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勾股数PPT课件

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勾股定理数学优秀ppt课件

勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。

《勾股定理》课件

《勾股定理》课件
《勾股定理》PPT课件
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。

《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)

《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)

A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，

17.1.1 勾股定理 (共24张PPT)

17.1.1 勾股定理 (共24张PPT)

A
B
探
C
索
勾
股 A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC 定 理
（1）观察图1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 18 个单位面积。
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
图1-1 图1-2
C
C
B
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
走 进 数 学 史
勾股定理的证明方法
证 法 一
走
证
进
法 二
数
学
证 法
史
三
（邹元治证明）
（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家
应用勾股定理
a
c
确定斜边 c2= a2+b2
？
b
a
b
确定斜边 b2= a2+c2
？
c
b
a
确定斜边 a2= b2+c2
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
பைடு நூலகம்
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百 牛定理”．）

《勾股定理》 完整版PPT课件

《勾股定理》 完整版PPT课件

弦
勾
勾
股
股
证法三： 伽菲尔德证法:
a bc
a
c
1、整体看
b
2、分割看
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 D
bc c
C a
Aa
bD
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
练习
1.在RtABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
B=90
(1)已知a=6,b=10,求c的长度（ B ）
A6
B8
C 10 D 12
(2)已知a=24,c=7,求b的长度（ D ）.
A 20
B 11 C 13
D 25
A
c
b
B
a
C
2.在Rt△ABC中, a=5,c=13,
则下列计算正确的是 （ B ）
2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
拓展
在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出
水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐
及水面,如果知道红莲移动A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
?x
B
美丽的勾股树
（×）
（2）若a、b、c为Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2.
（×）
C不一定代表 直角三角形
的斜边哦
练习
4.求下列直角三角形中未知边的长: 5

《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)

《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．

18.1勾股定理精品PPT课件


1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 9 个
小方格，即A的面积是
9 个单位面积．
正方形B的面积是
9 个单位面积．
正方形C的面积是
18 个单位面积．
1 2 3 继续
C A
B
图1-1
你是怎样得到上面的 结果的？与同伴交流
交流．
正方形周边上的 格点数L=12
正方形内部的格 点数N=13
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
§18.1
活动 1
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这就是本届大会 会徽的图案．
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”．
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
其实勾股定理 中国比西方早 500多年就发现
了哦！
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家 之一。早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出，将一根直尺折 成一个直角，如果勾等于三，股 等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五”，它被记 载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗 留下的一块数学泥板时，惊讶地发 现上面竟刻有15组能构成直角三角 形三边的数，其年代远在商高之前。
所以，正方形C的 面积为：
•

勾股定理课件ppt


过程需要运用数学归纳法和反证法等数学方法。
05
勾股定理的挑战和未 解之谜
寻找最大的整数勾股数
总结词
寻找最大的整数勾股数是一个挑战，因为随着数字的增大，计算量也急剧增加 。
详细描述
目前已知的最大勾股数是(377, 384, 405)，这是一个非常大的数，计算过程中 需要大量的计算资源和时间。寻找更大的勾股数是一个未解之谜，需要借助计 算机和数学算法来解决。
勾股定理在日常生活中也有广泛的应 用，如建筑、工程、航海、航空等领 域。
在航海和航空领域，勾股定理可以用 于确定航向、航程、高度等导航参数 ，以及解决与直角三角形相关的导航 问题。
在建筑和工程领域，勾股定理可以用 于确定建筑物的稳定性，计算建筑结 构的承载能力，以及解决与直角三角 形相关的工程问题。
古巴比伦人
在约公元前1800年至公元前500年之 间，巴比伦数学文献《默森尼默斯》 中记载了直角三角形的边长关系。
欧几里得与《几何原本》
• 欧几里得（约公元前330年-公元前275年）：古希腊数学家， 他在《几何原本》中首次完整地证明了勾股定理，并给出了基 于该定理的多种证明方法。
中国的勾股之学
勾股定理课件
目录
• 勾股定理的起源和历史 • 勾股定理的证明方法 • 勾股定理的应用 • 勾股定理的推广和变种 • 勾股定理的挑战和未解之谜
01
勾股定理的起源和历 史
古代文明中的勾股定理
古埃及人
古希腊人
在建筑金字塔和尼罗河泛滥后测量土 地时，使用了直角三角形的边长关系 。
毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发现 了直角三角形三边的关系，但未形成 完整的定理。
《周髀算经》
约成书于公元前1世纪，书中记载 了周朝初期的数学家商高提出了 “勾三股四弦五”的勾股定理的 特例。

《勾股定理》PPT

综合题：3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求 △ABC的周长．
小贴士
为什么叫勾股定理这个名称呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称 为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直 角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2 国外又叫毕达哥拉斯定理
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（ C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
新知应用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
c
A
b
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
b c2 a2 22 12 3.
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
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a=15
b=17
B c=8
A
∴S△ABC=15×8÷2=60
2. 在△ABC中，AB=13，AC=20，高AD=12，
则BC的长为——————2—1或——11———————
A
A
20
12 13
20 13 12
C
16
┓
D5 B C
16 B 5 D
课堂小结 1、勾股定理： 2、直角三角形的判别条件。 3、在本章中所体现的数学思想方法 是数形结合思想。 4、本章知识结构图 5、了解了勾股定理的历史
3.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边 长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和 之间的关系。
经探索发现：
a b c 如果三角形的三边长a 、 b 、 c满足 2 2 2,
那么这个三角形是直角三角形。
比较：
如果直角三角形的两直角边长分别a 、 b ，斜
边长为 c，那么 a2b2 c2 。
两者之间有何关系? 互逆
做一做：
（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB长 是40厘米，BD长是 50厘米，AD边垂直 于AB边吗？为什么？
做一做：
（3）小明随身只有 一个长度为20厘米 的刻度尺，他能有 办法检验AD边是否 垂直于AB边吗？ BC边与AB边呢？
【例 3】判断由线段a、 b 、 c 组成的三角
形是不是直角三角形：
(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在 ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则 ABC面积为_2_4_,斜边为上的高为_4_.8__.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
2.
初二数学组
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别 为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的(1平)勾方股定理的内容是什么?
(2)求以线段a,b为直角边的直角三角形
的斜边c的长:
① a=3,b=4;
②a=8,b=6
c a
③a=5,b=12.
b
大约在公元前2700年，古埃及人建成了世 界闻名的七十多座大大小小的金字塔。这些金 字塔的塔基都是正方形，其中最大的一座金字 塔的塔基是边长为230多米的正方形，然而， 那时并没有任何的先进的测量仪器。
件符合要求吗?
解解：：在在△△ABBCDD中中
13
C ∵∵ABDD22++ABBC22
D
35
A4
12
B
=52 =+3122+2=422=5+9+11146==12659
DDBC22==5123=22=5169 ∴∴ABDD2+2A+BC2=2D=CBD2 2
∴∴△△CBADB是D是RtR三t三角角形形 因此这个零件符合要求∠∠DBAC=9=09000
“数形”
如果三角形的三边长a，b，c有关系
a2b2c2
那么这个三角形是直角三角形. 这也是判定直角三角形的一种方法。
满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称 为勾股数。
3、4、5； 5、12、13； 6、8、10
在进行直角三角形的判别时，一定要指明直角，也就是指出斜边。
【例1】在很久很久以前，古埃及人把一根长绳
5，12, 13为一组勾股数。
7, 24, 25为一组勾股数。
8, 15, 17为一组勾股数。 9, 40, 41为一组勾股数。
【例 4】在△ABC中，a=15, b=17,
c=8,求此三角形的面积。
解：在△ABC中
C
∵a2+c2=
152+ 82=225+64=289
b2=172 =289 ∴a2+c2=b2 ∴△ABC是Rt三角形 ∠B=900
c
＝5，
a
求阴影总分面积
试看练谁平做台得：快。
• 已知直角三角形两直角边分别 为3cm和4cm,那么CD有多长？
C
4cm
3cm
A
B
D
课堂练习：
一判断题.
1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2.ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中,∠C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=_6___,b=__8_.
4.如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4， 在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A 相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 ___1_0____.
学以致用
1、已知：Rt∆ABC中a＝3， b＝4， 求c
2、已知： Rt∆ABC中c ＝10，a＝6，求b
3、已知： 如图c ＝13，a
1. 下列几组数能否作为直角三角形的三边长？ 2. 说说你的理由.
3. （1）9，12，15 （√ ） 4. （2）15，36，39 （√ ） 5. （3）12，18，22 （× ）
做一做：
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别 垂直于底边AB，但他随身只 带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
你能猜出金字塔塔基的正方形的每一个 直角，古埃及人究竟是怎样确定的吗？要解开 这个谜，还是让我们先从一个小实验开始吧。
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）
A：3、4、2 ；
B：3、4、5；
C：5、12、13；
D：6、8、10
2.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状 A：钝__角__三__角形 B：_直_角__三__角_ 形 C：直_角__三__角_ 形 D：_直_角__三__角形
(1) a=7,b=24,c=25 (2) a=10,b=26,c=24 (3) a=4,b=5,c=6 (4) a:b:c=3:4:5
勾股数的求法
• 如果a,b,c 为一组勾股数，则na,nb,nc 也是一组勾股数，其中n为自然数 例 3, 4，5是一组勾股数，那么 6、8、10也是一组勾股数
3，4, 5为一组勾股数。
打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成
一个三角形，你知道 这个三角形是什么形状吗 ？
并说明理由.
∵32 +42=9+16=25
3
5
C 4
52 =25 ∴32+42=52 ∴∠C=900 ∴这是个R定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师
傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,你说这个零
感谢聆听