指对幂函数复习课课件
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§5.4 指数函数和幂函数的性质预备知识∙函数的定义域和函数的值域∙指数函数和幂函数的图象重点∙指数函数和幂函数的性质难点∙指数函数和幂函数的增减性∙指数函数的图象及与底的关系,∙幂函数的图象及与指数的关系学习要求∙掌握指数函数和幂函数的性质∙了解指数函数的图象及与底的关系∙了解幂函数的图象及与指数的关系在第三章中定义指数函数和幂函数时,我们已经初步介绍了它们的性质.在这一节中,我们在复习已学性质的基础上,将进一步讨论它们的性质,讨论的线索就是上一节所论及的一些内容.经过这一节的学习,使你能对这两个函数有更全面的了解. 1. 指数函数的性质在第三章已经知道指数函数y =a x 的底a >0,且a ≠1;在那里我们还分别作出过指数函数y =2x , y =3x , y =x )21(和y =x )31(等的图象,并且指出这些函数的定义域是(-∞,+∞);它们的图象无对称性、无周期性.现在,我们在同一个直角坐标系内,画出这四个指数函数的图象,另外再添上两个指数函数y =4x , y =x )41(的图象(见图5-27).从图5-27中,你可以看出指数 函数随着a 的变化而变化的趋势. 当0<a <1,a 越接近1,在y =1以上 的图象离y 轴越远;随着a 由1逐渐 减小,y =a x 的图象左翘右压,好像在 绕着点(1,0) 作顺时针旋转,逐渐靠向 y 轴;而当a >1,a 越大,在y =1以上 的图象离y 轴越近;随着a 逐渐减小, y =a x 的图象继续左翘右压,仍然好像 在绕着点(1,0)作顺时针旋转,逐渐远离y 轴(见图5-27中圆箭头所示).当然,上面讲的仅仅是指图象的变化趋势,实际上不同的a ,y =a x 的图象的线型也是在变化的,而不是简单的旋转. 这种变化趋势,使你在遇到不同的a 时,可以估计y =a x 的图象的大致位置.例如y =(2.5)x 的图象,肯定夹在y =2x 与y =3x 的图象之间;y =x )125(的图象,也肯定夹在y =x )21(和y =x )31(的图象之间.依此类推,你能够相信,只要有了y =n x 和y =x n )1((n =1,2,3,...)的图象,因为任何a (a >0, a ≠1),当0<a <1(a ≠n 1),必定存在一个n 0∈N *,使110+n < a <01n ,因此y =a x 的图象会夹在y =x n )1(0的图象与y =x n )11(0+的图象之间;当a >1(a ≠n ),也必定存在一个自然数n 1∈N *,使n 1<a <n 1+1,因此y =a x 的图5-271 y =图象会夹在y =(n 1+1)x 的图象与y =(n 1)x 的图象之间.这表明,任何a (a >0,a ≠1),y =a x 的图象,要么就是y =n x 和y =x n)1((n ∈N *)这种图象,要么夹在这种图象之间.因此我们不必如图5-27那样画出众多的指数函数图象,只要分0<a <1、a >1两种情况,画出两条典型的图象作为代表(见图5-28),就能了解指数函数y =a x 的基本性质了.这些基本性质是:(1)任意a >0,指数函数定义域为(-∞,+∞), 值域为(0,+∞);(2)任意a >0,指数函数既不是奇函数, 也不是偶函数,它的图象既不是中心对称, 也不是关于y 轴轴对称;(3)任意a >0,指数函数都没有周期性; (4)指数函数的单调性与底a 有关: 当a >1,y =a x 单调增加,且在x ∈(-∞,0), a x <1,在x ∈(0,+∞,),a x >1;当0<a <1,y =a x 严格单调减小,且在x ∈(-∞,0),a x >1,在x ∈(0,+∞,),a x <1. 从图象角度来看,也可得出指数函数y =a x (a >0,a ≠1)图象的一些特性: (1)在x 轴的上方,都经过点(0,1); (2)无任何对称性,无周期性;(3)当a >1,图象曲线上升,在y 轴左边的图象曲线,位于水平线y =1以下,当x 无限减小时,图象无限靠近x 轴;在y 轴右边的图象曲线,位于水平线y =1以上,当x 无限增加时,图象向右上方无限延伸;(4)当0<a <1,y =a x 图象曲线下降,在y 轴左边的图象曲线,位于水平线y =1以上,当x 无限减小时,图象向左上方无限延伸;在y 轴右边的图象曲线,位于水平线y =1以下,当x 无限增加时,图象无限靠近x 轴. 例1 比较下列指数函数值的大小: (1)y =21.5, y =21.4; (2)y =5-1.4, y =5-1.1;(3)y =)21(0.3 , y =)21(0.4; (4)y =)32(-0.31, y =)32(-0.32.解 (1)指数函数a x 的底a =2>1,所以函数单调增加,所以21.5>21.4 ▌ (2)指数函数a x 的底a =5>1,函数单调增加,所以5-1.4<5-1.1▌(3)指数函数a x 的底a =21<1,函数单调减小,所以)21(0.3 >)21(0.4▌ (4) 指数函数a x 的底a =32<1,函数单调减小,所以)32(-0.31<)32(-0.32 ▌例2 把下列各数由小到大排列,并用“<”把它们连结起来: (1)0.32, 62.3, 0, 0.50, 62.1; (2)0.5-2, 0-3.2, 21.5, 0.40, 7-0.3. 解 (1)指数函数的函数值都是正的,所以0最小.图5-28因为 0.50=1, 0.32=0.09<1,所以 0<0.32<0.50.62.3, 62.1是a x 的底a =6时的两个函数值,因为6>1, 2.3>0, 2.1>0,所以62.3>1, 62.1>1.又因为a =6>1,a x 单调增加,所以62.3>62.1. 综上得 0<0.32<0.50<62.1<62.3 ▌(2)0-3.2=0,指数函数的函数值都是正的, 所以0-3.2最小; 7-0.3是a x 的底a =7时的两个函数值,因为-0.3<0,所以7-0.3<1, 又因为 0.40=1,所以 0-3.2<7-0.3<0.40=1. 0.5-2=(21)-2=4>1;21.5是a x 的底a =2时的函数值,因为a =2>1, 1.5>0,所以21.5>1,又2x 单调增加,所以1<21.5<22=4=0.5-2.综上得 0-3.2<7-0.3<0.40<21.5<0.5-2 ▌例1、例2貌似简单,其实比较起来你会觉得很繁.你会说,我有计算器,只要把所有数计算出来,就能比较了,何必自讨苦吃?好吧,请你比较两个数:20.1, 20.100000001,在计算器上计算出来是相同的结果――1.071773463,但实际上不等关系是明确的:20.1<20.100000001.可见掌握指数函数性质比计算器有时还要高明一些吧?那么形如例1、例2之类的问题,该如何着手去解呢?一般先把各数与1和0进行比较,把正数分成小于1组和大于1组两部分;然后比较小于1组内的各个数的大小和大于1组内的各个数之间的大小――这一步是关键,你得熟练应用指数函数的性质;最后把各数由小到大统一排列. 课内练习11. 比较下列指数函数值的大小: (1)y =30.5, y =30.4; (2)y =4-1.4, y =5-1.3;(3)y =(31)2.5 , y =(31)2.6; (4)y =(43)-4.3 , y =(43)-4.2.2. 把下列各数由小到大排列,并用“<”把它们连结起来:(1)0.52, 43.2, 0, 20, 0.52.1; (2)3.5-2, 0-5.3, 81.5, 0.20, 3.5-1.9. 例3 在同一个直角坐标系中,作出下列指数函数的示意图:(1)y =4.5x ;(2)y =1.8x ;(3)y =(43)x ;(4)y =(32)x .(所谓示意图,并不要求图象精确,只要求它经过一些特征点,并表明大体形状及相对位置关系.因此不必像我们在函数作图那样用描点法.) 解(1)指数函数y =a x 中的a =4.5>1,据a >1时指数函数图象特性描述(1)~(4),作出示意图如图5-29的实线 ▌(2)指数函数y =a x 中的a =1.8>1,据a >1时指数函数图象特性描述(1)~(4),并注意当a 减小时,图象顺时针旋转的规律,定出它与y =4.5x 的图象的相对位置关系,作出示意图如图5-29的虚线 ▌(3)指数函数y =a x 中的a =43<1,据a <1时指数函数图象特性描述(1)~(4),作出示意图如图-39的单节线 ▌(4)指数函数y =a x 中的a =32<1, 据a <1时指数函数图象特性描述 (1)~(4),并注意当a 减小时, 图象顺 时针旋转的规律,定出它与y =(43)x 的图象的相对位置关系,作出示意 图如图5-29的双节线 ▌ 课内练习21. 在同一个直角坐标系中,作出下列指数函数的示意图: (1)y =2.1x ; (2)y =(23)x ; (3)y =(0.4)x ; (4)y =(73)x .2. 幂函数的性质在第三章,对具体给定了指数α的某些幂函数y =x α作了初步讨论.那时你已经发现,对不同的α,x 允许取值的范围是不同的.在这里,我们的兴趣并不在于具体的某个幂函数,而是在于所有的一般幂函数的性质,也就是对一般的α∈R 来讨论幂函数y =x α的性质的.因为不论α为何值,当x >0时,幂x α总是有意义的,所以在本部分,我们只是在x >0的范围内讨论幂函数y =x α.在第三章,通过例题、课内练习体和课外习题,你已经对α=3,2,21,31, -21,-1,-2,作出过幂函数 y =x 3,y =x 2,x y =,3x y =,x y 1=,x y 1=, y =21x 的图象.现在,我们在同一 个直角坐标系的第一象 限内,画出这些幂函数 的图象(见图5-30),你 可以从中发现随着指数α的变化,幂函数y =x α的图象的变化规律.这 种变化规律明显比指数 函数要复杂一些,但总 的趋势还是清晰可见的:图5-292x y =图5-30α=0))随着α由-∞逐渐变大到0、再由0逐渐变大到1、继续变大直到+∞,在x =1右边的曲线逐渐上翘,而左边的曲线却逐渐下压,好像在绕着点(1,1)旋转. 根据图5-30所见到的规律,可以总结幂函数的性质如表5-1.表5-1 幂函数及其图象变化规律表结合幂函数y =x 图象的总体变化规律,你可以相信,如果能有幂函数 y =x n , y =n x 1, y =nx1-,y =x -n (n ∈N *) (1)的图象,那么任何α∈R ,幂函数y =x α图象就能大致定位了.例如y =x 2 .7的图象总是夹在y =x 2和y =x 3的图象之间;y =10x的图象总是夹在y =x 3和y =x 4的图象之间;y =x -1. 8的图象总是夹在y =x -1和y =x -2的图象之间;y =x 0. 4的图象总是夹在y =31x =3x 和y =21x =x 的图象之间;y =x -0.7的图象总是夹在y =21-x=x1和y =x -1=1的图象之间,....而如(1)形式的幂函数的图象,总是如图5-30形状,由此可见,任何α∈R ,夹在这些的图象之间的y =x α图象也是如图5-30的形状.这表明,在表5-1中所列的、由图5-30总结出来的幂函数及其图象的性质,是所有一般幂函数所共有的.也就是说,你只要把表5-1中第一列的具体的α=2,3,21,31,-21,-1,-2等,改为括号中的α>1, 0<α<1和α<0,那么表1就是一般幂函数的性质及其图象的特性.例1、例2我们仅用指数函数的性质于比较数的大小,现在了解了幂函数的性质,我们也可以把它用于比较数的大小,有时比单纯用指数函数性质更方便.例4 比较下列各对函数值的大小: (1)y =21.8, y =31.8; (2)y =5-1.1, y =6-1.1; (3)y =(21)0.4, y =(31)0.4;(4)y =(32)-3.2, y =(52)-3.2.解 (1)把所给的数看做指数α=1.8的幂函数y =x α的函数值.因为1.8>1,幂函数单调增加,所以21.8<31.8 ▌(2)把所给的数看做指数α=-1.1的幂函数y =x α的函数值.因为-1.1<0,幂函数单调减小,所以5-1.1>6-1.1 ▌(3)把所给的数看做指数α=0.4的幂函数y =x α的函数值.因为0<0.4<1,幂函数单调增加,所以(21)0.4>(31)0.4 ▌(4)把所给的数看做指数α=-3.2的幂函数y =x α的函数值.因为-3.2<0,幂函数单调减小,所以(32)-3.2>(52)-3.2▌ 例5 把下列两组数用“<”连接:(1)0.32.4, 62.4, 1, 22.4, 4.52.4; (2)0.5-2.1, 0.3-2.1, 1, 0.21.6, 0.41.6. 解 (1)把各数看作幂函数y =x 2.4,在x =0.3, 6, 1, 2, 4.5时的函数值.因为指数2.4>1,所以幂函数y =x 2.4单调增加,所以大小关系为 0.32.4<1<22.4< 4.52.4<62.4 ▌(2)把前三个数看做幂函数y =x -2.1在x =0.5, 0.3, 1时的函数值.因为指数-2.1<0,所以幂函数y =x -2.1单调减小,所以有 1<0.5-2.1<0.3-2.1;把后三个数看做幂函数y =x 1.6在x =1, 0.2, 0.4时的函数值.因为指数1.6>1,所以幂函数y =x 1.6单调增加,所以有 0.21.6<0.41.6<1; 综上得 0.21.6<0.41.6<1<0.5-2.1<0.3-2.1 ▌在这里遇到了与例1、例2相同的问题:比较一批数如何着手?方法与那里类似,一般首先把两个特殊的数0,1拿出来,其它数与它作比较;对大于0的数再分成0, 1之间的数和大于1的数两个组;其次在各组内,再应用幂函数性质,比较它们的大小;最后统一排序得到结果. 课内练习31. 比较下列各对函数值的大小:(1)y =50.4, y =30.4; (2)y =4-1.3, y =2-1.3;(3)y =(43)-4.7, y =(52)-4.7; (4)y =(32)2.6, y =(31)2.6. 2. 把下列两组数用“<”连接:(1)0.53.2, 43.2, 1, 23.2, 0.13.2; (2)3-2.4, 2-2.4, 1, 45.4, 75.4. 例6 在同一个直角坐标系中,作出下列幂函数的示意图: (1)y =x 4.5; (2)y =x 1.7; (3)y =x 0.2; (4)y =x -1.1; (5)y =2-x.解 所谓示意图的含义,在例3已经解释过了.(1)在幂函数y = y =x α中,指数α=4.5>1.根据表5-1的图象特性以及与直线y =x , x =1的相对位置关系,作出示意图如图5-31之实线 ▌(2)在幂函数y = y =x α中,指数α=1.7>1.根据表5-1的图象特性,并根据指数α增大图象逆时针“旋转”的论断, 确定它与y =x 4.5图象的相对位置关系, 作出示意图如图5-31之长虚线 ▌ (3)在幂函数 y =x α中,指数α=0.2<1根据表5-1的图象特性以及与直线y =x , x =1的相对位置关系,,作出示意图如 图5-31之点虚线 ▌(4)在幂函数y =x α中,指数α=-1.1 <0.根据表5-1的图象特性以及与直 线x =1和y 轴的相对位置关系,作出 示意图如图5-31之单节线▌(5)在幂函数 y =x α中,指数α=-2<0.根据表5-1的图象特性,并根 据指数α增大图象逆时针“旋转”的论断,确定它与y = x -1.1图象的相对位置关系,作出示意图如图5-31之双节线 ▌ 课内练习41. 在同一个直角坐标系中,作出下列幂函数的示意图: (1)y =x -0.9; (2)y =x -2.1; (3)y =x -2.5; (4)y =x 2.4; (5)y =3x.阅读材料(关于幂函数和指数函数的“突变”现象)仔细观察图5-30,你能发现一个非常奇怪的现象.当α>0时,幂函数αx y =的图象都是经过原点(0,0)的;当α=0,幂函数y =x 0=1,是一条过点(0,1)平行于x 轴的直线,它已经不经过原点了;当α<0时,图象在靠近x =0端又变成是无限延伸的了.幂函数的图象,在α>0时,随着α的减小,变化是有一定规律的,在α<0时,随着α的减小,变化也是有一定规律的,但就是在α=0这一个值处,却发生了“突变”.这是不是有些令人费解?同样的现象,你也能在指数函数y =a x 的图象变化中看到(见图5-27),它对底a 也有“突变”点a =1.在0<a<1时,随着a 逐渐变大,指数函数图象的变化是很有规律的;但当经过a =1时,图象好像突然关于y 轴翻过来了;图5-31之后随着a 逐渐增大,变化又变得有规律.因此我们在指数函数定义中,把a =1排除在外,规定只考虑a >0且a ≠1.要解释清楚这些反常的“突变”现象,不是一件简单的事.事实上,在数学发展的早期,这些问题确实长期困扰了很多数学家.但正是对这种突变现象的解释的挚著追求,促使一门新的几何学的诞生,从而使不少在以笛卡儿坐标系为基础的欧几里德平面内无法解释的所谓反常现象,得到了圆满的解释.这表明笛卡儿坐标系是有其局限性的,它不能反映图象无限延伸之后的变化性态,而只是在有限范围内,正确地反映客观实际.这也表明人类思维的巨大威力,图象延伸到无限之后,已经不再可见,但人们凭借正确的思维,可以“见到”它的变化.这正说明了一个道理:只要善于思索,就能发现问题;只要挚著追求,就能有所收获.课外习题 A 组1. 不求值,比较下列函数值的大小:(1)y =20.7, y =20.6; (2)y =0.22, y =0.22.1; (3)y =2-0.1, y =2-0.2;(4)3121)31(,)31(--==y y ; (5)y =20.1, y =0.12; (6)y =0.5-1.2, y =1.2-0.5.2. 不求值,比较下列各式的大小:(1)2.12, 2.22; (2)0.13, 0.23; (3)0.10.2, 0.20.2; (4)0.1-0.2, 0.2-0.2; (5)321-,331-; (6)21)31(-, 21)41(-.3. 在同一坐标系中,作出下列指数函数的示意图: (1)y =2x ; (2)y =1.5x ; (3)y =2.5x .4. 在同一坐标系中,作出下列指数函数的示意图: (1)y =x )21(; (2)y =x )32(; (3)y =0.4x .5. 在同一坐标系中,作出下列幂函数的示意图: (1)y =x 2; (2)y =x 2.5; (3)y =x 1.5.6. 在同一坐标系中,作出下列幂函数的示意图: (1)y =21x ; (2) y =31x ; (3)y =32x .7. 在同一坐标系中,作出下列幂函数的示意图: (1)y =x -1; (2) y =x –1. 5; (3)y =x –2. 5.B 组1. 把下列各数由小到大排列,并用“<”连结起来: (1)23.1, 0.5-2.1, 1, 0, 7-0.3; (2)1,)21(,)21(,)31(,)21(31212131---.2. 把下列各数由小到大排列,并用“<”连结起来:(1)(-1.1)-1, (-0.9)-1, 0, 0.9-1, 1.1-1; (2)1.70.6, 0.70.6, 0.70.8, 1.70.8, 1.C 组1. 在同一坐标系中,作出下列指数函数的示意图:(1)y =2.3x ; (2)y =0.6x ; (3)y =x )43(; (4)y =x )35(.2. 在同一坐标系中,作出下列幂函数的示意图: (1)y =x -0. 4; (2)y =x -1. 3; (3)2x y =; (4)y =x 0. 6.。