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函数及其性质4

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函数及其性质（4）函数图象的变换、抽象函数一．平移变换：1.函数图象的左右平移：将函数)(x f y =的图像向左平移a （0>a ）个单位，得到函数)(a x f y +=的图像。

将函数)(x f y =的图像向右平移a （0>a ）个单位，得到函数)(a x f y -=的图像。

（简称：左加右减）例1：将函数x x y 22-=图像向右平移3个单位，得到图像的函数表达式为 。

解：将解析式中所有的x ，换成3-x ，即=y )3(2)3(2---x x ，化简得=y 1582+-x x 。

例2．要得到函数23+-=x y 图像，只需将函数x y 3-=的图象向 （左、右）平移 个单位。

解：假设左移a 个单位，将函数x y 3-=解析式中x 换成a x +，即23)(3+-=+-x a x ，解得32-=a ，所以应该向右平移32。

课堂练习一：1．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin (2x +π3)的图象( ) (A)向左平移π3 个单位 (B)向右平移π3 个单位 (C)向左平移π6 个单位 (D)向右平移π6个单位2.画出函数31-=x y 的简图，并求其单调区间。

2.函数图象的上下平移变换：将函数)(x f y =的图像向上平移a （0>a ）个单位，得到函数a x f y +=)(的图像。

将函数)(x f y =的图像向下平移a （0>a ）个单位，得到函数a x f y -=)(的图像。

（简称：上加下减）例3：将函数x x y 22-=图像向上平移3个单位，得到图像的函数表达式为 。

解：在解析式后面加3，即322+-=x x y 。

3. 将函数x y 2=图像向右平移1个单位，然后向下平移2个单位，得到图像的函数表达式为 。

4．如果直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A. －13B.－3C. 13 D.35. 画出函数1-=x x y 的简图，并求其单调区间。

6.如何由函数y =课堂练习一答案：6. 先右移2个单位，再下移41个单位。

二．对称变换：1.函数)(y x f =的图象与函数)(x f y -=图象关于x 轴对称。

2.函数)(y x f =的图象与函数)(-x f y =图象关于y 轴对称。

3.函数x a y =的图象与函数x y alog=的图像关于直线x y =对称。

例4：与函数x x y 22-=图像关于x 轴对称的函数表达式为 。

解：先将解析式x x 22-，括起来得)2(2x x -，再前面加负号得)2(2x x --，即x x y 22+-= 例5：与函数x x y 22-=图像关于y 轴对称的函数表达式为 。

解：将解析式中所有的x ，换成x -，即)(2)(2x x y ---=，化简得x x y 22+=。

课堂练习二：1.函数x y sin =关于y 轴对称的函数解析式为（ ） A.x y cos = B. x y sin -= C. x y sin = D. x y cos -= 2.函数x y cos =关于y 轴对称的函数解析式为（ ） A.x y cos -= B. x y sin -= C. )2sin(π+=x y D. )2cos(π+=x y3. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）4. 画出函数1+=x x y 的图像，求∈x ),1[+∞时，该函数的值域。

5. 已知)(x f y =的图像如下图，则)1(x f y -=的图像为（ ）3.532.51.横坐标伸缩：y ＝f (ωx )(ω＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸长(0＜ω＜1) 或缩短( ω＞1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)得到。

2.纵坐标伸缩:y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)得到。

例 6. 将函数x x y 22-=图像上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，得到新函数的表达式为 。

解：由纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，可知31=ω，所以31=ω，将解析式中所有的x ，换成x ω即，换成x 31，得)3(2)3(2x x y -=，化简得32912xx y -=。

例7. 将函数x x y 22-=图像上每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到新函数的表达式为 。

解：由横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，先将解析式x x 22-，括起来得)2(2x x -，再前面乘以2，得)2(22x x -，即x x y 422-=。

课堂练习三：1.如何由函数x y 21sin=的图像得到函数x y 3sin =的图像？2.已知将函数)(x f y =横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的21倍，可以得到函数x y 2=的图像，则=)1(f 。

3.画出函数122++=x x y 的简图，并观察出该函数的单调区间，和值域。

课堂练习三答案：1. 纵坐标不变，横坐标变为原来的61倍。

减区间：)21,(--∞和),21(+∞-，值域)21,(-∞),21(+∞ 。

四．1.抽象函数：抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式和性质的函数。

2.③讨论抽象函数的单调性；④解抽象函数不等式。

例：已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求)0(f ；（2）求证：()f x 是奇函数；若a f =)2(，用a 表示)6(-f ，)1(-f ；（3）若当0>x 时，恒0)(>x f 有，求证)(x f 为增函数。

解：因为对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，令0,0==y x 得)0()0()0(f f f +=，所以0)0(=f ，同理令x y -=，得0)()()0(=-+=x f x f f ，所以)()(x f x f -=-，所以该函数为奇函数， )6()6(f f -=-，a f f f f f f 3)2()2()2()2()4()6(=++=+=，所以a f 3)6(-=-，同理2)1(a f -=-。

任取R x x ∈21,，且21x x <，])[()()()(112121x x x f x f x f x f +--=-=)()(11x f x f -)(12x x f --)(12x x f --=，因为21x x <，所以012>-x x ，又因为当0>x 时，恒0)(>x f 有，所以0)(12>-x x f ，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，所以)(x f 为增函数。

课堂练习四：1. 设函数y f x =()定义在R 上，当0>x 时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。

（1）求)0(f ；（2）证明：当0<x 时，1)(0<<x f ； （3）证明：f x ()在R 上是增函数；2.设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期。

3. 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。

4. 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=， （1）求)0(f ，)1(f ； （2）f x ()在R 上是增函数；（3）求不等式f a a ()2223--<的解集。

课堂练习四答案：1.令0,0>=n m ，可得1)0(=f ，当0<x 时，1)()()]([)0(=-=-+=x f x f x x f f ，所以)(1)(x f x f -=，因为0<x ，所以0>-x ，所以1)(>-x f ，所以1)(0<<x f （3）略。

2. f x f x f x ()()()=+-+12所以)3()2()1(+-+=+x f x f x f 代入化简，可得)()3(x f x f -=+，所以周期为6。

3. 1)0(=f ，令,0=x 可得)()(y f y f =-。

所以为偶函数。

4. 令0,0==y x ，可得2)0(=f ，令 1,1==y x ，可得)2(2)1(2f f +=，2,1==y x ，可得7)3(2)2()1(=+=+f f f 联立解得3)1(=f ，（2）略（3）略。

课后作业3答案：1.C 2.C 3.B 4.B 5.(],3-∞- 6.A 7.B 8.A 9. 32--x 10.-26 11.2112.A 13. 51-14. π 15. D 16.（1）由图象关于直线2=x 对称，所以())2(2x f x f -=+又()x f y =是定义在R 上的偶函数，所以)2()]2([)2(-=--=-x f x f x f ，可得())2(2-=+x f x f 所以()x f y =是以4为周期的周期函数。

（2）()6,2∈x 时，()2,24-∈-x ，由周期性可得)4()(-=x f x f ，1)4()4(2+--=-x x f ，所以=-=)4()(x f x f 1)4()4(2+--=-x x f 。

（3）()2,6--∈x ，()6,2∈-x ，1)4(1)4()(22++-=+---=-x x x f 由()x f y =是定义在R 上的偶函数，当()2,6--∈x ，)()(x f x f -=1)4()(2++-=-x x f 。

课后作业41. 要得到函数cos(2)4y x π=-的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象（ ）A ，向左平移8π个单位 B ，向右平移8π个单位 C ，向左平移4π个单位 D ，向右平移4π个单位2.函数y ＝－1x ＋1的图象是( )3.为了得到函数101lg-=x y 的图像，应将函数x y lg =（ ）A.先左移1个单位，再下移1个单位B. 先右移1个单位，再下移1个单位C.先左移1个单位，再上移1个单位D. 先右移1个单位，再上移1个单位4.在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x e y =的图象关于直线y x =对称。

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23_函数极限性质4解读

23_函数极限性质4解读


(1)重要极限 lim
sin x 1 x 0 x 由右图可知： S AOB S扇形AOB S AOD ,
B
D
x AB
sin x CB
1 1 1 sin x x tan x , 2 2 2 sin x x tan x,
O
x
tan x AD C A
不等号各边都除以sin x得, x 1 sin x 1 , 或 cos x 1. sin x cos x x
| f ( x ) | M , (x O( x0 ) \ { x0 }).
性质3(局部保号性) 假设 lim f ( x ) A，lim g( x ) B
x x0 x x0
(1)如 A B( B )，则对 x0 的某一去心邻域中的所有 x， 有
f ( x ) g( x )( g( x ))。
由此看来极限 A与 f ( x0 )毫无关系，A 的存在与否 及大小与f ( x0 )的大小甚至f ( x0 )有无定义都无关系.
我们称函数f ( x )在某点 x0的邻域内（或除去x0）的性质 为函数的局部性质.
1.函数极限的性质 性质1 (函数极限的唯一性)假设在同一极限过程中有
x x0
lim f ( x ) A, 和 lim f ( x ) B, 则 A B。
x x0
运算法则有
P ( x ) P ( x0 ) lim . x x0 Q ( x ) Q ( x0 )
但若Q( x0 ) 0，则关于商的极限的运算法则不能应用。
定理 2：（复合函数的极限运算法则）若 lim g( x ) A,
x x0
且g ( x ) A(这里A可以是无穷大 ), lim f ( u) B , 则
第4讲函数的性质

第4讲函数的性质


基础知识
函数奇偶性的概念
函数 f ( x ) ，如果对于定义域内任意一个 x 都有
f ( x ) f ( x ) ，那么 f ( x ) 就叫做奇函数，如果对于
定义域内任意一个 x 都有，f ( x ) f ( x ) ， 那么 f ( x ) 就 叫做偶函数.若函数 y f ( x ) 是奇函数且 0 是定义域内 的值，则 f (0) 0 .
进行结论判断.
此路不通！
思路分析
例３ 已知 y f ( x ) 是奇函数，它在 (0, ) 上 1 单调增， 且 f ( x) 0， 试问 F ( x ) 在( , 0) 上 f ( x) 是单调增函数还是减函数？证明你的结论.
思路 2：根据函数的单调性定义，可以任取 x1 x2 0 ，进 1 1 f ( x2 ) f ( x1 ) 而 需 要 判 定 F ( x1 ) F ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负，为此，应分别判定 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( x2 ) f ( x1 ) 的正 负，而这一点可以从奇函数中推出.
回顾反思
（1）基本方法 ①求出函数的定义域并判断是否关于原点对称．
②利用定义进行判断．
（2）思维误区
没有考虑函数定义域， 在没有化简 f ( x )的情况 下，直接求 f ( x ) ，并判断 f ( x ) 和 f ( x ) 的 关系．
经典例题3
例３ 已知 y f ( x ) 是奇函数，它在 (0, ) 上 1 单调增， 且 f ( x) 0， 试问 F ( x ) 在( , 0) 上 f ( x) 是单调增函数还是减函数？证明你的结论．
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。

指数函数及其性质4

指数函数及其性质4

2.1.2 指数函数及其性质（第一课时） 一．学习目标：1，理解指数函数的概念。

2.能画出具体指数函数的图像， 3.初步掌握指数函数的有关性质。

二．自学探究:看教科书第54-56页探究以下问题： 1． 请写出指数函数的定义并记住：2． 指出下列函数哪些是指数函数？1）y=4x2)y=x 43)y=-4x4)y=(-4)x5)y=x π 6)y=2·4x 7)y=x 2 8)y=2x 9)y=(2a-1)x(a>12,且a ≠1)3． 请画出y=2x的图象。

4． 请画出y=(12)x的图象。

5. 根据图像给出相应性质 ( 5分钟)解析式： 2xy = 代表 （a >1）情况 1()2xy = 代表 （a <1）情况图像：定义域： 值域： 特殊点： 单调性：三．合作探究1．函数2(33)x y a a a =-+∙是指数函数，求a 的值，并写出这个指数函数2．若函数x a y )34(-=为指数函数，求实数a 的取值范围3．指数函数()y f x =的图象经过(,)e π，则(0)____f =；()____f π-=4．函数y=(a-1)x在R 上为增函数，则a 的取值集合为___________四．巩固练习： 1．（第58页1题）2．指数函数()y f x =的图象经过点（1，2），则(0)____f =； 五．小结反思：六．课后作业：1.在同一坐标系中画出y=2x,y=3x,y=10x的图象.2. 在同一坐标系中画出y=(12)x ,y=(13)x ,y=(110)x 的图象2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)一.学习目标：,1，会用指数函数的单调性，处理有关指数式的比较大小问题； 2，会用指数函数模型，处理一些实际应用问题。

二．自学探究:1.比较下列各题中两个值的大小 1) 8.1)43(-与6.2)43(-2) 3.0)31(与2.03-3) 32)85(-与12,已知：(01)m n a a a a >>≠且，如果m>n ,则a 的取值范围是________；如果m<n ,则a 的取值范围是_______________. 3.（教材第58页3题）三．合作探究1. 在同一坐标系中y=2x,y=3x,y=10x的图象在第一象限的变化规律。