重庆市高三数学3月月考试题理新人教A版
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高三考试数学（理科）一、选择题1．设集合{1,2,3,4}U =，{1,2}A =，{2,4}B =，则()UC A B =（ ）A ．{1,2}B ．{23,4}，C ．{3,4}D ．{1,2,3,4}2．若复数1i Z =，23i Z =-，则=12Z Z （ ）A ．13i --B ．2i +C ．13i +D ．3i +3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则AD =（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．在等差数列{}n a 中，若1004100510063a a a ++=，则该数列的前2009项的和为（ ）A ．3000B ．2009C ．2008D ．20075．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 6．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x 值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种8．设 x 、y 均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为（ ）A ．4B ．34C ．9D ．169．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① 2013[3]∈； ② 2[2]-∈；③ [0][1][2][3][4]=Z ；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e ，过F2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（ ）A．1+B．3+C．4-D．5-二、填空题11．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n12．在ABC ∆中，若2a =，60B ∠=︒，b =BC 边上的高等于 ．13．已知函数321().3f x x bx c =-+(,b c 为常数），当2x =时，函数()f x 取得极值，若函数)(x f 只有三个零点，则实数c 的取值范围______. 选做题（14—16题，考生只能从中选做两题）14.(坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，参数方程为为参数）t t y t x (21232⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=的直线l ，被以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为θρcos 2=的曲线C 所截， 则得的弦长是 ．15.(不等式选讲选做题）设函数()|4|||f x x x a =-+-a (＞1)，且()f x 的最小值为3，若()5f x ≤，则x 的取值范围是__________________．16.(几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ，CD= ．图3 三、解答题17．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x +=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值．18．（本小题共13分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D ､E 分别是AC ､AB 上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ； （Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．19．（本小题共13分）甲､乙､丙三人独立破译同一份密码，已知甲､乙､丙各自破译出密码的概率分别为12､13､p ，且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为14．（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲､乙､丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X ．图1图2AB CDE20．（本小题共12分）已知函数()ln+1f x x ax=-，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数()y f x=的图象在点(1,(1))P f处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数()(1)y f x x=≠的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数()y f x=零点的个数．21．（本小题共12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点(4,1)M，直线:l y x m=+交椭圆于不同的两点A､B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA､MB的斜率互为相反数．22．（本小题共12分）定义：如果数列{}na的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}na为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}na，如果函数()y f x=使得()n nb f a=仍为一个“三角形”数列，则称()y f x=是数列{}n a的“保三角形函数”()n*∈N．（Ⅰ）已知{}na是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k=>是数列{}n a的“保三角形函数”，求k的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}nc的首项为2013，nS是数列{}nc的前n项和，满足+1438052n nS S-=，证明：{}nc是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lgg x x=是（Ⅱ）中数列{}n c的“保三角形函数”，问数列{}n c最多有多少项?（解题中可用以下数据：lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈）江津八中高三考试数学（理科） 参考答案一、选择题二、填空题 ．三、解答题 17．（本小题共13分） （Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Zππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x +=（）()2s i n s i n +c o s=2s i n+s i n 2x x x x x =２s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为. ………13分18．（本小题共13分）（Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系．1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =所以30240y x z =⎧⎨+=⎩， 令2x =，得=0,=1y z -. 所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则4sin =cos 5BE θ<⋅>==n ．所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分（Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，1A B == …………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即D 为AC 中点时,1A B 的长度最小,最小值为 …………………14分19．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分 所以1134p -=，14p =. ……………………7分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==，(1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅ 111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=，(2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅ 11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯=. ……………………11分 X 分布列为：……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 20.（本小题共12分）（Ⅰ）1()=f x a x '- …………………1分(1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分（Ⅱ）令()=(F x f x a x--，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x ''--， 解得…………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分（Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x .令ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减， 当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分 若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a 处取最大值，11()=ln >0f a a ，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0a f e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a ，有且仅有一个零点. 综上所述，当>1a 时，()f x 无零点； 当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分 21．（本小题共12分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=，因为2e =，所以224a b =， 又因为(4,1)M ，所以221611a b +=，解得225,20b a ==， 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=，22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分22．（本小题共12分） （Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。
