2018高中数学第1章统计案例1.2回归分析课件苏教版

回归分析．线性回归模型()线性回归模型＝＋＋ε，其中＋是确定性函数，ε称为随机误差．()随机误差产生的原因主要有以下几种：①所用的确定性函数不恰当引起误差；②忽略了某种因素的影响；③存在观测误差．()在线性回归方程＝＋中＝错误!＝错误!，＝－(其中＝，＝)．其中，，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．．相关系数()计算两个随机变量间线性相关系数的公式)－(,\(－))))－(,\(－)))＝()具有如下性质：①≤；②越接近于，，的线性相关程度越强；③越接近于，，的线性相关程度越弱．．对相关系数进行显著性检验的基本步骤()提出统计假设：变量，不具有线性相关关系；()如果以的把握作出判断，那么可以根据－＝与－在教材附录中查出一个的临界值(其中－＝称为检验水平)；()计算样本相关系数；()作出统计推断：若>，则否定，表明有的把握认为与之间具有线性相关关系；若≤，则没有理由拒绝原来的假设，即就目前数据而言，没有充分理由认为与之间有线性相关关系．我们把相关关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系式＝＋就是回归直线方程．求回归直线方程的一般方法是借助于工作软件求出回归直线方程，也可以利用计算器计算出，再由＝－求出，写出回归直线方程＝＋.计算时应注意：()求时，利用公式＝－)),\(＝)\()－(,\(－)))，先求出＝(＋＋…＋)，＝(＋＋…＋)，＝＋＋…＋，＝＋＋…＋.再由＝－求出的值，并写出回归直线方程．()线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致估计结果的偏差．()回归直线方程＝＋中的表示增加个单位时，的变化量为，而表示不随的变化而变化的部分．()可以利用回归直线方程＝＋求在取某一个值时的估计值．[例] 假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的维修费用(万元)有如下的统计资料：若由数据可知，对呈线性相关关系．()求线性回归方程；()估计使用年限为年时，维修费用是多少？[思路点拨] 由于题目条件已经指明对呈线性相关关系，所以可直接利用公式求与，然后求出线性回归方程，最后把代入，估计维修费用．[精解详析] ()列表如下：。

1.2 回归分析（一）明目标、知重点 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.1.回归直线方程在回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x 2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ^＝y－b ^x .其中x ＝1n ∑ni ＝1x i ，y ＝1n∑n i ＝1y i . (x ，y )称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心. 2.相关系数(1)对于变量x 与y 随机抽到的n 对数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，检测统计量是样本相关系数r ＝∑n i ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2∑n i ＝1y i －y2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2∑ni ＝1y 2i －n y2.(2)相关系数r 的取值范围是[－1,1]，|r |值越大，变量之间的线性相关程度越高；|r |值越接近0，变量之间的线性相关程度越低.当|r |>r 0.05时，表明有95%的把握认为两个变量之间有线性相关关系.[情境导学]“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 探究点一 回归直线方程思考1 两个变量之间的关系分几类？ 答 分两类：①函数关系，②相关关系.函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系.思考2 什么叫回归分析？答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. 思考3 对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪几个步骤？ 答 基本步骤为画散点图，求回归直线方程，用回归直线方程进行预报. 例1 若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg4857505464614359. 解 (1)画散点图选取身高为自变量x ，体重为因变量y ，画出散点图，展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系.由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y ＝bx ＋a 来近似刻画它们之间的关系.(2)建立回归方程由计算器可得b ^＝0.849，a ^＝－85.712.于是得到回归直线方程为y ^＝0.849x －85.712. (3)预报和决策当x ＝172时，y ^＝0.849×172－85.712＝60.316(kg). 即一名身高为172 cm 的女大学生的体重预报值为60.316 kg. 反思与感悟 在使用回归直线方程进行预报时要注意： (1)回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体； (2)我们所建立的回归直线方程一般都有时间性； (3)样本取值的范围会影响回归直线方程的适用范围；(4)不能期望回归直线方程得到的预报值就是预报变量的精确值.跟踪训练1 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y2356(1)请画出上表数据的散点图((2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据求出的回归直线方程，预测记忆力为9的同学的判断力. 解 (1)如图：(2)∑ni ＝1x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑ni ＝1x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3.(3)由(2)中回归直线方程，当x ＝9时，y ^＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.探究点二 相关性检验思考1 给出n 对数据，按照公式求出的回归直线方程，是否一定能反映这组成对数据的变化规律？答 如果数据散点图中的点都大致分布在这条直线附近，这条直线就能反映这组成对数据的变化规律，否则求出的方程没有实际意义. 思考2 怎样定量确定两个变量的相关关系？答 可以通过计算相关系数r 来确定，若|r |>r 0.05，可以有95%的把握认为两个变量具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由认为两个变量具有线性相关关系，此时寻找回归直线方程毫无意义.例2 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x (g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据：甲醛浓度(g/L) 18 20 22 24 26 28 30 缩醛化度(克分子%) 26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36(1)画散点图； (2)求回归直线方程；(3)求相关系数r ，并进行相关性检验. 解 (1)散点图如下图：(2)可以看出，两变量之间有近似的线性相关关系，下面用列表的方法计算a ^，b ^.ix iy ix i 2x i y i1 18 26.86 324 483.482 20 28.35 400 5673 22 28.75 484 632.5 4 24 28.87 576 692.88 5 26 29.75 676 773.5 6 28 30.00 784 8407 30 30.36 900 910.80 ∑168202.944 1444 900.16x ＝1687＝24，y ＝202.947， b ^ ＝∑7i ＝1x i y i －7x y ∑7i ＝1x i 2－7x 2＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×242≈0.264 3， a ^＝y －b ^x ＝202.947－0.264 3×24≈22.648， ∴回归直线方程为y ^＝22.648＋0.264 3x .(3)∑7i ＝1y i 2≈5 892，r ＝∑7i ＝1x i y i －7x y∑7i ＝1x i 2－7x2∑7i ＝1y i 2－7y2＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×242×[5 892－7×⎝ ⎛⎭⎪⎫202.9472]≈0.96.∵r ＝0.96>r 0.05＝0.754.∴有95%的把握认为“甲醛浓度与缩醛化度有关系”，求得的回归直线方程有意义. 反思与感悟 根据已知数据求得回归直线方程后，可以利用相关系数和临界值r 0.05比较，进行相关性检验.跟踪训练2 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2007年至2012年的情况，得到了下面的数据：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 x (℃) 24.4 29.6 32.9 28.7 30.3 28.9 y (日)19611018(1)对变量x 、y 进行相关性检验；(2)据气象预测，该地区在2013年3月下旬平均气温为27℃，试估计2013年4月化蛹高峰日为哪天.解 由已知条件可得下表：i 1 2 3 4 5 6 x i 24.4 29.6 32.9 28.7 30.3 28.9 y i19611018x ≈29.13，y ＝7.5，∑i ＝16x i 2＝5 130.92，∑i ＝16y i 2＝563，∑i ＝16x i y i ＝1 222.6(1)r ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x i 2－6x2∑i ＝16y i 2－6y2≈－0.934 1.查表知：r 0.05＝0.811.由|r |>r 0.05，可知变量y 和x 存在线性相关关系.(2)b ^＝1 222.6－6×29.13×7.55 130.92－6×29.132≈－2.23， a ^＝y －b ^x ≈72.46.所以回归直线方程为y ^＝－2.23x ＋72.46.当x ＝27时，y ^＝－2.23×27＋72.46≈12.据此，可估计该地区2013年4月12日为化蛹高峰日.1.下列各组变量之间具有线性相关关系的是( ) A.出租车费与行驶的里程 B.学习成绩与学生身高 C.身高与体重 D.铁的体积与质量 答案 C2.对变量y 和x 进行相关性检验，已知n 为数据的对数，r 是相关系数，且已知①n ＝3，r ＝0.995 0；②n ＝7，r ＝0.953 3；③n ＝15，r ＝0.301 2；④n ＝17，r ＝0.499 1.则变量y 和x 具有线性相关关系的是( )A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④答案 C解析 ①n ＝3时，r 0.05＝0.997，所以|r |<r 0.05，我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻找回归直线方程是毫无意义的.②n ＝7时，r 0.05＝0.754，所以|r |>r 0.05，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系.③n ＝15时，r 0.05＝0.514，所以|r |<r 0.05，我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻找回归直线方程是毫无意义的.④n ＝17时，r 0.05＝0.482，所以|r |>r 0.05，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系.所以②和④满足题意.3.某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200B.y ^＝10x ＋200C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200 答案 A解析 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B 、D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意，故选A.4.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元. 答案 0.2540.254x＋1＋0.321－(0.254x＋0.321)＝0.254.解析由题意知[][呈重点、现规律]1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析，可从散点图观察大致呈条状分布，可以求回归直线方程并进行预报.2.通过求相关系数并和临界值r0.05比较可以判断两个变量是否有线性相关关系，求得的回归直线方程是否有意义.。

1.2 回归分析学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析．知识点一 线性回归模型思考 某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：请问如何表示年推销金额y 与工作年限x 之间的相关关系？y 关于x 的线性回归方程是什么？ 答案 画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示两变量之间的相关关系．设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝i ＝15(x i －x )(y i －y )i ＝15(x i －x )2＝1020＝0.5， a ^＝y －b ^x ＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.梳理 线性回归模型 (1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x ，y ，y 的值不能由x 完全确定，可将x ，y 之间的关系表示为y ＝a ＋bx ＋ε，其中a ＋bx 是确定性函数，ε称为随机误差． (2)随机误差产生的主要原因①所用的确定性函数不恰当引起的误差． ②忽略了某些因素的影响． ③存在观测误差．(3)线性回归模型中a ，b 值的求法y ＝a ＋bx ＋ε称为线性回归模型．a ，b 的估计值为a ^，b ^，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n (x )2，a ^＝y －b ^x .(4)回归直线和线性回归方程直线y ^＝a ^＋b ^x 称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^称为回归值． 知识点二 样本相关系数r具有相关关系的两个变量的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.思考1 变量y ^与真实值y 一样吗？ 答案 不一定．思考2 变量y ^与真实值y 之间误差大了好还是小了好？ 答案 越小越好．梳理 样本相关系数r 及其性质(1)r ＝∑i ＝1nx i y i －n x y(∑i ＝1nx 2i －n (x )2)(∑i ＝1ny 2i －n (y )2).(2)r 具有以下性质： ①|r |≤1.②|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强． ③|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．知识点三 对相关系数r 进行显著性检验的基本步骤 1．提出统计假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系．2．如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n －2在教材附录1中查出一个r 的临界值r 0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)． 3．计算样本相关系数r .4．作出统计推断：若|r |＞r 0.05，则否定H 0，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系．1．求线性回归方程前可以不进行相关性检验．( × )2．在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ ) 3．利用线性回归方程求出的值是准确值．( ×)类型一 求线性回归方程例1 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n (x )2，a ^＝y －b ^x 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)如图：(2)∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝14x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x ＝9时，y ^＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．②计算：x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .③代入公式求出y ^＝b ^x ＋a ^中参数b ^，a ^的值． ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义． 跟踪训练1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)散点图如图．(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5(x )2＝25054－5×73.2×67.827174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －b ^x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的线性回归方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)当x ＝96时，y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩约是82. 类型二 线性回归分析例2 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x )与入学后第一次考试的数学成绩(y )如下表：请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？ 考点 题点解 x ＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， y ＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68.∑i ＝110x 2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584. ∑i ＝110y 2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47384. ∑i ＝110x i y i ＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相关系数为r ＝73796－10×107.8×68(116584－10×107.82)(47384－10×682)≈0.751. 由检验水平0.05及n －2＝8， 在附录1中查得r 0.05＝0.632. 因为0.751＞0.632，由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系． 反思与感悟 相关关系的两种判定方法 (1)利用散点图判定(2)利用相关系数判定计算r ―→结合r 的值与相关性检验临界值表中的值进行比较判断跟踪训练2 一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：对变量y 与x 进行线性相关性检验． 考点 题点解 由题中数据可得x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438,4x y ＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14y 2i ＝291， 所以r ＝∑i ＝14x i y i －4x y(∑i ＝14x 2i －4(x )2)(∑i ＝14y 2i －4(y )2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈0.995. 由检验水平0.05及n －2＝2，在教材附录1中查得r 0.05＝0.950，因为r ＞r 0.05，所以y 与x 具有线性相关关系． 类型三 非线性回归分析 例3 下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系； (2)建立x 与y 的关系；(3)利用所得模型，估计当x ＝40时y 的值． 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a ，a ＝ln c 1，b ＝c 2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程，数据可以转化为x ＝17(21＋23＋…＋32＋35)＝27.429，z ＝17(1.946＋2.398＋…＋4.745＋5.784)＝3.612，∑i ＝17x i z i ＝733.741，∑i ＝17x 2i ＝5414. 求得线性回归方程为z ^＝0.273x －3.876，∴y ^＝e0.273x －3.876.(3)当x ＝40时，y ^＝e 0.273x －3.876≈1146.反思与感悟 非线性回归问题的处理方法 (1)指数型函数y ＝e bx ＋a①函数y ＝ebx ＋a的图象②处理方法：两边取对数，得ln y ＝lnebx ＋a，即ln y ＝bx ＋a .令z ＝ln y ，把原始数据(x ，y )转化为(x ，z )，再根据线性回归模型的方法求出a ，b . (2)对数型函数y ＝b ln x ＋a ①函数y ＝b ln x ＋a 的图象：②处理方法：设x ′＝ln x ，原方程可化为y ＝bx ′＋a ， 再根据线性回归模型的方法求出a ，b . (3)y ＝bx 2＋a 型处理方法：设x ′＝x 2，原方程可化为y ＝bx ′＋a ，再根据线性回归模型的方法求出a ，b . 跟踪训练3已知某种食品每千克的生产成本y (元)与生产该食品的重量x (千克)有关，经生产统计得到以下数据：通过以上数据，判断该食品的生产成本y (元)与生产的重量x (千克)的倒数1x之间是否具有线性相关关系．若有，求出y 关于1x的回归方程，并估计一下生产该食品500千克时每千克的生产成本约是多少．(精确到0.01) 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析解 设u ＝1x，通过已知数据得到y 与u 的相应数据为根据上述数据可求得相关系数r ＝∑i ＝110u i ·y i －10u ·y(∑i ＝110u 2i －10·(u )2)(∑i ＝110y 2i －10·(y )2)≈0.9998，于是有很大的把握认为y 与1x具有线性相关关系．而b ^＝∑i ＝110u i ·y i －10u ·y∑i ＝110u 2i －10(u )2≈8.973，a ^＝y －b ^·u ≈1.126，于是y 与1x 的回归方程为y ^＝8.973x＋1.126.当x ＝500时，y ^＝8.973500＋1.126≈1.14.所以估计生产该食品500千克时每千克的生产成本约是1.14元.1．设有一个线性回归方程y ^＝2－1.5x ，当变量x 增加1个单位时，y 平均________个单位． 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 减少1.5解析 由回归方程中两个变量之间的关系可以得到．2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是________．(填序号)考点 回归分析题点 建立回归模型的基本步骤 答案 ①③解析 由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型． 3．某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如表：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，则上表中的t ＝________.考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 34．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点________.考点 线性回归方程 题点 样本点中心的应用答案 (2.5,4)解析 回归直线必过样本点中心(x ，y )，即(2.5,4)． 5．已知x ，y 之间的一组数据如下表：(1)分别计算：x ，y ，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4，x 21＋x 22＋x 23＋x 24； (2)已知变量x 与y 线性相关，求出回归方程． 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程解 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14.(2)b ^＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2，a ^＝y －b ^x ＝4－2×1.5＝1，故y ^＝2x ＋1.回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量．(2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^)． (4)按一定规则估计回归方程中的参数．一、填空题1．根据如下样本数据：得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则a ^，b ^与0的大小关系是________． 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用答案 a ^＞0，b ^＜0 解析 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0.故a ^>0，b ^<0.2．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，线性回归方程为y ^＝0.7x ＋a ^，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量约为________万盒． 考点 线性回归方程 题点 样本点中心的应用 答案 8.1解析 回归直线一定过样本点中心．由已知数据，可得x ＝3，y ＝6，代入回归方程，可得a ^＝y －0.7x ＝3.9，即回归方程为y ^＝0.7x ＋3.9.把x ＝6代入，可得y ^＝8.1，所以6月份的产量约为8.1万盒．3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1849，则y 与x 的线性回归方程是________________． 考点 线性回归方程题点 求线性回归方程答案 y ^＝2.62x ＋11.47解析 由题中数据得x ＝6.5，y ＝28.5，∴b ^＝∑i ＝18x i y i －8x·y∑i ＝18x 2i －8(x )2＝1849－8×6.5×28.5478－8×6.52＝367140≈2.62， a ^＝y －b ^x ≈28.5－2.62×6.5＝11.47，∴y 与x 的线性回归方程是y ^＝2.62x ＋11.47. 4．已知x ，y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 考点 题点 答案 2.6解析 ∵x ＝2，y ＝4.5.又回归直线恒过定点(x ，y )，代入得a ^＝2.6.5．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x (cm)和体重y (kg)的线性回归方程为y ^＝0.849x －85.712，则身高172cm 的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________kg. 考点 题点 答案 60.316解析 y ^＝0.849×172－85.712＝60.316. 6．有下列关系：①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系；③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号) 考点 题点 答案 ②③解析 由相关关系定义分析．7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型估计广告费用为6万元时的销售额为____________万元． 考点 题点 答案 65.5解析 样本点中心是(3.5,42)，则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入，得y ^＝65.5.8．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________． 考点 线性相关系数题点 线性相关系数的概念及计算 答案 1解析 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在一条直线上且直线斜率大于零时，相关系数为1.9．对于回归分析，有下列叙述：①在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定； ②线性相关系数可以是正的或是负的；③回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关； ④样本相关系数r ∈(－∞，＋∞)． 其说法正确的序号是________．考点 题点 答案 ①②③解析 由回归模型及其性质易知①②③是正确的．相关系数的取值范围应为|r |≤1，所以④是错误的．10．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝ebx ＋a的周围．令z ＝ln y ，求得线性回归方程为z ^＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为________． 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 答案 y ＝e0.25x －2.58解析 因为z ^＝0.25x －2.58，z ＝ln y ，所以y ^＝e0.25x －2.58.11．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)的对比结果如下：则从表中数据分析，________回归方程更好．(即与实际数据更贴近) 考点 两个模型拟合效果的比较 题点 两个模型拟合效果的比较 答案 甲解析 可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为3240＝45，而乙回归方程的数据准确率为4060＝23.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些． 二、解答题12．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n (x )2，a ^＝y －b ^x ) 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)散点图如图．(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4(x )2＝0.7，所以a ^＝y －b ^x ＝1.05.所以y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如第(1)问图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时．13．为了研究某种细菌随时间x 的变化繁殖个数y 的变化情况，收集数据如下：(1)(2)求y 与x 之间的回归方程． 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 解 (1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令z ＝ln y ，则所以z ^＝0.69x ＋1.115，则有y ^＝e 0.69x ＋1.115.三、探究与拓展14．已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝1.02x ＋a ^，则a ^＝________. 考点 题点 答案 0.92解析 由题意得x ＝4，y ＝5，又(x ，y )在直线y ^＝1.02x ＋a ^上，所以a ^＝5－4×1.02＝0.92.15．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (t)之间的一组数据为已知∑i ＝15x i y i ＝62，∑i ＝15x 2i ＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t) 考点 题点解 (1)散点图如图所示：(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，∑i ＝15x i y i ＝62，∑i ＝15x 2i ＝16.6， 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5(x )2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a ^＝y －b ^x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，故y 对x 的线性回归方程为y ^＝－11.5x ＋28.1.(3)y ^＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．故价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25 t.。

1.2 回归分析知识梳理1.回归直线方程为______________________，其中aˆ=___________，bˆ=___________.2.回归直线不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x完全确定，它们之间是___________关系，y=a+bx+ε,其中___________是确定性函数，ε称为___________，将___________称为线性回归模型.3.随机误差产生的主要原因有：（1）所用的确立性函数不恰当引起的误差；（2）____________________________________________________________________；（3）____________________________________________________________________.4.对于x、y随机取到的n对数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),样本相关系数γ的计算公式为γ=____________________________________________________________________=____________________________________________________________________.5.线性相关系数γ的性质：（1）｜γ｜≤1;(2)｜γ｜越接近于__________，y的线性相关程序越强；（3）｜γ｜越接近于__________，y的线性相关程序越弱.知识导学在研究两个变量之间的关系时，首先可以利用散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.作相关检验的依据可以利用样本相关系数γ,当γ>0时，表明x与y正相关；γ<0时，表明x与y负相关；当｜γ｜→1时，表明x与y的线性相关性越强；当｜γ｜→0时，表明x与y的线性相关性越弱，几乎不存在线性相关的关系.疑难突破1.建立回归模型的基本步骤是什么呢？一般地，建立回归模型的基本步骤是：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系.（例如是否存在线性关系等）（3）由经验确定回归方程的类型（如果我们观察到数据是线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a).(4)按一定的规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）.2.在应用回归直线方程解决问题时，应注意些什么呢？（1）回归直线方程只适合于我们所研究的样本的总体.例如：不能用女大学生的身高与体重之间的回归直线方程，描述女运动员的身高和体重之间的关系.同样，不能用生长在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归直线方程，来描述北方干旱地区树木的高与直径之间的关系.（2）我们所建立的回归直线方程一般都有时间性.例如：不能用20世纪80年代人的身高、体重数据所建立的回归方程，描述现在人的身高、体重间的关系.（3）样本取值的范围会影响回归方程的适用范围，例如：我们的回归直线方程是由女大学生身高和体重的数据建立的，那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当. （4）不能认为回归直线方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上，它是预报变量可能取值的平均值. 典题精讲 【例1】 为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：母亲身高x(cm) 159 160 160 163 159 154 159 158 159 157 女儿身高y(cm) 158 159 160 161 161 155 162 157 162 156试对x 与y 进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm 时，女儿的身高为多少？ 思路分析：这是一个回归分析类问题，解决这一类问题，首先应对问题进行必要的相关性检验，如果x 与y 之间具有相关关系，再求出对应的回归直线方程，最后利用回归直线方程来预报当x=161 cm 时y 的值，当γ>0时，表明x 与y 正相关，γ<0时，表明x 与y 负相关，当｜γ｜→1时，表明x 与y 的线性相关越强，当｜γ｜→0时，表明x 与y 的相关性越弱，几乎不存在相关关系，通常认为当γ>0.75时，变量x 、y 有很强的相关关系，因而求回归直线方程才有意义，也才可以预测取值的情况. 解：作线性相关性检验，x =101×（159+160+…+157）=158.8. y =101×(158+159+…+156)=159.1 ∑2ix-102x =（1592+1602+…+1572)-10×158.82=47.6∑iiyx -y x 10=（159×158+160×159+…+157×156)-10×158.8×159.1=37.2∑2iy -102y =（1582+1592+…+1562）-10×159.12=56.9 因此γ=∑∑∑---)()((2222y n y x n x yx n yx i i ii=9.466.472.37⨯≈0.71由于0.71接近于1，表明x 与y 有较强的相关关系，因而求回归直线方程有必要.又bˆ=6.472.3722=--∑∑x n x y x n y x ii i =0.78 aˆ=159.1-0.78×158.8=35.2 由此得回归直线方程为yˆ=35.2+0.78x;回归系数=0.78反映出当母亲身高每增加1 cm 时女儿身高平均增加0.78 cm, aˆ=35.2可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分，当母亲身高为161 cm 时预报女儿身高为：y ˆ=0.78×161+35.2=160.78≈161 cm,这就是说当母亲身高为161 cm 时，女儿身高大致也为161 cm.绿色通道：判断x 与y 是否具有线性相关关系，还可以先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关.黑色陷阱：有些同学不对问题进行必要的相关性检验，直接求x 与y 的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能发现变量x 与y 间的变化规律，另外，要注意计算的正确性. 【变式训练】某班5名学生的数学和化学成绩如下表所示，对x 与y 进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩是多少？学生学科 A B C D E数学成绩（x) 88 76 73 66 63 化学成绩（y) 78 65 71 64 61 解：对x 与y 作相关性判断.x =51×(88+76+73+66+63)=73.2 y =51×(78+65+71+64+61)=67.8 2i x z =882+762+732+662+632=27 174 2i y z =782+652+712+642+612=23 167i i y x z =88×78+76×65+71×73+64×66+61×63=25 054∴2i x z -25x =27 174-5×73.22=382.8i i y x z -y x 5=25 054-5×73.2×67.8=239.2 2i y z -y 5=23 167-5×67.82=182.8∴r=8.1828.3822.239⨯≈0.904.由于｜r ｜=0.904接近于1，表明两个变量之间存在着线性相关关系.∴22.735271742.239ˆ⨯-=b≈0.625, x b y aˆˆ-==67.8-73.2×0.625=22.05 yˆ=0.625x+22.05 ∴当x=75时，≈69. 故次时他的化学成绩为69分.【例2】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下： 零件数x(个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y(个） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 （1）y 与x 是否具有线性相关关系；（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少.思路分析：这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x 与y 是否具有线性相关关系，如果线性相关，才可以求解后面的问题，否则就使得求回归直线方程没有意义.要作相关性检验，应先利用γ. γ=∑∑∑--•-)()(2222y n y x n xyx n yx iii i求出样本相关系数γ，利用当γ>0时，两个变量正相关；当γ<0时，两个变量负相关；当|γ|→1时，表明两个变量的线性相关性越强；当|γ|→0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；当γ>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系. 解：（1）列出下表： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10350 12200 ∴x =55, y =91.7∑∑∑======10110121012.55950,87777,38500i i i i i i iy x y x∴γ=∑∑∑===---1012210122101)10()10(10i i i i i iiy y x x yx yx=22)7.911987777()551038500(7.91551055950⨯-⨯⨯-⨯⨯-≈0.999 8由于γ=0.999 8>0.75,因此x 与y 之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程.（2）设所求的回归直线方程为=a x b yˆˆˆ+=. 则有bˆ=2101221015510385007.915510559501010⨯-⨯⨯-=--∑∑==i ii ii x xyx yx ≈0.668 x b y a-=ˆ=91.7-0.668×55=54.96. 因此，所求的回归直线方程为y=0.668x+54.96.(3)这个回归直线方程的意义是当x 每增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 增加而变化的部分，因此，当x=200时，y 的估计值为y=0.668×200+54.96=188.56≈189. 因此，加工200个零件时所用的工时约为189个. 【变式训练】 对于x 与y 有如下观测数据： X 18 25 30 39 41 42 49 52 Y 3 5 6 7 8 8 9 10 (1)作出散点图；（2）对x 与y 作回归分析；（3）求出x 对y 的回归直线方程___________________； （4）根据回归直线方程，预测y=20时的x 值. 解：（1）作出散点图（如下图所示）（2）作相关性检验.81=x ×(18+25+30+39+41+42+49+52)=8296=37 81=y ×(3+5+6+7+8+8+9+10)=7.∑=812i ix=182+252+302+392+412+422+492+522=11 920∑=812i iy=32+52+62+72+82+82+92+102=428∑=81i ii yx =18×3+25×5+30×6+39×7+41×8+42×8+49×9+52×10=2 257∴∑=81i ii yx -y x 8=2 257-8×37×7=185∑=812i ix-28x =11 920-8×372=968.∑=812i iy-28y =428-8×72=36∴r=)((2222y n y z x n x y x n y x z iii i ---∑=36968185⨯≈0.991由于r=0.991＞0.75,因此，认为两个变量有很强的相关关系；（3）回归系数=2223781192073782257ˆ⨯-⨯⨯-=--=∑∑x n xy x n yx biii≈0.191x b y aˆˆ-==7-0.191×37=-0.067. 所以y 对x 的回归直线方程yˆ=0.191x-0.067; （4）当y=20时，有20=0.191x-0.067, ∴x=191.0067.20≈105.因此在y 的值为20时，x 的值约为105.【例3】 某种图书每册的成本费y(元）与印刷册数x(千册）有关，经统计得到数据如下， x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 检测每册书的成本费y 与印刷册数的倒数x1之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程.思路分析：本题与前面的问题有所不同，y 与x 之间不具有线性回归关系，因而是非线性回归问题，对于非线性回归问题有时不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与必修1中学过的基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使其得到解决.对于本题不妨设变量u=x1，题意要求对u 与y 作相关性检验，如果他们具有线性相关关系，就可以进一步求出y 对u 的回归直线方程，这时再回代u=x1，就得到了y对x 的回归曲线方程. 解：首先作变量置换u=x1,题目所给数据变成如下表所示的数据. u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i10.15 5.524.082.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15可以求得，γ=∑∑∑===----ni ini ini iiy yx x y yx x 12121)()())((=0.999 8由γ=0.999 8>0.75,因此，变量y 与u i 间具有较强的线性相关关系，并且b ˆ=8.973, x b y aˆˆ-==1.125. 最后回代a=x 1可得y ˆ=1.125+x973.8因此，y 与x 的回归方程为yˆ=1.125+x973.8. 【变式训练】 一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列成下表，试建立y 与x 之间的回归方程. 温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325解：根据收集的数据，作散点图，如下图.从图中可以看出，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条直数函数曲线y=xC eC 21附近，其中C 1、C 2为待定的参数，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z=lgy,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnC 1,b=lnC 2)的附近，这样可以利用线性回归建立y 与x 的非线性回归方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合. 由上表中的数据可得到变换的样本数据表如下表：x 21 23 25 27 29 32 35 y 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784可以求得线性回归直线方程为zˆ=0.272x-3.843 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为yˆ=e 0.272x-3.843,另一方面，可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=423C x C 的附近，其中C 3、C 4为待定参数，因此可以对温度变量进行变换，令t=x 2,然后建立y 与t 之间的线性回归方程.从而得到y 与x 之间的非线性回归方程.下表是红铃虫的产卵数和对应温度的平方的线性回归模型拟合表，作出相应的散点图如下图所示：t 441 529 625 729 841 1 024 1 225 y 7 11 21 24 66 115 325从图中可以看出，y 与t 的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次函数y=C 3x 2+C 4来拟合x 与y 之间的关系，因此利用=e 0.272x-3.843来拟合效果较好. 问题探究问题:在利用线性回归模型解决实际问题的时候，应怎样合理建模，形成规律，总结方法呢？导思:在解决实际问题时，如何理解实际背景呢？线性回归模型与一次函数有什么不同呢？产生随机误差的原因是什么呢？探究:在解决实际问题时，常需要推断，在推断时，不能仅凭主观意愿作出结论，而是需要理清实际背景，要通过实验来收集数据，并根据独立性检验的原理做出合理的推断.散点图可以形象地展示两个变量的关系，把数据用散点图表示出来，可以直观地了解两个变量的关系，常用横坐标表示解释变量，用纵坐标表示预报变量.在散点图上画回归直线，回归直线与原始数据拟合的情况，直观地反应了回归直线和散点间的关系.在实际问题中，线性回归模型适用的范围要比一次函数大得多.当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.随机误差产生的主要原因：一是所用的确定性函数不恰当引起的误差；二是忽略了某种因素的影响；三是存在观测误差，由于测量工具等原因，导致y的观测值产生误差.但误差越小，说明回归模型的拟合效果越好.。

§1.2 回归分析(二)课时目标 1.会对变量x 与y 进行相关性检验.2.进一步理解回归分析的基本思想．1．根据给定的样本数据，求得的线性回归方程未必有实际意义． 2．对相关系数r 进行显著性检验的基本步骤如下： (1)提出统计假设H 0：变量x ，y ________________；(2)如果以95%的把握作出推断，可以根据1－0.95＝0.05与n －2在附录1中查出一个r 的__________(其中1－0.95＝0.05称为____________)；(3)计算__________________；(4)作出统计推断：若__________，则否定H 0，表明有________的把握认为x 与y 之间具有__________________；若________，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为x 与y 之间有__________________．一、填空题1．下列说法正确的是________．(填序号) ①y ＝2x 2＋1中的x 、y 是具有相关关系的两个变量 ②正四面体的体积与其棱长具有相关关系③电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系④传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量2．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，线性回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均工资收入的百分比约为________．3．对具有线性相关关系的变量x 、y 有观测数据(x i ，y i ) (i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是y ^＝3x ＋20，若∑10i ＝1x i ＝18，则∑10i ＝1y i ＝________. 4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为________万元．5．若回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本的中心点为(4,5)，则线性回归方程为________________．6．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________________________________.7.(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：的回归模型是下列的四种模型中的哪一种________．(填序号)①y ^＝a ^x ＋b ^(a ≠0)； ②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ③y ＝a x (a >0且a ≠1)； ④y ＝log a x (a >0且a ≠1)．8．下列说法中正确的是________(填序号)．①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法．二、解答题9．假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一(x )和初二(y )的数学分数如下：10．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x (单位：min)表示化学反应进行的时间，y (单位：mg)表示未转化物质的质量.(1)设y 与0.001)； (2)估计化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量(精确到0.1)．能力提升11．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下表的统计资料：若由资料知y (1)试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的回归系数b ^与常数项a ^； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？12．测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．1．线性回归方程可得到变量y ^的估计值．2．通过显著性检验可以推断x 、y 之间是否具有线性相关关系．§1.2 回归分析(二)答案知识梳理2．(1)不具有线性相关关系 (2)临界值r 0.05检验水平 (3)样本相关系数r (4)|r |>r 0.05 95% 线性相关关系 |r |≤r 0.05 线性相关关系作业设计 1．④解析 感染的医务人员数不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．2．83%解析 当y ^＝7.675时，x ≈9.262，∴估计该城市人均消费额占人均收入百分比约7.675÷9.262≈83%. 3．254解析 由∑10i ＝1x i ＝18，得x ＝1.8. 因为点(x ，y )在直线y ^＝3x ＋20上，则y ＝25.4.所以∑10i ＝1y i ＝25.4×10＝254. 4．65.5万元解析 由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ^，a ^＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1 ＝65.5.5．y ^＝1.23x ＋0.08解析 回归直线y ^＝a ^＋b ^x 经过样本的中心点(4,5)，又b ^＝1.23，所以a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08，所以线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 6．(6,50) 7．① 8．④⑤解析 回归分析就是研究两个事件的相关性；回归模型是需要通过散点图模拟的；回归模型有线性和非线性之分．9．解 因为x ＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y ＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，所以，b ^＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2. a ^＝72.3－1.218 2×71＝－14.192 2，线性回归方程是：y ^＝1.218 2x －14.192 2. 10．解 (1)在y ＝cd x两边取自然对数， 令ln y ＝z ，ln c ＝a ，ln d ＝b ，则z ＝a ＋bx .由已知数据，得由公式得a ≈3.905 5，b ≈－0.221 9，则线性回归方程为z ＝3.905 5－0.221 9x .而lnc ＝3.905 5，lnd ＝－0.221 9，故c ≈49.681，d ≈0.801，所以c 、d 的估计值分别为49.681，0.801.(2)当x ＝10时，由(1)所得公式可得y ≈5.4(mg)． 11．解 (1)由已知条件制成下表：于是 b ^＝112.390－5×42＝10＝1.23， a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.(2)由(1)知线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08， 当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)． 即估计使用10年时维修费用是12.38万元． 12．解 (1)x ＝66.8，y ＝67.01，∑10 i ＝1x 2i ＝44 794，∑10 i ＝1y 2i ＝44 941.93，x y ＝4 476.27，x 2＝4 462.24，y 2＝4 490.34，∑10i ＝1x i y i ＝44 842.4.所以r ＝∑10i ＝1x i y i －10x y⎝⎛⎭⎫∑10 i ＝1x 2i －10x 2⎝⎛⎭⎫∑10 i ＝1y 2i －10y 2＝44 842.4－10×4 476.27－－＝79.76 611.748≈79.781.31≈0.9 801.又查表得r 0.05＝0.632.因为r ＞r 0.05，所以y 与x 之间具有线性相关关系．(2)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.由b ^＝∑10 i ＝1x i y i －10x y ∑10 i ＝1x 2i －10x2＝44 842.4－44 762.744 794－44 622.4＝79.7171.6≈0.4645， a ^＝y －b ^x ＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98.故所求的线性回归方程为y ^＝0.464 5x ＋35.98.(3)当x ＝73时，y ^＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．。