三角形五心性质概念整理(超全)

什么是三角形的五心（一）引言概述：三角形是初等数学中的基本图形之一，它有许多特殊的性质和定理。

而其中一个重要的概念就是三角形的五心。

什么是三角形的五心呢？在本文中，我们将详细介绍三角形的五心以及它们的性质和作用。

正文内容：一、外心（circumcenter）外心是指可以同时与三角形的三条边相切的圆心。

外心具有以下特点：1. 外心与三角形的顶点所在直线的交点是圆心。

2. 外心到三角形的三个顶点的连线距离相等。

二、内心（incenter）内心是指可以同时与三角形的三条边相切的内切圆的圆心。

内心具有以下特点：1. 内心到三角形的三条边的距离相等。

2. 连接内心和三角形三个顶点的线段互相垂直。

三、重心（centroid）重心是指三角形三条中线的交点，也就是三边中点连线的交点。

重心具有以下特点：1. 重心到三角形的三个顶点的距离成比例为2:1。

2. 连接重心和三角形三个顶点的线段互相垂直且相等。

四、垂心（orthocenter）垂心是指三角形三条高线的交点，也就是三边高线的交点。

垂心具有以下特点：1. 垂心与三角形的顶点连线的垂直距离相等。

2. 连接垂心和三角形三个顶点的线段互相垂直。

五、外心（excenter）外心是指可以同时与三角形的三条边相切的切圆圆心。

外心具有以下特点：1. 外心到三角形的三个外切圆切点的连线相互垂直。

2. 连接外心和三角形三个顶点的线段互相垂直。

总结：三角形的五心包括外心、内心、重心、垂心和外心，它们分别与三角形的特定元素（例如边、内切圆、高线、外切圆等）相关联，并具有独特的性质和定理。

研究三角形的五心可以帮助我们深入理解三角形的组成和性质，进而应用到解决各种几何问题中。

三角形的五心（一）引言概述:三角形是几何学中的基本形状之一，在三角形中有一些特殊的点叫做五心，它们是：垂心、重心、外心、内心和旁心。

本文将从垂心、重心、外心、内心和旁心这五个方面来详细解析三角形的五心的性质和应用。

正文:1. 垂心垂心是三角形的一个重要特殊点，它是三角形三条高的交点。

垂心具有以下特点：- 垂心到三角形的各边上的垂足是共线的。

- 垂心到三角形的顶点的连线与边所对应的高的延长线相交于一点。

- 垂心到三角形三边上的距离之和是最小的。

2. 重心重心是三角形的另一个重要特殊点，它是三角形三条中线的交点。

重心具有以下特点：- 重心到三角形的各顶点的距离相等。

- 重心到三角形的各边的距离之和是最小的。

- 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形。

3. 外心外心是三角形的一个特殊点，它是三角形三条外心线（即垂直平分线）的交点。

外心具有以下特点：- 外心到三角形顶点的距离相等，即外心到三角形三边的距离相等。

- 外心是三角形内接圆的圆心。

- 三角形的外接圆的半径等于外心到任意一个顶点的距离。

4. 内心内心是三角形的一个特殊点，它是三角形三条角平分线的交点。

内心具有以下特点：- 内心到三角形的各边的距离之和是最小的。

- 内心到三角形三边的距离是相等的。

- 内心是三角形内切圆的圆心。

5. 旁心旁心是指与三角形的一个角无交点，与另外两个角各有一个交点的点。

旁心具有以下特点：- 旁心到三角形的某两边的距离相等，到第三边的距离不等。

- 旁心与顶点所对应的角的角平分线垂直。

- 三个旁心分别是外接圆的圆心、三角形三条外接角的角平分线的交点。

总结:通过对垂心、重心、外心、内心和旁心五个特殊点的详细阐述，我们可以看到每个点都具有独特的性质和应用价值。

了解这些特殊点的性质不仅能够帮助我们更好地理解三角形的结构和性质，还可以在解决一些几何问题中提供有效的方法和思路。

重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）心设△ABC的切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的心到三边的距离相等，都等于切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和切圆的半径，O和I分别为其外心和心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则切圆半径r=2S/(a+b+c)8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的心在实轴的射影为对应支的顶点。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

之二胡藕藤创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形五心定理（三角形的重心,外心,垂心,心坎和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,心坎定理,旁心定理的总称.一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证实,十分简略.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量平均的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）重心的性质：1.重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2.重心和三角形3个极点构成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3.重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是极点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.二.三角形外心定理三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.外心的性质：1.三角形的三条边的垂直等分线交于一点,该点即为该三角形外心.2.若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3.当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.4.盘算外心的坐标应先盘算下列暂时变量：d1,d2,d3分离是三角形三个极点连向别的两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).5.外心到三极点的距离相等三.三角形垂心定理三角形的三条高（地点直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1.三角形三个极点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2.三角形外心O.重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3.垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4.垂心分每条高线的两部分乘积相等.定理证实已知：ΔABC中,AD.BE是两条高,AD.BE交于点O,衔接CO并延伸交AB于点F ,求证：CF⊥AB证实：衔接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A.B.D.E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB是以,垂心定理成立！四.三角形心坎定理三角形内切圆的圆心,叫做三角形的心坎.心坎的性质：1.三角形的三条内角等分线交于一点.该点即为三角形的心坎.2.直角三角形的心坎到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3.P为ΔABC地点平面上随意率性一点,点I是ΔABC心坎的充要前提是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4.O为三角形的心坎,A.B.C分离为三角形的三个极点,延伸AO 交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五.三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他双方的延伸线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心.旁心的性质：1.三角形一内角等分线和别的两极点处的外角等分线交于一点,该点即为三角形的旁心.2.每个三角形都有三个旁心.3.旁心到三边的距离相等.如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形随意率性两角的外角等分线和第三个角的内角等分线的交点.一个三角形有三个旁心,并且必定在三角形外.附：三角形的中间：只有正三角形才有中间,这时重心,心坎,外心,垂心,四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很主要,卖力控制莫记混．重心三条中线定订交,交点地位真奇巧, 交点定名为“重心”,重心性质要清楚明了,重心朋分中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵巧应用控制好．外心三角形有六元素,三个内角有三边．作三边的中垂线,三线订交共一点．此点界说为外心,用它可作外接圆．心坎外心莫记混,内切外接是症结．垂心三角形上作三高,三高必于垂心交．高线朋分三角形,消失直角三对整,直角三角形有十二,构成六对类似形, 四点共圆图中有,仔细剖析可找清.内心三角对应三极点,角角都有等分线, 三线订交定共点,叫做“心坎”有根源;点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“心坎”,如斯界说应当然．。

三角形中心的性质
三角形中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

1三角形的五心
(1)重心:三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1：2;
(2)垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

即内切圆的圆心，到三边距离相等。

(4)外心：是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。

是三角形的外接圆的圆心的简称，到三顶点距离相等。

(5)旁心：一条内角平分线与其它二外角平分线的交点(共有三个)，是三角形的旁切圆的圆心的简称。

2等边三角形的性质
(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

(2)等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。

(三线合一)
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边
三角形的中心。

(四心合一)
(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。

(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。

1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。

重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。

2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。

外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。

3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。

内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。

4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。

垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。

5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。

旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。

这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。

- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。

- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。

- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。

- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的五心
一、三角形的重心
1、重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

（重心坐标）
二、三角形的外心
三角形外心的性质
性质：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
三、三角形内心
四、三角形垂心
五、三角形旁心
1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．
证明如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面积, 即四边形GMAN和△GBC的面积相等．
2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离
的二倍．
证明如图，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC
外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥
BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，从而四边形DAHB为平
C C
行四边形。

又显然DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证BH=2ON，CH=2OK．证毕．。

三角形的“五心”性质归纳总结任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。

我们可以用14个字便能准确快捷地区分并记住五心，“中重、高垂、垂直平分外、分内、外分旁”，最后一字为三角形的某种心，前三种为边上的某种线，后两种为三角形内角或外角的平分线。

中重：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；此点到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

高垂：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

垂直平分外：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.分内：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.重心、垂心、外心、内心均只有唯一的一点，作图时只需作出二线，第三线一定过此点。

外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。

任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。

到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心。

在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解。

等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上。

等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一颗旁心合一，外接圆半径R 为内切圆半径r 的2倍，R=33a （a 为边长）（∠OAD=30°，∴R=2r,高为23a,则，R=33a ，r=63a ）直角三角形的外接圆半径为斜边的一半（2C ），内切圆半径为21（a+b-c ）,c 为斜边的长。

如图 S=21AC ·BC=21r （AC+BC+AB ） ∴r=AB BC AC BC AC ++⋅.=c b a ab ++ =22)(b a b a ab+++=21（a+b-c ） 例1. 已知等边三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，若⊙O 的半径为8cm 时，求△ABC 的内切圆面积。

三角形重心，垂心，外心，内心性质重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

旁心三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。

旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。

三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系――横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为((X1+X2+X3 ) /3 , (Y1+Y2+Y3 ) /3 )。

5、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理夕卜心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若0是厶ABC的外心，则/ B0C=2 / A （/A为锐角或直角）或/ BOC=360 -2Z A （/A 为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

推论：1. 若D、E、F分别是△ ABC三边的高的垂足，则 / 1 = / 2。

（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。

引言概述:三角形是几何学中最基本、最重要的图形之一，三角形的性质和特点被广泛研究和应用。

其中，三角形的五心是三角形内外最重要的五个点：重心、外心、垂心、内心和旁心。

五心之间的关系和性质对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。

本文将详细介绍三角形的五心及其性质。

正文内容：一、重心1. 三角形的重心是三边中线的交点，也是中位线和高线的交点。

2. 重心到顶点的距离是中点到顶点距离的2/3，是高线的距离的2/3。

3. 重心将三角形分割为六个三角形，其中三个三角形的面积相等。

二、外心1. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三角形的三条角平分线的交点。

2. 外心到顶点的距离等于外心到对边的距离，也等于外心到三角形内切圆的半径。

三、垂心1. 垂心是三边垂直平分线的交点，也是三角形内心和外心连线的中点。

2. 垂心到顶点的距离等于垂心到底边垂足的距离。

四、内心1. 三角形的内心是三边的内切圆的圆心，也是三边角平分线的交点。

2. 内心到三边的距离相等，等于三角形的内切圆的半径。

3. 内心到三角形各顶点的连线所围成的三个小三角形的面积相等。

五、旁心1. 旁心是三边的旁切圆的圆心，也是外角平分线的交点。

2. 旁心到其所在边的距离相等，等于旁切圆的半径。

3. 旁心和顶点之间的连线与三角形所在边垂直。

总结：三角形的五心（重心、外心、垂心、内心和旁心）是三角形内外部最重要的五个点，它们分别有着独特的性质和作用。

通过研究五心之间的关系和性质，可以更深入地理解三角形的结构和性质。

五心的位置和特点对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。

理解和应用五心的性质可以帮助我们更好地理解和应用三角形的定理与性质，从而更好地解决相关问题。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。