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美丽的勾股树ppt课件

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美丽的勾股树课件

美丽的勾股树课件
图形特征
勾股树的图形呈现树状结构，由 根节点不断分支出子节点，每个 节点之间通过线段连接，代表了 勾股定理中的三个边。
勾股树的历史与背景
起源和演变
勾股树起源于对勾股定理的研究，随 着数学的发展，人们通过递归的方式 将勾股定理不断展开，形成了勾股树 的概念。
重要人物
在勾股树的研究中，数学家们如毕达 哥拉斯、欧几里得等都做出了重要贡 献，他们的研究为勾股树的发展奠定 了基础。
勾股树与勾股定理的关系
01
定理的体现
勾股树直观地体现了勾股定理。在勾股树中，每个直角三角形的直角边
长度都符合$a^2 + b^2 = c^2$的关系，其中c为斜边长度定理的证明
通过勾股树的构造过程，可以形象地证明勾股定理的正确性。因为每个
直角三角形都满足$a^2 + b^2 = c^2$，所以整个勾股树也满足这一
实战操作：为了加深学生的理解，教师可以让学生亲自动手操作，通过 构造勾股树解决一些实际问题。同时，教师还可以引导学生探索勾股树
在其他领域的应用，如计算机科学、物理学等。
通过以上教学方法，学生不仅能够深入理解勾股树的概念与特性，还能 够掌握如何利用勾股树解决实际问题的方法，提高数学素养与实际应用 能力。
美丽的勾股树课件
目录
• 勾股树概述 • 勾股树的构造与特性 • 勾股树的应用举例 • 勾股树的拓展与深入研究 • 勾股树的教学与学习方法 • 总结与展望
01
CATALOGUE
勾股树概述
勾股树的定义
定义描述
勾股树是一种基于勾股定理的数 学图形，它通过递归的方式生成 ，每个节点都代表了一个勾股定 理的实例。
03
创新勾股树的表现形 式
随着计算机技术和艺术创意的不断发 展，未来可以探索更多新颖、独特的 勾股树表现形式，如动态交互式的勾 股树、基于虚拟现实技术的勾股树等 。

1.1.探索勾股定理1

1.1.探索勾股定理1

a
c b
a c
b
2．对这些内容你有什么体会？请与
你的同伴交流.
知识： 如果直角三角形两直角边长分别为a，b， 斜边长为 c ，那么 方法：
a b c .
2 2 2
1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； 2. “数、割、补、拼”法. 思想： 1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
五、布置作业
1．习题1.1； 2．观察下图，探究图中三角形的三 边长是否满足 a 2 b2 c 2 ?
第一章
勾股定理
1. 探索勾股定理（第1课时）
美丽的
“勾股树”
1
1
美丽的勾股树
一、情境引入
从电线杆离地面8m处， 向地面拉一条钢索， 如果这条钢索在地面 的固定点距离电线杆 底部6m，那么需要多 长的钢索？

二、探索发现勾股定理
探究活动一
直角三角形三边的平方分别是多少？ 满足怎样的关系？
探究活动二
勾 弦 股
毕达哥拉斯定理）
学以致用
从电线杆离地面8m处， 向地面拉一条钢索， 如果这条钢索在地面 的固定点距离电线杆 底部6m，那么需要多 长的钢索？
三、简单应用
例 如图所示，一棵大树在一次强
烈台风中于离地面10 m处折断倒下，树 顶落在离树根24 m处. 大树在折断之前 高多少米？
巩固练习： 求下列图形中未知正方形的面积或 未知边的长度（口答）：
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图
S A S B SC
结论 以直角三角形两直角边为边 长的小正方形的面积的和，等于以斜边 为边长的正方形的面积.
议一议
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？

1.1.1勾股树欣赏备份

1.1.1勾股树欣赏备份

（2）三个 ） 正方形A， 正方形 ， B，C的面 ， 的面 积之间有什 么关系？ 么关系？
A
C
B
图1-3
C A B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用 ） C 三角形的边长表 A 示正方形的面积 吗？ C B (2）你能发 ） A 现直角三角形三 图1-3 边长度之间存在 B 什么关系吗？ 什么关系吗？与 图1-4 同伴进行交流。 同伴进行交流。 厘米、 厘米为直角边作出 （3）分别以 厘米、12厘米为直角边作出 ）分别以5厘米 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ 。（2） 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ ） 中的规律对这个三角形仍然成立吗？ 中的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、 如果直角三角形两直角边分别为 、b, 斜边为c， 斜边为 ，那么 c 2 2 2 a
a +b = c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！ 哥拉斯定理耶！
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用三 ） 角形的边长表示 正方形的面积吗？ 正方形的面积吗？
（2）你能发现 ）
A
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？ 么关系吗？与同 伴进行交流。 伴进行交流。
B
图1-3
C A B
图1-4
C A B C 图1-1 A B 图1-2

八年级数学下册课件-18.1 勾股定理2-沪科版

八年级数学下册课件-18.1 勾股定理2-沪科版

c
a
Ab
(ca bb)2
a
2
a
c
c2
bb2
4 1 2
c2
b
ab
BaC
a
a
b
(b
a)2Leabharlann c 41ab
a c2
c
2
b2 2ab a2 2cab bc2
c
a2 b2 c2
b
a
1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
(4)正方形R的面积是 18 个单位面积．
B
R
P
C
A
Q
图1
你的这之是正三间怎方个存样形正在得R方什的到形么面以面关积A积系B的？为？边
S3= 9 补 割
S2= 16
S1= 25
F
DB
S1
I
S3 3 5c
E
C4 A
S2
H
G
S3+S2=S1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
32+42=52
二 讲授新知
三 小试牛刀
1、判断：
(1)若a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2。 ×
(2)若a、b是直角三角形的两条直角边，c为斜边，
则a2=c2 -b2 。
√
(3)若a、b、c是直角三角形的三边，则a2+b2=c2
×
2、填空：
在直角三角形ABC中， ∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b。

2024版美丽的勾股树课件

2024版美丽的勾股树课件
数学内涵
勾股树不仅具有外在的美感，还蕴含着丰 富的数学内涵。通过勾股树，可以深入理 解勾股定理、无理数、分数等数学概念。
13
美丽勾股树应用领域
数学教育
美丽勾股树可以作为数学教育的辅 助工具，帮助学生更直观地理解抽 象的数学概念，提高数学学习的兴 趣和效果。
艺术创作
艺术家们可以从美丽勾股树中汲取 灵感，创作出具有数学美感的艺术 作品，展现数学与艺术的交融之美。
的重要作用。
22
06
总结与回顾
2024/1/29
23
关键知识点总结
2024/1/29
勾股定理的定义与证明
01
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中的
重要定理之一。
勾股树的构造方法
02
通过不断在直角三角形上构造新的直角三角形，可以生成一棵
美丽的勾股树。
勾股树在数学中的应用
03
勾股树不仅具有美学价值，而且在数学中有广泛应用，如用于
25
下一步学习计划
2024/1/29
拓展勾股树的应用领域
进一步探索勾股树在数学中的应用，如研究其在三角函数、解析 几何等领域的作用。
学习相关数学知识
为了更好地理解和应用勾股树，我需要学习更多相关的数学知识， 如三角函数、数列与极限等。
提高解题能力
通过大量练习和参加数学竞赛等方式，提高自己的解题能力和数学 素养。
20
数学中简洁美体现
勾股定理的简洁性
勾股定理是数学中最著名的定理 之一，它用简单的语言和符号表 达了直角三角形三边之间的关系， 这种简洁性使得勾股定理易于理
解和应用。
数学符号的简洁性
数学符号的使用大大简化了数学 表达和计算的过程，如加减乘除、 等号、不等号等符号，它们以简 洁的形式传递着复杂的数学信息。

美丽奇妙的勾股树

美丽奇妙的勾股树
传播。
THANKS
感谢您的观看
图形渲染与可视化效果 为了实现勾股树的高质量可视化效果，需要研究高效的图 形渲染技术和可视化算法。
跨平台应用与兼容性 为了满足不同用户的需求，需要开发跨平台的应用程序， 并确保在各种设备和操作系统上的兼容性。
推广应用前景展望
教育领域
将勾股树作为数学、艺术、计算 机科学等多个学科的教学工具， 帮助学生更好地理解相关概念和
当达到预设的递归深度或满足特定条件时，递归过程终止。
无限分支结构特性分析
分支生长规律
01
勾股树的分支按照特定规律生长，形成无限分支结构。
分支长度与角度关系
02
不同分支的长度和角度之间存在一定的关系，可通过数学模型
进行描述。
无限性与有限性辩证统一
03
虽然勾股树具有无限分支结构，但在实际绘制和计算中需要考
计算机科学与可视化技术
利用计算机科学和可视化技术，模拟和呈现勾股树的生长过程，为 科学研究和教育提供直观、生动的工具。
生物学与生态学的启示
借鉴勾股树的分形结构和生长规律，研究生物学和生态学中的相关 问题，如生物形态、生态系统稳定性等。
技术实现难题及解决方案
数据处理与计算能力 勾股树的复杂结构需要强大的数据处理和计算能力支持， 可通过优化算法、提高计算效率等方式解决。
数学教育
勾股树作为数学美的体现， 可以用于数学教育中，帮 助学生更直观地理解勾股 定理。
艺术设计
艺术家可以利用勾股树的 形态美感进行创作，设计 出独特的艺术品或装饰品。
计算机图形学
在计算机图形学中，勾股 树可以作为一种基本的图 形元素，用于构建更复杂 的图形或场景。
03
美学价值：对称与

人教版数学八年级下册17.1勾股定理课件(36张PPT) (1)


图1
9
9 18
8
B 图1
C A
图2
A，B，C 面积关
系
44
SA+SB=SC
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
直角三 角形三 边关系
两直角边的平方和 等于斜边的平方
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
探究二：在一般 的直角三角形中， SA+SB=SC 还成立吗？
A
B C
A
B C
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形C的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SA+SB=SC
a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
二、探究新知
探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有 什么数量关系吗？
C A
B 图1
（图中每个小方格是1个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是
B
C
9 个单位面积。
图1-1
A
正方形C的面积是

勾股定理ppt---PowerPoint-演示文稿市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

13m 8m
12m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树旳顶端飞 到另一棵树旳顶端，小鸟至少要飞多少m?
A
E 13m
B
D
8m C 12m
一架长25m旳梯子斜靠在一 竖直旳墙上，这时梯
子旳底端距墙7m。当梯子旳顶端A沿墙壁下?
C
B
CB
4
D
A
A
D
一辆装满货品旳卡车，其外形高2.5m，宽 1.6m，要进厂门形状如图旳某工厂，问这辆 卡车能否经过该工厂旳厂门？
一辆装满货品旳卡车，其外形高2.5m，宽 1.6m，要进厂门形状如图旳某工厂，问这辆 卡车能否经过该工厂旳厂门？
E C
AA
.
O
BB
2.3m
F 2m H
勾股定理 旳应用
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
4m 3m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树旳顶端飞 到另一棵树旳顶端，小鸟至少要飞多少m?
阐明你旳理由？
A
C
D
B
一架长25m旳梯子斜靠在一 竖直旳墙上，这时梯
子旳底端距墙7m。当梯子旳顶端A沿墙壁下滑
4m至C处时，梯子旳底端B是否也向外滑动4m?
阐明你旳理由？
A
4m
C
D
B
4m
7m
一圆柱旳底面周长为20cm，高A B为4cm，B C 是上底面旳直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆 柱旳侧面爬行到C，试求出爬行旳最段旅程。

美丽的勾股树

勾股树的每个节点都代表一个直角三 角形，节点之间的连线表示两个三角 形之间的勾股关系。
勾股树构造方法
选择一个基础直角三角形，其直角边 为a和b，斜边为c，满足勾股定理a² + b² = c²。
对于新构造的三个直角三角形，分别 以它们的三边为边长，继续向外构造 更多的直角三角形，如此迭代下去， 形成树状结构。
在现实生活中，勾股定理被广泛应用于工程、建筑、物理、计算机图形学等领域。
掌握勾股定理不仅有助于提高数学素养，还有助于培养逻辑思维能力和解决问题的 能力。
02 勾股树基本概念
勾股树定义
勾股树是一种由勾股定理推导出的图 形结构，它以一个直角三角形为基础 ，通过不断迭代构造出的一系列相互 关联的直角三角形组成的树状图形。
06 总结与展望
研究成果总结
通过对勾股树生长规律的研究 ，揭示了其独特的数学性质和 美学价值。
发现了勾股树在图形艺术、建 筑设计等领域的应用潜力。
提出了基于勾股树的数学模型 和算法，为相关领域的研究和 应用提供了有力支持。
未来研究方向展望
01
02
03
04
深入研究勾股树的数学性质， 探索其在数学领域的新应用。
几何不等式的证明
勾股树在证明某些几何不等式时非常有用，例如三角形中 的中线定理、垂线定理等。通过构造勾股树图形并应用相 关定理，可以推导出不等式的结论。
数论中的应用
01
勾股数的性质研究
勾股树可用于研究勾股数的性质，例如勾股数的存在性、唯一性、奇偶
性等。通过构造勾股树图形并应用数论知识，可以推导出勾股数的相关
04 勾股树在数学领域应用
代数证明中的应用
勾股定理的代数证明
01
勾股树可用于证明勾股定理，通过代数运算和等式变换，可以

初中数学华东师大版八年级上册《勾股树》优质课公开课课件获奖课件比赛观摩课件

初中数学华东师大版八年级上册 《勾股树》 优质课公开课课件获奖课件比赛观摩课件
类型：省级获奖课件
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股 四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中。这一发现至少早于 古希腊人500多年，作为一名中国人，我们 应为我国古人的博学和多思感到自豪！
思考：如何求正方形Ｒ的面积？
“割”的方法：
A
P R
S正方形R
4 S直角三角形
1 4 3 3 2
C
Q
B
图1-1
（图中每个小方格代表1平方厘米）
＝18（平方厘米）
方形Ｒ的面积的求法１：
“补”的方法:
A
P R
S正方形R
C
Q
B
S
＝ 大正方形
S
－4 S 直角三角形
1 3 3 2
图1-1
请说出下列直角三角形中三边之间的关系。
a
b
(1)
p
c q
(2)
r
m n f
(3)
k
x z
(4)
y
s
d (5)
（ 3， 4， 5 ） （6，8，10） 在Rt△ABC中, ∠B= 90°， AB=c, BC=a,AC=b, 是勾股数哦！ (1)已知a=3, b=5, 求c； (2)已知a=6, c=8, 求b。 A 解：在Rt△ABC中，由勾股定理 我们把能够成为直 2 2=b2 得a +c角三角形三条边长 (1) 32+c2=52的正整数，成为勾 ∴c2=25-9=16 股数。你还能发现 c b ∴c=4, c=-4 （舍去） 其它勾股数吗？ (2) 62+82=b2 ∴b2=36+64=100
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吧！
编辑课件
3
美丽的勾 股树（一）
编辑课件
4
美丽的勾
股树（二）
编辑课件
5
美丽的勾
股树（三）
编辑课件
6
回顾与练习
1、请说说勾股定理的内容：
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为c，那么
a2b2c2 a c b
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
编辑课件
7
2、试求下列图形中阴影部分的面积
2
编辑课件
12
即： S 1 S 2 S 3
应用与巩固
1.如图，这是一棵奇妙
的勾股树，其中所有的四边
形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最
B
大的正方形M的边长是9cm， A 则正方形A、B、C、D的面积
E
和是多少？
81cm² M
D
C F
编辑课件
13
2. 如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向
的高分别为ｈ
1、ｈ 2、ｈ 3则可以求出：
C
S2
S3
ｈ1
3 2
AB
、
h2
3 2
AC
、
h3
3 2
BC
A
S１
1 2
AB
ｈ 1
3 4
AB
2
SB 1
S2
1 2
AC
ｈ 2
3 4
AC
2
S3
1 2
AB
ｈ 3
3 4
BC
2
S 2 S 3
3 4
AC
2
3 4
BC
2
图3
3 4
(
AC
2 BC
2)
3 4
AB
S ABC
168 2
24
编辑课件
15
欣赏与作业
美丽的勾股树
在大自然里，我们见过许许多多千姿百 态的植物，下面就让我们一起去欣赏一下数
勾股树 学王国里的树-------------
编辑课件
16
请大家注意 观察这颗勾 股树是由哪 些基本元素 构成的？
编辑课件
17
这颗勾股树的 基本构成元素 又是什么呢？
1 8
BC
2
1 8
( AC
2 BC
2)
1 8
AB
2
ｓ1 ｓ2 ｓ3

编辑课件
11
问题3 如图3 ，分别以Rt∆ABC三边为边向外作三个正三角形，
其面积分别用S1、 S2、S3表示，猜想S1、 S2、S3 之间有什么
关系。 请加以说明。
分析： S 1 S 2 S 3 设这三个正三角形中
AB 、 AC 、 BC 边上
１ ２
BC
AD
1 2
ａ
3ａ＝ 2
３ａ２ ４
编辑课件
9
探索与思考
问题1 如图1，分别以Rt∆ABC三边
为边向外作三个正方形，其面积分
别用 S1、 S2、S3表示，那么S1、S2、 S3之间有什么关系？
s2
C
s3
S1=S2+S3
A B
我们把图1称为 “勾股图”
s1
图1
编辑课件
10
问题2 如图2， 分别以Rt∆ABC三
（1）阴影部分是正方形
25cm²
（2）阴影部分是半圆
8πcm²
编辑课件
8
3、等边三角形ABC的边长为a，求它的面积
为多少？
解：如图，在等边三角 形ABC中，AD BC
A
CD
1 2
BC
1 2
a
在 RtACD 中 根据勾股定理，得
AD
AC 2 CD 2
a 2－（
２１ａ）２＝
３ａB ２
C D
SΔＡＢＣ
树！
❖ 作业︰动手画画看，相信你也能画出其他形态的
勾股树。
编辑课件
22
鸟儿因为翅膀而飞翔 风筝因为风儿而飞翔 人类因为思考而飞翔
让我们一起想象， 让我们一起飞翔！
编辑课件
23
祝同学们学习进步！
编辑课件
24
编辑课件
18
❖ 下面让我们用flash动画和几何画板 来演示一下美丽的勾股树，欣赏不同形 态的勾股树，体验勾股树惊人的生长速 度吧！
编辑课件
19
编辑课件
20
编辑课件
21
❖ 你知道这是如何画出来的吗？仔细看看，你就会发
现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，
一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股
2
1 4
AB
2
s1 s2 s3
编辑课件
14
3. 如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、
10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴 影部分的面积。
解：设以 AB 为直径的半圆面
积为 S 1 ,以 AC 为直径的半
圆面积为 S 2 ,以 BC 为直径
的半圆面积为
S 3,则 :
S 阴影 S 2 S 3 S ABC S 1
外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、
正方形边长的一半为半径作圆，试探索三个圆的面积
之间的关系。
解： s 1
AB 2
2
1 4
AB
2
B
s 2
AC 2
2
1 4
AC
2
S1
S3
A
S2 C
s 3
BC 2
2
1 4
BC
2
s2 s3
1 4
AC
2
1 4
BC
2
1 4
AC
2 BC
边为直径向外作三个半圆，其面积分
别用S1、S2、S3表示，猜想S1、 S2、
S3之间有什么关系？ 请加 以说明。
S3
S1
分析： ｓ 1 ｓ 2 ｓ 3
ｓ1
１ ２
AB 2
2
1 8
AB
2
S2
ｓ 2
１ ２
AC 2
2
1 8
AC
2
ｓ 3
１ ２
BC 2
2
1 8
BC
2
图2
ｓ2 ｓ3
1 8
AC
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美丽的勾股树
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同学们，在我 们美丽的地球王国 上，原始森林，参 天古树，给我们以 神秘的遐想；绿树 成荫，微风习习， 给我们以美的享受。 你知道吗？在古老 的数学王国里，也 有一种树，它很奇 妙，生长速度大的 惊人，它是什么树 呢？下面让我们带 着这个疑问一同到 数学王国中去欣赏
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