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第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文）、（理)24~25页)考情分析考点新知①对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现,目的是结合其他章节的知识，综合进行考查.②幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．①理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.②知道对数函数是一类重要的函数模型.③了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x的相互关系(a〉0，a≠1）.④了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况.1。
(必修1P112测试8改编)已知函数f(x）＝log a x（a〉0，a≠1），若f(2)>f(3），则实数a的取值范围是________．答案：（0，1）解析：因为f（2)>f(3)，所以f（x)＝log a x单调递减，则a∈(0，1）．2. （必修1P89练习3改编)若幂函数y＝f(x）的图象经过点错误!，则f(25)＝________．答案:错误!解析：设f（x)＝xα，则错误!＝9α,∴α＝－错误!，即f（x)＝x－错误!，f(25)＝错误!。
3. (必修1P111习题15改编)函数f(x)＝ln错误!是________（填“奇”或“偶”）函数．答案：奇解析：因为f（－x）＝ln错误!＝ln错误!错误!＝－ln错误!＝－f(x），所以f（x)是奇函数．4。
(必修1P87习题13改编)不等式lg(x－1)〈1的解集为________.答案:（1，11)解析：由0〈x－1〈10，∴1〈x〈11。
5。
(必修1P87习题14改编）对于任意的x1、x2∈（0，＋∞）,若函数f（x）＝lgx，则错误!与f错误!的大小关系是______________________.答案：错误!≤f错误!解析：(解法1）作差运算；(解法2)寻找错误!与f错误!的几何意义，通过函数f(x)＝lgx图象可得．1. 对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝log a x（a〉0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞）．2。
设()41343y y f x x x -=+=+⇒= 故()1f x +的反函数为43x y -=【点拨】在做第二题时，不能把“()1f x +的反函数”理解为“()11f x -+”，后者是指()f x 的反函数()1f x -，作用于对象1x +，即()1f x -在1x +处的函数值。
专题二：数形结合思想数形结合即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图像，并利用图形的特征和规律解决数的问题；或将图像信息部分或全部转化为代数信息，消弱或消除形的推理部分，使要解决的行的问题转化为数量关系的讨论，数形结合的主要特点是数形互化。
如：数⇒形⇒问题的解决；或形⇒数⇒问题的解决；或数⇒形⇒数⇒问题的解决；或形⇒数⇒形⇒问题的解决等。
例4、已知log 5log 5m n >，试确定m 和n 的大小关系。
【解】分三种情况。
令12log 5,log 5m n y y == （1）当log 50,log 50m n >>时，如图①有1m n << （2）当0log 5log 5m n >>时，如图②有01m n <<< （3）当log 50log 5m n >>时，如图③有01n m <<<专题三：分类讨论思想当问题含糊不清，无法说清楚时，解决矛盾的法宝是分类讨论，分类讨论的原则是：（1）分类应当不重不漏；（2）一次分类只能按确定的同一标准进行。
例5、根据条件，确定字母a 的取值范围：（1）()2log 1a y x ax =++的定义域为R（2）函数()()log 24a f x x x =≤≤的最大值比最小值大2.【解】（1）()2log 1a y x ax =++的定义域为R ，则210x ax ++>对一切x R ∈恒成立，即函数()21f x x ax =++的图像恒在x 轴上方。
第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数（2）(对应学生用书(文）、(理)22～23页）考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质,以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．①了解指数函数模型的实际背景.②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.③知道指数函数是一类重要的函数模型。
1。
(必修1P110复习9改编)函数y＝a x－3＋3恒过定点________．答案：(3,4)解析:当x＝3时，f（3）＝a3－3＋3＝4,∴f（x）必过定点（3,4)．2. （必修1P110复习3改编）函数y＝8－16x的定义域是________．答案:错误!解析：由8－16x≥0，所以24x≤23,即4x≤3，定义域是错误!.3。
（必修1P67练习3)函数f（x)＝（a2－1）x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．答案：（－错误!，－1)∪(1,错误!）解析：由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a｜＜2，即－错误!＜a ＜－1或1＜a ＜错误!。
4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f （x ）＝a ＋错误!是奇函数，则常数a ＝________。
答案:－12解析：由f （－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5。
（原创)函数y ＝1＋错误!|x －1|的值域为__________。
答案:(1,2]解析：设y′＝错误!u ,u ＝|x －1|。
由于u ≥0且y′＝错误!u 是减函数， 故0〈错误!｜x －1｜≤1，则1＜y≤2。
1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x （a>0，a ≠1）叫做指数函数,函数的定义域是R ．2。
指数函数的图象与性质a>1 0<a 〈1图象定义域 R 值域(0,＋∞）［备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x ）＝错误!－错误!＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －错误!＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝错误!2＋错误!.∵ x ∈［－3，2］, ∴ 错误!≤2－x ≤8.则当2－x ＝错误!，即x ＝1时，f （x ）有最小值34;当2－x ＝8,即x ＝－3时，f(x ）有最大值57。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6 二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为 ；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是 函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝ 是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1 (1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝ 的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝ 为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一 (利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三 (利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。
第二章函数与导数第7课时指数函数、对数函数及幂函数（1) （对应学生用书(文)、(理)20～21页）考情分析考点新知①幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，要引起重视。
②对数式和指数式的相互转化,应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究指、对数函数的前题，高考的涉及面比较广．①理解指数和指数函数的概念，会进行根式与分数指数幂的互化,掌握有理指数幂的性质和运算法则,并能运用它们进行化简和求值.②理解对数的概念，熟练地进行指数式和对数式的互化，掌握对数的性质和对数运算法则，并能运用它们进行化简和求值。
,1. (必修1P63习题2改编）用分数指数幂表示下列各式（a〉0，b〉0):(1）错误!＝________；(2) 错误!＝________；（3) 错误!2·错误!＝________．答案：(1）a错误!（2) a错误!(3）a错误!b错误!2。
（必修1P80习题6改编)计算：（lg5）2＋lg2×lg50＝________．答案：1解析：原式＝（lg5）2＋lg2×（1＋lg5）＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.3。
（必修1P 80习题12改编）已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________．答案：2b －a解析:lg24＝lg 错误!＝2lg12－lg6＝2b －a 。
4。
（必修1P 63习题6改编)若a ＋a －1＝3，则a 错误!－a －错误!＝______．答案：±4解析：a 错误!－a －错误!＝(a 错误!－a －错误!)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 错误!－a－错误!）2＝a ＋a －1－2＝1，∴ （a 错误!－a －错误!）＝±1，∴ 原式＝（±1）×（3＋1）＝±4.5。
已知实数a 、b 满足等式错误!a ＝错误!b ，下列五个关系式： ① 0＜b ＜a ；② a ＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b ＜a ＜0；⑤ a ＝b 。
