＝{x|〔x+1〕〔x ﹣3〕＜0}，集合N ＝{x|x ＜1}，那么M∩N 等于〔〕A ．〔1，3〕B ．〔﹣∞，﹣1〕C ．〔﹣1，1〕D ．〔﹣3，1〕2．〔5 分〕i 为虚数单位，假设复数〔1+mi 〕〔1+i 〕是纯虚数，那么实数 m ＝〔〕A ．﹣1B ．0C ．1D ．0或13．〔5分〕假设x ，y 满足约束条件 ，那么的最小值为〔 〕A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．24．〔5分〕数学名着?算学启蒙?中有关于“松竹并生〞的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．假设输入的 a ，b 分别为8、2，那么输出的 n ＝〔 〕A ．2B ．3C ．5D ．45．〔5分〕“不等式2〕x ﹣2x+m≥0在R 上恒成立〞的一个充分不必要条件是〔A ．m≥1B ．m≤1C ．m≥0D ．m≥26．〔5分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c?cosB ＝2a+b ，那么∠C＝〔〕A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 7．〔5分〕中国有十二生肖，又叫十二属相， 每一个人的出生年份对应了十二种动物 〔鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪〕中的一种．现有十二生肖的桔祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同 学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个桔祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，那么选法有〔 〕A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种8．〔5分〕一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如以下图，那么该三棱锥的外接球的外表积为〔 〕A ．29πB ．30πC ．D ．216π9．〔5分〕△ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O ，且2 ++＝ ，| |＝| |，那么?等于〔〕A ．B ．C ．3D ．10．〔5分〕抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，以 PF 为边作一个等边三角形 PFQ ，假设点Q在抛物线的准线上，那么|PF|＝〔 〕A ．1B ．2C ．2D ．2精心整理11．〔5分〕一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．假设将该正方体任意旋转，那么容器里水面的最大高度为〔〕A．1B．C．D．12．〔5分〕定义在R上的函数y＝f〔x〕，满足f〔3﹣x〕＝f〔x〕，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，且〔x﹣〕f′〔x〕＜0，假设x1＜x2，且x1+x2＞3，那么有〔〕A．f〔x1〕＜f〔x2〕C．f〔x1〕＝f〔x2〕B．f〔x1〕＞f〔x2〕．不确定二、填空题〔每题5分，共20分〕13．〔5分〕直线y＝ax﹣2和y＝〔a+2〕x+1互相垂直，那么实数a等于．3α，那么的值为．14．〔5分〕曲线〔fx〕＝x在点〔1，〔f1〕〕处的切线的倾斜角为15．〔5分〕设a＝〔sinx+cosx〕dx，那么二项式〔a〕6展开式中含x2项的系数是16．〔5分〕在实数集R中定义一种运算“●〞，具有性质：〔1〕对任意a，b∈R，a●b＝b●a；〔2〕对任意a∈R，a●0＝a；〔3〕对任意a，b∈R，〔a●b〕●c＝c●〔ab〕+〔a●c〕+〔b●c〕﹣5c．那么函数f〔x〕＝x●〔x＞0〕的最小值为．三、解答题〔每题12分，共60分〕17．〔12分〕等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．1〕求数列{a n}的通项公式2〕假设b n＝na n〔n∈N*〕，求数列{b n}的前n项和S n．18．〔12分〕某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2021年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如以下图〔1〕由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y〔单位：百万元〕与月代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2021年3月份的利润；〔2〕甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：寿命类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购本钱之外的其他本钱，A材料每包的本钱为10万元，B材料每包的本钱为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：．参考公式：回归直线方程为．19．〔12分〕在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．〔Ⅰ〕求证：AE⊥BD；〔Ⅱ〕求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．20．〔12分〕O为坐标原点，椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；〔Ⅱ〕是否存在直线l：y＝k〔x+c〕与椭圆C相交于E，D两点，使得〔〕＜1？假设存在，求的取值范围；假设不存在，请说明理由！21．〔12分〕函数f〔x〕＝ax﹣1﹣lnx〔a∈R〕〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性；〔2〕假设函数f〔x〕在x＝1处取得极值，不等式f〔x〕≥bx﹣2对?x∈〔0，+∞〕恒成立，求实数b的取值范围；〔3〕当x＞y＞e﹣1时，证明不等式x yeln〔1+y〕＞eln〔1+x〕选做题〔共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做第一题计分．〕22．〔10分〕在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔其中t为参数，0＜α＜π〕．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ．（1〕求l和C的直角坐标方程；2〕假设l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α．23．设函数f〔x〕＝|2x+a|﹣|x﹣2|〔x∈R，a∈R〕．〔Ⅰ〕当a＝﹣1时，求不等式f〔x〕＞0的解集；〔Ⅱ〕假设f〔x〕≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．2021年甘肃省天水一中高考数学三模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、单项选择题〔每题5分，共60分〕1．〔5分〕假设集合A．〔1，3〕M＝{x|〔x+1〕〔x﹣3〕＜0}，集合N＝{x|x＜1}，那么B．〔﹣∞，﹣1〕C．〔﹣1，1〕M∩N等于〔D．〔﹣3，1〕〕【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】由二次不等式的解法得：M＝〔﹣1，3〕，由集合交集及其运算得：M∩N＝〔﹣【解答】解：解二次不等式〔x+1〕〔x﹣3〕＜0得：﹣1＜x＜3，即M＝〔﹣1，3〕，又集合N＝{x|x＜1}＝〔﹣∞，1〕，所以M∩N＝〔﹣1，1〕，应选：C．【点评】此题考查了二次不等式的解法及集合交集及其运算，属简单题．2．〔5分〕i为虚数单位，假设复数〔1+mi〕〔1+i〕是纯虚数，那么实数m＝〔〕A．﹣1B．0C．1D．0或11，1〕，得解．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵〔1+mi〕〔1+i〕＝〔1﹣m〕+〔1+m〕i是纯虚数，∴，即m＝1．应选：C．【点评】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的根本概念，是根底题．3．〔5分〕假设x，y满足约束条件，那么的最小值为〔〕A．﹣1B．﹣2C．1D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y＝﹣2x，当过点〔0，﹣1〕时，直线在y轴上的截距精心整理最大，从而求出所求．【解答】解：x，y满足约束条件的平面区域如以下图所示：平移直线y＝﹣2x，由图易得，当x＝0，y＝﹣1时，即经过A时，目标函数z＝2x+y的最小值为：﹣1．应选：A．【点评】此题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于根底题．4．〔5分〕数学名着?算学启蒙?中有关于“松竹并生〞的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．假设输入的a，b分别为8、2，那么输出的n＝〔A．2B．3C．5D．4〕【考点】EF：程序框图．【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】根据条件进行模拟运算即可．【解答】解：n＝1，a＝8+4＝12，b＝4，a＜b否，n＝2，n＝2，a＝12+6＝18，b＝8，a＜b否，n＝3，n＝3，a＝18+9＝27，b＝16，a＜b否，n＝4，n＝4，a＝27+＝，b＝32，a＜b否，n＝5，n＝5，a＝＝，b＝64，a＜b是，输出n＝5，应选：C．【点评】此题主要考查程序框图的识别和识别，结合条件进行模拟运算是解决此题的关键．5．〔5分〕“不等式2﹣2x+m≥0在R上恒成立〞的一个充分不必要条件是〔〕xA．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≥2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．【分析】由二次不等式恒成立问题得：：“不等式x 2﹣2x+m≥0在R上恒成立〞的充要条件为：“〔﹣2〕2﹣4m≤0“即〞m≥1“，由充分必要条件得：“m≥2“是〞m≥1“的充分不必要条件，即“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立〞的一个充分不必要条件是：〞m≥2“，得解．22【解答】解：“不等式x﹣2x+m≥0在R上恒成立〞的充要条件为：“〔﹣2〕﹣4m≤0“即〞m≥1“，又“m≥2“是〞m≥1“的充分不必要条件，精心整理即“不等式 x 2﹣2x+m ≥0在R 上恒成立〞的一个充分不必要条件是： 〞m ≥2“，应选：D ．【点评】此题考查了二次不等式恒成立问题及充分必要条件，属简单题．6．〔5分〕△AB C的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c?cosB ＝2a+b ，那么∠C ＝〔〕A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【考点】HP ：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想； 49：综合法；58：解三角形．【分析】结合题意，由余弦定理可得 2c × ＝2a+b ，变形可得 a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，根据余弦定理可求cosC 的值，结合C 的范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，假设2c?cosB ＝2a+b ，那么有：2c ×＝2a+b ，整理得：222a+b ﹣c ＝﹣ab ，可得：cosC ＝＝＝﹣，又在△ABC 中，0°＜C ＜180°，∴C ＝120°． 应选：C ．【点评】此题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于根底题．7．〔5分〕中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物〔鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪〕中的一种．现有十二生肖的桔祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个桔祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，那么选法有〔 〕A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】32：分类讨论；5I ：概率与统计．【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．【解答】解：①甲同学选择牛，乙有 2种，丙有10种，选法有 1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有 3种，丙有 10种，选法有 1×3×10＝30种，所以总共有 20+30＝50种．应选：B ．【点评】此题考查分步计数原理，属于简单题．精心整理8．〔5分〕一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如以下图，那么该三棱锥的外接球的外表积为〔〕A．29πB．30πC．D．216π【考点】LG：球的体积和外表积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的外表积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的外表积为：，应选：A．【点评】此题考查三视图，几何体的外接球的外表积，考查空间想象能力，计算能力，是根底题．9．〔5分〕△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，那么?等于〔〕A．B．C．3D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法那么将等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．那么，精心整理应选：C．【点评】此题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等根本知识．求出△ABC 为直角三角形及三边长，是解题的关键．10．〔5分〕抛物线y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF 为边作一个等边三角形PFQ，假设点Q在抛物线的准线上，那么|PF|＝〔〕A．1B．2C．2D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标〔，0〕，利用抛物线的简单性质求出直线方程，然后求出结果．【解答】解：抛物线的焦点坐标〔，0〕，可得直线PF：y＝〔x﹣〕，可得：，可得：x＝，那么y＝，|PF|＝＝2．应选：B．【点评】此题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11．〔5分〕一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．假设将该正方体任意旋转，那么容器里水面的最大高度为〔〕A．1B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半．【解答】解：正方体的对角线长为2，故当正方体旋转的新位置的最大高度为2，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为．应选：C．【点评】此题考查了几何体的体积计算，属于根底题．12．〔5分〕定义在R上的函数y＝f〔x〕，满足f〔3﹣x〕＝f〔x〕，f′〔x〕为〔x〕＜0，假设x1＜x2，且x1+x2＞3，那么有〔〕f〔x〕的导函数，且〔x﹣〕f′精心整理A．f〔x1〕＜f〔x2〕C．f〔x1〕＝f〔x2〕B．f〔x1〕＞f〔x2〕．不确定【考点】3E：函数单调性的性质与判断；62：导数及其几何意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由“f〔3﹣x〕＝f〔x〕〞，知函数图象关于直线x＝对称，再由“f′〔x〕＜0〞可知：当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数，最后由“x1＜x2，且x1+x2＞3〞，得知x1，x2∈〔，+∞〕，应用单调性定义得到结论．【解答】解：∵f〔3﹣x〕＝f〔x〕，∴函数图象关于直线x＝对称，又∵f′〔x〕＜0∴当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数x1＜x2，且x1+x2＞3x1，x2∈〔，+∞〕f〔x1〕＞f〔x2〕应选：B．【点评】此题主要考查函数的对称性和单调性，这里还考查了导数，当导数大于零时，函数是增函数，当导数小于零时，函数是减函数．二、填空题〔每题5分，共20分〕13．〔5分〕直线y＝ax﹣2和y＝〔a+2〕x+1互相垂直，那么实数a等于﹣1．【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．【解答】解：∵直线y＝ax﹣2和y＝〔a+2〕x+1互相垂直，∴他们的斜率之积等于﹣1，即a×〔a+2〕＝﹣1，a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1．精心整理14．〔5分〕曲线f 〔x 〕＝ x 3在点〔1，f 〔1〕〕处的切线的倾斜角为α，那么的值为．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；35：转化思想； 49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，求得f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．【解答】解：因为：曲线 f 〔x 〕＝ x 3．所以：函数 f 〔x 〕的导函数 f ′〔x 〕＝2x 2，可得：f ′〔1〕＝2，因为：曲线 f 〔x 〕＝x 3在点〔1，f 〔1〕〕处的切线的倾斜角为α，所以：tan α＝f ′〔1〕＝2，所以：＝＝＝ ．故答案为： ．【点评】此题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查三角函数化简求值，属于根底题．15．〔5分〕设a ＝ 〔sinx+cosx 〕dx ，那么二项式〔a〕6展开式中含x 2项的系数是﹣192【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想； 52：导数的概念及应用；5P ：二项式定理．【分析】根据题意，由定积分计算公式可得a ＝〔sinx+cosx 〕dx ＝sinxdx+cosxdx ＝〔﹣cosx 〕+sinx＝2，即可得a 的值，由二项式定理分析可得该二项式展开式的通项，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，a ＝〔sinx+cosx 〕dx ＝sinxdx+cosxdx ＝〔﹣cosx 〕+sinx ＝2，二项式〔a〕6即〔2〕6，其展开式的通项为T r+1＝〔2〕6﹣r 〔﹣〕r ＝〔﹣1〕r ××26﹣r3﹣r，x当r ＝1时，有T 2＝〔﹣1〕× 5 2×2 x ＝﹣192；故答案为：﹣192．【点评】此题考查二项式定理的应用，涉及定积分的计算，属于根底题．16．〔5分〕在实数集 R 中定义一种运算“●〞，具有性质：精心整理〔1〕对任意a，b∈R，a●b＝b●a；〔2〕对任意a∈R，a●0＝a；〔3〕对任意a，b∈R，〔a●b〕●c＝c●〔ab〕+〔a●c〕+〔b●c〕﹣5c．那么函数f〔x〕＝x●〔x＞0〕的最小值为3．【考点】7F：根本不等式及其应用．【专题】23：新定义；35：转化思想；59：不等式的解法及应用．【分析】令c＝0，代入得〔a?b〕?0＝0?〔ab〕+〔a?0〕+〔b?0〕＝ab+a+b．求出f〔x〕解析式，进而得到f 〔x〕最小值．【解答】因为在〔3〕中，对任意对任意a∈R，〔a●b〕●c＝c●〔ab〕+〔a●c〕+〔b●c〕﹣5c．令c＝0，代入得〔a?b〕?0＝0?〔ab〕+〔a?0〕+〔b?0〕．由〔1〕中a●b＝b●a可得〔a?b〕?0＝0?〔ab〕+〔a?0〕+〔b?0〕．由〔2〕中a●0＝a，化简可得〔a?b〕?0＝ab+a+b．所以f〔x〕＝f〔x〕?0＝〔x●〕?0＝1+x+，因为x＞0，由根本不等式可得f〔x〕＝1+x+≥1+2＝3，故填：3．【点评】此题为新定义题，理解好定义并合理使用定义中的条件，是解题关键．还考查了根本不等式的应用，属于中档题．三、解答题〔每题12分，共60分〕17．〔12分〕等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．1〕求数列{a n}的通项公式2〕假设b n＝na n〔n∈N*〕，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】〔1〕根据{a n}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4．即可求解数列{a n}的通项公式〔2〕由b n＝na n〔n∈N*〕，可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n．n项和S【解答】解：〔1〕由{a n}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4＝a32＝44，；∴a1+a1q＝解得：a1＝，q＝2；∴数列{a n}的通项公式：a n＝2n﹣2；〔2〕由b n＝na n〔n∈N*〕，精心整理n ﹣2∴b n ＝n?2；﹣1+2×2 0 1n ﹣2那么S n ＝1×2+3×2++n?2 ，①12n ﹣2n ﹣1，②那么2S n ＝1×2+2×2+3×2++〔n ﹣1〕2+n?2 将②﹣①得：S n ＝+n?2n ﹣1；﹣102n ﹣2n ﹣1＝n ﹣1即：S n ＝﹣〔2+2+2+2 +2 〕+n?2+n?2．【点评】此题主要考查数列通项公式以及前n 项和的求解，利用错位相减法是解决此题的关键．18．〔12分〕某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2021年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如以下图〔1〕由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y 〔单位：百万元〕与月代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2021年3月份的利润；〔2〕甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A ，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：寿命类型1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来 5万元收入，不考虑除采购本钱之外的其他本钱， A 材料每包的本钱为 10万元，B 材料每包的本钱为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据， 你会选择采购哪款新型材料？参考数据：．参考公式：回归直线方程为 ．【考点】BK ：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】〔1〕求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；〔2〕分别计算相应的数学期望，即可得出结论．精心整理【解答】解：〔1〕由折现图可知统计数据〔，〕共6组，即〔1，11〕，〔2，13〕，〔3，16〕，〔4，15〕，〔5，20〕，〔6，21〕，计算可得＝〔1+2+3+4+5+6〕＝，y i＝?96＝16，故＝＝2，故＝﹣＝16﹣＝9，∴x关于y的线性回归方程为＝2x+9，故x＝11时，那么＝2×11+9＝31，即预测公司2021年1月份〔即x＝7时〕的利润为31百万元；〔2〕由频率估计概率，A型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为，，，，∴A型材料利润的数学期望为〔5﹣10〕×0.2+〔10﹣10〕×0.35+〔15﹣10〕×0.35+〔20﹣10〕×＝万元；B型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为，，，，∴B型材料利润的数学期望为〔5﹣12〕×0.1+〔10﹣12〕×0.3+〔15﹣12〕×0.4+〔20﹣12〕×＝万元；＞，∴应该采购A型材料．【点评】此题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19．〔12分〕在五面体ABCDEF中，四边形 EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．〔Ⅰ〕求证：AE⊥BD；〔Ⅱ〕求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】〔Ⅰ〕推导出AD⊥BD，AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，进而BD⊥DE，由此能证明BD⊥平面ADE，从而AE⊥BD．〔Ⅱ〕以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕∵AD＝DE＝1，四边形EDCF是正方形，∠ADC＝∠DCB＝120°．精心整理∴AD＝DC＝BC＝1，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，∠ADE＝90°，∴AD⊥DE，DC⊥DE，又AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴BD⊥DE，∵AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，AE?平面ADE，∴AE⊥BD．解：〔Ⅱ〕以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A〔1，0，0〕，F〔0，1，1〕，B〔0，，0〕，D〔0，0，0〕，E〔0，0，1〕，＝〔1，﹣1，﹣1〕，＝〔0，，0〕，＝〔0，0，1〕，平面BDE的法向量＝〔1，0，0〕，设直线AF与平面BDF所成角为θ，那么cosθ＝＝＝．∴直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】此题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．〔12分〕O为坐标原点，椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；〔Ⅱ〕是否存在直线l：y＝k〔x+c〕与椭圆C相交于E，D 3，直线y＝﹣两点，使得〔与椭圆〕C相切．＜1？假设存在，求的取值范围；假设不存在，请说明理由！【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】〔Ⅰ〕由题意可得＝3，以及直线y＝﹣与椭圆C相切，可得b＝，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；〔Ⅱ〕联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在 ＝1〔a ＞b ＞0〕中，令 x ＝c ，可得y ＝± ，∵过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，∴ ＝3，∵直线y ＝﹣ 与椭圆C 相切，b ＝， a ＝2a 2＝4，b 2＝3．故椭圆C 的方程为+＝1；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知c ＝1，那么直线 l 的方程为y ＝k 〔x+1〕，联立 2222﹣12＝0，，可得〔4k+3 〕x+8kx+4k那么△＝64k 4﹣4〔4k 2+3〕〔4k 2﹣12〕＝144〔k 2+1〕＞0，∴x 1+x 2＝﹣ ，x 1x 2＝ ，y 1y 2＝k 2〔x 1+1〕〔x 2+1〕＝﹣，∵〔 〕＜1，?＜1，∴〔x 2﹣1，y 2〕〔x 1﹣1，y 1〕＝x 1x 2﹣〔x 1+x 2〕+1+y 1y 2＜1，即++1﹣ ＜1，2整理可得 k ＜4，∴直线l 存在，且k 的取值范围为〔﹣ 2，2〕．【点评】此题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等根底知识与根本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21．〔12分〕函数 f 〔x 〕＝ax ﹣1﹣lnx 〔a ∈R 〕〔1〕讨论函数f 〔x 〕的单调性；〔2〕假设函数f 〔x 〕在x ＝1处取得极值，不等式f 〔x 〕≥bx ﹣2对?x ∈〔0，+∞〕恒成立，求实数b 的取值范围；x y〔3〕当x ＞y ＞e ﹣1时，证明不等式eln 〔1+y 〕＞eln 〔1+x 〕【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6C ：函数在某点取得极值的条件；6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；15：综合题；51：函数的性质及应用； 53：导数的综合应用．【分析】〔1〕由f 〔x 〕＝ax ﹣1﹣lnx ，求得f ′〔x 〕＝ ．然后分a ≤0与a ＞0两种情况讨论，从而得到f ′〔x 〕的符号，可得f 〔x 〕在其定义域〔 0，+∞〕内的单调性，最后综合可得答案；〔2〕函数f 〔x 〕在x ＝1处取得极值，由〔 1〕的讨论可得a ＝1．将不等式f 〔x 〕≥bx ﹣2化简整理得到 1+ ﹣≥b ，再构造函数g 〔x 〕＝1+﹣ ，利用导数研究 g 〔x 〕的单调性，得到[g 〔x 〕]min ＝1﹣]．由此即可得到实数b 的取值范围；〔3〕设函数F 〔t 〕＝，其中t ＞e ﹣1．利用导数研究 F 〔x 〕的单调性，得到得 F 〔t 〕是〔e ﹣1，+∞〕上的增函数．从而得到当x ＞y ＞e ﹣1时，F 〔x 〕＞F 〔y 〕即＞，变形整理即可得到xy不等式eln 〔1+y 〕＞eln 〔1+x 〕成立．【解答】解：〔1〕∵f 〔x 〕＝ax ﹣1﹣lnx ，∴f ′〔x 〕＝a ﹣＝ ，当a ≤0时，f'〔x 〕≤0在〔0，+∞〕上恒成立，∴函数f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减；当a ＞0时，f'〔x 〕＜0得0＜x ≤，f'〔x 〕＞0得x ＞ ，∴f 〔x 〕在〔0，〕上单调递减，在〔，+∞〕上单调递增， 综上所述，当 a ≤0时函数f 〔x 〕在〔0，+∞〕上是减函数；当a ＞0时，f 〔x 〕在〔0，〕上是减函数，在〔 ，+∞〕上是增函数．〔2〕∵函数f 〔x 〕在x ＝1处取得极值，∴根据〔1〕的结论，可得a ＝1，∴f 〔x 〕≥bx ﹣2，即x+1﹣lnx ≥bx ，两边都除以正数x ，得1+ ﹣≥b ，令g 〔x 〕＝1+ ﹣，那么g ′〔x 〕＝﹣ ﹣ ＝﹣ 〔2﹣lnx 〕，由g ′〔x 〕＞0得，x ＞e 2，∴g 〔x 〕在〔0，e 2〕上递减，22由g ′〔x 〕＜0得，0＜x ＜e ，∴g 〔x 〕在〔e ，+∞〕上递增，精心整理∴g 〔x 〕min ＝g 〔e 2〕＝1﹣，可得b ≤1﹣，实数b 的取值范围为〔﹣∞， 1﹣ ]．〔3〕令F 〔t 〕＝ ，其中t ＞e ﹣1可得F'〔t 〕＝＝再设G 〔t 〕＝ln 〔1+t 〕﹣，可得G'〔t 〕＝+ ＞0在〔e ﹣1，+∞〕上恒成立∴G 〔t 〕是〔e ﹣1，+∞〕上的增函数，可得G 〔t 〕＞G 〔e ﹣1〕＝lne ﹣ ＝1﹣＞0因此，F'〔t 〕＝＞0在〔e ﹣1，+∞〕上恒成立，可得 F 〔t 〕＝ 是〔e ﹣1，+∞〕上的增函数．∵x ＞y ＞e ﹣1，∴F 〔x 〕＞F 〔y 〕，可得 ＞∵ln 〔1+x 〕＞0且ln 〔1+y 〕＞0，∴不等式两边都乘以xyln 〔1+x 〕ln 〔1+y 〕，可得eln 〔1+y 〕＞eln 〔1+x 〕．xy〔1+x 〕成立．即对任意x ＞y ＞e ﹣1，都有不等式eln 〔1+y 〕＞eln【点评】此题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，表达综合分析问题与解决问题能力，属于难题．选做题〔共10分，请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做第一题计分． 〕22．〔10分〕在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为〔其中t 为参数，0＜α＜π〕．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．1〕求l 和C 的直角坐标方程；2〕假设l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝8，求α．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；5S ：坐标系和参数方程．【分析】〔1〕直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．〔2〕利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，出结果．【解答】解：〔1〕直线l 的参数方程为 〔其中t 为参数，0＜α＜π〕．①当时，直线的方程为 x ＝1．进一步求精心整理②当α≠ 时，直线的方程为： y ＝tan α〔x ﹣1〕．曲线C 的极坐标方程为 ρsin 2θ＝4cos θ，转换为直角坐标方程为： y 2＝4x ．2〕将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：sin 2αt 2＝4〔1+tcos α〕，整理得：sin 2αt 2﹣4cos αt ﹣4＝0，〔t 1和t 2为A 、B 对应的参数〕所以： ， ．由于|AB|＝＝8解得：因为0＜α＜π， 所以：．【点评】此题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关 系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于根底题型． 23．设函数f 〔x 〕＝|2x+a|﹣|x ﹣2|〔x ∈R ，a ∈R 〕．〔Ⅰ〕当a ＝﹣1时，求不等式f 〔x 〕＞0的解集；〔Ⅱ〕假设f 〔x 〕≥﹣1 在x ∈R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】6P ：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32：分类讨论；4R ：转化法；5T ：不等式．【分析】〔Ⅰ〕a ＝﹣1 时不等式f 〔x 〕＞0化为|2x ﹣1|＞|x ﹣2|，两边平方求解即可得出不等式 f 〔x 〕＞0的解集；〔Ⅱ〕由题意，讨论a ＜﹣4、a ＝﹣4和a ＞﹣4时，求出f 〔x 〕的最小值f 〔x 〕min ，列出不等式求出a 的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕a ＝﹣1时，函数f 〔x 〕＝|2x ﹣1|﹣|x ﹣2|，不等式f 〔x 〕＞0化为|2x ﹣1|＞|x ﹣2|，22两边平方得〔2x ﹣1〕＞〔x ﹣2〕，解得x ＜﹣1或x ＞1，所以不等式 f 〔x 〕＞0的解集为〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕；精心整理〔Ⅱ〕由题意，当a＜﹣4时，f〔x〕＝，由函数单调性可得，f〔x〕min＝f〔﹣〕＝+2≥﹣1，解得﹣6≤a＜﹣4；当a＝﹣4时，f〔x〕＝|x﹣2|，f〔x〕min＝0≥﹣1，所以a＝﹣4符合题意；当a＞﹣4时，f〔x〕＝，由函数单调性可得，f〔x〕min＝f〔﹣〕＝﹣﹣2≥﹣1，解得﹣4≤a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．【点评】此题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

甘肃省天水一中2021届高三数学上学期第一阶段考试试题 理（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U C A B ⋂=（）（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3- 2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）A ．60B ．75C ．90D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是 A ．221x yx=-- B ．2sin 41x x y x ⋅=+ C ．ln xy x= D ．()22e x y x x =- 7．已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．B ．C ．D ．8．平面上三个单位向量两两夹角都是23π，则与夹角是（ ） A ．3π B ．23π C ．12π D ．6π9．已知数列的前项和满足(）且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如右图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则的值为（ ）A ．23 B ．12 C ．6 D ．512．设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．14．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为 ．15．已知函数21(10)()1(01)x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩则11()f x dx -⎰的值为____． 16．已知数列的前项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为______．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7,c ABC △=的面积为332，求ABC △的周长． 18．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.19．（12分）如图，ABC △ 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 P B BE =．（1）证明： B C ⊥平面 P BE ；（2）求平面 P BE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．21．（12分）已知函数()22xf x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx=（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1{ x cos y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数）．以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．23．（10分）已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值.天水一中2021届2021—2021度第一学期第一次考试数学理科试题参考答案1．A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2．B 【解析】,选B.3．D 【解析】 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 4．B 【解析】，即，而，故选B.5．D 【解析】 ∵是偶函数∴当时，，又∴故选：D 6．D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2x y =趋向于0， 21y x =+趋向于+∞ ∴函数221x yx =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x x y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时， ln 0x <∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x 时， 0y >；当01x <<时， 0y <；且0x ye =>恒成立∴()22x y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时， 0y >； 01x <<时， 0y <； x 趋向于+∞时， y 趋向于+∞ 故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 7．B 【解析】 试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也是真命题，∴是假命题，故选B ．考点：命题真假判断． 8．D【解析】 由题意得，向量,,a b c 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=， 且()()222213111cos11cos 11cos 133322a b a c aa c ab bc πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=，所以a b -与a c +的夹角为()()332cos 231a b a c a b a cθ-⋅+===⨯-⋅+，且0θπ≤≤， 所以a b -与a c +的夹角为6π，故选D.9．C 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．B 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx 可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，得，进而得解．【详解】=2sinωx ，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[]上递增， ∴[﹣，]⊇[]， ∴得不等式组：﹣≤，且≤，又∵ω＞0， ∴0＜ω≤ ，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知且可得ω∈[，．综上：ω∈故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题． 11．D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而cos ,AO AD AO AD = ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 12．D【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x∈R），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，不等式ln（f（x）-1）＞ln2-x等价为不等式ln[f（x）-1]+x＞ln2，即为ln[f（x）-1]+lne x＞ln2，即e x（f（x）-1）＞2，则e x f（x）-e x＞2，∵y=f（x）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f（0）-3=0，得f（0）=3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=3-1=2，∴e x f（x）-e x＞2等价为g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：D．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．13．-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题 15．124π+ 【解析】 【分析】由函数()f x 的解析式，得到1211()(1)1f x dx x dx x dx --=++-⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数21(10)()1(01)x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤， 可得1211()(1)1f x dx x dx x dx --=++-⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11() f x dx-⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．4【解析】试题分析：当时，得，；当时，，两式相减得，得，所以．又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．因为，所以不等式，等价于．记，时，．所以时，．所以，所以整数的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．17．（Ⅰ）πC3=；（Ⅱ）57+.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C；（Ⅱ）根据133sin C22ab=．及πC3=可得6ab=．再利用余弦定理可得()225a b+=，从而可得ΑΒC△的周长为57+．试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=． （Ⅱ）由已知，133sin 22ab C =． 又πC 3=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=． 所以ΑΒC △的周长为57+．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”. 18．（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得，，，，即可知的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，∵，，∴，，故所求概率为；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴，于是，，，，故的分布列为0 1 2 3的数学期望为.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19．（1）见解析；（25【解析】【分析】（1）由E，F分别为AB，AC边的中点，可得EF BC，由已知结合线面垂直的判定可得EF⊥平面PBE，从而得到BC⊥平面PBE；（2）取BE的中点O，连接PO，由已知证明PO⊥平面BCFE，过O作OM BC交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EFBC ，因为90ABC ∠=︒， 所以EFBE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF⊥平面PBE ，所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =，所以PO ⊥平面BCFE ， 过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(P，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,PC =，(1,2,PF =-，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即40,20,x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩则(1,1,m =-，易知()0,1,0n =为平面PBE 的一个法向量，()()2221011305cos<,5113m n -⨯+⨯+⨯>===-++， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．（1）22143x y +=（2）23y 2x =+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1) 因为23OP OA OB =+即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,3x x y y ==所以001,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640k x kx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++=即()()212121240k x x k x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340k k k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以3k =±所以直线23y x =±+ 21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>， 102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝， 304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值.（1）()22xf x e x a b =-++， ()2xf x e x '=-.由题意知()()01201{{ 011f a b a f b b =++==-⇒==='.（2）由（1）知： ()21xf x e x =--， ∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立. 令()215122x h x e x x =+--，则()52x h x e x ='+-. 由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增. 又()3002h =-<'， ()3102h e =->'， 121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭， 所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时， ()0h x '<， ()0,x x ∈+∞时， ()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122x h x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502x e x +-=，∴0052x e x =-. ∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又因为215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】试题分析：（I）把cos2φ+sin2φ=1代入圆C的参数方程为1{x cosy sinϕϕ=+=（φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立2{3cosρθπθ==，解得ρ1，θ1；设Q（ρ2，θ2），联立()sin{3ρθθπθ+==，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．解析：（1）圆C的普通方程为()2211x y-+=，又cosxρθ=，sinyρθ=所以圆C的极坐标方程为2cosρθ=（2）设()11,ρθP，则由2{3cosρθπθ==解得11ρ=，13πθ=设()22Q,ρθ，则由()sin{3ρθθπθ+==解得23ρ=，23πθ=所以Q2P=23．（1）{|11}x x x<->或；（2）3【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a+b+c＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩， 解得{|11}x x x 或-. （2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=， ()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

甘肃省天水一中高三数学第五次高考模拟测试题 理 旧人教版【会员独享】考生注意：本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．BABPABPAPBABPABPAPBApnk kn k k nn p p C k P --=)1()(S πRRV 43πRR 一、选择题：(本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)。

1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x ，{ |ln(1) }B x yx ，则)(B C A U 是A ．2, 1-（）B ．[1, 2)C ．(2, 1]-D ．1, 2（）2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．命题p ：若b a ⋅＜0，则b a 与的夹角为钝角；命题q ：定义域为R 的函数），）及（，在（∞+∞-00)(x f 上都是增函数，则),()(+∞-∞在x f 上是增函数。

则下列说法正确的是A ．“p 且q ”是假命题B ．“p 或q ”是真命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题4．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是①,m n α⊥若//α，则m n ⊥ ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则 ③//,//,//m n m n αα若则 ④,αββγαγ⊥⊥若//,//,m 则m A 、①和②B 、②和③C 、③和④D 、①和④5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC BD ===则 A.（2，4）B. （—3，—5）C.（3，5）D.（—2，—4）6.函数y =ln(1-x )的图象大致为7.在各项都为正数的等比数列中，，前三项的和等于21,则A. 6B.144 C .168 D. 378 8.函数.的图象的相邻的两条对称轴间的距离等于A. B. C. D.9．将两名男生、五名女生的照片排成一排贴在光荣榜上，恰有三名女生的照片贴在两名男生的照片之间的概率为 A ． 17B ．37 C ． 27 D ． 6710．若多项式x 10= a 0 + a 1（x-1）+ a 2（x-1）2+…+ a 10（x-1）10，则a 8的值为 A ．10 B ．45 C ．-9 D ． -4511.已知点(,)M a b 在由不等式组｛2≤+≥≥y x y x 确定的平面区域内，则4+23a 2b ++的最大值为A ．4B ．524C ．316D ．32012.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A. 225514y x -= B.22154x y -= C.22154y x -= D. 224515y x -= 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置)。

甘肃省天水一中2021届高三数学上学期第一阶段考试试题 理（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U C A B ⋂=（）（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3- 2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）A ．60B ．75C ．90D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是 A ．221x yx=-- B ．2sin 41x x y x ⋅=+ C ．ln xy x= D ．()22e x y x x =- 7．已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．B ．C ．D ．8．平面上三个单位向量两两夹角都是23π，则与夹角是（ ） A ．3π B ．23π C ．12π D ．6π9．已知数列的前项和满足(）且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如右图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则的值为（ ）A ．23 B ．12 C ．6 D ．512．设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．14．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为 ．15．已知函数21(10)()1(01)x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩则11()f x dx -⎰的值为____． 16．已知数列的前项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为______．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7,c ABC △=的面积为332，求ABC △的周长． 18．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.19．（12分）如图，ABC △ 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 P B BE =．（1）证明： B C ⊥平面 P BE ；（2）求平面 P BE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．21．（12分）已知函数()22xf x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx=（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1{ x cos y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数）．以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．23．（10分）已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值.天水一中2021届2021—2021度第一学期第一次考试数学理科试题参考答案1．A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2．B 【解析】,选B.3．D 【解析】 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 4．B 【解析】，即，而，故选B.5．D 【解析】 ∵是偶函数∴当时，，又∴故选：D 6．D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2x y =趋向于0， 21y x =+趋向于+∞ ∴函数221x yx =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x x y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时， ln 0x <∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x 时， 0y >；当01x <<时， 0y <；且0x ye =>恒成立∴()22x y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时， 0y >； 01x <<时， 0y <； x 趋向于+∞时， y 趋向于+∞ 故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 7．B 【解析】 试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也是真命题，∴是假命题，故选B ．考点：命题真假判断． 8．D【解析】 由题意得，向量,,a b c 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=， 且()()222213111cos11cos 11cos 133322a b a c aa c ab bc πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=，所以a b -与a c +的夹角为()()332cos 231a b a c a b a cθ-⋅+===⨯-⋅+，且0θπ≤≤， 所以a b -与a c +的夹角为6π，故选D.9．C 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．B 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx 可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，得，进而得解．【详解】=2sinωx ，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[]上递增， ∴[﹣，]⊇[]， ∴得不等式组：﹣≤，且≤，又∵ω＞0， ∴0＜ω≤ ，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知且可得ω∈[，．综上：ω∈故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题． 11．D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而cos ,AO AD AO AD = ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 12．D【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x∈R），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，不等式ln（f（x）-1）＞ln2-x等价为不等式ln[f（x）-1]+x＞ln2，即为ln[f（x）-1]+lne x＞ln2，即e x（f（x）-1）＞2，则e x f（x）-e x＞2，∵y=f（x）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f（0）-3=0，得f（0）=3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=3-1=2，∴e x f（x）-e x＞2等价为g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：D．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．13．-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题 15．124π+ 【解析】 【分析】由函数()f x 的解析式，得到1211()(1)1f x dx x dx x dx --=++-⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数21(10)()1(01)x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤， 可得1211()(1)1f x dx x dx x dx --=++-⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11() f x dx-⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．4【解析】试题分析：当时，得，；当时，，两式相减得，得，所以．又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．因为，所以不等式，等价于．记，时，．所以时，．所以，所以整数的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．17．（Ⅰ）πC3=；（Ⅱ）57+.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C；（Ⅱ）根据133sin C22ab=．及πC3=可得6ab=．再利用余弦定理可得()225a b+=，从而可得ΑΒC△的周长为57+．试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=． （Ⅱ）由已知，133sin 22ab C =． 又πC 3=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=． 所以ΑΒC △的周长为57+．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”. 18．（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得，，，，即可知的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，∵，，∴，，故所求概率为；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴，于是，，，，故的分布列为0 1 2 3的数学期望为.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19．（1）见解析；（25【解析】【分析】（1）由E，F分别为AB，AC边的中点，可得EF BC，由已知结合线面垂直的判定可得EF⊥平面PBE，从而得到BC⊥平面PBE；（2）取BE的中点O，连接PO，由已知证明PO⊥平面BCFE，过O作OM BC交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EFBC ，因为90ABC ∠=︒， 所以EFBE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF⊥平面PBE ，所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =，所以PO ⊥平面BCFE ， 过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(P，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,PC =，(1,2,PF =-，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即40,20,x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩则(1,1,m =-，易知()0,1,0n =为平面PBE 的一个法向量，()()2221011305cos<,5113m n -⨯+⨯+⨯>===-++， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．（1）22143x y +=（2）23y 2x =+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1) 因为23OP OA OB =+即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,3x x y y ==所以001,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640k x kx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++=即()()212121240k x x k x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340k k k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以3k =±所以直线23y x =±+ 21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>， 102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝， 304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值.（1）()22xf x e x a b =-++， ()2xf x e x '=-.由题意知()()01201{{ 011f a b a f b b =++==-⇒==='.（2）由（1）知： ()21xf x e x =--， ∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立. 令()215122x h x e x x =+--，则()52x h x e x ='+-. 由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增. 又()3002h =-<'， ()3102h e =->'， 121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭， 所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时， ()0h x '<， ()0,x x ∈+∞时， ()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122x h x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502x e x +-=，∴0052x e x =-. ∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又因为215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】试题分析：（I）把cos2φ+sin2φ=1代入圆C的参数方程为1{x cosy sinϕϕ=+=（φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立2{3cosρθπθ==，解得ρ1，θ1；设Q（ρ2，θ2），联立()sin{3ρθθπθ+==，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．解析：（1）圆C的普通方程为()2211x y-+=，又cosxρθ=，sinyρθ=所以圆C的极坐标方程为2cosρθ=（2）设()11,ρθP，则由2{3cosρθπθ==解得11ρ=，13πθ=设()22Q,ρθ，则由()sin{3ρθθπθ+==解得23ρ=，23πθ=所以Q2P=23．（1）{|11}x x x<->或；（2）3【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a+b+c＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩， 解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=， ()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1322233≥+++=.当且仅当1a b c ===时取得最小值3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

甘肃天水市第一中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+2．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．4．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．75．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2B ．2C ．1D 36．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-19．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,410．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．311．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12B C D 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题一、选择题（本大题共个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．“”是“函数在区间上为增函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3．已知，则（）A. B. C. D.4．曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5．定义域为上的奇函数满足，且，则（）A. 2B. 1C. -1D. -26．已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7．在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4C. D.8．已知函数，且，则（）A. B. C. D.9．函数的示意图是（）A. B. C. D.10．已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12．若点在直线上，则．13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____．14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足. （1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16．（10分）已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.17．（12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，的面积为，求.18．(12分)已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立, 求整数的最大值．2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题参考答案一、选择题1——5 DAAAC 6——10 CDDCD二、填空题11、 12、3 13、 14、三、解答题15、【答案】(1) (2)试题解析：解：（1）由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即，且，等价于，且，设，，则；则，且所以实数的取值范围是.16、【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）由题意可得：，因为相邻量对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，，，因为，所以，函数∵∴要使单调减，需满足，，所以函数的减区间为；（2）由题意可得：∵，∴∴，∴即函数的值域为.17、【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理得：，即，∴，∵，∴，则，∵，∴由正弦定理得：（2）∵的面积为，∴，得，∵，∴，∴，即，∵，∴.18、试题解析：（Ⅰ）上是减函数（Ⅱ），即的最小值大于.令，则上单调递增, 又，存在唯一实根, 且满足，当时，当时，∴，故正整数的最大值是3。

天水市第一中学2018级2020-2021学年第五次考试理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.结构与功能相适应是生物学的基本观点之一。

下列叙述能体现这一观点的是（）A. 叶绿体含有双层膜，有利于扩大光合作用的受光面积B. 哺乳动物成熟的红细胞呈双凹的圆饼状，有利于其自身携带O2并进行有氧呼吸C. 吞噬细胞的溶酶体含有多种水解酶，有利于杀死侵入机体的病毒或病菌D. 根尖分生区细胞含有大液泡，有利于根吸收水分2.将某成熟的植物细胞放入一定浓度的物质A溶液中，发现其原生质体（即植物细胞中细胞壁以内的部分）的体积变化趋势如图所示，下列有关叙述正确的是（）A.实验开始时，该植物细胞的细胞液浓度高于物质A溶液的浓度B. 0～1h内，物质A没有通过细胞膜进入细胞内C. 物质A通过主动运输方式经过原生质层进入液泡内D. 实验1h时，若滴加清水进行实验，则原生质体的体积变化速率比图示的大3.某种鱼的尾形由位于常染色体上的两对独立遗传且完全显性的基因决定，相关基因、酶以及尾形关系如图所示，有关叙述错误的是（）A. 基因A和基因b的根本区别是碱基对的数量、排列顺序不同B. 基因型为AaBb的鱼，表现为扇尾C. 图中可以看出基因通过控制酶的合成来控制性状D. 不考虑基因突变，三角尾鱼相互交配，子代中会出现扇尾4.免疫预防以人工主动免疫为主要目的，其主要措施是接种疫苗。

第一代疫苗包括灭活疫苗、减毒疫苗和类毒素，第二代疫苗包括由微生物的天然成分及其产物制成的重组蛋白疫苗，第三代疫苗的代表是基因疫苗。

基因疫苗是将编码外源性抗原的基因插入到质粒上，然后将质粒直接导入人或动物体内，让其在宿主细胞中表达抗原蛋白，诱导机体产生免疫应答。

下列相关说法中不正确的是（）A. 疫苗经注射进入人体后，可被人体的浆细胞识别B. 注射疫苗后，人体产生特异性免疫反应，并产生相应记忆细胞C. 基因疫苗能表达蛋白质等抗原结构，从而引起机体产生免疫反应D. 基因疫苗的本质为核酸，基本组成单位为核苷酸5.下列关于植物激素和植物生长调节剂的叙述合理的是（）A. 探索2，4－D促进插条生根的最适浓度时，需先做预实验以检验实验设计的科学性和可行性B. 植物激素能给细胞传达一种调节代谢的信息，其调节作用都具有两重性C. 细胞分裂素、脱落酸、乙烯利等植物激素可以共同调节植物的生命活动D. 缺氧条件不会影响植物体内生长素的极性运输和非极性运输6.为加大对濒危物种绿孔雀的保护，我国建立了自然保护区，将割裂的栖息地连接起来，促进了绿孔雀种群数量的增加。