第三章 环与域

抽象代数中的环论与域论抽象代数是数学的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。

在抽象代数中，环论和域论是两个重要的研究方向，它们对于理解代数结构的基本概念和定理具有重要意义。

本文将重点讨论抽象代数中的环论和域论，并介绍它们的基本概念和一些重要的定理。

一、环论1. 环的定义与性质在抽象代数中，环被定义为一个非空集合R，集合中的元素满足一系列定义的运算法则。

具体来说，对于集合中的任意元素a、b和c，环满足以下性质：(1) 封闭性：a + b和ab都属于R。

(2) 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)和(ab)c = a(bc)。

(3) 交换律：a + b = b + a和ab = ba。

(4) 零元素存在性：存在元素0，使得对任意a都有a + 0 = a。

(5) 负元素存在性：对于任意a，存在元素(-a)，使得a + (-a) = 0。

2. 环的例子除了常见的整数集合Z和实数集合R，还有一些其他的环的例子。

例如，多项式环F[x]，其中F是一个域，多项式的系数来自于F。

另一个例子是矩阵环M(n, F)，其中n是一个正整数，F是一个域，矩阵的元素来自于F。

3. 环的子环与理想在一个环R中，如果一个子集S满足封闭性、加法逆元素存在性和对加法和乘法封闭性，则称S为R的一个子环。

另一方面，如果一个子集I满足封闭性、加法逆元素存在性以及与R的乘法的交换性，则称I为R的一个理想。

4. 环的同态与同构在环的研究中，同态和同构是两个重要概念。

若存在两个环R和S以及一个映射φ：R → S，满足φ(a + b) = φ(a) + φ(b)和φ(ab) = φ(a)φ(b)，则称φ为一个环的同态。

特别地，若一个同态φ是一一映射和满射，即双射，则称φ为一个环的同构。

二、域论1. 域的定义与性质域是一种包含两个二元运算的代数结构，记作(F, +, *)，其中F是一个非空集合。

域满足以下性质：(1) 加法封闭性：对于任意a、b∈F，a+b∈F。

证明 在 F 里
ab1 b1a a b
有意义。作 F 的子集
a,b R,b 0
Q

所有
a b

Q 显然是 R 的一个商域。证毕。
a,b R,b 0
（三）商域的同构唯一性定理
定理 3.6.6
设 与 为两个整环, 与 分别为它们的商域. 如果 :
, 则存在域的同构 :

(a,b Q)
的方阵作成的集合.证明：对普通加法与乘法来说，R 与 R 同构且 R 是一个域.
5. 设 R 为环， NR. 证明： 1） R N 中的理想都具有形状 K N ，其中 K 是 R 的含 N 的理想； 2）在自然同态 R ~ R N 之下，R 的理想 H 的象为
(ⅰ)若 S 是 R 的子环，则(S) 是 R 的子环； (ⅱ)若 I 是 R 的理想且 为满射，则(I ) 是 R 的理想； (ⅲ)若 S 是 R 的子环，则 1 (S ) 是 R 的子环； (ⅳ)若 S 是 R 的理想，则 1 (S ) 是 R 的理想.
证明 (ⅰ) a,b (S ), a,b S ，使 a (a), b (b). 所以 a b S ,于是 a b (a) (b) (a b) (S) ， 从而(S) 是 R 的子群.另外 a b (a)(b) (ab) (S) , 所以(S) 是 R 的子环. (ⅱ)因为 I R ,所以 I 是 R 的子环，从而(I ) 是 R
1）若 char R= ,则 R 有子环与 Z 同构; 2）若 char R=p(p 是素数),则 R 有子环与 Z p 同构.
3. 设 是环 R 到环 R 的一个同态满射,K 为其同态核,N R.
4. 令 R a bi a,b Q , R 由一切形如

群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。

所以 Zp 中无零因子.
注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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域中除法及其性质
在域F中可以引入除法，如果a,b ∈F， a ≠ 0
，
则b有被以a除下记性为质b：/a，且b/a=a-1b.
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练习1
1. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab.
以外都是域.
(2) 令2Z={2z | z∈Z}，则(2Z,+,·)构成交换环和无 零
因子环. 但不是含幺环和整环.
(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩 阵
加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环
和
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无零因子环
定理1 环R是无零因子环当且仅当在R中乘法满足
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2
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问题
初等代数中： ab=0 a=0或b=0 n≠0，na=0 a=0
环中： ab=0 a=0或b=0 ? n≠0，na=0 a=0 ?
或可换环.
(2) 若环中乘法 ·存在单位元，则称R是含幺环.
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例1
环的实例
(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通 的
加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环
Q，实数环R和复数环C.
(2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和 乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环.

《抽象代数基础》教案第一章：引言1.1 课程简介介绍抽象代数的基础知识和重要地位解释抽象代数与其他数学分支的关系1.2 抽象代数的基本概念定义集合、元素和运算举例说明一些基本的抽象代数结构1.3 抽象代数的历史发展回顾代数的发展历程介绍抽象代数的起源和发展趋势第二章：群论基础2.1 群的定义与性质引入群的定义和表示方法探讨群的性质，如封闭性、结合律等2.2 子群与陪集定义子群和陪集的概念研究子群与原群的关系以及陪集的性质2.3 群的同态与同构引入群同态和同构的概念探讨同态和同构的性质和条件第三章：环与域3.1 环的定义与性质引入环的定义和表示方法探讨环的性质，如加法封闭性、乘法结合律等3.2 素环与最大素环定义素环和最大素环的概念探讨素环和最大素环的性质和判定条件3.3 域的概念与性质引入域的概念和表示方法探讨域的性质，如乘法封闭性和零因子性等第四章：域扩张与伽罗瓦理论4.1 域扩张的定义与性质引入域扩张的概念和表示方法探讨域扩张的性质和条件4.2 伽罗瓦理论的基本概念引入伽罗瓦理论的基本概念，如伽罗瓦群、伽罗瓦扩展等探讨伽罗瓦理论的应用和意义4.3 域扩张的判定定理介绍判定域扩张的一些重要定理，如伽罗瓦定理等举例说明这些定理的应用和证明过程第五章：线性代数基础5.1 线性空间与线性映射引入线性空间和线性映射的概念探讨线性空间和线性映射的性质和运算5.2 矩阵与行列式引入矩阵和行列式的概念探讨矩阵和行列式的性质和运算规则5.3 特征值与特征向量引入特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和应用第六章：向量空间与线性变换6.1 向量空间的概念与性质定义向量空间和子空间探讨向量空间的性质，如基的概念和维数6.2 线性变换与线性映射引入线性变换和线性映射的概念探讨线性变换的性质和运算规则6.3 特征值与特征向量进一步探讨特征值和特征向量的性质应用特征值和特征向量解决线性变换的问题第七章：特征值问题的应用7.1 特征值问题的解法介绍特征值问题的解法，如幂法和特征值算法探讨解法的有效性和适用条件7.2 特征值在实际问题中的应用举例说明特征值在物理学、工程学和经济学等领域中的应用分析特征值问题在实际问题中的解法和效果7.3 特征值问题的进一步研究介绍特征值问题的进一步研究方向，如谱理论和解的存在性等探讨特征值问题在科学研究中的重要性和挑战性第八章：向量空间的同构与对偶性8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构和等价探讨同构的性质和判定条件8.2 向量空间的对偶性引入向量空间的对偶性和对偶空间探讨对偶性的性质和应用8.3 对偶性与共轭性探讨对偶性与共轭性的关系和联系应用对偶性和共轭性解决向量空间的问题第九章：张量分析基础9.1 张量的定义与运算引入张量的概念和表示方法探讨张量的运算规则和性质9.2 张量空间与张量映射定义张量空间和张量映射探讨张量空间和张量映射的性质和运算9.3 张量分析的应用举例说明张量分析在物理学、工程学和计算机科学等领域中的应用分析张量分析在实际问题中的解法和效果回顾本课程的主要概念、定理和方法10.2 抽象代数的进一步研究介绍抽象代数进一步研究的主要方向和热点问题探讨抽象代数在科学研究和应用中的前景和挑战10.3 课程学习评价与反思分析学生在本课程学习中的表现和收获提出学生应如何继续学习和提高自己在抽象代数方面的能力重点和难点解析重点环节1：群的定义与性质群的定义和表示方法是理解抽象代数结构的基础，需要重点掌握。

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注 1) R 中左零因子和右零因子这两个概念是彼 此依赖,彼此依托 —“共存亡”:有左零因子 有右零因子.
由上可知,欲说明 a 0 是左零因子,则只需 证明存在 b 0 使 ab = 0. 欲说明 a 0 不是左 零因子,则只需证明任一个 b 0 都有 ab 0(或 一旦 ab = 0 b = 0).
证毕. 定义3 如果环 R 中有元素 e, 它对R 中每个 元素 a 都有e a = a,则称 e 为环 R 的一个左单位 元;如果环 R 中有元素 e,它对 R 中每个元素 a 都有 ae = a,则称 e 为环 R 的一个右单位元.
6
环 R 中既是左单位元又是右单位元的元素, 叫做 R 的单位元. 实际上,由于环 R 对其乘法显然作成一个半群， 故 R 的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右 单位元或单位元. 例3 证明:集合 M 的幂集 P(M) 对运算 A + B = A∪B A ∩ B AB = A ∩ B A, B M 作成一个有单位元的交换环.这个环称为 M 的幂集环. 证明：显然,上述加法是P(M)的代数运算且满足 交换律;又显然空集是 P(M) 的零元，而 A 的负元为 A 自身. 因此,欲证 P(M ) 作成加群只剩下证该代数 运算满足结合律.
17
对没有零因子的环 R 中任意元素 a 0 , b, c 有 ab = ac b = c
ba = ca b = c
,左消去律成立; ,右消去律成立.
推论 当环 R 无左(或右)零因子时,则消去律 成立;反之,若 R 中有一个消去律成立,则 R 中无 左及右零因子,且另一个消去律也成立. 定义2 无零因子、有单位元的交换环称为整环.
n m n m
a )( b ) a b

教案代数结构中的环与域-教案1引言1.1环与域的定义及历史1.1.1环的定义：环是一种代数结构，包含一组元素和两种运算，加法和乘法。

1.1.2域的定义：域是一种特殊的环，其元素除了加法和乘法外，还满足乘法逆元的性质。

1.1.3环与域的历史：环和域的概念起源于19世纪，经过多位数学家的研究和发展，逐渐形成了现代的环与域理论。

1.1.4环与域在现代数学中的应用：环与域在代数学、代数几何、数论等领域有着广泛的应用。

2知识点讲解2.1环的基本性质2.1.1环的封闭性：环中的元素进行加法和乘法运算后，结果仍然属于环。

2.1.2环的交换性：环中的乘法运算通常不满足交换律，即ab ≠ba。

2.1.3环的单位元：环中存在单位元e，使得对于环中的任意元素a，有ea=ae=a。

2.1.4环的零元：环中存在零元0，使得对于环中的任意元素a，有a+0=a。

3教学内容3.1域的特殊性质3.1.1域的乘法逆元：域中的非零元素都存在乘法逆元，即对于域中的任意非零元素a，存在元素b使得ab=ba=e。

3.1.2域的消去律：域中的元素满足消去律，即如果ab=ac且a ≠0，则b=c。

3.1.3域的特征：域的特征是指其加法单位元的阶，通常为素数或0。

3.1.4域的基本例子：实数域、复数域和有理数域是最常见的域的例子。

4教学目标4.1理解环与域的定义和基本性质4.1.1学生能够准确描述环和域的定义。

4.1.2学生能够解释环和域的基本性质，如封闭性、交换性和单位元。

4.1.3学生能够通过示例说明环和域在现代数学中的应用。

4.1.4学生能够区分环和域，并理解域的特殊性质。

5教学难点与重点5.1环与域的性质和区别5.1.1难点：理解环的乘法运算不满足交换律。

5.1.2重点：掌握域的特殊性质，如乘法逆元和消去律。

5.1.3难点：区分环和域，并理解它们之间的关系。

5.1.4重点：通过示例和练习，加深对环与域性质的理解。

6教具与学具准备6.1教具准备6.1.1介绍环与域的幻灯片或黑板。

又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意

两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
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2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
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例7
Z 的可逆元仅有1, -1;
2Z 由于没有单位元,所以它没有可逆元.
例 8 A Mn( K ) 可逆当且仅当 | A | 0. 例 9 试求高斯整环 Z[i] 的可逆元. 解 可逆元只有 1, 1, i, i
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定义9
设 R 是有单位元的环,且 1R 0 .如果 R 中每个非零元都可逆,则称 R 为除环.
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
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三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
同样,有理数集,实数集,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环
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定理1
设 R 是一个环,如果 R 有单位元,则
单位元是唯一的.
R 的单位元常记作 1R .
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二、环的性质 性质1. 规定减法:
a b a (b),a, b R
，则有移项法则:

环:定理 定理
定理 设<R,+,>是环,则 (1) a∈R, a0 = 0a = 0 (2) a,b∈R, (-a)b = a(-b) = -ab (3) a,b,c∈R, a(b-c) = ab-ac, (b-c)a = ba-ca (4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)
环:实例 实例
环的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通 的加法和乘法构成环,分别称为整数环 有理数 整数环Z,有理数 整数环 有理数Q, 实数环R和复数环 复数环C. 实数环 复数环 (2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法 和乘法构成环,称为n阶实矩阵环 阶实矩阵环。 阶实矩阵环 (3)集合的幂集ρ(B)关于集合的对称差运算和交运 算构成环。 (4)设Zn＝{0,1,...,n－1}, ⊕ 和 分别表示模n的加 法和乘法,则<Zn, ⊕ , >构成环,称为模n的整数环 的整数环。 模 的整数环
环的同态
定义 设R1和R2是环。 ：R1→R2, 若对于任意的x,y∈R1有 (x+y)= (x)+ (y)， (xy)= (x) (y) 成立,则称是环R1到R2的同态映射 同态映射,简 同态映射 称环同态 环同态。 环同态 类似于群同态,也可以定义环的单同态, 满同态和同构等。
整环
整环
设<R,+,>是环, (1) 若环中乘法适合交换律,则称R是交换环 交换环。 交换环 (2) 若环中乘法存在单位元,则称R是含幺环 , R 含幺环 含幺环。 (3) 若 a,b∈R,ab=0 a=0∨b=0,则称R是无零因子环。 无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环, 则称R是整环 整环。 整环

例5
设 R (a, b) a, b Z .在 R 中定义运算
a1, b1 a2 , b2 a1 a2 , b1 b2 . a1, b1 a2 , b2 a1a2 , b1b2 .
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z , 其中 , a, b a . 则 是一个环同态满
f
下面证②也成立( 即 S 是 R 的子环).
现设 R 中加法和乘法分别记为“ ”和“ ”, 又 S 设与 S 中的加法和乘法分别记为“ + ”和“· ”. 以下 将证明若局限在 S 内,“ ”与“+”, 与·是一致的.
xS , yS S 于是 xS yS Z S S ，所以 S S .则
定理 3.4.3
若 R 和 R 都是环,且 R R , 那么

不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域) 当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质 , 可以得到下面一个有趣 的事实.
引理
设R, , 是一个环, 而 : R A 是一个双
射 , 其中 A 仅是一个集合 . 那么, 可以给集合 A 定义加 法和乘法,使得 成为 R 到 A 的同构映射(即环同构).
为同态 的核.
例 3 一些常见的同态. (1) 零同态: : R R ', (a ) 0, ker ( ) R .
(2) 自然同态: 设 I 是环 R 的理想,
:R R
aa
自然同态为满同态, 且 ker ( ) I .
(3) 恒等同构:
ker ( ) {0}.
(4) 设 知, 存在 使 及
， 由多项式的带余除法 ,

近世代数基础第三章环与域第三章环与域本章主要讨论两种代数系统，在⾼代中看到了，全体整数作⼀个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作⼀个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。

§3.1 加群、环的意义●课时安排约1课时●教学内容本书P80-84定义：⼀个交换群叫做⼀个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且⽤符号+来表⽰。

在群中有零元、负元定义：⼀个集R叫做⼀个环，假如：1、R是⼀个加群；‘2、R对乘法运算封闭3、适合结合律4、两个分配律成⽴●教学重点加群和环的定义●教学难点环的运算性质的证明●教学要求了解加群和环的关系●布置作业P84 2●精选习题P84 1§3.2 交换律、单位元、零因⼦、整环●课时安排约1课时●教学内容本书P84-P89定义：⼀个环R叫做⼀个交环环，假如ab=ba不管a1b是R的哪两个元定义：⼀个环R的⼀个元e叫做⼀个单位元。

假如对R的任意元a来说，都有：ea = ae = a例1：书上P85定义：⼀个有单位元环的⼀个元b叫做a的⼀个逆元。

假如：ba=ab=1例2：P86定义：若是在⼀个环⾥a≠0，b≠0，但ab=0则a是环的⼀个左零因⼦，b是⼀个右零因⼦。

例3：P88定理：在⼀个没有零因⼦的环⾥两个消去律都成⽴。

a≠0,ab=ac=>b=c a≠0,ba=ca=>b=c反之也成⽴推论：在⼀个环⾥如果有⼀个消去律成⽴，那么另⼀个消去律也成⽴。

定义：⼀个环R叫做⼀个整环，假如：1、乘法适合交换律：ab=ba；2、R有单位元1：|a=a|=a3、R没有零因⼦：ab=0=>a=0或b=0●教学重点交换环、整环、单位元、零因⼦●教学难点剩余类环和定理的证明●教学要求掌握以上内容●布置作业P89 1，2，5●精选习题P89 3，4§3.3 除环、域●课时安排约1课时●教学内容P89-93例1：P90例2：P90定义：⼀个环R叫做⼀个除环，假如：1、R⾄少包含⼀个不等于零的元；2、R有⼀个单位元；3、R的每⼀个不等于零的元有⼀个逆元。

第三章环与域第三章环与域与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。

但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。

在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。

§1 加群、环得定义一、加群在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。

因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。

如:(1)加群得单位元用0表示,叫做零元。

即,有。

(2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。

即有。

利用负元可定义加群得减法运算:。

(3)。

(4)。

(5)(6),且有请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。

加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。

加群得子群得陪集表示为:。

二、环得定义设就是一个非空集合,“+”与“。

”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若1、对于“+”作成一个加群。

2、对于“。

”就是封闭得。

3、 ,有,即乘法适合结合律。

4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。

则称关于“+”与“。

”作成一个环。

由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。

例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。

分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。

例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。

例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。

*
注: 在除环 中 ∀a(≠ 0) ∈R,b∈R ， −1b 与 ba −1未必相等． 在除环R中 未必相等． a b
−1 −1
若R是域，则 a b = ba ，统一记为 a ，称为b除以 的 是域， 称为 除以a的 是域 除以 商，易知商具有与普通数相似的一些性质
H = {a0 + a1i + a2 j + a3k | a0 , a1, a2 , a3 ∈ℝ} 是实数域
） 注: （1）并非所有的环都是含幺环 如 2Z ＝{所有偶数 ．R对于数的普通加法和乘法 所有偶数}． 对于数的普通加法和乘法 所有偶数 作成一个环，但是 没有单位元 没有单位元． 作成一个环，但是R没有单位元 是有单位元的非零环， （2）若R是有单位元的非零环，则R中的零元与单位元 ） 是有单位元的非零环 中的零元与单位元 一定不相等．注意， 也是一个含幺环． 一定不相等．注意，零环 R = {0} 也是一个含幺环． 故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环． 故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环． （3）含幺环中的单位元总是惟一存在的． ）含幺环中的单位元总是惟一存在的． （4）在含幺环 中，规定 a0 =1,∀a∈R. ）在含幺环R中 的一个逆 定义 3.1.4 一个有单位元环的一个元 叫做元 的一个逆 元，假如 是一个可逆元 ，此时也称a是一个可逆元 记 此时也称 是一个可逆元,记
不是整环． 不是整环． 去律. 去律
R是无零因子环 ⇔ " ∀a, b ∈ R, ab = 0有a = 0或b = 0" 是无零因子环 ⇔ R中非零元素之积仍非零． 中非零元素之积仍非零． 中非零元素之积仍非零
定义3.1.8 一个环 叫做一个除环（或体、斜域），假如 一个环R叫做一个除环（ 叫做一个除环 斜域）， ），假如 定义

Z m , , 是一个环.
证 （1）由第一章知，剩余类的加法是 Z m 的代 数运算. 由第二章知 Z m , 是加群. 下面证明乘法 “·” :
[i ] [ j ] [i j ] 是 Z m 的代数运算.
假设 i [i ], j [ j ]，那么 按照定义，有
[i[ [i],[ j] [ j ]
[i] [ j] [i j]
（2）
（1） ， （ 2 ）两式的左端是相等的， 即
[i] [ j] [i ] [ j ].
如果它们的右端不一样，就有
[i] [ j] [i ] [ j ]，
那么，规则“· ”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“· ”得到 两个不同的值了.
a a a (a) (a) a 0, a R; (a ) a, a R;
a b c b a c, a, b, c R;
性质5 (a b) a b, (a b) a b, a, b R; 性质6 m(na) (mn)a, n(a b) na nb, m, n Z , a, b R;
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 三 章
环 和 域
群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统 “· ” R, , 中设 Z 为整数集,

例5 设 Z [ i ] 为高斯整环,试确定 Z [ i ] / (1 i ). 解： (1 i ) { x yi | x y 为偶数 } 从而,对任意的 x yi Z [ i ] 如果 x y 为偶数,则
( x yi ) I I
如果 x y 为奇数,则
（2） r , s I I , r , s I , r , s I , 1 2 1 2
r s I 1 , 且 r s I 2 , r s I 1 I 2
x R , xr , rx I 1 , 且 xr , rx I 2 , xr , rx I 1 I 2
定理 4 整数环 Z 的每个理想都是主理想.
2012-9-19
定义 5 设 R 为环, a 1 , a 2 , , a n R ,则 ( a 1 ) ( a 2 ) ( a n ) 为 R 的理想,称为 由 a 1 , a 2 , , a n 生成的理想, 记作
( a1 , a 2 , , a n ) ( a1 ) ( a 2 ) ( a n )
定理 3 设 R 为有单位元的交换环, a R ,则
( a ) a R { a r | r R }.
证明 a R ( a ), 而 a R 是 R 的 理 想 ,
a ( a ), r R , a r ( a ),
a a 1 R aR , ( a ) aR . 于 是 (a ) aR .
1R / I 1R I
2012-9-19
例4 设 m 为大于1的正整数,则
(m ) mZ
为 Z 的理想,从而有商环
Z /( m ) { a ( m ) | a 0 , 1, 2, , m 1} Z m

(1) 极大理想的概念和判断极大理想的方法. (2) 通过极大理想而获得域的方法 (3) 素理想概念和基本性质.
一、 素理想的定义与例子
1．定义 定义1 设P是交换环R的一个真理想，如果对任
意的 a, b R，由 ab P 可以推出 a P 或 b P ，则称P 为环R的素理想。
证明 事实上，设 N 是 F x 的一个理想，且
p x N F x.
若 N p x , 则有 f x N 但 f x p x .由于
p x p x q x | q x F x, f x p x
第 22 讲
第三章 环与域
§7 素理想与极大理想
本讲的目的和要求：
首先,按照教材中的定义，可知其介绍的理想应该是“极大 理想” ，而不该是“最大理想” 。 “最大”和“极大”是两个不同 的概念， “最大”是比谁都大的意思，而“极大”是没有谁比它 大。 “最大”的至多只能有一个，而“极大”却可以有很多。本 讲中所以研究极大理想，其目的欲通过极大理想来就得到域的方 法。设 I 为环 R 的理想，那么剩余类环 R I 未必是域。域是最强的 环，所以使 R I 为域在理想中占有特殊的重要地位是理所当然的 . 在本讲中要求把握：
所以 所以 为
, 从而 的极大理想.
, 即
.
另一方面, 是 的素理想.
, 而
. 所以 不
由定义2 可知，在单环Ｒ中,零理想是极大理想. 反之，如果在环 R 中零理想是极大理想，则 R 必是 单环.
例5 在域 F 上的一元多项式环 F x 中， 不可约多项式
p x 所生成的主理想 p x 是 F x 的极大理想.