导数之一：导数求导与切线方程知识讲解

函数的导数与曲线的切线与法线函数的导数是微积分中的核心概念之一，它与曲线的切线和法线密切相关。

本文将介绍导数的定义、计算方法以及如何利用导数求曲线的切线和法线。

一、导数的定义与计算方法导数表示函数在某一点上的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的斜率。

定义如下：设函数f(x)在点x处有定义，则f(x)在该点处的导数为：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h ，其中 h -> 0导数的计算方法有很多种，常见的包括利用基本导数公式、几何意义和导数的性质等。

以下将介绍几种常见的计算方法：1. 基本导数公式：常数的导数为零，幂函数的导数为幂次减一乘以系数，指数函数的导数为自身乘以自然对数的底数等。

2. 和、差、积、商法则：利用导数的性质，将函数分解后进行求导。

3. 高阶导数：指函数的导数再求导，可以重复多次。

4. 链式法则：用于求复合函数的导数，将复合函数分解为一层一层的函数，再利用导数的性质进行计算。

二、曲线的切线与法线曲线的切线是指曲线上某一点处与曲线最为接近的直线，而法线则是与切线垂直的直线。

在图像上，切线与曲线之间只有一个交点，而法线与曲线只有一个公共点。

曲线的切线方程可以通过导数求得。

对于函数f(x)，若点(x0, f(x0))处的导数存在，则切线的斜率为f'(x0)，通过点斜式或斜截式可以求得切线的方程。

曲线的法线方程可以通过切线方程和导数求得。

由于法线与切线垂直，故切线的斜率与法线的斜率的乘积为-1。

因此，法线的斜率为-1/f'(x0)，通过点斜式或斜截式可以求得法线的方程。

三、利用导数求曲线的切线与法线利用导数求曲线的切线与法线的过程一般如下：1. 给定函数f(x)和点(x0, f(x0))。

2. 求导数f'(x)。

3. 计算f'(x0)的值，得到切线的斜率。

4. 利用切线的斜率和给定点(x0, f(x0))，使用点斜式或斜截式得到切线方程。

模块一：切线方程知识点一：导数的几何意义。

导数的几何意义：导数值等于原函数在该点处的切线斜率。

知识点二：直线的点斜式方程。

直线的点斜式方程：直线过点),(00y x ，直线的斜率为k ⇒直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-。

题型一：已知切点的横坐标，求解切线方程。

模型：已知：函数)(x f 的解析式。

求解：函数)(x f 在0x x =处的切线方程。

解法设计：第一步：求切点的纵坐标。

把0x x =代入函数)(x f 得到切点的纵坐标⇒)(0x f 切点))(,(00x f x 。

第二步：求导函数。

根据函数)(x f 的解析式计算导函数)('x f 。

第三步：求切线斜率。

根据导数的几何意义得到：把0x x =代入导函数)('x f 得到切线斜率)('0x f 。

第四步：求切线方程。

根据直线的点斜式方程得到：切点))(,(00x f x ，切线斜率为)('0x f ⇒切线方程：))((')(000x x x f x f y -=-。

例题：2020年高考理科数学新课标Ⅰ卷第6题：函数342)(x x x f -=的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A、12--=x y B、12+-=x y C、32-=x y D、12+=x y 本题解析：第一步：求切点的纵坐标。

把1=x 代入函数342)(x x x f -=得到1121)1(34-=⨯-=f ⇒切点)1,1(-。

第二步：求导函数。

342)(x x x f -=2364)('x x x f -=⇒。

第三步：求切线斜率。

根据导数的几何意义得到切线斜率：21614)1('23-=⨯-⨯=f 。

第四步：求切线方程。

根据直线的点斜式方程得到：切点)1,1(-，切线斜率为2-⇒切线方程：12221)1(2)1(+-=⇒+-=+⇒--=--x y x y x y 。

跟踪训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷理科第19题文科第19题：曲线xe x x y )(32+=在)0,0(处的切线方程为。

本章节知识提要考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x1，y ＝x 的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义导数〔1〕：求导与切线【知识点梳理】1. 求导公式与求导法则：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= xx 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则3 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=-曲线f (x )在A 〔m,n 〕处的切线方程求法：①求函数f (x )的导数f ′(x ).②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m)【精选例题】例1．求以下函数的导函数1. x x f =)(2.2)(e x f =3.y=2x+34.x x f =)( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x =7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+=例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。

高一数学导数与曲线的切线与法线导数是微积分中的一个重要概念，它反映了函数在某一点的变化率。

在数学中，导数的应用领域非常广泛，其中之一就是用导数来求曲线的切线与法线。

本文将介绍高一数学导数与曲线的切线与法线的概念及计算方法。

一、导数的概念导数是函数在某一点的变化率，用极限表示。

若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。

导数可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率。

二、切线的概念在曲线上取一点P，过点P且与曲线仅有一个公共点的直线，称为切线。

切线的斜率等于曲线在该点的导数。

三、法线的概念在曲线上取一点P，过点P且与切线垂直的直线，称为法线。

法线的斜率等于切线的斜率的相反数。

四、求曲线的切线与法线的步骤1. 确定曲线上一点的坐标，记为（a，f(a)）。

2. 求出函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)。

3. 利用导数f'(a)求出切线的斜率k。

4. 根据切线的斜率k和已知点（a，f(a)）求出切线的方程。

5. 切线的方程即为所求。

五、示例假设有函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，我们来求曲线y = f(x)在点x = 2处的切线和法线。

解：1. 确定曲线上一点的坐标，此处是x = 2，代入函数f(x)得到y = f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15。

2. 求导数f'(x) = 4x + 3，将x = 2代入得到f'(2) = 4(2) + 3 = 11。

3. 切线的斜率k = f'(2) = 11。

4. 根据切线的斜率k和已知点（2，15）求出切线的方程。

切线方程为y - 15 = 11(x - 2)。

5. 同理，法线的斜率为切线斜率的相反数，即-1/11。

过点（2，15）的法线方程为y - 15 = (-1/11)(x - 2)。

六、结论通过求导数，我们可以求出曲线上任意一点处的切线与法线。

利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。

，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。

导数与曲线的切线在数学中，导数是研究曲线变化率的重要概念。

它不仅可以用来衡量曲线在某一点的斜率，还可以帮助我们找到曲线上任意一点的切线方程。

本文将介绍导数的定义与性质，并探讨其与曲线切线的关系。

一、导数的定义导数是用来描述函数变化率的数值。

对于任意一个函数f(x)，我们可以定义其导数为f'(x)，也常用dy/dx或df(x)/dx表示。

导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数在该点的切线斜率。

导数的定义可以使用极限的概念来表达：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h是一个无限接近于0的数。

这个定义意味着导数是通过求出函数在某一点邻近的两个值的斜率的极限来计算的。

二、导数的性质导数具有许多有用的性质。

下面列举了其中一些重要的性质：1. 常数函数的导数为0：对于任意的常数c，其导数f'(x) = 0。

这是因为常数函数在任意一点的变化率都是0。

2. 变量的幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，则它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

这个性质可以用来求解多项式函数的导数。

3. 常见函数的导数：常用的函数如指数函数、对数函数和三角函数都有特定的导数公式。

例如，指数函数e^x的导数为e^x，对数函数ln(x)的导数为1/x，正弦函数sin(x)的导数为cos(x)等。

掌握这些导数公式可以帮助我们更轻松地计算复杂函数的导数。

三、导数与切线的关系导数与曲线的切线之间有着密切的联系。

事实上，函数在某一点的导数就是该点切线的斜率。

通过求解导数，我们可以得到曲线上任意一点的切线方程。

切线方程的一般形式为y = mx + c，其中m为切线的斜率，c为切线与坐标轴的交点。

给定一点(x0, y0)处的函数f(x)的导数f'(x0)，我们就可以得到切线的斜率m。

此时，切线方程可以写为y = f'(x0)(x - x0) + y0。

高中数学知识点总结导数求切线导数与切线是高中数学中的重要概念，它们在解析几何和微积分中扮演着核心角色。

本篇文章将对高中数学中关于导数求切线的相关知识点进行详细总结。

一、导数的基本概念导数是描述函数在某一点处的瞬时变化率的概念。

对于函数f(x)，其在点x处的导数，记为f'(x)或df/dx，表示当x的增量趋近于0时，函数f(x)增量与x增量之比的极限。

如果这个极限存在，我们就说函数f(x)在点x处可导，并称这个极限为f(x)在点x处的导数。

二、导数的几何意义导数的几何意义是表示函数图像在某一点处的切线斜率。

具体来说，如果函数y=f(x)在点P(x0, f(x0))处可导，那么该点处的导数f'(x0)即为通过点P的切线的斜率。

这意味着，当我们在坐标平面上画出函数y=f(x)的图像时，导数可以帮助我们找到与图像在特定点接触的直线，这条直线就是切线。

三、求导法则在高中数学中，学生需要掌握基本的求导法则，包括：1. 常数法则：对于任何常数c，(c)' = 0。

2. 幂法则：如果n是实数，那么(x^n)' = nx^(n-1)。

3. 和差法则：(u±v)'= u' ± v'。

4. 乘积法则：(uv)' = u'v + uv'。

5. 商法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2，其中v≠0。

6. 链式法则：如果y=f(u)且u=g(x)，那么y关于x的导数(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)。

四、导数的计算在高中数学中，学生需要学会计算常见函数的导数。

例如：1. 对于线性函数y=mx+b，其导数为y'=m。

2. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，其导数为y'=2ax。

3. 对于指数函数y=a^x，其导数为y'=a^x * ln(a)。

高中数学知识点总结导数与曲线的切线与法线高中数学知识点总结：导数与曲线的切线与法线导数是高中数学中的重要概念之一，它与曲线的切线与法线有着密切的关系。

本文将对导数的基本概念进行总结，以及导数与曲线的切线与法线的求解方法进行介绍。

一、导数的基本概念导数是函数微分学的基础，它描述了函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，记为f'(x)或dy/dx，则导数的定义为：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]其中，Δx表示自变量x的增量，Δy表示函数值f(x)的增量。

导数可以理解为函数曲线在某一点处的瞬时斜率。

二、导数的性质与求导法则在求解导数时，可以利用一些常用的求导法则，如常数法则、幂函数求导法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则、三角函数求导法则等。

这些法则可以简化导数的计算过程。

此外，导数还具有一些重要的性质，如导数与函数的增减性、导数与函数的极值、导数与函数的凹凸性等。

通过对导数的性质的研究，可以更深入地理解函数的特性。

三、曲线的切线与法线曲线的切线与法线是函数图像中与曲线相切的直线。

切线与曲线在切点处有相同的斜率，而法线与曲线在切点处的斜率互为相反数。

对于函数y=f(x)，如果在点P(x0, f(x0))处存在切线或法线，那么切线的斜率为f'(x0)，法线的斜率为-1/f'(x0)。

我们可以利用导数的概念来求解曲线的切线与法线。

四、求解曲线的切线与法线的步骤求解曲线的切线与法线的一般步骤如下：1. 求出函数f(x)在点P处的导数f'(x0)；2. 计算切点P(x0, f(x0))处的切线斜率k，若求解法线则计算法线斜率k'（k'=-1/k）；3. 根据切点和斜率，得出切线或法线的解析式。