2012年高三考前预测题(理数)

2012年高三考前预测题理 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =-<，则“1a =”是“A B φ⋂≠”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【解析】(1A =-，)1，(1B a =-，)1a +，当1a =时，有A B φ⋂≠满足，但当12a =时，也有A B φ⋂≠满足． 故答案为充分不必要条件．【答案】A解题探究：本类题的最好解法是找出特例，一般都是很简单的．考生不应该失分．2．已知33)6cos(-=-πx ，则=-+)3cos(cos πx xA ．332-B ．332±C ．1-D ．1±【解析】313cos cos sin 6223x x x π⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭， 13cos cos cos cos sin 322x x x x x π⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭ 313cos sin 122x x ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭．【答案】C解题探究：本类题一般都不难，只要记住几个公式和会熟悉的恒等变换即可． 3．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为 A ．14 B ．34 C ．964D ．2764【解析】设事件A 发生的概率为P ，事件A 不发生的概率为P '，则有：()36311644P P ''-=⇒=． 故34P =． 则事件A 恰好发生一次的概率为：31339464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】C解题探究：本类题只需记住几种形式的概率求法，对号入座即可．4．设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为A ．10B ．8C ．6D ． 4 【解析】作出可行域，如图所示：结合3z x y =-的图像为正“V ”形，即可得答案．【答案】B解题探究：本类题一般都要画出准确的可行域，再结合目标函数的特点来解答．（注：应记住常见的几种目标函数的特点，如距离的平方，斜率，截距等）有时也会结合函数的一些性质如求导，相切等．开始 k =1，S =0 k ≥50S =S +2k输出Sk =k +2结束是 否5．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为A ．252(41)3- B ．262(41)3- C ．5021- D ．5121-【解析】k =1， S =21；k =3，S =21+23；k =5，S =21+23+25；显然k =49程序．所以S 135492222=+++⋅⋅⋅+=252(41)3-． 【答案】A解题探究：本类题一般都是先写几个，找出一般规律，结合数列的求和知识解答．但本类题考生一般都会容易在项数上出错．应引起注意．6．若平面α，β，满足αβ⊥，l αβ= ，P α∈，P l ∉，则下列命题中的假命题为A ．过点P 垂直于平面α的直线平行于平面βB ．过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面βC ．过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D ．过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内【解析】当所作直线与平面α垂直时，也满足过点P 垂直于直线l ． 【答案】D解题探究：本类题一般的解法有两种：（一）举出反例来进行排除；（二）利用特殊的立体图形，如：立方体等来作参考进行求解．7．已知向量a ，b 满足02≠=b a ，且关于x 的函数5632)(23+⋅++=x x x x f b a a 在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0π D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 【解析】由题有：()226630f x x a x a '=++≥ 在R 恒成立！所以有2236463cos a a a ∆=-⨯⨯ ，b0≤恒成立！解之得：cos a ，b 12a ≥⇒，b ∈ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π．【答案】B解题探究：本题是关于二次函数的图像与x 轴的交点及恒成立问题！是属常规题！8．设椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，右焦点F （c ，0），方程02=-+c bx ax的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在新课标第一网 A ．圆222=+y x 内 B ．圆222=+y x 上C ．圆222=+y x 外D ．以上三种情况都有可能【解析】由题有：12c e a ==，222a b c =+． 有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，所以：()122222121222b cx x x x x x a a ⎛⎫+=+-⋅=-+ ⎪⎝⎭2222222711224b ac c a a a -=+=+=-=<． 故在圆内． 【答案】A解题探究：要想解对本题，需具备的知识有：（一）椭圆的基本知识，如c e a=，222a b c =+等；（二）韦达定理；（三）()1222212122x x x x x x +=+-⋅；（四）点在圆内、外、上的条件．9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90S >，100S <，则12a ，222a ， ，992a 中最大的是A ．12aB ．552aC ．662aD ．992a【解析】()59556106900050a S a a a S a >>>⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+<<<⎩⎩⎩， 易得：数列{}n a 为单调递减数列， 故15690a a a a >>>>，所以：12a <552a >0>662a ． 【答案】B解题探究：本类题为数列与函数的结合题，从细的方面讲，这是数列与函数单调性的结合考查．对于此类题目，只需运用好函数的性质即可解出．对于本题，要认识到：数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点．同时在复习中要注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想． 以下专门准备了两道题来加以说明：2010年全国高考理科数学试题（浙江卷）填空题第15题设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足01565=+S S ，则d 的取值范围是_________________.【解析】因为01565=+S S ，08)105(221≥-=+d d a ，则d 的取值范围(),2222,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣．【等于不等的转化】另解：0110922121=+++d d a a （确定主元1a ）0≥∆得．【答案】(),2222,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考数学理科试题第10题已知数列{}n a 满足：2*1122,2()1,n n a a a a a n a n N +=-+=+-+∈，当且仅当n =3时n a 最小，则实数a 的取值范围为 A ．（—1，3） B ．5,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．（2，4）D ．57,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵()12()1212n n a a n a n a +-=-+=+-．∴()()12112n n a a n a --=-+-()()122212n n a a n a ---=-+- ()()3221212212211222a a a a a a a a a -=⋅+--=⋅+-=-+∴()()()2221231(1)12221n a n n a a n a a =+++⋅⋅⋅+-+--+=--+⎡⎤⎣⎦．对称轴为n a =，又∵当且仅当n =3时n a 最小． 运用二次函数的对称思想易得5722a <<． 【答案】D10．定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A 、B 两点，则线段AB 称为该双曲线的焦点弦．已知双曲线192522=-y x ，那么过该双曲线的左焦点，长度为整数且不超过2012的焦点弦条数是A ．4005B ．4018C ．8023D ．8036 【解析】由题可得215a =，29b =，234c =．182 3.645PF ==<，10AB =． 焦点弦可分为三类：（ⅰ）如图中直线1，长度从4到2012有2009条，结合对称知识知共有4018条；（ⅱ）如图中直线2，长度从11到2012有2002条，结合对称知识知共有4004条；（ⅲ）如图中直线0y =，长度为10有1条． 综上所述：共有8023条．【答案】C解题探究：本类题为新定义题型，但本题在理解及解答上都难度不大．主要仔细分类， 同时熟练运用对称思想即可解出．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．复数32z ai =-，a R ∈，且21322z i =-，则a 的值为________． 【解析】222331332422z ai a ai i ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由对应系数相等知：23142332a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解出12a =．【答案】12解题探究：本类题为常规题，关于复数一般有三种考法：（一）为本题这种；（二）为求z 类型，只要记住公式22z a b =+即可；（三）为分式形的化解，只要记住运用共轭复数．12．函数210()log 0x x f x xx +≤⎧=⎨>⎩，则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________．【解析】()()2231log 110[()]1log 201log log 11x x x x y f f x x x x x +≤-⎧⎪+-<≤⎪=+=⎨+<≤⎪⎪+>⎩，在各段上分别令0y =．即可得答案．【答案】113,,,224⎧⎫--⎨⎬⎩⎭解题探究：本题主要考查分段函数及零点知识的应用，只要耐心一点，一般不会出错． 以下专门准备了一道题来加以说明：浙江省台州市2012届高三调考试题数学理（2012台州一模）第10题 若函数()21f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在[0，]1上的不同零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】注意分段．()121,12112,02x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，()()343,141334,241141,42114,04x x x x f f x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪⎪-≤<⎩， 当314x ≤≤时，()43ln g x x x =-+， 则()134014g x x x '=+>≤≤在上恒成立．故()g x 在314x ≤≤上为单调递增函数，又33ln 044g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()110g =>， 故在314x ≤≤上有1个根． 同理可分析得在1324x ≤<，1142x ≤<上各有1个根，在102x ≤<上无根．综上可知在[0，]1上，方程()0g x =共有3个根．【答案】B13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________． 【解析】几何体为两个正四面体相互组合而成的，8个面都是三角形且都全等的．三角形的高为22123222h ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22 2211221221正视图侧视图俯视图几何体的表面积为113812322S ⎛⎫=⨯⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭． 几何体的外接球的半径为22R =， 几何体的外接球的表面积为222422S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭．这个几何体的表面积与其外接球面积之比为3：π．【答案】π3解题探究：本题在作为三视图来考查已属稍难题了．一般三视图多会让考生求几何体的表面积或体积．在求解过程中难点就是在于三视图的还原．考生应加强在此方面的训练，以确保三视图题的得分．14．若n ∈N *，n < 100，且二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+231的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n 值的和是________．【解析】()321n r rr r n T C xx --+=⋅=35r n rnC x -， 则5n k =，)(019k ≤≤， 所以()()5151919195022k k S +⨯⨯+===． 【答案】950解题探究：本类题只需写出通项．分析通项即可解出答案． 15．关于x 的方程0sin cos 22=+-a x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,0π上恰好有两个不等实根，则实数a 的取值范围是________．【解析】2sin 2cos a x x =-，作出函数2sin 2cos y x x =-的图像如下图所示：由图易得[2a ∈-，)1．【答案】[2-，)1解题探究：本题很容易作错．请读者参考以下作法，是否你也会范呢？误解：由题22sin 2cos 2sin sin 2a x x x x =-=+-．作换元处理：令sin t x =，则112,t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2211722248y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．作出y t --图像如下图：故要想222a t t =+-有两个解，则17,28a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦． 其实粗看之下，这样的解法似乎很对，然而为什么这答案不对呢？主要是因为这里的两个解是对于t 而言的，并不是x ．但题目要求是关于x 的解． 故此解法不对．其实当对于t 的解只有一个时，有一部分相对应的x 却有两个解．请读者考虑，对于t 的解为何时，相对应于x 的解有一个、两个、三个、四个？16．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是________． 【解析】/1(1)n n y nx n x -=-+，得()()/111|21222n n n x y n n n --==⋅-+⋅=-+⋅．切点为(2，)2n-，所以切线方程为()()12222n n y n x -+=-+⋅⋅-，令0x =，得：()12n n a n =+⋅，21n na n =+． 利用等比数列的求和公式得：()12122212nn n T +-==--．【答案】221-+n解题探究：本题难度不大．仔细按照要求来就行了． 以下专门准备了一道题来加以巩固： 设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为 ．【解析】点)1,1(在函数1*()n y xn N +=∈的图象上，所以)1,1(为切点，nx n y )1(/+=． 得1|1/+==n y x ，所以切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ， 令0=y 得：1+=n nx n ， 所以1299a a a +++ 2-=． 【答案】2-17．有六根细木棒，其中较长的两根分别为3a 、2a ，其余四根均为a ，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为________．【解析】用六根细木棒搭成三棱锥有两种情况：（一）3a 和2a 相邻；（二）3a 和2a不相邻．情况一好计算，我们用它来计算：如图3AB a =，2AD a =，其余都为a ．则2BAD π∠=，26cos 33AD a BAD AB a∠===． 【答案】63解题探究：本题难度不大．只有找好特殊情况，就很容易求解．三、解答题：本大题共7小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =---，R x ∈，将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设三角形ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ． （Ⅰ）若7c =，()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B = ，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅ 的取值范围．【解析】本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。