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三角形的五心内心（三角形三条内角平分线交点）三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。
性质设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。
3、r=S/p。
证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、∠BOC=90°+∠A/2。
6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。
9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。
10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。
设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、内切圆半径r=外心外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
三角形五心定律—搜狗百科
三角形五心定律三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等。
三角形的五心定理一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心． 重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 .三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、P 为ABC ∆所在平面上任意一点，点O 是ABC ∆内心的充要条件是：向量重心: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.2、若O 是ABC ∆的外心，则A BOC ∠=∠2（A ∠为锐角或直角）或A BOC ∠-=∠23600（A ∠为钝角）.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：1d ，2d ，3d 分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且2:1:=GH OG .（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三、三角形五心性质证明 垂心：已知：ΔABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于点F ，求证：CF ⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A 、B 、D 、E 四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO ∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF ⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 中点，F 为AB 中点，G 为△ABC 重心做BG 中点H ，GC 中点I∴HI 为△GBC 的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE 是△ABC 中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE 是平行四边形∴HG=GE又H 为BG 的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形的五心定理在数学的广袤天地中，三角形犹如一座神秘而稳固的城堡，而“五心定理”则是开启这座城堡秘密之门的关键钥匙。
让我们一同踏上探索三角形五心定理的奇妙之旅。
一、什么是三角形的五心三角形的五心分别是重心、外心、内心、垂心和旁心。
重心，是三角形三条中线的交点。
它在物理学中也有着重要的意义，比如均匀薄板的重心就与三角形的重心位置相同。
外心，是三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。
内心，是三角形三条内角平分线的交点，同时也是三角形内切圆的圆心。
垂心，是三角形三条高的交点。
旁心，是三角形一内角平分线和另外两外角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心。
二、重心定理重心到三角形顶点的距离是到对边中点距离的两倍。
为了更好地理解这一定理，我们可以通过一个小实验来感受。
比如，我们用一块均匀的木板制作一个三角形，然后找到三条中线的交点，也就是重心。
当我们把这个三角形放在一个支点上，使其保持平衡，这个支点的位置往往就是重心所在。
从数学推导的角度来看，假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，那么重心的坐标为(（x₁＋ x₂＋x₃) ／ 3, （y₁＋ y₂＋ y₃) ／ 3)。
重心在解决很多与三角形相关的力学问题和几何问题中都发挥着重要作用。
比如，在计算三角形的质心位置时，重心的概念就不可或缺。
三、外心定理外心到三角形三个顶点的距离相等。
这意味着，如果我们以这个外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径，就可以画出一个三角形的外接圆。
在实际应用中，外心定理常用于求解与三角形外接圆相关的问题。
比如，已知一个三角形的三个顶点坐标，我们可以通过求出外心的坐标和外接圆的半径，来进一步研究这个三角形的外接圆的性质。
四、内心定理内心到三角形三边的距离相等。
内心是三角形内角平分线的交点，这也就决定了它到三边的距离相等。
从实际生活的角度来看，如果我们要在一个三角形的内部找一个点，使得这个点到三边的距离之和最小，那么这个点就是内心。
三角形的五心定义及性质
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
三角形的性质
1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12.等底同高的三角形面积相等。
13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
三角形五心定律
形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等。
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4、△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
6、内心到三角形三边距离相等。
三角形的心特点
三角形共有五心，分别为重心、内心、外心、垂心和旁心。
以下是这五心的特点：
1. 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
到三边距离相等。
2. 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
到三个顶点距离相等。
3. 重心：三条中线的交点。
三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4. 垂心：三条高所在直线的交点。
此点分每条高线的两部分乘积。
5. 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
到三边的距离相等。
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
编辑本段一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
编辑本段二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等编辑本段三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的五心三角形的五心一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆周角定理. 圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明略(分类思想,3种, 半径相等) 圆周角推论1: 半圆(弧) 和半径所对圆周角是90‵. 90‵圆周角所对弦是直径. (常用辅助线:已知直径, 作其所对圆周角; 已知90‵圆周角, 作其所对弦, 即直径.) 圆周角推论2: 同(等) 弧所对圆周角相等. 同(等) 圆中, 相等的圆周角所对弧相等.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心. 掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 中线长度公式:在三角形ABC 中，D 为BC 上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2三、垂心三角形的三条高线交于一点. 三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。
四、内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 例：⊙O 是△ABC 的内切圆，△ABC 是⊙O 的一个外切三角形，点O 叫做△ABC 的内心. 张角公式:,设点C 在线段AB 上,AB 外一点P 对线段AC 、BC 的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA. 三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
1. 内心是三角形内切圆的圆心；2. 内心到三角形三边的距离相等；3. 内心是三角形三个内角平分线的交点4. 内心都在三角形的内部；5. 内切圆的半径一般通过面积方法来解决五、旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心. 例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC 的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC 的旁心. 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心. 三角形有三个旁切圆，三个旁心.重心定理 :三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.(在坐标上是三顶点坐标之和的三分之一)外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心. 内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HE FABCMABC D EFG显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ． 证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
证明 由已知可得MP '=MP =MB ，NP '=NP =NC ，故点M 是△P 'BP 的外心，点N 是△P 'PC 的外心.于是有 ∠BP 'P =12∠BMP =12∠BAC ，∠PP 'C =12∠PNC =12∠BAC .∴∠BP 'C =∠BP 'P +∠P 'PC =∠BAC .从而，P '点与A 、B 、C 共圆，即P '在△ABC 外接圆上.A BCPP MN'C例4 AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△P AD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)证明 设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '. 易证AA '=2DD '，CC '=2FF '，2EE '=AA '+CC '， ∴EE '=DD '+FF '. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △P AD +S △PCF .例5 设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 证明 连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得 A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4. 但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 ∥=A 1H 2， 故得H 1H 2 ∥=A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.情景再现3．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)AA 'F F 'GEE 'D 'C 'PCBD.OA A A A 1234H H 124．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.C 类例题例6 H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析 只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.证明 设BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A=AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(12AH 1)2-(AH -12AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ②而ABHAH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=12 (a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =12 (a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.例7 已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)证明 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，︵BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ，H H H MA B BA ABC CC F12111222D EAααMBCNE R OQFrP∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.说明 在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB =AC .例8 在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 证明 设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )= 12 (a +b +c )·12(a +b -c )=14[(a +b )2-c 2]=12ab ；(p -a )(p -b )= 12(-a +b +c )·12(a -b +c )=14[c 2-(a -b )2]= 12ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =12(a +b -c )=p -c .∴r +r a +r b +r c =(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例9 M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明11q r ·22q r =qr.(IMO -12) 证明 对任意△A 'B 'C '，由正弦定理可知Kr r r r O O O 213AO ECBabcOD =OA '·2'sinA =A 'B '·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A 'B '·2''sin2'sin 2'sinB A B A +⋅， O 'E = A 'B '·2''sin2'cos 2'cosB A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠ =22B tg A tg=qr. 例10 锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.证明 设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ，C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBH∠sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，A ...'B 'C 'O O 'EDBCOIAO G H O G H GO G H 123112233须证(cos B·cos C+cos C·cos A+cos A·cos B)+( cos A+ cos B+ cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B.即可.说明本题用了三角法。
