第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题(原卷版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)

选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (10)1．已知()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．()()()()2202220,20220f e f f e f >⋅>⋅ B ．()()()()2202220,20220f e f f e f <⋅>⋅ C ．()()()()2202220,20220f e f f e f >⋅<⋅ D ．()()()()2202220,20220f e f f e f <⋅<⋅2．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈-∞时，()'x xf x e e ->-，则不等式()()()()12321111x x x f x f x e e e ----->--的解集为（ ）A ．()0,2B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()(),02,-∞+∞D ．()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭3．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x −ln x 存在与直线x ＋y −1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1-+2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦， C ．[−1，＋∞) D ．(−∞，−1]4．已知函数()f x 满足()()221ln x f x xf x x '+=+，()1f e e=，当0x >时，下列说法正确的是（ ）①()f x 有两个零点；①()f x 只有一个零点；①()f x 有极小值；①()f x 有极大值 A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足：()()40x f x e f x +-=， ()21f e =，且当0x >时，()2()f x f x '>，则不等式24(2)x e f x e -<的解集为（ ） A ．(1,4)B ．(2,1)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)6．若函数()sin 2cos 6x a f x x x =++在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[]4,4-B ．[]3,4-C ．[]4,3--D ．[]3,3-7．已知函数()212x x f x e e x --=-+，则不等式()()2020202121f x f x ++-≤的解集是（ ）A ．(],4039-∞B ．[)4039,+∞C ．(),4042-∞D ．[)4042,+∞8．若存在x ，(0,)∈+∞y 使得ln(2)ln x ax y x y +=，则实数a 的最大值为（ ） A ．1eB ．12eC ．13e D ．2e9．已知函数()32f x x bx x =++为定义在[]21,3a a --上的奇函数，则()()210f x f x b -+->的解集为（ ） A ．1,43⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,4C ．1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]2,310．已知,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0a ≠且a 是常数，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则()cos 2x y +=（ ）A ．12-B ．12C ．1D ．1-11．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()210x f x '+>，()12f =，则关于x 的不等式()1ln 1ln f x x<+的解集是（ ） A ．()e,+∞B ．()0,eC ．()1,eD ．()0,112．若04a <<且44a a =，05b <<且55b b =，06c <<且66c c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a <<D ．a c b <<13．定义()f x ''是()y f x =的导函数()y f x '=的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．可以证明，任意三次函数32()(0)f x axbx cx d a =+++≠都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题正确的是（ ） A ．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数 B ．函数32()335f x x x x =--+的对称中心是（1，0）C ．存在三次函数()h x ，方程()0h x '=有实数解0x ，且点()()00,x h x 为函数()y h x =的对称中心D ．若函数32115()3212g x x x =--，则123202010102021202120212021g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．设函数()()111ln 0f x x x a a ax ⎛⎫=-+-≠ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．当0a <时，()f x 有两个极值点B ．当0a <时，()1f x >C ．当01a <<时，()f x 在()1,+∞上单调递增D ．当1a >时，存在唯一实数a 使得函数()()2g x f x =-恰有两个零点15．若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则a 的取值范围是______．16．已知函数(),()ln ,x f x e g x x a x a R ==+∈ （1）讨论g (x )的单调性；（2）若()()2af x xg x x ++，对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值；17．已知函数()2222x e ax e x g x =++（a ∈R ）有两个极值点为1x ，2x （12x x <）．（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：21221ln 2a e x x a +<+<． 18．已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）设曲线()y f x =在1=x e 处的切线为()y g x =，求证：()()f x g x ≥；（2）若()f x a =有两个根1x ，2x ，求证：1212x x a e e-<++.19．已知函数()()()1ln 1,x f x x g x e -=+=（1）若直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，求直线l 的方程； （2）证明：2ln 1x x x e x <--．（参考数据：0.69ln 20.7<<） 20．已知函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(,0)-∞上只有一个极值，且该极值小于1a e --，求a 的取值范围. 21．已知()()32133f x x ax x a R =+-∈在3x =-处取得极值．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值． 22．已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 23．已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈．（①）当2a =时，求曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程；（①）求函数()f x 的单调区间；（①）若()0f x 恒成立，求a 的取值范围．24．已知函数()2ln f x x x ax =+-.（1）若函数()f x 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()21e xx x f x ⎡⎤+-<⎣⎦. 25．已知()22ln f x x ax bx =++，且()f x 在12x =和2x =处有极值. （1）求实数a 、b 的值； （2）判断()f x 的单调性.26．已知函数()32f x x x x =+-.（1）求函数()f x 在()()1,1M f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值. 27．已知函数322()1f x x ax a x =--+，其中0a > （1）若函数()f x 的极大值为3227，求实数a 的值； （2）若曲线()y f x =在点(,())a f a --处的切线与y 轴的交点为(0,)b ，求1b a+的最小值.28．已知函数32()f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且23x =时，()y f x =有极值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,2-上的最大值和最小值．29．若函数，3()4=-+f x ax bx ，当2x =-时，函数()f x 有极值283. （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围. 30．已知函数19()0cos 2cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭，当x =_____时，()f x 的最小值为_____【答案与解析】1．A 【解析】根据结构构造函数()()=x f x g x e，利用导数判断g (x )为增函数，得到()()()()20,20220g g g g >>，整理化简即可得到正确答案.因为函数()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立， 设()()=x f x g x e 则()()()=0xef x f xg x -'>'恒成立，即g (x )为增函数， 所以()()()()20,20220g g g g >>，即()()()()220220,202202f e f f e f >>.故选：A 2．B 【解析】令()()x x g x f x e e -=--，求出函数的导数，根据函数的单调性，奇偶性得到关于(21)(1)g x g x ->-以及|21||1|x x -<-，求出不等式的解集即可．解：令()()x x g x f x e e -=--， 则()()x x g x f x e e -'='-+，当(,0)x ∈-∞时，()x x f x e e -'>-， 故()0g x '>即()g x 在(,0)-∞上单调递增， ()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()x x g x f x e e g x -∴-=---=，()g x ∴是偶函数，(21)(1)f x f x ∴---123(1)(1)x x x e e e -->-- 21123()(1)x x x e e e ---=--， 211112x x x x e e e e ---+-=--+等价于211211(21)(1)x x x x f x e e f x e e ---+---->--- 即(21)(1)g x g x ->-，()g x 为偶函数，在(,0)-∞递增，在(0,)+∞递减，|21||1|x x ∴-<-，解得：203x <<，故选：B ． 3．A 【解析】根据题意，曲线23y ax x lnx =+-存在与直线10x y +-=垂直的切线，转化为()1f x '=有正根，分离参数，求最值，即可得到结论． 解：令2()3ln y f x ax x x ==+-，由题意，10x y +-=斜率是1-，则与直线10x y +-=垂直的切线的斜率是1，()1f x ∴'=有解函数的定义域为{|0}x x >，()1f x ∴'=有正根，2()3ln f x ax x x =+-，1()231f x ax x∴'=+-=有正根 22210ax x ∴+-=有正根 221212(1)1a x x x∴=-=-- 21a ∴-， 12a ∴-． 故选：A ． 4．D 【解析】令()()2g x x f x =,则()()()2'21ln g x x f x xf x x '=+=+,得到()2ln =x x Cf x x + 由()1f e e=得到()ln =x f x x，()21-=ln xf x x '，利用导数判断f (x )的单调区间和极值即可得到正确答案.令()()2g x x f x =,则()()()2'21ln g x x f x xf x x '=+=+, ①()ln g x x x C =+,即()2=ln x f x x x C +,所以()2ln =x x Cf x x + 因为()1f e e=所以C =0,所以()ln =x f x x，()21-=ln xf x x '当0<x <e 时,()0f x '> ,f (x )单调递增;当x >e 时, ()0f x '<，f (x )单调递减. 所以f (x )在x =e 处取得极大值()1f e e=,无极小值,即①错误,①正确;又f (1)=0,且当x>e 时, f (x )>0恒成立,①f (x )只有一个零点为x =1,即①正确, ①错误①正确的有①①. 故选：D（1）函数的单调性与导数的关系： 已知函数()f x 在某个区间内可导，①如果()'f x >0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()'f x <0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；①函数()y f x =在这个区间内单调递增，则有()0f x '≥；函数()y f x =在这个区间内单调递减，则有()0f x '≤；（2）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；①利用数形结合思想研究；①构造辅助函数硏究. 5．A 【解析】由给定的不等式构造函数()()2xf xg x e =对()g x 求导，根据已知条件可判断()g x 非得单调性，将所求解不等式转化为()g x 有关的不等式，利用单调性脱去f 即可求解.令()()2xf xg x e=，则()()2420x x xe g x e e g x -+-=可得()()0g x g x +-= 所以()()2x f x g x e=是(2,2)-上的奇函数，()()()()()224222x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''--'==， 当0x >时，()2()f x f x '>，所以()0g x '>，()()2xf xg x e=是(0,2)上单调递增， 所以()()2x f x g x e=是(2,2)-上单调递增，因为()()222111f e g e e ===，由24(2)x e f x e -<可得()()22242x xe eg x e --<即()()211g x g -<=，由()()2x f x g x e =是(2,2)-上单调递增，可得22221x x -<-<⎧⎨-<⎩解得：14x <<， 所以不等式24(2)x e f x e -<的解集为(1,4)， 故选：A.关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数()()2xf xg x e =，根据已知条件判断()g x 的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 . 6．A 【解析】由题意可得()2cos2sin 60f x x a x '=-+，再利用二倍角公式、二次函数的性质，求得a 的范围． 解：①()2cos2sin 60f x x a x '=-+≥，①2284sin sin 04sin sin 80x a x x a x --≥⇔+-≤，设()sin 11t x t =-≤≤， 即有2480t at -≤+，只需要()()224118041180a a ⎧⨯-+⨯--≤⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得[]4,4a ∈-. 故选：A. 7．A 【解析】根据条件得到()(2)1f x f x +-=，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可 解：因为()212x x f x e e x --=-+，所以()(2)222112(2)122x x x x f x ee x e e x -------=-+-=-+-， 所以()(2)1f x f x +-=，所以()f x 的图像关于点11,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，由()()2020202121f x f x ++-≤，得()()[22021212020(2020)](2018)f x f x f x f x =-+=---≤-+，由()212x x f x e e x --=-+，得()'212x x f x e e --=--+，所以()''2x x f x e e --⎡⎤=-⎣⎦，当1x <时，()''0f x ⎡⎤>⎣⎦，当1x >时，()''0f x ⎡⎤<⎣⎦， 所以当1x =时，'()f x 取得极大值'11(1)202f e -=-+<， 所以'()0f x <恒成立，所以()f x 在R 上为减函数，所以由()(2018)20212f x f x ---≤，得202122018x x -≥--，所以4039x ≤，所以原不等式的解集为(],4039-∞， 故选：A关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式问题，解题的关键是由已知函数得到()(2)1f x f x +-=，从而将不等式()()2020202121f x f x ++-≤转化为()(2018)20212f x f x ---≤，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 8．B 【解析】由已知可得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到答案解：由ln(2)ln x ax y x y +=，得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-， 则'11()1t g t t t-=-=，当01t <<时，'()0g t >，当1t >时，'()0g t <， 所以()g t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以当1t =时，()g t 取得极大值即最大值(1)1g =-， 因为当0t →时，()g t →-∞， 所以()(,1]g t ∈-∞-， 所以ln21a ≤-，所以102a e<≤， 所以实数a 的最大值为12e， 故选：B关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数与方程的应用，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是将ln(2)ln x ax y x y +=，化为ln 2lny y a x x =-，令0yt x=>，构造函数()ln g t t t =-，然后利用导数求出函数的值域，从而可得ln2a 的范围，进而可求出实数a 的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 9．C 【解析】根据函数()f x 为奇函数得出：定义域关于原点对称且()()0f x f x -+=，从而求,a b 的值；再根据函数()f x 的单调性结合定义域求不等式的解集. ①函数()f x 为定义在[]21,3a a --上的奇函数， ①2130a a -+-=，得到2a =-，因为函数()f x 为奇函数，所以满足()()0f x f x -+=，则()32320x bx x x bx x -+-+++=，所以220bx =，所以得到0b =所以()3f x x x =+，且函数()f x 的定义域为[]5,5-，则()()210f x f x b -+->等价于()()210f x f x -+>， ①()()()21f x f x f x ->-=-，又因为()2310f x x '=+>，所以()3f x x x =+在[]5,5-上单调递增，①52155521x x x x-≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->-⎩，解得133x <≤，①原不等式的解集为1,33⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C ． 10．C 【解析】设()3sin f x x x =+，根据已知条件可知()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，根据函数的单调性与奇偶性即可求出结果.令()3sin f x x x =+，所以()23cos f x x x '=+，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，cos 0x ≥，所以()0f x '>，所以()3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为()()()()33sin sin -=-+-=--=-f x x x x x f x ，所以()f x 为奇函数，33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，即()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩等价于()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以20x y +=，所以()cos 2cos01x y +==，故选：C11．C 【解析】设1()()g x f x x=-，（0x >），求导数后确定()g x 的单调性，不等式变形为关于()g x 的不等式，然后由单调性解不等式．设1()()g x f x x=-，（0x >），因为()210x f x '+>，则2221()1()()0x f x g x f x x x'+''=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)2f =，所以(1)(1)11g f =-=，而不等式1(ln )1ln f x x<+可变形为(ln )(1)g x g <，所以0ln 1x <<，1e x <<．故选：C ．本题考查用导数解不等式，解题关键是引入新函数1()()g x f x x=-，（0x >），由导数确定新函数的单调性，不等式变形为关于新函数的不等式，从而利用单调性完成求解． 12．B 【解析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析函数()f x 的单调性，变形可得出()()4f f a =，()()5f f b =，()()6f f c =，利用函数()f x 的单调性可得出()()()456f f f >>，即有()()()f a f b f c >>，利用图形结合函数()f x 的单调性可得出结论. 当04a <<时，由44a a =可得4ln ln4a a =，可得ln ln 44a a =，同理可得ln ln 55b b =，ln ln 66c c =， 构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln x f x x -'=. 当0x e <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 作出函数()f x 的图象如下图所示：由已知可得()()4f f a =，()()5f f b =，()()6f f c =，因为函数()f x 在(),e +∞上单调递减，且456e <<<，则()()()456f f f >>， 由图可知，a 、b 、()1,c e ∈，因为()()()456f f f >>，则()()()f a f b f c >>， 因为函数()f x 在()1,e 上单调递增，故a b c >>. 故选：B. 13．BCD 【解析】根据新定义对应各个选项逐个判断，求出()0f x ''=，判断其零点的个数即可判断A ；()66f x x ''=-，将（1，0）代入即可判断B ；设三次函数为3()h x x =，方程()0h x ''=的解只有00x =，从而可判断C ；求出函数()g x 的对称中心为11(,)22-，则()(1)1g x g x +-=-，即可判断D.解：选项A ：因为2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，()62f x ax b ''=+，则方程()0f x ''=只有一个实数解，即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，故A 错误， 选项B ：因为2()363f x x x '=--，()66f x x ''=-，方程()0f x ''=只有一个实数解01x =，0()0f x =， 则函数()f x 的对称中心为(1,0)，故B 正确，选项C ：设三次函数为3()h x x =，则2()3h x x '=，()6h x x ''=，方程()0h x ''=的解只有00x =，0()0h x =，所以函数()h x 的对称中心为(0,0)，故C 正确，选项D ：因为2()g x x x '=-，()21g x x ''=-，方程()0g x ''=只有一个实数解为012x =，01()2g x =-，所以函数()g x 的对称中心为11(,)22-，则()(1)1g x g x +-=-，所以122020120202201910101011()()()[()()][()()][()()]202120212021202120212021202120212021g g g g g g g g g ++⋯+=++++⋯++ 1010(1)1010=⨯-=-，故D 正确，故选：BCD ． 14．BD 【解析】利用导数确定函数的单调性、最值及极值点判断ABC ，再由单调性确定()()2g x f x =-恰有两个零点等价于1()2f a=，再构造函数()3(1)ln 1h a a a a =-+-，得出其单调性，确定a 的唯一性．22111(1)(1)()1ax x a f x x ax ax +--'=-+=， 0a <时，01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，1x >时，()0f x '>，()f x 递增，()f x 极小值1(1)11f a==->，()f x 只有一个极值点，A 错误，B 正确； 01a <<时，01x <<或1x a >时，()0f x '>，11x a <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)和1(,)a+∞上递增，在1(1,)a上递减，C 错误；1a >时，同理可得()f x 在1(0,)a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)a上递减，()f x 极小值(1)f ==111a -<，()()2g x f x =-恰有两个零点，即()2f x =恰有两解，等价于1()2f a=，即3(1)ln 10a a a -+-=，设()3(1)ln 1h a a a a =-+-，1()2ln h a a a'=--， 设1()()2ln a h a a a ϕ'==--，22111()0aa a a aϕ-'=-=<，所以()a ϕ递减，即()h a '递减，(1)10h '=>，a →+∞时，()h a '→-∞，所以存在0(1,)a ∈+∞，使得0()0h a '=，在01a a <<时，()0'>h a ，()h a 递增，0a a >时，()0h a '<，()h a 递减，(1)20h =>，则0()0h a >，a →+∞时，()h a →-∞，所以存在唯一的实数10(),a a ∈+∞，使得1()0h a =，故D 正确． 故选：BD ．本题考查用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查用导数研究函数的零点问题．解题关键是掌握导数与单调性的关系，掌握极值的定义．对于函数零点问题，注意掌握零点存在定理，把问题进行转化，本题转化为()3(1)ln 1h a a a a =-+-有唯一零点，利用导数确定单调性后可得．15．[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x 是由log a y t =和245t ax x =-+复合而成，分别讨论1a >和01a <<时log a y t =的单调性，进而可得245t ax x =-+在()1,2上的单调性，再由2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立，由二次函数的性质即可求解.函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠是由log a y t =和245t ax x =-+复合而成，当1a >时log a y t =单调递增，若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则245t ax x =-+在()1,2上单调递增，且2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立， 245t ax x =-+的对称轴为2x a=所以()2114510a t a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+=+≥⎩解得：2a ≥，当01a <<时log a y t =单调递减，若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则245t ax x =-+在()1,2上单调递减，且2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立， 245t ax x =-+的对称轴为2x a=所以()222485430a t a a ⎧≥⎪⎨⎪=-+=-≥⎩解得：314a ≤<，综上所述：a 的取值范围是[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．（1）见解析；（2）e 【解析】（1）对()g x 求导，然后分0a 及0a <讨论得出单调性情况；（2）原不等式可转化为ln ln x x a a e e x x ++，设()ln (0)h x x x x =+>，求出()h x 的单调性，可知当1x >时，ln xax ，设()(1)ln x x x xϕ=>，求出()ϕx 的最小值即可得解． 解：（1）()1(0)ax ag x x xx+'=+=>， 当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，令()0g x '>，解得x a >-，令()0g x '<，解得0x a <<-， ()g x ∴在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；综上，当0a 时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()g x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增； （2）()2()a f x x g x x ++即为ln x a e x a x x ++，即ln ln x x a a e e x x ++， 设()ln (0)h x x x x =+>，则11()1x h x xx+'=+=， 易知函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，而()()x a h e h x ，所以x a e x ，即ln x a x ，当1x >时，即为ln xa x， 设()(1)ln x x x x ϕ=>，则2ln 1()ln x x xϕ-'=， 易知函数()ϕx 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，()x ϕϕ∴（e ）e =， a e ∴，即a 的最大值为e ．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查构造函数思想，考查运算求解能力，属于难题．17．（1）()2,2e -∞-；（2）证明见解析．【解析】（1）首先利用极值点的定义，结合导数，转化为22x e e a x +-=，利用导数研究函数()22x e e xh x +=的性质，转化为y a =-与22xee y x+=有两个交点，求实数a 的取值范围；（2）由极值点的定义得212221x x e e a x x --=-，再利用分析法，分别证明不等式的两边.（1）由于()2222x e ax e x g x =++有两个极值点1x ，2x （12x x <），则()222220x e g ax e x '=++=有两个实根1x ，2x ，故22x e e a x+-=．设()22x e e x h x +=，则()()2222222222x x x x e x e e e x e e x x h x '-+--==．设()2222x x e x e e r x =--，则()10r =，()222204224x x x xe x e e r x x e =+-⋅='≥，解得0x ≥．故()r x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()2001r e =--<，0x <时，()()22221x r x e x e e =--<-，故当1x ≤（0x ≠）时，()0r x ≤，()()20r x h x x'=≤；当1x >时，()0r x ≥，()()20r x h x x '=≥．由此()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减， 在()1,+∞上单调递增．从而22a e ->，即22a e <-． 综合上述，实数a 的取值范围为()2,2e -∞-．（2）由于()()122211222222202220x x g x e ax e g x e ax e ⎧=++'=⎪⎨=++='⎪⎩，故1222122200x x e ax e e ax e ⎧++=⎨++=⎩． 从而()1222210x x eea x x -+-=，即212221x x e e a x x --=-．先证不等式右边：由于()211212221221ln 222x x x x x x a a e e x x e e x x ++--+<⇔<-⇔<- ()()211221120202x x x x t i t t e e e e t t e e t x x -----⇔>⇔->>⇔-->-（0t >）．设()2t t e e t k t -=--（0t >），则()2220t tt e k e -'=+-≥-=，故()k t 在()0,∞+上单调递增，从而()()200t tk e e t t k -=-->=，故0t t e e t --->（0t >）成立，12ln 2a x x -+<．再证不等式左边：21221e x x a+>-．由于1222221111122221122222ln 2()2()22ln x x e t t x ln ax e e ax e a a x ln ax e e ax e e t t a a ⎧⎧⎧=--⎪⎪⎪=--=--⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨=--=--⎪⎪⎪=--⎪⎪⎪⎩⎩⎩（211t ax e =--，222t ax e =--），从而()21212ln ln t t t t a -=--，即()21212ln ln t t a t t --=-，其中211t e x a +=-，222t e x a +=-．由于2222121212122211t e t e e e x x t t a t t a a a a a+++>-⇔+>-⇔+>-⇔+>---()()()221211221222112111212221ln ln ln ln ln 11tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⎫⎛-⎪---⎝⎭+>⇔>⇔>⇔>-+++（1t >）， 设()()21ln 1s t t t t -=-+（1t >），则()()()()222114011t s t t t t t -'=-=>++， 故()s t 在()1,+∞上单调递增，从而()()()21ln 101t s t t q t -=->=+，故()21ln 1t t t ->+（1t >）成立，从而21221e x x a+>-． 综合上述，21221ln 2e a x x a --<+<，即21221ln 2a e x x a +<+<． 方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）先利用导数的几何意义求出切线()y g x =，然后令()()()h x f x g x =-，再利用导数求出()h x 的最小值大于等于零即可得结论；（2）不妨设12x x <，由于直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，由（1）可得101x x a e≥=--，所以只要证2x a e ≤+即可，即证()220f x x e -+≥，构造函数()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，利用导数求其最小值非负即可证明：（1）由于()ln f x x '=，则11f e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，又12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1=x e 处的切线方程为21y x e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即()1y g x x e==--，令()()()()1ln 1h x f x g x x x x e=-=-++，则()ln 1h x x '=+，于是当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()10h x h e ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即()()f x g x ≥.（2）不妨设12x x <，直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，又由（1）知：()()f x g x ≥，则()()011111a x f x g x x e e =--=≥=--，从而101x x a e ≥=--，当且仅当01x e =，2a e=-时取等号.下证：2x a e ≤+.由于()2a f x =，所以()222x a e x f x e ≤+⇔≤+，即证：()220f x x e -+≥， 令()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，则()ln 1x x ϕ'=-， 当()0,x e ∈时，()0x ϕ'<； 当(),x e ∈+∞，()0x ϕ'>；所以()x ϕ在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增；故()()0x e ϕϕ≥=，即2x a e ≤+成立，当且仅当2x e =，0a =时取等号. 由于等号成立的条件不能同时满足，所以()1221112x x x x a e a a e e e ⎛⎫-=-<+---=++ ⎪⎝⎭.关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是在第2问中设12x x <，直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，又由（1）知：()()f x g x ≥，则()()011111a x f x g x x e e=--=≥=--，从而101x x a e≥=--，所以将问题转化为证2x a e ≤+，进一步转化为证明()220f x x e -+≥，然后构造函数()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，利用导数求其最值即可，考查计算能力和转化思想，属于较难题19．（1）y x =或11y x e e=+；（2）证明见解析. 【解析】(1)利用函数在某一点处的导数值即为函数在该点处切线的斜率来求解；(2 )通过结论构造新函数加以证明，构造函数()ln 1h x x x =-+，求导函数，分析导函数的符号，得出所构造函数的单调性，从而得出最值，不等式可得证. （1）1()1f x x '=+，1()xg x e '-=，则函数()f x 在点11(,())x f x 处的切线方程为：1111ln(1)()1y x x x x -+=-+，即11111ln(1)11x y x x x x =++-++， 函数()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为：22112()x x y e e x x ---=-，即22112(1)x x y e x e x --=+-，因为直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 所以22111112111ln(1)(1)1x x e x x x e x x --⎧=⎪+⎪⎨⎪+-=-⎪+⎩，将211ln(1)x x -=-+代入得1ln(1)1111ln(1)ln(1)1x x x e x x -++-=⋅++，即111ln(1)x x x +=， 所以10x =或11x e =-，若10x =，则21x =，此时直线l 的方程为：y x =； 若11x e =-，则20x =，则此时直线l 的方程为：11y x e e=+， 综上得：y x =或11y x e e=+. （2）设()ln 1h x x x =-+，则11()1xh x x x-'=-=，令()0h x '=，解得1x =， 所以当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，()h x 在(1,).+∞上单调递减， 所以()(1)0h x h <=，所以ln 1≤-x x ，所以2ln x x x x ≤-，设2()21(0)x F x e x x x =-+->，则()41x F x e x '=-+，令()()41x G x F x e x '==-+，则()'4xG x e =-，令()'0G x =，得ln 4x =，所以存在12,x x 使得()F x 满足()F x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以{}{}min 22()min (0),()min 0,()F x F F x F x ==，又因为22222222()21252x F x e x x x x =-+-=-+-，且2ln 42x <<，因为2252y x x =-+-在(ln 4,2)上单调递减，所以2222520x x -+->，所以2()0F x >，所以2()210x F x e x x =-+->，即221ln x e x x x x x -->-≥，即2ln 1x x x e x <--.方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.20．（1）答案见解析；（2）(,-∞. 【解析】（1）求得()()()xf x x a a e '=--，分0a ≤和0a >两种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）当0a <时，由（1）()3112a af x e a e =-+<--极小值，求得a <01a <<时，求得函数的单调性，结合()(1)1a h a h e >>--，得到01a <<不合题意；当1a ≥时，由函数()f x 在(,0)-∞递增，无极值，得到不符合题意，即可求解.（1）由题意，函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+，可得()2()()()x xf x x a e ax a x a e a '=--+=--，当0a ≤时，0x e a ->，令()0f x '<，解得x a <；令()0f x '>，解得x a >， 故()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增，当0a >时，令()0f x '=，解得1x a =或2ln x a =， 设()ln g a a a =-，可得1()a g a a-'=， 当1a >时，()0g a '>；当01a <<时，()0g a '<， 故min ()(1)10g x g ==>，故ln a a >， 由()0f x '>，解得x a >或ln x a <，由()0f x '<，解得ln a x a <<，故()f x 在(,ln )a -∞递增，在(ln ,)a a 递减，在(,)a +∞递增， 综上可得：当0a ≤时，()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增， 0a >时，()f x 在(,ln )a -∞递增，在(ln ,)a a 递减，在(,)a +∞递增；（2）当0a <时，由（1）知，()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增，故()31()12a af x f a e a e ==-+<--极小值，解得a <当01a <<时，ln 0a <，由（1）知()f x 在ln x a =处取极大值，设221()(ln )(ln 1)ln ln 2h a f a a a a a a a a ==---+21ln 1ln 2a a a a a a ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，则21()ln 2ln 2h a a a a a '=-+-，因为01a <<，可得ln 0a <，所以()0h a '<，()h a 在(0,1)递减， 所以()(1)21a h a h e >=->--，所以01a <<不合题意， 当1a ≥时，ln 0a ≥，由（1）知()f x 在(,0)-∞递增， 此时()f x 在(,0)-∞无极值，不符合题意，综上可得，实数a 的取值范围是(,-∞.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21．（1）()f x 的单调增区间为(,3)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为(3,1)-，（2）最大值为9，最小值为53-【解析】（1）先求导，由已知可得'(3)0f -=，求出a 的值，再代入检验，从而可得函数的关系式，然后由导数的正负来求出函数的单调区间；（2）由（1）得出的单调区可求出()f x 的极值，从而可求出()f x 的最值 解：（1）由()()32133f x x ax x a R =+-∈，得'2()23f x x ax =+-，因为()()32133f x x ax x a R =+-∈在3x =-处取得极值，所以'(3)0f -=，即()()232330a -+⋅--=，解得1a =，经检验，当1a =时，()f x 在3x =-处取得极值，所以1a =， 所以()32133f x x x x =+-，则()2'23f x x x =+-， 由()'0f x >，得1x >或3x <-，由()'0f x <，得31x -<<，所以()f x 的单调增区间为(,3)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为(3,1)-， （2）由（1）可知()f x 在[3,1)-上单调递减，在(1,3]上单调递增， 所以当1x =时，()f x 取得最小值，即min 15()(1)1333f x f ==+-=-，因为321(3)(3)(3)3(3)93f -=⨯-+--⨯-=，321(3)333393f =⨯+-⨯=，所以 ()f x 的最大值为9，所以()f x 区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-22．（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【解析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值；（2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案 解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =． （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++， 令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<； 当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．23．（①）10x y -+=；（①）见解析；（①）1[e，)+∞． 【解析】（①）函数()ln f x ax x =-．当2a =时，()2ln f x x x =-，f （1）2=．切线的斜率为f '（1），利用点斜式即可得出曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程．（①）1()f x a x'=-，(0,)x ∈+∞．对a 分类讨论即可得出单调区间． （①）若()0f x 恒成立，则ln xax 在(0,)x ∈+∞上恒成立．令ln ()x g x x=，(0,)x ∈+∞．利用导数研究其单调性即可得出函数()g x 的最大值，即可得出所求． 解：（①）函数()ln f x ax x =-，()0x > 当2a =时，()2ln f x x x =-，f （1）2=．1()2f x x'=-， f '（1）1=，∴曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程为：21y x -=-，即10x y -+=．（①）1()f x a x'=-，(0,)x ∈+∞．0a 时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．0a >时，1()()a x a f x x-'=，则函数()f x 在1(0,)x a∈上单调递减，在1(a ，)+∞上单调递增．（①）若()0f x 恒成立，则ln xa x在(0,)x ∈+∞上恒成立． 令ln ()xg x x=，(0,)x ∈+∞． 21-ln ()x g x x '=，令21ln ()0xg x x-'==，则x e =， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，所以ln ()xg x x=在()0,x e ∈递增， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以ln ()xg x x=在(),x e ∈+∞递减， 所以()1()max g x g e e==， 所以a 的取值范围为1[e，)+∞．24．（1）a ≤（2）证明见解析． 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立可求得参数范围；（2）不等式变形为e ln 0x x x x -+>，(0,1)x ∈，引入函数()e ln x g x x x x =-+，(0,1)x ∈，由导数求得其最小值，证明最小值大于0即证． （1）1()2f x x a x '=+-，由题意1()20f x x a x '=+-≥，即12a x x≤+在(0,)+∞上恒成立，0x >时，12x x+≥=12x x =，x =时等号成立．所以a ≤（2）0a =时，2()ln f x x x =+，21()(1ln )e x x x f x x x ⎡⎤+-=-<⎣⎦， 即证e ln 0x x x x -+>，(0,1)x ∈，设()e ln x g x x x x =-+，(0,1)x ∈，11ln ()e e ln x x g x x x ++=+-'=，在(0,1)上它是增函数，1e 1()e 10eg '=->，e e e (e )e 0g e --'=-<， 所以()'g x 在1(0,)e上存在唯一零点0x ，00e ln 0xx +=，00x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，01x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，所以0min 0000()()e ln xg x g x x x x ==-+0000ln ln x x x x =--，010,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1()ln ln ,0,e h x x x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则11()ln 11ln h x x x x x '=+--=-0<，所以10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()h x 是减函数，所以111112()()ln ln 10e e e e e h x h e >=--=->，所以min ()0g x >， 所以原不等式成立．本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．用导数证明不等式的常用方法是：例如不等式变形为()0>g x ，然后用导数求()g x 的最小值，只要最小值大于0即可得．25．（1）1a =，5b =-；（2）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭、()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【解析】（1）本题首先可求出()22f x ax b x '=++，然后根据题意得出102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝、()20f '=，最后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可通过求导得出()()()212x x f x x--'=，然后通过()0f x '>、()0f x '<即可得出结果.（1）()22ln f x x ax bx =++，()()220f x ax b x x'=++>， 因为()f x 在12x =和2x =处有极值，所以102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，()20f '=，即40140a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得1a =，5b =-，()2n 52l x x x f x +=-. （2）()2n 52l x x x f x +=-，()()()212225x x f x x x x--'=+-=，0x >， 当102x <<时，()0f x '>，()f x 是增函数； 当122x <<时，()0f x '<，()f x 是减函数； 当2x >时，()0f x '>，()f x 是增函数，。

5．1.2 导数的概念及其几何意义第1课时 导数的概念A 级——基础过关练1．(2024年昭通期末)已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)，则lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．－13f ′(x 0)B ．－3f ′(x 0)C ．3f ′(x 0)D ．13f ′(x 0) 【答案】C 【解析】依据题意，lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx＝3f ′(x 0).故选C.2．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时改变率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】B 3．若lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k ，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．2k B ．kC ．12kD ．以上都不对【答案】A4．(2024年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是 ( )A.v 甲＞v 乙 B ．v 甲＜v 乙 C ．v 甲＝v 乙 D ．大小关系不确定【答案】B 【解析】设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均改变率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 乙＝k BC .因为k AC＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．5．(多选)在x ＝1旁边，取Δx ＝0.3，关于下列说法正确的有 ( )A ．函数y ＝x 的平均改变率为1B ．函数y ＝x 2的平均改变率为2.3C ．函数y ＝x 3的平均改变率为3.99 D ．函数y ＝1x的平均改变率为1【答案】ABC 【解析】依据平均改变率的计算公式，可得Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，所以在x ＝1旁边取Δx ＝0.3，则平均改变率的公式为Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3. 下面逐项判定，对于A ，函数y ＝x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.3－10.3＝1，正确；对于B ，函数y ＝x 2，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.32－10.3＝0.690.3＝2.3，正确；对于C ，函数y ＝x 3，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.33－10.3＝1.1970.3＝3.99，正确；对于D ，函数y ＝1x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝11.3－10.3＝－11.3≠1，错误．故选ABC.6．物体的运动方程为s ＝6t ＋7t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则此物体在t ＝10的瞬时速度是________．【答案】146米/秒 【解析】设此物体在t ＝10的瞬时速度v ＝lim Δt →0s (10＋Δt )－s (10)Δt＝lim Δt →06(10＋Δt )＋7(10＋Δt )2－60－700Δt ＝lim Δt →0146Δt ＋7(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (146＋7Δt )＝146(米/秒).7．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－2)＝24，则a ＝________．【答案】2 【解析】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋2－(ax 3＋2)Δx＝lim Δx →0[3ax 2＋a (Δx )2＋3ax Δx ]＝3ax 2，∴f ′(－2)＝12a ＝24，∴a ＝2.8．(2024年青岛月考)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________．【答案】2 【解析】∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx＝a ，∴a ＝2.9．(2024年武汉月考)2024年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重实行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成果，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为l (t )＝2t 2＋32t ，则当t ＝3 s 时，该运动员的滑雪瞬时速度为________m/s.【答案】272 【解析】l (3＋Δt )－l (3)＝2(3＋Δt )2＋32(3＋Δt )－2×32－92＝2(Δt )2＋272Δt ，所以该运动员在 3 s 时的滑雪瞬时速度为l ′(3)＝lim Δt →0l (3＋Δt )－l (3)Δt＝lim Δt →0⎝ ⎛⎭⎪⎫2Δt ＋272＝272(m/s).10．求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3旁边的平均改变率，取Δx 的值为13，哪一点旁边的平均改变率最大？解：在x ＝1旁边的平均改变率为k 1＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2旁边的平均改变率为k 2＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3旁边的平均改变率为k 3＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3旁边的平均改变率最大．B 级——实力提升练 11．(2024年南通期末)函数f (x )＝x 2－sin x 在[0，π]上的平均改变率为 ( )A ．1B ．2C ．πD ．π2【答案】C 【解析】依据题意，f (x )＝x 2－sin x ，则f (0)＝0，f (π)＝π2－sin π＝π2，则f (x )在[0，π]上的平均改变率为Δy Δx ＝f (π)－f (0)π－0＝π2－0π－0＝π.12．(多选)已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于随意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是 ( )A ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2<0B ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2>0C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f ()x 1＋f ()x 22D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ()x 1＋f ()x 22【答案】AD 【解析】由题中图象可知，导函数f ′(x )的图象在x 轴下方，即f ′(x )<0，且其肯定值越来越小，因此过函数f (x )图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f (x )的大致图象如图所示．由图象可知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)异号，故A 正确，B 不正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22表示x 1＋x 22对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，f (x 1)＋f (x 2)2表示当x ＝x 1和x ＝x 2时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，明显有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故C 不正确，D 正确．故选AD.13．(2024年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)，则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越________(填“快”或“慢”).【答案】25 快 【解析】由题意，可知净化所需费用的瞬时改变率为c ′(x )＝5 284×[－(100－x )-2×(－1)]＝ 5 284(100－x )2，所以c ′(95)＝ 5 284(100－95)2＝5 28425，c ′(99)＝ 5 284(100－99)2＝5 284，所以c ′(99)c ′(95)＝5 2845 28425＝25，所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的25倍．因为c ′(99)>c ′(95)，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快．14．(2024年承德月考)某人服药后，人汲取药物的状况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值．【答案】－0.002 【解析】c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.15．(2024年长沙月考)设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)lim Δx →0 f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx ； (2)lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx. 解：(1)lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx＝－m lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)－m Δx＝－mf ′(x 0). (2)lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)－[f (x 0＋5Δx )－f (x 0)]Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx －lim Δx →0f (x 0＋5Δx )－f (x 0)Δx＝4limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)4Δx－5limΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)5Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0).。

5.2.3简单复合函数的导数课后·训练提升基础巩固1.函数y=(x21)n的复合过程正确的是()A.y=u n,u=x21B.y=(u1)n,u=x2C.y=t n,t=(x21)nD.y=(t1)n,t=x21答案:A2.(多选题)下列求导结果正确的是()A.(x ln(x))'=ln(x)1B.(sin 2x)'=2cos 2xC.(ln(2x+3))'=D.()'=2x答案:BD解析:(x ln(x))'=x'·ln(x)+x(ln(x))'=ln(x)+x·=ln(x)+1,故A错误; (sin2x)'=2cos2x,故B正确;(ln(2x+3))'=(2x+3)'=,故C错误;()'=()·(x21)'=2x,故D正确.3.设函数f(x)=(12x3)10,则f'(1)等于()A.0B.60答案:B解析:因为f'(x)=10(12x3)9(6x2),所以f'(1)=10×(12)9×(6)=60.4.函数y=x ln(2x+5)的导数y'=()A.ln(2x+5)B.ln(2x+5)+x ln(2x+5)D.答案:B解析:y'=[x ln(2x+5)]'=x'ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x··(2x+5)'=ln(2x+5)+.5.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则的值为()A.10B.10答案:C解析:∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=+8=8+.根据导数定义知=2=2f'(1)=20.故应选C.6.设曲线y=ax ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于()答案:D解析:y'=a,由题意得y'|x=0=2,即a1=2,故a=3.7.函数y=sin 2x cos 3x的导数y'=.答案:2cos 2x cos 3x3sin 2x sin 3x解析:y'=(sin2x)'cos3x+sin2x(cos3x)'=2cos2x cos3x3sin2x sin3x.8.曲线y=x e x1在点(1,1)处的切线的斜率为.答案:2解析:y'=e x1+x e x1=(x+1)e x1,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1+1)e11=2.9.若函数f(x)=,则f'(x)=.答案:解析:∵f(x)=,∴f'(x)=.10.若曲线y=e x在点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案:(ln 2,2)解析:设P(x0,),则y'==2,得x0=ln2,故点P的坐标为(ln2,2).11.求曲线y=2sin2x在点P处的切线方程.解:因为y'=(2sin2x)'=2×2sin x(sin x)'=2×2sin x cos x=2sin2x,所以切线斜率k=2sin=.所以所求切线方程为y,即xy+=0.12.设函数f(x)=a e x ln x+.(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x1)+2,求a,b的值.解:(1)由f(x)=a e x ln x+,得f'(x)=(a e x ln x)'+=a e x ln x+.(2)由于切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x1)+2上,将x=1代入切线方程得y=2,将x=1代入函数f(x)得f(1)=b,故b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=a e=e,故a=1.能力提升1.函数y=sin 2x cos 2x的导数y'=()cosB.cos 2x sin 2xC.sin 2x+cos 2xcos答案:A解析:y'=(sin2x)'(cos2x)'=cos2x·(2x)'+sin2x·(2x)'=2cos2x+2sin2x=2=2cos.故选A.2.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A. B. C.答案:A解析:∵y'|x=0=2e2×0=2,∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y=2x+2.如图,由得x=y=,∴A.故所求三角形的面积为×1=.3.曲线y=e5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案:5x+y3=0解析:因为y'=e5x(5x)'=5e5x,所以切线的斜率k=5,故切线方程为y3=5(x0),即5x+y3=0.4.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f',则φ=;若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=.答案:解析:f'(x)=sin(x+φ).由条件知,f'=s in(π+φ)=sinφ=,∴sinφ=.∵0<φ<π,∴φ=或φ=.∵f(x)+f'(x)=cos(x+φ)sin(x+φ)=2sin,∴若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即0=2sin,∴φ+=kπ(k∈Z).又φ∈(0,π),∴φ=.5.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.答案:2解析:设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有解得x0=1,a=2.6.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e x1x,求曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程.解:设x>0,则x<0,f(x)=e x1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=e x1+x,所以f'(x)=e x1+1,f'(1)=2,所以所求的切线方程为y2=2(x1),即2xy=0.7.已知曲线y=e2x cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.解:由y'=(e2x cos3x)'=(e2x)'cos3x+e2x(cos3x)'=2e2x cos3x+e2x(3sin3x)=e2x(2cos3x3sin3x), 得y'|x=0=2.则切线方程为y1=2(x0),即2xy+1=0.由直线l与切线平行,可设直线l的方程为2xy+c=0(c≠1),则两平行线间的距离d=,得c=6或c=4.故直线l的方程为2xy+6=0或2xy4=0.。

一元函数的导数及其应用（单元重点综合测试）
A．在0到0t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在0到0t范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在0t到1t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在0t到1t范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC
【详解】在0到t范围内，甲、乙的平均速度都为
x
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题
13．（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数x y--=，则a b-=
740
16．
（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法方程()0f x =的根就是函数()f x 在1x x =处的切线与x 轴的交点横坐标为接近r .若()32
33f x x x x =-+【答案】
526227/2【详解】因为()323f x x x =-且()(23633f x x x x '=-+=-所以，曲线()y f x =在0x x =
业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨。

一元函数的导数及其应用反思总结：切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“在型”表示已知点就是切点；反思总结:切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“过型”已知点一般当做非切点处理；巩固训练1．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）过点为．【详解】()e 1xx x =+，求导可得：()f x '=处的切线方程为()110y x -=⨯-，整理可得：()ln xx x=，求导可得：()1g x x -'=处的切线方程为()011y x -=⨯-，整理可得AB 的斜率10101AB k -==--，易知：直线故答案为：2.函数与导函数图象间的关系A ．．．．【答案】A【详解】()2f x x =-+02x≤，轴下方的图象为函数0时，函数()g x ，故排除CD ；A ．．．．【答案】BA．．．．【答案】C【详解】由导函数的图象可知，函数的符号从左至右依次为负、正、负，则函数性从左至右依次为减、增、减，排除选项；()()''上单调递增；A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值【答案】C【详解】解：()()g x x f x '=⋅，并结合其图象，可得到如下情况，像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()()21f f ->-B ．1x =是()f x 的极小值点C ．函数()f x 在()1,1-上有极大值D ．3x =-是()f x 的极大值点【答案】AD【详解】由()y f x '=的图象可知：当(,3)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增；当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，因此有()()21f f ->-，3x =-是()f x 的极大值点，所以选项A 、D 正确；当(1,1)x ∈-，或(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在()1,1-上没有极大值，且1x =不是()f x 的极小值点，所以选项B 、C 不正确，故选：AD2．（多选）（2022下·福建漳州·高二校考阶段练习）设函数()y f x =在R 上可导，其导函数为()y f x '=，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()y f x =在(),2-∞-上递减，在()2,+∞上递减B ．函数()y f x =在(),2-∞-上递增，在()2,+∞上递增C ．函数()y f x =有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()y f x =有极大值()2f -和极小值()2f 【答案】BD-∞上单调递减，反思总结：函数在闭区间上一定有最值，在极值点或端点处取得，解题时比较极值和端点值的大小即可；，而()1e eg =，所以10ln ea <<令()ln ln xh x a x=-，因为()1ln 0h a =-<，()e h为自然对数的底数结合图象可得211e 2ea <<，所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<.2．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）（由()()50g x x f x =>，得⎧⎨⎩数形结合可知不等式()g x >综上，不等式()0g x >的解集为故选：A ．。

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性课后·训练提升基础巩固1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能是()答案:D解析:∵函数f(x)在区间(0,+∞),(∞,0)内都单调递减,∴当x>0时,f'(x)<0,当x<0时,f'(x)<0.故选D.2.若a>0,且f(x)=x3ax在区间[1,+∞)内单调递增,则a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案:B解析:由题意得,f'(x)=3x2a≥0在区间[1,+∞)内恒成立,所以a≤(3x2)min=3,又a>0,所以0<a≤3.3.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=x e xC.y=x3xD.y=ln xx答案:B解析:B项中,y=x e x,y'=e x+x e x=e x(1+x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,故y=x e x在区间(0,+∞)内单调递增.4.(多选题)若函数y=e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的为()A.f(x)=2xB.f(x)=3xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+2答案:AD解析:A中,e x f(x)=e x·2x=在R内单调递增,故f(x)=2x具有M性质;B中,e x f(x)=e x·3x=在R内单调递减,故f(x)=3x不具有M性质;C中,e x f(x)=e x·x3,令g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x3+e x·3x2=x2e x(x+3),当x>3时,g'(x)>0,当x<3时,g'(x)<0,故e x f(x)=e x·x3在区间(∞,3)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增,故f(x)=x3不具有M性质;D中,e x f(x)=e x(x2+2),令g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2)+e x·2x=e x[(x+1)2+1]>0,得e x f(x)=e x(x2+2)在R内单调递增,故f(x)=x2+2具有M性质.5.定义在R内的连续函数f(x),若(x1)f'(x)<0,则下列各项正确的是()A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)与2f(1)大小关系不定答案:C解析:∵(x1)f'(x)<0,∴当x>1时,f'(x)<0,当x<1时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,在区间(∞,1)内单调递增,∴f(0)<f(1),f(2)<f(1),∴f(0)+f(2)<2f(1).6.若y=sin x+ax在R内是增函数,则a的取值范围是.答案:[1,+∞)解析:由已知得y'=cos x+a≥0对x∈R恒成立,即a≥cos x对x∈R恒成立.所以a≥1.7.已知函数f(x)=2x3+ax2+1(a为常数)在区间(∞,0),(2,+∞)内单调递增,且在区间(0,2)内单调递减,则a的值为.答案:6解析:由题意得f'(x)=6x2+2ax=0的两根为0和2,可得a=6.8.已知函数f(x)=3x2sin x,若f(a23a)+f(3a)<0,则实数a的取值范围是.答案:(1,3)解析:函数f(x)的定义域为R.∵f(x)=3x2sin x,f(x)=3x+2sin x=f(x),∴函数f(x)为奇函数.又f'(x)=32cos x>0,∴函数f(x)为增函数,f(a23a)+f(3a)<0,即f(a23a)<f(3a)=f(a3),即a23a<a3,解得1<a<3.9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f'(x)<2,则不等式f(x)>2x1的解集为. 答案:(∞,1)解析:令g(x)=f(x)2x+1,则g'(x)=f'(x)2<0,又g(1)=f(1)2×1+1=0,所以当g(x)>g(1)=0时,x<1,所以f(x)2x+1>0,即f(x)>2x1的解集为(∞,1).10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy+7=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间.解:(1)由f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f'(x)=3x2+2bx+c.由f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy+7=0,知6f(1)+7=0,即f(1)=1.又f'(1)=6,所以有解得b=c=3.故所求函数解析式为f(x)=x33x23x+2.(2)由(1)知f'(x)=3x26x3.令f'(x)>0,得x<1或x>1+;令f'(x)<0,得1<x<1+.故f(x)=x33x23x+2的单调递增区间为(∞,1),(1+,+∞),单调递减区间为(1,1+).11.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,f(x)=x2+ln(x+1)(x>1),f'(x)=x+=(x>1).当f'(x)>0时,解得1<x<1;当f'(x)<0时,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(1,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,即a≤对任意x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)==,易知当x∈[1,+∞)时,g(x)min=g(1)=,则a≤.故实数a的取值范围为.能力提升1.函数f(x)=的图象大致为()答案:B解析:函数f(x)=的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),排除选项A;当x>0时,f(x)>0,且f'(x)=,故当x∈(0,1)时,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增,排除选项C;当x<0时,函数f(x)=<0,排除选项D,故选B.2.若函数f(x)=2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是()A. B.C.(1,2]D.[1,2)答案:A解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x.由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为;由f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间为.因为函数f(x)在区间(k1,k+1)内不是单调函数,所以k1<<k+1,解得<k<.又因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以k1≥0,即k≥1.综上可知,1≤k<.3.(多选题)下列不等式正确的是()A.>ln 2B.ln 2<lnC.ln 2<D.>5答案:ABC解析:构造函数f(x)=,导数为f'(x)=.当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∵32>23,y=ln x在定义域上单调递增,∴ln32>ln23,即2ln3>3ln2,∴>ln2,故A正确;∵e>>2,∴f>f(2),∴,ln ln2,故B正确;∵f(2)<f(e)=,∴,即ln2<,故C正确;∵e>>2,∴f()>f(2),∴,∴2ln ln2,∴ln()2>ln,∴5>,故D错误.故选ABC.4.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为. 答案:(∞,1)∪(0,1)解析:由xf'(x)<0,可得由题图可知当1<x<1时,f'(x)<0,当x<1或x>1时,f'(x)>0,则解得0<x<1或x<1.故xf'(x)<0的解集为(0,1)∪(∞,1).5.若函数y=x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.答案:(0,+∞)解析:∵y'=4x2+a,且y=x3+ax有三个单调区间,∴方程y'=4x2+a=0有两个不相等的实根,∴Δ=024×(4)×a>0,∴a>0.6.若函数f(x)=x2+b ln(x+2)在区间(1,+∞)内单调递减,则b的取值范围是. 答案:(∞,1]解析:f'(x)=x+,由题意知f'(x)=x+≤0在区间(1,+∞)内恒成立,即≤x在区间(1,+∞)内恒成立,∵x>1,∴x+2>1>0,∴b≤x(x+2)在区间(1,+∞)内恒成立.设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)21,∵x>1,∴y>1,∴要使b≤x(x+2)在区间(1,+∞)内恒成立,则有b≤1.7.已知函数f(x)=+a ln x+x,且曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=2x+2平行,则a=,函数f(x)的单调递增区间是.答案:1(2,+∞)解析:f(x)=+a ln x+x,定义域为(0,+∞),f'(x)=+1=.由题知f'(1)=a1=2,解得a=1,故f'(x)=,令f'(x)=0,得x1=2或x2=1(舍).f'(x)>0,即x2x2>0,且x>0,得x>2,故函数y=f(x)的单调递增区间为(2,+∞).8.若f(x)=(x∈R)在区间[1,1]上单调递增,则a的取值范围是.答案:[1,1]解析:f'(x)=2·,∵f(x)在区间[1,1]上单调递增,∴f'(x)=2·≥0在区间[1,1]上恒成立.∵(x2+2)2>0,∴x2ax2≤0对x∈[1,1]恒成立.令g(x)=x2ax2,则即∴1≤a≤1.故a的取值范围是[1,1].9.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使f(x)>0成立的x的取值范围是.答案:(∞,1)∪(0,1)解析:因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=0,所以f(1)=f(1)=0.当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,且g(1)=g(1)=0.又当x>0时,xf'(x)f(x)<0,所以g'(x)='=<0,故g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(∞,0)内单调递增.所以当0<x<1时,g(x)>g(1)=0⇔>0⇔f(x)>0;当x<1时,g(x)<g(1)=0⇔<0⇔f(x)>0.综上所述,使f(x)>0成立的x的取值范围是(∞,1)∪(0,1).10.设函数f(x)=x e kx(k≠0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增,求k的取值范围.解:(1)由f'(x)=(1+kx)e kx=0,得x=(k≠0).若k>0,则当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.若k<0,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上所述,当k>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;当k<0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由(1)知,若k>0,则当且仅当≤1,即0<k≤1时,函数f(x)在区间(1,1)内单调递增.若k<0,则当且仅当≥1,即1≤k<0时,函数f(x)在区间(1,1)内单调递增.综上可知,当函数f(x)在区间(1,1)内单调递增时,k的取值范围是[1,0)∪(0,1].11.已知函数f(x)=x+a(2ln x),a>0,试讨论f(x)的单调性.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.令g(x)=x2ax+2,Δ=a28.①当Δ<0,即0<a<2时,对一切x>0,都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;②当Δ=0,即a=2时,当且仅当x=时,有f'(x)=0,对定义域内其余的x都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不相等的实根,x1=,x2=,0<x1<x2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.x(0,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+∞)f'(x) +0 0 +f(x) 单调递增f(x1) 单调递减f(x2) 单调递增故f(x)在区间和区间内单调递增;在区间内单调递减.。

第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设f (x )是可导函数,且lim Δx →0f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =2,则f'(x 0)=()A.2B.-1C.1D.-2lim→0f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =lim Δx →0f [x 0+(-Δx )]-f (x 0)-Δx =f'(x 0)=2.故选A .2.(2020某某高二期末)一质点做直线运动,经过t 秒后的位移为s=13t 3-52t 2+4t ,则速度为零的时刻是() A.1秒末 B.4秒末 C.1秒末或4秒末D.0秒或4秒末s=13t 3-52t 2+4t ,所以s'=t 2-5t+4,令t 2-5t+4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末,故选C .3.曲线f (x )=x 3+x-2在P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为() A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4)f'(x )=3x 2+1=4,解得x=±1,f (1)=0,f (-1)=-4,故P 0点的坐标为(1,0),(-1,-4),故选C .4.函数f (x )=3x 2+ln x-2x 的极值点的个数是() A.0 B.1 C.2D.无数个(0,+∞),且f'(x )=6x+1x -2=6x 2-2x+1x,∵x>0,g (x )=6x 2-2x+1中Δ=-20<0,所以g (x )>0恒成立.故f'(x )>0恒成立,即f (x )在定义域上单调递增,无极值点.5.函数f (x )=(x 2+tx )e x (实数t 为常数,且t<0)的图象大致是()f (x )=0得x 2+tx=0,得x=0或x=-t ,即函数f (x )有两个零点,排除A,C;函数的导数f'(x )=(2x+t )e x +(x 2+tx )e x =[x 2+(t+2)x+t ]e x ,当x →-∞时,f'(x )>0,即在x 轴最左侧函数f (x )为增函数,排除D;故选B .6.若函数f (x )=a sin x+cos x 在[-π3,π4]为增函数,则实数a 的取值X 围是() A.[1,+∞) B.(-∞,-√3] C.[-√3,1]D.(-∞,-√3]∪[1,+∞),f'(x )=a cos x-sin x ≥0在区间[-π3,π4]上恒成立,即a cos x ≥sin x.当x ∈[-π3,π4]时,cos x>0,故a ≥sinx cosx =tan x ,y=tan x 在x ∈-π3,π4时为递增函数, 其最大值为tan π4=1,故a ≥1.所以选A .7.已知定义在R 上的函数f (x )的导数为f'(x ),若满足f (x )+xf'(x )>1,则下列结论:①f (-1)>0;②f (1)<0;③2f (-2)>f (-1);④2f (1)>f 12中,正确的个数是()A.4B.3C.2D.1h (x )=xf (x )-x ,所以h'(x )=xf'(x )+f (x )-1, 因为函数f (x )满足f (x )+xf'(x )>1, 所以h'(x )>0,所以h (x )在R 上是增函数, 因为h (-1)=-f (-1)+1<h (0)=0, 所以f (-1)>1>0,故①正确. 因为h (1)=f (1)-1>h (0)=0, 所以f (1)>1,故②错误.因为h (-2)=-2f (-2)+2<h (-1)=-f (-1)+1,所以2f (-2)>f (-1)+1>f (-1),故③正确. 因为h (1)=f (1)-1>h12=12f12-12,所以2f (1)>f 12+1>f 12,故④正确.故选B .8.定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf'(x )=1+x ,且f (1)=2,不等式f (x )≥(a+1)x+1有解,则正实数a 的取值X 围是() A.(0,√e ] B.(0,√e ) C.(0,1e ]D.(0,1e )f'(x )=1+1x ,故f (x )=x+ln x+C ,其中C 为常数.因f (1)=2,所以C=1,即f (x )=x+ln x+1. 不等式f (x )≥(a+1)x+1有解可化为 x+ln x+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a 在(0,+∞)有解. 令g (x )=ln xx,则g'(x )=1-lnxx 2, 当x ∈(0,e)时,g'(x )>0,g (x )在(0,e)上为增函数; 当x ∈(e,+∞)时,g'(x )<0,g (x )在(e,+∞)上为减函数; 故g (x )max =g (e)=1e ,所以0<a ≤1e ,故选C .二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.(2019某某高三月考)下列结论中不正确的是() A .若y=cos 1x,则y'=-1xsin 1xB .若y=sin x 2,则y'=2x cos x 2C .若y=cos 5x ,则y'=-sin 5xD .若y=12x sin 2x ,则y'=x sin 2xA,y=cos 1x,则y'=-1x2sin 1x,故错误;对于B,y=sin x 2,则y'=2x cos x 2,故正确; 对于C,y=cos5x ,则y'=-5sin5x ,故错误;对于D,y=12x sin2x ,则y'=12sin2x+x cos2x ,故错误.故选ACD .10.(2020某某高三月考)设函数f (x )={|lnx |,x >0,e x (x +1),x ≤0,若函数g (x )=f (x )-b 有三个零点,则实数b 可取的值可能是() A .0B .12C .1D .2,函数g (x )=f (x )-b 有三个零点,则g (x )=f (x )-b=0,即f (x )=b 有三个根,当x ≤0时,f (x )=e x (x+1),则f'(x )=e x (x+1)+e x =e x (x+2), 由f'(x )<0得x+2<0,即x<-2,此时f (x )为减函数, 由f'(x )>0得x+2>0,即-2<x ≤0,此时f (x )为增函数,即当x=-2时,f (x )取得极小值f (-2)=-1e2,作出f (x )的图象如图: 要使f (x )=b 有三个根,则0<b ≤1,则实数b 可取的值可能是12,1. 故选BC .11.(2020某某高三月考)已知ln x 1-x 1-y 1+2=0,x 2+2y 2-4-2ln 2=0,记M=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2,则下列说法正确的是() A.M 的最小值为25 B .当M 最小时,x 2=125 C .M 的最小值为45 D .当M 最小时,x 2=65ln x 1-x 1-y 1+2=0得y 1=ln x 1-x 1+2,(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2的最小值可转化为函数y=ln x-x+2图象上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值的平方,由y=ln x-x+2得y'=1x -1,与直线x+2y-4-2ln2=0平行且与曲线y=ln x-x+2相切的直线的斜率为-12, 则令1x -1=-12,解得x=2.∴切点坐标为(2,ln2).∴(2,ln2)到直线x+2y-4-2ln2=0的距离d=√1+4=2√55,即函数y=ln x-x+2上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值为2√55,∴(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2的最小值为d 2=45.过(2,ln2)与x+2y-4-2ln2=0垂直的直线为y-ln2=2(x-2), 即2x-y-4+ln2=0,由{x +2y -4-2ln2=0,2x -y -4+ln2=0,解得x=125,即当M 最小时,x 2=125,故选BC .12.(2020某某师大附中高二期末)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:①直线l 在点P (x 0,y 0)处与曲线C 相切;②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.则下列结论正确的是()A.直线l :y=0在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=x 3 B .直线l :y=x-1在点P (1,0)处“切过”曲线C :y=ln x C .直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=sin x D .直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=tan x项,因为y'=3x 2,当x=0时,y'=0, 所以l :y=0是曲线C :y=x 3在点P (0,0)处的切线.当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确; B 项,y'=1x,当x=1时,y'=1,在P (1,0)处的切线为l :y=x-1. 令h (x )=x-1-ln x , 则h'(x )=1-1x=x -1x(x>0), 当x>1时,h'(x )>0;当0<x<1时,h'(x )<0, 所以h (x )min =h (1)=0.故x-1≥ln x ,即当x>0时,曲线C 全部位于直线l 的下侧(除切点外),结论错误; C 项,y'=cos x ,当x=0时,y'=1,在P (0,0)处的切线为l :y=x ,由正弦函数图象可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确; D 项,y'=1cos 2x ,当x=0时,y'=1,在P (0,0)处的切线为l :y=x ,由正切函数图象可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选ACD.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.某产品的销售收入y 1(万元)与产量x (千台)的函数关系是y 1=17x 2,生产成本y 2(万元)与产量x (千台)的函数关系是y 2=2x 3-x 2,已知x>0,为使利润最大,应生产(千台).,利润y=y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=18x 2-2x 3(x>0).y'=36x-6x 2,由y'=36x-6x 2=6x (6-x )=0,得x=6(x>0), 当x ∈(0,6)时,y'>0,当x ∈(6,+∞)时,y'<0.∴函数在(0,6)上为增函数,在(6,+∞)上为减函数.则当x=6(千台)时,y 有最大值为144(万元).故答案为6.14.已知函数f (x )=12x 2+2ax-ln x ,若f (x )在区间[13,2]上是增函数,则实数a 的取值X 围是.f (x )在区间[13,2]上是增函数,∴f'(x )=x+2a-1x ≥0在[13,2]恒成立,即2a ≥-x+1x在[13,2]恒成立.∵-x+1x 在[13,2]上是减函数, ∴(-x +1x )max=83,∴2a ≥83,∴a ≥43.[43,+∞)15.已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3x+1,当x ∈[2,+∞),f (x )≥0恒成立,则实数a 的取值X 围是.∈[2,+∞),f (x )≥0,即x 3+3ax 2+3x+1≥0,即x+3x+1x 2≥-3a. 令g (x )=x+3x+1x 2, 则g'(x )=x 3-3x -2x 3.下面我们证g'(x )≥0在x ∈[2,+∞)恒成立, 也即x 3-3x-2≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立. 令h (x )=x 3-3x-2,则h'(x )=3x 2-3=3(x+1)(x-1), 易知h'(x )≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立,∴h (x )在x ∈[2,+∞)内为增函数,∴h (x )≥h (2)=0,也就是x 3-3x-2≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立, ∴g'(x )≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立,g (x )在x ∈[2,+∞)为增函数, ∴g (x )的最小值为g (2)=154,-3a ≤g (2)=154,解得a ≥-54.-54,+∞)16.若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a=,b=.(本题第一空2分,第二空3分)(x )的定义域为(0,+∞).f'(x )=a x +2bx+3=2bx 2+3x+a x . 因为函数f (x )的极值点为x 1=1,x 2=2, 所以x 1=1,x 2=2是方程f'(x )=2bx 2+3x+a x=0的两个根,即为方程2bx 2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知{-32b =1+2,a 2b =1×2.解得{a =-2,b =-12.2-12四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2020某某高二期末)求下列函数的导数. (1)y=sin x+x ;(2)y=lnxx 2+1.y'=(sin x )'+x'=cos x+1;(2)y'=1x (x 2+1)-2xln x(x 2+1)2=x 2+1-2x 2lnx x (x 2+1)2.18.(本小题满分12分)(2020某某新建一中高二期末)设函数f (x )=a ln x+12x +32x+1,其中a ∈R ,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值; (2)求函数f (x )的极值.因为f (x )=a ln x+12x +32x+1,故f'(x )=a x −12x 2+32.由于曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f (x )=-ln x+12x +32x+1(x>0),f'(x )=-1x −12x 2+32=3x 2-2x -12x 2=(3x+1)(x -1)2x 2,令f'(x )=0,解得x 1=1,x 2=-13(因x 2=-13不在定义域内,舍去),当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,故f (x )在(0,1)上为减函数;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(1,+∞)上为增函数,故f (x )在x=1处取得极小值f (1)=3.19.(本小题满分12分)已知k 为实常数,函数f (x )=x 3-3x 2+k 在[0,2]上的最大值等于1. (1)求k 的值;(2)若函数g (x )在定义域R 上连续且单调递增,g (0)=k ,g (x )≥x+1,写出一个满足以上条件的函数g (x ),并证明你的结论.f'(x )=3x 2-6x=3x (x-2),因为0≤x ≤2,f'(x )≤0,所以f (x )在[0,2]上单调递减; 所以当x ∈[0,2]时,f (x )max =f (0)=k=1, 所以k=1.(2)函数g (x )=e x 满足条件,证明如下:首先函数g (x )=e x 满足在定义域R 上连续且单调递增,且g (0)=1=k. 下面证明:g (x )≥x+1,令h (x )=g (x )-(x+1)=e x -x-1,则h'(x )=e x -1, 由h'(x )=0,得x=0,当x ∈(-∞,0)时,h'(x )<0,h (x )在(-∞,0)上单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,h'(x )>0,h (x )在(0,+∞)上单调递增; 所以h (x )≥h (0)=0,即g (x )-(x+1)≥0,所以g (x )≥x+1.20.(本小题满分12分)(2020某某高二期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r ),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V (r )的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.∵蓄水池的侧面的建造成本为200·πrh 元,底面的建造成本为160πr 2元,∴蓄水池的总建造成本为200·πrh+160πr 2元,即200·πrh+160πr 2=12000π,∴h=15r (300-4r 2),∴V (r )=πr 2h=πr 2×15r (300-4r 2)=π5(300r-4r 3),又由r>0,h>0可得0<r<5√3, 故函数V (r )的定义域为0,5√3. (2)由(1)中V (r )=π5(300r-4r 3),0<r<5√3, 可得V'(r )=π5(300-12r 2)(0<r<5√3),令V'(r )=π5(300-12r 2)=0,则r=5,∴当r ∈(0,5)时,V'(r )>0,函数V (r )为增函数,当r ∈(5,5√3)时,V'(r )<0,函数V (r )为减函数, 所以当r=5,h=8时该蓄水池的体积最大. 21.(本小题满分12分)设函数f (x )=ln x-(1-1x ). (1)证明:当x>1时,f (x )>0; (2)若关于x 的不等式lnxx <a (x-1)对任意x ∈(1,+∞)恒成立,某某数a 的取值X 围.f (x )=ln x-(1-1x ),∴f'(x )=1x −1x 2=x -1x 2. 当x>1时,f'(x )>0.∴f (x )在(1,+∞)内为增函数, ∴f (x )>f (1)=0,得证.h (x )=lnxx -a (x-1),x ∈(1,+∞),则h'(x )=1-lnx x 2-a=1-lnx -ax 2x 2,当a ≥1时,1-ax 2<0,ln x>0,∴h'(x )<0,∴h (x )在x ∈(1,+∞)为减函数, ∴h (x )<h (1)=0恒成立,即不等式lnxx<a (x-1)对任意x ∈(1,+∞)恒成立;当a ≤0时,在(1,+∞)内有h (e)=1e-a (e -1)>0,故不合题意; 当0<a<1时,∵ln x>1-1x 对任意x ∈(1,+∞)恒成立;∴h (x )=lnx x -a (x-1)>1-1x x -a (x-1)=x -1x 2-a (x-1)=x -1x 2(1-ax 2),∴当x ∈(1√a)时,h (x )≥0,故不合题意. 综上,a ≥1.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x -12x 2-kx-1,k ∈R . (1)若f (x )在R 上是增函数,某某数k 的取值X 围;(2)讨论函数f(x)的极值,并说明理由;(3)若f(x)有两个极值点x1,x2,求证:函数f(x)有三个零点.x2-kx-1,得f'(x)=e x-x-k,由f(x)=e x-12∵f(x)在R上是增函数,∴f'(x)≥0在R上恒成立,即k≤e x-x在R上恒成立,设g(x)=e x-x,则g'(x)=e x-1,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,即g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(0)=1,∴k≤1,即k的取值X围为(-∞,1].(2)由(1)知当k∈(-∞,1]时,f(x)在R上是增函数,此时f(x)无极值;当k∈(1,+∞)时,令f'(x)=0,即g(x)=k,∵x→-∞时,g(x)→+∞;g(0)=1;x→+∞时,g(x)→+∞,∴g(x)=k有两个根,设两根为x1,x2且x1<0<x2,可知x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f'(x)>0;x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减,∴f(x)在x=x1处取得极大值f(x1);在x=x2处取得极小值f(x2).综上所述:当k∈(-∞,1]时,f(x)无极值;当k∈(1,+∞)时,f(x)存在一个极大值和一个极小值.(3)由(2)知,f(x)有两个极值点x1,x2,则k∈(1,+∞),且x1<0<x2,∴f'(x1)=e x1-x1-k=0;f'(x2)=e x2-x2-k=0,x12-kx1-1又f(x1)=e x1−12x12-(e x1-x1)x1-1=e x1−12x12-1,=(1-x1)e x1+12x22-1,f(x2)=(1-x2)e x2+12x2-1,令h(x)=(1-x)e x+12则h'(x)=x(1-e x),则h'(x)≤0在R上恒成立,即h(x)在R上单调递减,又h(0)=0,∴x∈(-∞,0)时,h(x)>0;x∈(0,+∞)时,h(x)<0,∵x1<0<x2,∴f(x1)=h(x1)>0,f(x2)=h(x2)<0,word当x→-∞时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,可得f(x)大致图象如下:∴f(x)有三个零点.11 / 11。