三角形五心及其性质延伸

三角形五心性质三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心．重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、若O是ABC∠2（A∠为=BOC∠∆的外心，则A锐角或直角）或A3600（A∠为钝=∠2BOC∠-角）.4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且2:1OG.（此直线称为三角形的欧拉:=GH线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.=OA⋅⋅=⋅OBOAOBOCOC旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三、三角形五心性质证明垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心做BG中点H，GC中点I∴HI为△GBC的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE是△ABC中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE是平行四边形∴HG=GE又H为BG的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质a外心定理的证明：例如图，设ab、bc的中垂线处设点o，则存有oa=ob=oc，故o也在a的中垂线上，因为o到三顶点的距离相等，故点o是δabc外接圆的圆心．因而称为外心．o设sabc的外接圆为g(r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，bcp=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外.2：∠bgc=2∠a，（或∠bgc=2(180°-∠a).3：点g就是平面abc上一点，那么点g就是sabc外心的充要条件就是：点g是?abc的外心?ga?gb?gc(或ga2=gb2=gc2)(点g到三顶点距离相等)(ga+gb)ab=(gb+gc)bc=(gc+ga)ca=0(g为三边垂直平分线的交点)4：点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是sabc外心的充要条件是：pg=((tanb+tanc)pa+(tan c+tana)pb+(tana+tanb)pc)/2(tana+tanb+tanc).或pg=(cosa/2sinbsinc)pa+(cosb/2sincsina)pb+(cosc/2sinasinb)pc.5：r=abc/4ssabc.正弦定理：2r=a/sina=b/sinb=c/sinc。

6.外心坐标：取值a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)谋外接圆心座标o（x，y）①.首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：(x1?x)2?(y1?y)2?(x2?x)2?(y2?y)2(x3?x)2?(y3?y)2?(x2?x)2?(y2?y)2②.化简得到：222(x2?x1)x?2(y2?y1)y?x2?y2?x12?y1222222(x2?x3)x?2(y2?y3)y?x2?y2?x3?y3令a122?2(x2?x1)；b1?2(y2?y1);c1?x2?y2?x12?y122222a2?2(x2?x3)；b2?2(y2?y3);c2?x2?y2?x3?y3即③.最后根据克拉默法则：x?a1x?b1y?c1;a2x?b2y?c2;c1b2?c2b1ac?a2c1,y?12a1b2?a2b1a1b2?a2b1因此，x，y为最终结果；7.若o是△abc的外心，则s△boc：s△a oc：s△aob=sin∠boc：sin∠aoc：sin∠aob=sin∠2a：sin∠2b：sin∠2c故sin∠2aoa+sin∠2bob+sin∠2coc=0证明：设o点在?abc内部，由向量基本定理，存有moa?nob?roc?0m,n,r?r?，则s?boc:s?coa:saob?m:n:r设：moa?od,nob?oe,roc?of，则点o为△def的重心，又s?boc?111s?eof，s?aoc?s?dof，s?aob?s?doe，∴nrmrmn??s?boc:s?coa:saob?m:n:r若o就是△abc的外心，则s△boc：s△aoc：s△aob=sin∠boc：sin∠aoc：sin∠aob=sin∠2a：sin∠2b：sin∠2c故sin∠2aoa+sin∠2bob+sin∠2coc=0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠a、∠c的平分线相交于i、过i作id⊥bc，ie⊥ac，if⊥ab则有ie=if=id．因此i也在∠c的平分线上，即三角形三a内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成．m设△abc的内切圆为o(半径r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

三角形的五心及性质重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。

重心坐标为三顶点坐标平均值。

外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

外心到三顶点距离相等。

过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

三角形有且只有一个外接圆。

内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形有且只有一个内切圆。

垂心三角形三边上的三条高线的交点，称为三角形垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。

三角形只有一个垂心。

旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；2）三角形的外心到三顶点的距离相等；3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。

三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。

三角形之重心、垂心、内心、外心、旁心拓展：欧拉点、欧拉线、九点圆三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

注：（1）三角形的中线、高线及角平分线都有3条，且分别都交于一点。

（2）三角形各边的垂直平分线交于一点。

◆重心：三角形三条中线的交点相关性质与结论：（1）三角形的重心都在其内部；（2）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1；（3）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；（4）三角形内，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.◆垂心：三角形三条高线的交点相关性质与结论：（1）锐角三角形的垂心在其内部，直角三角形的垂心在两条直角边的交点上，钝角三角形的垂心在其外部；（2）垂心到三角形一顶点的距离是这个三角形的外心到此顶点对边距离的2倍.◆内心：三角形三条角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心。

相关性质与结论：（1）三角形的内心都在其内部；（2）内心到三角形三条边的距离相等. 外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心相关性质与结论：（1）锐角三角形的外心在其内部，直角三角形的外心是斜边上的中点，钝角三角形的外心在其外部；（2）外心到三角形的3个顶点的距离相等；（3）垂心到三角形一顶点的距离是这个三角形的外心到此顶点对边距离的2倍.三角形四心的位置锐角△直角△钝角△重心均在其内部（中线之交点）垂心内部两直角边的交点外部（高之交点）内心均在其内部（角平分线之交点）外心内部斜边上的中点外部（垂直平分线之交点）◆旁心：三角形的一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，是三角形旁切圆的的圆心。

旁切圆：与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆相关性质与结论：（1）旁心一定在三角形外；（2）三角形有三个旁切圆，三个旁心；（3）旁心到三角形三边的距离相等；（4）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半.◆拓展：欧拉点、欧拉线、九点圆欧拉点：三角形顶点与垂心连线所得线段的中点（如下图，D、E、F为欧拉点）九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三条线段的中点）九点共圆，通常称这个圆为九点圆，也称欧拉圆或费尔巴哈圆。

三角形五心及其性质延伸1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。

角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。

延伸：①内角平分线定理如图，AD 为△ABC证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, 得证。

②外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC延长线于D证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,ABDCEcbcABCDEF又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC,得证。

③三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于交其于F 。

由前文的内角平分线定理可知，△ADC∽ △EDB,而△ABE 为等腰三角形,④内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有cb cAFBDCEBC证明过程如下：连接OA,OB,OC.S△AOBS△AOC =S△BOC =又∵S=S△AOB + S△AOC+ S△BOC ,即2.重心:三角形三条中线交点中线性质:将三角形面积等分成两部分.重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短)如图:AD,BE,CF为△ABC三条中线，G为其重心，则有证明过程如下：作BH//FC交AD延长线于H,易证△GDC ≌△HDB又∵BH//FG，F为AB中点，∴G也为AH.延伸:三角形中线长公式AGFECB DHAFBDC如图,AD 为△ABC 的中线,则有证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ，∵BE//AC交其 延长线于F 。

又AB=c ，∴故3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。

垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。

外心性质：到三角形三个顶点距离相等。

内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程于下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R.AD同弧AB 所对的圆周角相等),∴即延伸①:正弦定理由于变形得到正弦定理每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理证明过程如下：作交其于D4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。

三角形的五心定理三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。

其中，五心定理是一条十分重要的定理，它揭示了三角形内包含的五个特殊点，这些点被称为三角形的五心。

本文将从五心定理的定义和推导开始，详细介绍五心的概念、性质以及应用。

一、五心定理的定义和推导五心定理是指在任意三角形ABC中，存在五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为外心、内心、垂心、重心和费马点。

这些特殊点具有一些特殊性质，对于研究三角形的性质和问题具有重要作用。

首先，我们来推导五心定理。

假设三角形ABC的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，垂心为H，重心为G，费马点为N。

根据几何学的基本定理和性质，可以得到以下关系：1. 外心定理：三角形的三条边的中垂线交于一点，该点即为三角形的外心O。

2. 内心定理：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心I。

3. 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心H。

4. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心G。

5. 费马点定理：三角形内所有角的顶点到三个顶点的距离之和最短，该点即为三角形的费马点N。

综上所述，我们可以得出三角形ABC内含有五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为三角形的外心、内心、垂心、重心和费马点。

接下来，我们将详细介绍这五个特殊点的性质和应用。

二、五心的性质和应用1. 外心O：外心O是三角形的外接圆圆心，该圆将三角形的三个顶点都包含在内。

外接圆的半径等于三角形的外心到任意顶点的距离，外心到三个顶点的连线都互相垂直。

2. 内心I：内心I是三角形的内切圆圆心，该圆与三条边都相切。

内切圆的半径等于三角形的内心到任意边的距离，内心到三条边的连线都互相垂直。

3. 垂心H：垂心H是三角形的三条高交于的点，该点到三个顶点的连线都互相垂直。

垂心是一个重要的概念，在三角形的高问题以及垂心距离等方面有广泛的应用。

4. 重心G：重心G是三角形的三条中线交于的点，该点将三角形分成六个三角形的面积之比为2:1。

三角形的五心重心定义：三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

性质：（1）设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。

（2）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（3）重心坐标为三顶点坐标平均值。

（4）以三角形的重心将三角形支起，三角形会保持平衡。

外心定义：三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

性质：（1）外心到三顶点距离相等。

（2）过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

（3）三角形有且只有一个外接圆。

内心定义：三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

性质：（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）内切圆的圆心即是三角形内心。

（3）内心到三角形三边距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形。

（4）三角形有且只有一个内切圆。

垂心定义：三角形三边上的三条高线所在直线的交点，称为三角形垂心。

性质：（1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。

（2）三角形只有一个垂心。

旁心定义：（1）与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

（2）三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

性质：（1）旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

（2）三角形有三个旁切圆，三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质：三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.详细性质垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外．钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题类例题例1 证明重心定理。

三角形五心定理
三角形五心定理是关于三角形的重要性质，分别对应重心定理、外心定理、内心定理、旁心定理和重内心定理等。

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到三边的距离相等；外心定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等；
内心定理：三角形的三条内角平分线交于一点，这点到三边的距离相等；
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。

旁心又叫作外心，可利用重内心定理证明；
重内心定理：三角形的重心是三边上的力的三等分交点，内心是三个顶点对它的张力的中心。