第10章思考与练习081217

第十章二项分布和Poisson 分布及其应用

【思考与练习】

一、思考题

1.简要回答Bernoulli 试验的适用条件。

2.简要回答Poisson 分布的性质。

3.简要回答二项分布与Poisson 分布的区别。

4.简要回答二项分布、Poisson 分布和正态分布间的联系。

二、案例辨析题

一学生对某种溶液进行细菌学检测，发现平均每10ml 含有细菌数650个。据此，他认为每1ml 该溶液含有细菌数为65个，并采用正态近似法估出计每1ml

该溶液所含细菌数的95%置信区间为65±。你认为这位同学所估计的95%置信区间正确吗？为什么？

三、最佳选择题

1.若某人群某疾病患病人数X 服从二项分布，从该人群中随机抽取n 人，患病人数X 至少为k 人的概率为

A.()(1)()

P k P k P n ++++L B.(1)(2)()

P k P k P n +++++L C.(0)(1)()

P P P k +++L D.(0)(1)(1)

P P P k +++?L E.(1)(2)()

P P P k +++L 2.若某人群某疾病患病人数X 服从二项分布，从该人群中随机抽取n 人，患病人数X 至多为k 人的概率为

A.()(1)()

P k P k P n ++++L B.(1)(2)()

P k P k P n +++++L C.(0)(1)()

P P P k +++L D.(0)(1)(1)

P P P k +++?L E.(1)(2)()

P P P k +++L 3.随机变量X~B (10,0.6)，概率为最大值时，随机变量X 的取值为

A.5

B.6

C.7

D.10

E.6和7

4.对于二项分布(,)B n π，其对应的样本率p 近似正态分布),(p N σπ的条件是

A.5

np >B.(1)5

n p ?>C.5

n >D.(1)5n p ?>或5

np >E.5np >且(1)5

n p ?>5.Poisson 分布的均数μ和方差2σ的关系是

A.μσ

>B.μσ

μσ=

D.μ=

E.μ与σ无固定关系

6.用计数器测得某放射性物质半小时内发出的脉冲数为570个，则该放射性物质平均每10分钟脉冲计数的95%置信区间为

A.570±

B.5703

±

C.190±

D.190±

E.1903

±7.随机变量X 服从以μ为参数的Poisson 分布，且其方差为2σ，则Poisson 分布近似正态分布的条件是

A.π接近0或1

B.2σ较小

C.μ较小

D.π接近0.5

E.2σ≥20

8.随机变量X 服从以μ为参数的Poisson 分布，m 为不等于零的常数，则mX 也服从Poisson 分布，其均数为

A.μ

B.m

μC.m μ

D.E./m

μ四、综合分析题

1.某药物常规剂型治疗某种非传染性疾病的治愈率为85%，现某医院采用该药

新剂型治疗该非传染性疾病患者20例，19例治愈。问该药新剂型能否增加疗效?

2.某研究者调查甲、乙两地妇女乳腺癌患病情况，其中甲地调查了20000人，有乳腺癌患者41人；乙地调查了10000人，有乳腺癌患者15人。问甲地区妇女乳腺癌的患病率是否高于乙地?

【习题解析】

一、思考题

1.Bernoulli 试验的适用条件如下：①每次试验只会发生两种互斥结果之一，即两种互斥结果的概率之和恒等于1；②在相同的试验条件下，每次试验产生某种结果(如“阳性”)的概率固定不变；③重复试验是互相独立的，即任何一次试验结果的出现不会影响其它试验结果出现的概率。

2.Poisson 分布的性质如下：①总体均数μ与总体方差2σ相等；②当n 很大，而

π很小，

且n πμ=为常数时，Poisson 分布可看作是二项分布的极限分布；③当μ增大时，Poisson 分布渐近正态分布，一般而言，20μ≥时，Poisson 分布资料可作为正态分布处理；④Poisson 分布具备可加性，即对于服从Poisson 分布的m 个互相独立的随机变量12,,,m X X X K ，它们之和也服从Poisson 分布，且其均数为这m 个随机变量的均数之和；⑤μ的大小决定了Poisson 分布的图形特征。3.随机变量X 服从二项分布，是指在n 重Bernoulli 试验中，发生某种结果(如“阳

性”)的次数0,1,2,,X n =K 的一种概率分布，其恰好发生X 个阳性的概率为

X n X X n X n X P ???=)1()!(!!)(ππ(0,1,2,,X n =K )，且总有∑==n

x X P 01)(。而随机

变量X 服从Poisson 分布，是指X 满足：①取值范围为0,1,2,K ；②相应的概率

为!)(X e X P X

μμ?=，且总有∑∞

==01)(x X P 。在总体率π很小，而样本含量(试验

次数)n 趋向于无穷大时，二项分布近似于Poisson 分布。因此，Poisson 分布可看作是二项分布的一种极限情况，可用来描述小概率事件的发生规律。

4.二项分布、Poisson 分布和正态分布间的联系为：①在n 很大，而π很小，且n πμ=为常数时，二项分布的极限分布为Poisson 分布；②在n 较大、π不接近0也不接近1时，二项分布(,)B n π近似正态分布))1(,(πππ?n n N ，而相应的样本率p 的分布也近似正态分布),(P N σπ。③当μ增大时，Poisson 分布渐近正态分布。，一般而言，μ≥20时，Poisson 分布资料可作为正态分布处理。

二、案例辨析题

不正确。溶液中的细菌数可以认为服从Poisson 分布，当其“单位容积”所含细菌数50X >时，可采用正态近似法估计总体均数的(1α-)置信区间。但本例溶液的“单位容积”为10ml ，应先用正态近似法估计出该溶液每10ml 所含细菌数的95%置信区间，再除以10即得到每1ml 所含细菌数的95%置信区间。由

式(10.16)可得，每10ml 该溶液所含细菌数的95%置信区间为650±，

故每1ml 该溶液所含细菌数的95%置信区间为65/10±。

三、最佳选择题

1.A

2.C

3.B

4.E

5.C

6.E

7.E

8.C

四、综合分析题

1.解：本例可认为治疗有效人数X 服从二项分布，根据研究目的，选用单侧检验。其假设检验步骤为：

(1)建立检验假设，确定检验水准

H 0：0.85π=，该药新剂型的疗效等于常规剂型

H 1：0.85π>，该药新剂型的疗效优于常规剂型

单侧0.05

α=(2)计算概率

本例，20n =，0.85π=，19k =，

192019202020(19)(19)(20)

20!20!0.85(10.85)0.85(10.85)19!(2019)!20!(2020)!

0.13680.03880.1756

P P X P P ??=≥=+=?+???=+=(3)作出统计推断

由结果可见0.05P >，按0.05α=水准，不拒绝H 0，差异无统计学意义，尚不能认为该药新剂型能增加疗效。

2.解：本例中，乳腺癌患病人数可认为服从Poisson 分布，两个样本的观察单位数不相等，以10000人为一个单位，则12n =，21n =。设甲、乙两地妇女乳腺癌的患病率分别为1π和2π，其假设检验步骤为：

(1)建立检验假设，确定检验水准

H 0：12ππ=，两地妇女乳腺癌患病率相等

H 1：12ππ>，甲地妇女乳腺癌患病率高于乙地

单侧0.05

α=(2)计算检验统计量

411521 1.095Z ?

==(3)作出统计推断

查t 界值表(附表3ν=∞)，得0.100.20P <<，按0.05α=水准，不拒绝H 0，差异无统计学意义，尚不能认为甲地妇女乳腺癌的患病率高于乙地区。