江苏省镇江市2018届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

2017-2018学年江苏省镇江市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．1．若全集为U=R，A={x|x2﹣x＞0}，则∁U A=．2．i为虚数单位，计算=．3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为．4．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是．6．已知向量=（﹣2，1），=（1，0），则|2+|=．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣log2x，则不等式f（x）＜0的解集是．8．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的是．（写出所有正确的序号）9．以抛物线y2=4x的焦点为焦点，以直线y=±x为渐近线的双曲线标准方程为．10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是cm3．11．函数y=asin（ax+θ）（a＞0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为．12．S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=．13．函数，若方程f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．14．已知sin36°=cos54°，可求得cos2016°的值为．二、解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量=（a﹣c，b+c），=（b ﹣c，a），且∥．（1）求B；（2）若b=，cos（A+）=，求a．17．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，距离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．（1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；（2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．18．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A（﹣3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．（1）求椭圆方程；（2）求圆O方程；（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．19．已知数列{a n}的各项都为自然数，前n项和为S n，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n=（1+λ）a n﹣λ恒成立．（1）求λ值，使得数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有a i=2016，求k．20．已知函数f（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2a+1]e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x＞0，2a∈[3，m+1]，f（x）≥b2a﹣1恒成立，求正数b的范围．[选修4-1：几何证明选讲]21．在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB2．[选修4-2：矩阵与变换]22．求矩阵的特征值及对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+≥y+3．25．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．26．证明：对一切正整数n，5n+2•3n﹣1+1能被8整除．2016年江苏省镇江市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程． 1．若全集为U=R ，A={x|x 2﹣x ＞0}，则∁U A= [0，1] ． 【考点】补集及其运算．【分析】求解一元一次不等式化简集合A ，然后直接利用补集运算求解． 【解答】解：由集合A={x|x 2﹣x ＞0}=（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 又U=R ，所以∁U A=[0，1]．， 故答案为：[0，1]．2．i 为虚数单位，计算=﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：﹣i ．3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率．【解答】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，基本事件总数n==10，摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数m==6，∴摸到的2球颜色不同的概率p=．故答案为：．4．已知实数x ，y 满足，则z=2x+y 的最小值是 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故答案为：1．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是240．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=0时，满足条件n＜2，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：执行程序框图，有n=30S=0不满足条件n＜2，S=30，n=28不满足条件n＜2，S=30+28，n=26不满足条件n＜2，S=30+28+26，n=24…不满足条件n＜2，S=30+28+26+…+4，n=2不满足条件n＜2，S=30+28+26+…+4+2，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S=30+28+26+…+4+2==240．故答案为：240．6．已知向量=（﹣2，1），=（1，0），则|2+|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可进行向量坐标的加法和数乘运算求出向量的坐标，从而便可得出的值．【解答】解：；∴．故答案为：．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣log2x，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出当x＞0时，f（x）＞0和f（x）＜0的解集，利用奇函数的对称性得出当x＜0时，f（x）＜0的解集，从而得出f（x）＜0的解集．【解答】解：当x＞0，令f（x）＜0，即1﹣log2x＜0，解得x＞2．令f（x）＞0即1﹣log2x＞0，解得0＜x＜2．∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＜0的解为﹣2＜x＜0．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．8．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的是④．（写出所有正确的序号）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的是④． 故答案为：④．9．以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设以直线y=±x 为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线y 2=4x 焦点F （1，0），能求出双曲线方程．【解答】解：设以直线y=±x 为渐近线的双曲线的方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0）， ∵双曲线经过抛物线y 2=4x 焦点F （1，0）， ∴λ+λ=1，∴λ=∴双曲线方程为： =1．故答案为： =1．10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为cm ，则圆锥的体积是 3πcm 3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 则S 侧面积=πrl=，S 底面积=πr 2=3π．∴=2×3π，解得l=2．∴圆锥的高h==3．∴圆锥的体积V===3π．故答案为：3π．11．函数y=asin （ax+θ）（a ＞0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为 2 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理即可求出图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值．【解答】解：如图所示，函数y=asin（ax+θ）（a＞0，θ≠0）图象上的一个最高点M和其相邻最低点N的距离的最小值为：|MN|==≥=2，当且仅当4a2=，即a=时取“=”．故答案为：2．12．S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式推导出a1=d，由此能求出的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，，∴===，∴3a1=2a1+d，∴a1=d，∴===．故答案为：．13．函数，若方程f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，利用数形结合建立条件关系进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：y=kx﹣k=k（x﹣1），过定点A（1，0），当x=﹣时，f（﹣）=，即B（﹣，），当直线经过点B（﹣，）时，f（x）与y=kx﹣k有两个不相同的交点，此时=k（﹣﹣1）=﹣k，即k=﹣，当x＞0时，由f（x）=kx﹣k得x2﹣x=kx﹣k，即x2﹣（1+k）x+k=0，若此时f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则，即k＞1，综上k＞1或k=﹣，故答案为：14．已知sin36°=cos54°，可求得cos2016°的值为﹣．．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵sin36°=cos54°⇒2sin18°cos18°=cos（18°+18°+18°）⇒2sin18°cos18°=cos（18°+18°）cos18°﹣sin（18°+18°）sin18°⇒2sin18°cos18°=（2cos218°﹣1）cos18°﹣2sin218°cos18°⇒2sin18°cos18°=2cos318°﹣cos18°﹣2sin218°cos18°⇒2sin18°=2cos218°﹣1﹣2sin218°⇒4sin218°+2sin18°﹣1=0⇒sin18°==，∴cos2016°=cos=﹣cos36°=2sin218°﹣1=﹣．故答案为：﹣．二、解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出四边形ABCM是平行四边形，从而AM∥BC，由此能证明AM∥平面PBC．（2）由PD=PC，点M是CD的中点，得PM⊥CD，由AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，得CD⊥AM，从而CD⊥平面PAM，由此能证明CD⊥PA．【解答】证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点，∴AB CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AM∥BC，∵AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，∴PM⊥CD，∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，∴CD⊥AM，∵PM∩AM=M，∴CD⊥平面PAM，∵PA⊂平面PAM，∴CD⊥PA．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量=（a﹣c，b+c），=（b ﹣c，a），且∥．（1）求B；（2）若b=，cos（A+）=，求a．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．【分析】（1）根据向量的平行和余弦定理即可求出B；（2）根据同角的三角函数的关系以及两角和差的正弦公式和正弦定理即可求出．【解答】解：（1）因为∥，所以a2+c2﹣b2=ac，因为cosB===，因为B∈（0，π）所以B=．（2）因为A+∈（，），cos（A+）=，所以sin（A+）=，所以sinA=sin[（A+）﹣]=，在△ABC中，由正弦定理可得：=，解得a=1．17．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，距离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．（1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；（2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．【考点】解三角形．【分析】（1）连结OA，OB，利用余弦定理求出AB，根据圆的性质求出AB的最值，列出不等式求出α的范围；使用作差法求出弓形的面积；（2）过O分别作AB，CD的垂线段OE，OF，设AB=x，根据勾股定理和垂径定理求出CD，AB+CD是关于x的函数，利用导数求出该函数的最小值．【解答】解：（1）连结OA，OB，则∠AOB=α，OA=OB=10，在△AOB中，由余弦定理得AB==．∵OP=5，∴当OP⊥AB时，AB取得最小值2=10，当AB过圆心O时，AB 取得最大值20，∴10≤≤20，解得﹣1≤cosα≤﹣．∴≤α≤π．∴α的最小值为．﹣S△AOB=﹣=50α﹣50sinα．∴S′较小区域面积S（α）=S扇形OAB（α）=50﹣50cosα＞0，∴S（α）在[，π]上是增函数，∴S min（α）=S（）=﹣25（km2）．（2）过O分别作AB，CD的垂线段OE，OF，则四边形OEPF是矩形，AE=，DF=，设AB=x，则OE==，∴OF=PE==，∴DF==，∴CD=2DF=2=．∴AB+CD=x+．∴（AB+CD）2=700+2x=700+2．令f（x）=700x2﹣x4，则f′（x）=1400x﹣4x3，令f′（x）=0得x=0（舍）或x=或x=﹣（舍）．当10≤x＜时，f′（x）＞0，当＜x≤20时，f′（x）＜0．∴f（x）在[10，]上是增函数，在[，20]上是减函数．∵f（10）=120000，f（20）=120000，∴f（x）的最小值为120000．∴（AB+CD）2的最小值是700+2=700+400=（10+20）2，∴AB+CD的最小值是10+20（km）．18．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A（﹣3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．（1）求椭圆方程；（2）求圆O方程；（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆的方程；（2）设圆O的方程为x2+y2=r2，由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，求得E的坐标，再由直线AE和圆相切的条件：d=r，解方程即可得到圆O的方程；（3）设切线的方程为y=kx+，由直线和圆相切的条件：d=r，求得k，代入椭圆方程，解方程可得M的坐标，N的坐标，求得直线MN的方程，求得O到直线MN的距离，即可判断MN和圆O的为位置关系．【解答】解：（1）由题意可得a=3，e==，解得c=，可得b==，即有椭圆的方程为+=1；（2）设圆O的方程为x2+y2=r2，由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，解得E（r，），可得直线AE：y=（x+3），由相切的条件，可得d==r，化为（r﹣1）（r+3）2=0，解得r=1，即有圆O：x2+y2=1；（3）B（0，），设切线的方程为y=kx+，由直线和圆相切的条件可得=1，解得k=±，由y=x+，代入椭圆方程+=1，解得x=﹣，y=﹣1．可设M（﹣，﹣1）；同理可得N（（，﹣1），即有直线MN：y=﹣1．显然圆心O到直线MN的距离为1，则直线MN和圆O相切．19．已知数列{a n}的各项都为自然数，前n项和为S n，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n=（1+λ）a n﹣λ恒成立．（1）求λ值，使得数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有a i=2016，求k．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（1）当λ≠0时，推导出a1=1，，从而{a n}不可能是等差数列；当λ=0时，推导出数列{a n}为等差数列，数列{a n}的通项公式为a n=0．（2）由题意得a1=1，，S n=，由此利用极限性质能求出结果．【解答】解：（1）①当λ≠0时，a1=S1=（1+λ）a1﹣λ，解得a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=（1+λ）（a n﹣a n﹣1），解得，∵1+≠1，∴λ≠0时，{a n }不可能是等差数列．②当λ=0时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n =a n ﹣a n ﹣1，n ≥2， 解得a n ﹣1=0，∴λ=0时，数列{a n }为等差数列，数列{a n }的通项公式为a n =0． 综上：λ=0使得数列{a n }为等差数列，数列{a n }的通项公式为a n =0． （2）由题意得a n ≠0，则λ≠0，∴a 1=1，，S n =﹣λ[1﹣（1+）n ]=，∵当j →+∞时，1≤k ＜j 时，有a i =2016，∴=为定值，∴=0，∴﹣1＜1+＜1，解得λ＜﹣，=﹣λ，则S k =λ[（1+）k ﹣1]=﹣λ﹣2016，解得k=．20．已知函数f （x ）=[ax 2﹣（2a+1）x+2a+1]e x ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设x ＞0，2a ∈[3，m+1]，f （x ）≥b 2a ﹣1恒成立，求正数b 的范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用导数即可得出其单调性；（2）由题意，将原式转化成2a ﹣1≥b 2a ﹣1恒成立，换元将2a ﹣1=t ∈[2，m ]，构造辅助函数=g （t ），求导，根据导数求得函数的单调区间，由函数g （2）=g （4），对m 分类讨论，根据对数函数的运算现在求得b 的取值范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）=（ax 2﹣x ）e x =x （ax ﹣1）e x ．当a=0，则f ′（x ）=﹣xe x ，令f ′（x ）＞0，则x ＜0，令f ′（x ）＜0，则x ＞0；若a ＜0，由f ′（x ）＞0，解得：＜x ＜0，f ′（x ）＜0，解得：x ＞0或x ＜，若a ＞0，由f ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜，f ′（x ）＜0，解得：x ＞或x ＜0， 综上可得：当a=0时，函数f （x ）的增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）；当a ＜0时，函数f （x ）的增区间为（，0），减区间为（0，+∞），（﹣∞，）；当a＞0时，函数f（x）的增区间为（，+∞），（﹣∞，0），减区间为（0，）；（2）f（x）≥b2a﹣1恒成立，f（）≥b2a﹣1恒成立，∴≥b2a﹣1，即2a﹣1≥b2a﹣1恒成立，由2a∈[3，m+1]，令2a﹣1=t∈[2，m]，则t≥b t，所以lnb≤=g（t），由g′（t）=，g（t）在（0，e）上递增，（e，+∞）上递减，且g（2）=g（4），当2＜m＜4时，g（t）min=g（2）=，从而lnb≤，解得：0＜b＜；当m＞4时，g（t）min=g（m）=，从而lnb≤，解得：0＜b＜，故：当2＜m＜4时，0＜b＜；当m＞4时，0＜b＜．[选修4-1：几何证明选讲]21．在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB2．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】作PE⊥AB于E，先证明P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆，得到两对乘积式，后相加即可得到结论．【解答】证明：作PE⊥AB于E∵AB为直径，∴∠ANB=∠AMB=90°∴P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．AE•AB=AP•AN（1）BE•AB=BP•BM（2）（1）+（2）得AB（AE+BE）=AP•AN+BP•BM即AP•AN+BP•BM=AB2[选修4-2：矩阵与变换]22．求矩阵的特征值及对应的特征向量．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．【解答】解：特征多项式f（λ）═=（λ﹣3）2﹣1=λ2﹣6λ+8由f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=4将λ1=2代入特征方程组，得⇒x+y=0，可取为属于特征值λ1=2的一个特征向量同理，当λ2=4时，由⇒x﹣y=0，所以可取为属于特征值λ2=4的一个特征向量．综上所述，矩阵有两个特征值λ1=2，λ2=4；属于λ1=2的一个特征向量为，属于λ1=4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．【分析】首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程，利用三角函数的基本关系及化简得到圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值．【解答】解：∴由得x2+y2=4∴圆心到直线l的距离所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=5[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+≥y+3．【考点】基本不等式；三角函数恒等式的证明．【分析】根据基本不等式的性质证明即可．【解答】证明：x﹣y+=（x﹣y）+=++，因为x＞y，x﹣y＞0，所以++≥3=3，当且仅当==取等号，此时x﹣y=2．25．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．（2）设出平面BED1F的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．【解答】解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）∴=（﹣3，3，3），=（3，0，﹣1）∴cosθ===﹣则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为（2）B（3，3，0），=（0，﹣3，2），=（3，0，﹣1）设平面BED1F的一个法向量为=（x，y，z）由得令x=1，则=（1，2，3）则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为||==26．证明：对一切正整数n，5n+2•3n﹣1+1能被8整除．【考点】数学归纳法．【分析】根据题意，运用数学归纳法进行证明：（1）证明n=1时结论成立，（2）假设当n=k，（k≥2，k∈N*），结论成立，即5k+2•3k﹣1+1能被8整除，进而证明当n=k+1时，5k+1+2•3k+1可以被8整除，综合即可得证明．【解答】证明：（1）当n=1时，5n+2•3n﹣1+1=8，显然能被8整除，即n=1时，结论成立（2）假设当n=k，（k≥2，k∈N*），结论成立，则5k+2•3k﹣1+1能被8整除，设5k+2•3k﹣1+1=8m，m∈N*，当n=k+1时，5k+1+2•3k+1=5（5k+2•3k﹣1+1）﹣4•3k﹣1﹣4=5（5k+2•3k﹣1+1）﹣4•（3k﹣1+1）而当k≥2，k∈N*时3k﹣1+1显然为偶数，设为2t，t∈N*，故=5（5k+2•3k﹣1+1）﹣4•（3k﹣1+1）=40m﹣8t（m，t∈N*），也能被8整除，故当n=k+1时结论也成立；由（1）（2）可知对一切正整除n，5n+2•3n﹣1+1能被8整除．2016年7月21日。

高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。

2018届高三年级第一次模拟考试(三)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－2，0，1，3}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)3. 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象两相邻对称轴的距离为________．4. 设复数z 满足3＋4iz＝5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝________．5. 已知双曲线的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．6. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________． 8. 已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．9. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．10. 函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π4，π4，则其值域为________．11. 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________．12. 已知点P(1，0)，直线l ：y ＝x ＋t 与函数y ＝x 2的图象交于A ，B 两点，当PA →·PB →最小时，直线l 的方程为________．13. 已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝4，则1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为________．14. 已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x|， x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos A＋a cos B＝－2c cos C.(1) 求角C的大小；(2) 若b＝2a，且△ABC的面积为23，求c的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB＝AC，BC1⊥B1D.求证：(1) A1C∥平面ADB1；(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC 分成AD，CD两段．其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC 长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD段多长时，S最小？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．已知b>0，且b≠1，函数f(x)＝e x＋b x，其中e为自然对数的底数．(1) 如果函数f(x)为偶函数，求实数b的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2) 对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明：函数y＝f(x)的图象经过唯一定点；(3) 如果关于x的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b的取值范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，总存在正数p ，q ，r ，使得a n ＝p n －1，S n ＝q n －r 恒成立；数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意正整数n ，2T n ＝nb n 恒成立．(1) 求常数p ，q ，r 的值；(2) 证明：数列{b n }为等差数列；(3) 若b 2＝2，记P n ＝2n ＋b 1a n ＋2n ＋2b 22a n ＋2n ＋b 34a n ＋…＋2n ＋b n －12n －2a n ＋2n ＋b n2n －1a n，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立？若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．2018届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至点F .求证：AE 是∠DAF 的平分线．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1，其中a ，b 均为实数，若点A (3，－1)在矩阵M 的变换作用下得到点B (3，5)，求矩阵M 的特征值．C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，求1ρ21＋1ρ22的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，AC ⊥BC ，O 为AB 的中点，且DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE.已知AC ＝BC ＝DC ＝BE ＝2.(1) 求直线AD 与CE 所成角； (2) 求二面角OCEB 的余弦值．23. (本小题满分10分)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值．(1) 求ξ1的数学期望； (2) 求ξ2的分布列．2018届镇江高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. {0，1}2. 充要3.π2 4. 1 5. x ＝836. 837. －328. 3＋229. 4 10. [22－π4，1] 11. (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18 12. y ＝x ＋1213.2＋54 14. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c 3∪(－e ，－1) 15. 解析：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C 得(2分) sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ， 所以sin (B ＋A)＝－2sin C cos C.(3分)因为A ，B ，C 为三角形的内角，所以B ＋A ＝π－C ， 所以sin C ＝－2sin C cos C.(4分)因为C ∈(0，π)，所以sin C>0.(5分) 所以cos C ＝－12，(6分)所以C ＝2π3.(7分)(2) 因为△ABC 的面积为23， 所以12ab sin C ＝2 3.(8分)由(1)知C ＝2π3，所以sin C ＝32，所以ab ＝8.(9分)因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，(11分)所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＝28，(13分) 所以c ＝27.(14分)16. 解析：(1) 设A 1B ∩AB 1＝E. 因为ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1B 1B 为矩形，所以E 为A 1B 的中点．(1分)因为D 为BC 的中点，所以DE 为△BA 1C 的中位线，(2分) 所以DE ∥A 1C ，且DE ＝12A 1C.(3分)因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1，(5分) 所以A 1C ∥平面ADB 1.(7分)(2) 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC.(8分)因为ABCA 1B 1C 为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面ABC.因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(9分)因为BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B ，BC ∩BB 1＝B ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(10分)因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥BC 1.(11分)因为BC 1⊥B 1D ，AD ⊂平面ADB 1，B 1D ⊂平面ADB 1，AD ∩B 1D ＝D ， 所以BC 1⊥平面ADB 1.(13分) 因为BC 1⊂平面A 1BC 1，所以平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.(14分)17. 解析：(1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3 ＝ADsin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a[1－(3cos α2sin α＋12)]＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，(6分)由题意得α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos αsin 2α＝0，设cos α0＝14.(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分) 18. 解析：(1) 因为e ＝c a ＝22且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分) 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2) 设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过M 点，所以MA ⊥MB ，所以·＝0，(5分) 因为＝(s ＋6，t ＋1)，＝(－s ＋6，t ＋1)， 所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0. ②(6分) 由①②解得t ＝13或t ＝－1(舍)，所以s 2＝709.(7分)因为圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3) 设M(x 0，y 0)，则l AM 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0·(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件．令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2(13分)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 19. 解析：(1) 由f(1)＝f(－1)得e ＋b ＝1e ＋1b ，解得b ＝－e (舍)，或b ＝1e，(1分)经检验f(x)＝e x ＋1e x 为偶函数，所以b ＝1e .(2分)因为f(x)＝e x ＋1ex ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，(3分)所以f(x)的最小值为2.(4分)(2) 假设y ＝f(x)过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意满足b>0，且b ≠1恒成立．(5分)令b ＝2得y 0＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0，(6分)所以2x 0＝3x 0，即⎝⎛⎭⎫32x 0＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2，(7分)经检验当x ＝0时，f(0)＝2，所以函数y ＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．(8分)(3) 令g(x)＝f(x)－2＝e x ＋b x －2为R 上的连续函数，且g (0)＝0，则方程g (x )＝0存在一个解．(9分)(i) 当b >0时，g (x )为增函数，此时g (x )＝0只有一解．(10分)(ii) 当0<b <1时，令g ′(x )＝e x ＋b x ln b ＝e x (1＋(be )x ln b )＝0，解得x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )．(11分) 因为e x>0，0<b e <1，ln b <0，令h (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋⎝⎛⎭⎫b e x ln b ，h (x )为单调增函数，所以当x ∈(－∞，x e )时，h (x )<0，所以g ′(x )<0，g (x )为单调减函数；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，所以g ′(x )>0，g (x )为单调增函数，所以g 极小(x )＝g (x 0)．因为g (x )定义域为R ，所以g min (x )＝g (x 0)．(13分)①若x 0>0，g (x )在(－∞，x 0)上为单调减函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (ln2)＝2＋b ln2－2＝b ln2>0，所以当x ∈(x 0，ln2)时，g (x )至少存在另外一个零点，矛盾．(14分)②若x 0<0，g (x )在(x 0，＋∞)上为单调增函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (log b 2)＝elog b 2＋2－2＝elog b 2>0，所以g (x )在(log b 2，x 0)上存在另外一个解，矛盾．(15分)③当x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )＝0，则－ln b ＝1，解得b ＝1e ，此时方程为g (x )＝e x＋1e x －2＝0， 由(1)得，只有唯一解x 0＝0，满足条件．综上所述，当b >1或b ＝1e 时，方程f (x )＝2有且只有一个解．(16分)20. 解析：(1) 因为S n ＝q n －r ，①所以S n －1＝q n －1－r ，(n ≥2)②①－②得S n －S n －1＝q n －q n －1，即a n ＝q n －q n －1，(n ≥2)，(1分)因为a n ＝p n －1，所以p n －1＝q n －q n －1，(n ≥2)， 当n ＝2时，p ＝q 2－q ；当n ＝3时，p 2＝q 3－q 2. 因为p ，q 为正数，所以p ＝q ＝2.(3分)因为a 1＝1，S 1＝q －r ，且a 1＝S 1，所以r ＝1.(4分) (2) 因为2T n ＝nb n ，③当n ≥2时，2T n －1＝(n －1)b n －1，④③－④得2b n ＝nb n －(n －1)b n －1，即(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，⑤(6分) 方法一：由(n －1)b n ＋1＝nb n ，⑥⑤＋⑥得(2n －2)b n ＝(n －1)b n －1＋(n －1)b n ＋1，(7分) 即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，所以{b n }为等差数列．(8分) 方法二：由(n －2)b n ＝(n －1)b n －1， 得b nn －1＝b n －1n －2， 当n ≥3时，b n n －1＝b n －1n －2＝…＝b 21，所以b n ＝b 2(n －1)，所以b n －b n －1＝b 2.(6分)因为n ＝1时，由2T n ＝nb n 得2T 1＝b 1， 所以b 1＝0，则b 2－b 1＝b 2，(7分)所以b n －b n －1＝b 2对n ≥2恒成立，所以{b n }为等差数列．(8分)(3) 因为b 1＝0，b 2＝2，由(2)知{b n }为等差数列，所以b n ＝2n －2.(9分)又由(1)知a n ＝2n －1，所以P n ＝2n 2n －1＋2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2，P n ＋1＝2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2＋4n 22n －1＋4n ＋222n ，所以P n ＋1－P n ＝4n22n －1＋4n ＋222n －2n 2n －1＝12n ＋2－4n·2n4n ，(12分)令P n ＋1－P n >0得12n ＋2－4n·2n >0，所以2n <6n ＋12n ＝3＋12n <4，解得n ＝1，所以当n ＝1时，P n ＋1－P n >0，即P 2>P 1，(13分) 当n ≥2时，因为2n ≥4，3＋12n<4， 所以2n >3＋12n ＝6n ＋12n，即12n ＋2－4n·2n <0，此时P n ＋1<P n ，即P 2>P 3>P 4>…，(14分)所以P n 的最大值为P n ＝2×22＋2×2＋222＝72，(15分)若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立，则k ≥P max ＝72，所以正整数k 的最小值为4.(16分)21. A . 解析：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形， 所以∠DAE ＝∠BCD ，∠F AE ＝∠BAC ＝∠BDC .(4分) 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ，(6分) 所以∠DAE ＝∠F AE ，(8分)所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线．(10分)B . 解析：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧6－a ＝3，3b －1＝5，(3分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.(5分)令f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(7分) 解得λ＝－1或λ＝4，(9分)所以矩阵M 的特征值为－1和4.(10分)C . 解析：(1) 将M (2，3)及对应的参数φ＝π3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1.(5分)(2) 曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516.(10分)D . 解析：因为对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，所以f min (x )>a 2－3.(2分) 因为|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |， 所以|2a |>a 2－3， ①(4分) 方法一：即|a |2－2|a |－3<0， 解得－1<|a |<3，(8分) 所以－3<a <3.(10分)方法二：①式等价于2a >a 2－3， ② 或2a <－a 2＋3， ③(6分) 由②得－1<a <3；(7分) 由③得－3<a <1，(8分) 所以－3<a <3.(10分)22. 解析：(1) 因为AC ⊥CB ，且DC ⊥平面ABC ，则以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)因为AC ＝BC ＝BE ＝2，所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)， ＝(0，－2，2)，＝(2，0，2)．(2分)所以cos 〈，〉＝422×22＝12.(4分)所以AD 和CM 的夹角为60°.(2) 平面BCE 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，设平面OCE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)．(6分)由＝(1，1，0)，＝(2，0，2)，n ⊥，n ⊥，得则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2z 0＝0，x 0＋y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 0＝－x 0，y 0＝－x 0，(8分)令x 0＝－1，则n ＝(－1，1，1)．(9分) 因为二面角OCEB 为锐角二面角，记为θ， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝33.(10分) 23. 解析：(1) 记该学生有i 门学科获得A 等级为事件A i ，i ＝1，2，3，4.(1分) ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分) 则P(A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫14i ⎝⎛⎭⎫344－i，(3分)即P(A 0)＝81256，P(A 1)＝2764，P(A 2)＝27128，P(A 3)＝364，P(A 4)＝1256，则ξ1的分布列为所以E(ξ1)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋5×1256＝257256.(5分)(2) ξ2的可能取值为0，2，4，则 P(ξ2＝0)＝P(A 2)＝27128；(7分)P(ξ2＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝2764＋364＝1532；(8分)P(ξ2＝4)＝P(A 0)＋P(A 5)＝81256＋1256＝41128，(9分)则ξ2的分布列为。

镇江市 2018 届高三上学期期末数学 Ⅰ试题2018． 1参照公式：锥 体体积公式： V1Sh ，此中 S 为底面积 , h 为高 .3一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题 ．．卡相应地点上 ．．．．．．．1. 已知会合 A 2,0,1,3 , B1,0,1,2 , 则 A B2. 已知 x, y R, 则" a 1" 是直线 ax y 1 0与直线 x ay 1 0 平行的条件（从“充足不用要”“必需不充足”“充足必需”“既不充足也不用要”中选择一个）3. 函数 y 3sin(2x4 ) 图像两对称轴的距离为4.3 4i5i ，则 z = 设复数 z 知足z5. 已知双曲线x 2y 2 1 左焦点与抛物线 y 212x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为a 26. 已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为6 ，则正四棱锥的体积为7. 设等比数列a n 的前 n 项和 Sn ，若a 1 2, S 69S 3 , 则 a 5 的值为8. 已知锐角 知足 tan6 cos ，则 sincossincos9. 已知函数 f (x) x 2 kx4 对随意的 x 1,3 ，不等式 f (x) 0 恒建立，则实数 k 的最大值为10. 函数 y cosxx tan x 的定义域为4 , ，其值域为411.已知圆 C 与圆 x 2y 2 10x 10 y 0 相切于原点，且过点 A(0, 6) ，则圆 C 的标准 方程为12. 已知点 P(1,0) ，直线 l : yx t 与函数 y x 2的图像订交于A 、B 两点，当PA PB P 最小时，直线 l 的方程为13. 已知 a, b R, a b 4,1 1则a 2 1 b2 1 的最大值为14. 已知 k 为常数，函数 f (x) x2, x 0，若对于 x 的方程 f (x) kx 2 有且只有4 个不一样的解，x 1ln x x 0则实数 k 的取值会合为二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若 b cos A a cos B2c cos C .（1）求 C 的大小；（ 2 ）若b2a, 且ABC 的面积为 2 3 ，求 c.16．（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， D 为 BC 中点，AB AC, BC1B1D求证：（1 ）A1C //平面ADB1（2）平面A1BC1ADB117.（本小题满分 14 分）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分红 AD, CD 两段，此中两固定点 A ，B 间距离为 1 米，AB与杆AC的夹角为60 ，杆 AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/ 米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设ADB，则制作整个支架的总成本记为S 元.（1）求S 对于的函数表达式，并求出的取值范围；（2）问AD 段多长时， S 最小？18．（本小题满分16 分）如图，在平面直角坐标系x 2 y 21 (a b 0) 的离心率xOy 中，已知椭圆E :2b 2a为2F ( 2,0) ，直线 l : y t 与椭圆交于 A, B 两点， M 为椭圆上异于A, B 的点.，左焦点2（1 ）求椭圆E的方程；（2 ）若M6, 1 ，以AB为直径的圆P过M点，求圆P的标准方程；（ 3 ）设直线MA, MB 与 y 轴分别交于C, D ，证明：OC OD 为定值.19.（本小题满分 16 分）已知 b 0, 且 b 1，函数 f (x) e x b x，此中 e 为自然对数的底数：（ 1 ）假如函数 f (x) 为偶函数，务实数 b 的值，并求此时函数的最小值；（ 2 ）对知足 b 0, 且 b 1 的随意实数 b ，证明函数y f (x) 的图像经过独必定点；（ 3 ）假如对于x 的方程 f (x) 2 有且只有一个解，务实数 b 的取值范围.20.（本小题满分 16 分）已知数列a n 的前n 项和Sn ，对随意正整数n ，总存在正数p, q, r 使得a n p n 1 , S n q n r 恒建立：数列b n 的前n 项和T n，且对随意正整数n，2T n nb n 恒建立 . （1 ）求常数p, q, r的值；（2 ）证明数列b n为等差数列；（ 3 ）若b12，记P n 2n b1 2n b2 2n b3 2n b n 1 2n bn，能否存在正整数k ，a n 2a n 4a n 2 n 2 a n 2n 1 a n使得对随意正整数n ， P n k 恒建立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明原因.。

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题（有答案）南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则▲．2．设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为▲．7．设函数的值域为，若，则实数的取值范围是▲．8．已知锐角满足，则的值为▲．9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．10．设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为▲．11．设函数是偶函数，当x≥0时，=，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为▲．14．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱中，，点分别是的中点.（1）求证：∥平面；（2）若，求证：.16．(本小题满分14分)在中，角的对边分别为已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点,．（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．19．(本小题满分16分)设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.20．(本小题满分16分)设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，垂直于点.若，求切点到直径的距离．B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线与曲线()相切，求的值.D．(选修4-5：不等式选讲）已知实数满足，求当取最大值时的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知，．（1）求的值；（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2．13．12004．15．6．67．8．9．10．403411．12．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，又点分别是的中点，所以，且．所以四边形是平行四边形，从而．……………4分又平面，平面，所以∥面．……………6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，而侧面，所以侧面底面．又，且是的中点，所以．则由侧面底面，侧面底面，，且底面，得侧面．……………8分又侧面，所以．……………10分又，平面，且，所以平面．……………12分又平面，所以．……………14分16．解：（1）因为，则由正弦定理，得． (2)分又，所以，即．……………4分又是的内角，所以，故．……………6分（2）因为，所以，则由余弦定理，得，得．……………10分从而，……………12分又，所以．从而．……………14分17．解：（1）在图甲中，连接交于点．设，在中，因为，所以，则．从而，即.……………2分故所得柱体的底面积.……………4分又所得柱体的高，所以.答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.…………………6分（2）设，则，所以所得柱体的底面积.又所得柱体的高，所以，其中.…………………10分令，则由，解得.…………………12分列表如下：＋0－增极大值减所以当时，取得最大值.答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由，得直线的方程为． (2)分令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．…………………4分将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．…………………8分（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．………………10分联立，消去，得，解得．用代，得．………………12分又，所以，得．………………14分故，又，解得．所以直线的方程为．………………16分方法二：设点的坐标分别为．由，得直线的方程为，令，得．同理，得．而点是线段的中点，所以，故．…………………10分又，所以，得，从而，解得．…………………12分将代入到椭圆C的方程中，得．又，所以，即，解得（舍）或．又，所以点的坐标为．……………14分故直线的方程为．…………………16分19．解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以.………………4分（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.……6分欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立.………………8分令，则，所以当时，；当时，；当时，．所以的最大值为，所以的最小值为.………………10分（3）因为数列不是常数列，所以．①若，则恒成立，从而，，所以，所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．所以不合题意.………………12分②若，取（*），满足恒成立．………………14分由，得．则条件式变为．由，知；由，知；由，知．所以，数列（*）适合题意．所以的最小值为.………………16分20．解：（1）由，得，又，所以，.当时，，所以，所以.………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得.………………4分（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根． (6)分即关于的方程在上有相异两实根．所以，得，所以对恒成立．………………8分因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以．故的最小值为.………………10分（3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得.………………12分要证明，即证，即证，即证.………………14分令，则，此时即证．令，所以，所以当时，函数单调递增．又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立．综上所述，实数满足.………………16分附加题答案21．（A）解：如图，连接，，因为直线与⊙相切于点，所以，又因为垂直于，所以，所以，①在⊙中，所以，②………………5分由①②得，即，又，，所以，所以，又，所以，即到直径的距离为4.………………10分（B）解：设是圆上任意一点，则，设点在矩阵对应的变换下所得的点为，则，即，解得，………………5分代入，得，即为所求的曲线方程.………………10分（C）解：以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系，由，得，得直线的直角坐标方程为．………………5分曲线，即圆，所以圆心到直线的距离为．因为直线与曲线（）相切，所以，即.……………10分（D）解：由柯西不等式，得，即．而，所以，所以，………………5分由，得，所以当且仅当时，．所以当取最大值时的值为.………………10分22．解：（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．则,,,,．所以，，，，．则．故直线与所成角的余弦值为.………5分（2），．设平面的一个法向量为，则，得，令，得，．得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，，．则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 (10)分23．解：（1）由条件，①，在①中令，得．………………1分在①中令，得，得．………………2分在①中令，得，得．………………3分（2）猜想=（或=）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式成立．方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故．故只需证明．即证．而，故即证②．由等式可得，左边的系数为．而右边，所以的系数为．由恒成立可得②成立.综上，成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为，，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为．另一方面，从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为．故，即②成立.余下同方法一.………………10分方法三：由二项式定理，得③．两边求导，得④．③×④，得⑤．左边的系数为．右边的系数为．由⑤恒成立，可得．故成立.………………10分。

2018年江苏省镇江市界牌中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 若集合，集合，则A∩B等于（）A．(1,3) B．(－∞,－1) C．(－1,1) D．(－3,1)参考答案：C3. 复数在复平面上对应的点的坐标为(A) (B) (C) (D)参考答案：略4. 已知函数的导函数图象如右图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是( )(A) (B)(C) (D)参考答案：B略5. 展开式中项的系数为A．B．C．D．参考答案：A6.参考答案：D略7. 若是等差数列的前项和，且，则的值为A.44B.22 C . D.88参考答案：A故选A8. 对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是(A)(－2，1) (B)[0，1] (C)[－2，0) (D)[－2，1)参考答案：D略9. 设点，，若直线与线段（包括端点）有公共点，则的最小值为（）A. B. C.D. 1参考答案：C略10. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A. 8万元B. 10万元XC. 12万元D. 15万参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为．参考答案：【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半，进而得到各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面暴露在外面部分的面积和为1，累加后即可得到答案．【解答】解：最下边正方体的侧面积为4×1=4从下边数第二个正方体的侧面积为4×=2从下边数第三个正方体的侧面积为4×=1…即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列故Sn=当n=6时S6==而除侧面外其它面的和为1，故6个正方体暴露在外面部分的面积和为+1=故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，等比数列的前n项和，其中根据已知条件将问题转化为等比数列的前n项和问题，是解答本题的关键．解答时易忽略6个正方体暴露在外面部分不包括下底面，但包括上底面，而错解为或．12. （5分）（2015?枣庄校级模拟）设、是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且，，则△OAB的面积等于．参考答案：5【考点】：向量在几何中的应用；数量积表示两个向量的夹角．【专题】：计算题．【分析】：确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，利用三角形的面积公式，即可得到结论．解：由题意，=（﹣2，1），=（4，3）∴||=，||=5∴cos∠AOB==﹣∴sin∠AOB=∴△OAB的面积等于××5×=5故答案为：5【点评】：本题考查三角形面积的计算，解题的关键是确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，属于中档题．13. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则____；的面积为____.参考答案：，.试题分析：由余弦定理可得，又∵，∴，.考点：1.切割线定理；2.相交弦定理.14. 在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______. 参考答案：．由正弦定理得，所以.15. 设为等差数列的前项和，若，，则当取得最大值时，的值为．参考答案：16. 不等式的解集是参考答案：原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。

高三数学(文科)答案及评分标准 2017.10.11一、填空题：二、解答题15.解：（1）由已知，ααsin 2cos =；若cos 0α=，则sin 0α=，与22sin cos 1αα+=矛盾，故cos 0α≠； ……2分 ∴21cos sin =αα，即21tan =α， ……4分∴22tan 4tan 231tan αα==-α. ……6分 （2）由已知，ααsin 2cos =；又1cos sin 22=+αα，∴1sin 52=α，α若在第一象限，∴55sin =α，552sin 2cos =α=α. ……7分 α若在第三象限，∴55sin -=α，552sin 2cos -=α=α. ……8分 ∴54cos sin 22sin ==ααα，53sin 212cos 2=α-=α， ……12分 [233,+1π[2,)+∞ 62+∴10334235321543πsin 2cos 3πcos 2sin )3π2sin(+=⨯+⨯=α+α=+α. ……14分 【说明】本题主要考查三角变换等知识，考查运算能力和书写表达能力. 16.解：（1）∵，∴|1|13x -+≤，即|1|2x -≤，即212x --≤≤， ……3分 即13x -≤≤，∴的解集为[1,3]-. ……6分 （2）∵对任意，不等式恒成立，∴不等式1213|x |a |x |-++-≥对任意恒成立， ……8分①当12x ≤时，得31a x ≥+恒成立，所以52a ≥； ……9分②当112x <≤时，得3a x -≥恒成立，所以52a ≥； ……10分 ③当1x >时，得53a x -≥恒成立，所以2a ≥； ……12分综上，52a ≥. ……14分【说明】本题主要考查绝对值不等式解法、分段函数，考查运算能力和书写表达能力. 17.解：（1）, ∴斜率 ……2分∵，∴切点坐标为(0,1)，切线方程为. ……5分 （2）,令，即e cos e sin =0x x x x -，]2π,0[∈x ，得π4x =； ……7分分∴当4x π=时,4max ()()e 42f x f ππ==； ……12分当2x π=时,min ()()02f x f π==. ……14分【说明】本题主要考查运用导数研究函数的单调性、最值、零点，考查曲线的切线方程，考查转化划归思想；考查运算能力。

江苏省镇江市2018届高三上学期期末数学试题镇江市2018届高三上学期期末数学Ⅰ试题参考公式：锥体体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$，其中$S$为底面积，$h$为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1.已知集合$A=\{-2,0,1,3\}$，$B=\{-1,0,1,2\}$，则$A\capB=\{0,1\}$。

2.已知$x,XXX{R}$，则"a=1"是直线$ax+y-1=0$与直线$x+ay+1=0$平行的条件是“必要不充分”。

3.函数$y=3\sin(2x+\pi)$图像两对称轴的距离为$\frac{4}{\pi}$。

4.设复数$z$满足$\frac{3+4i}{z}=5i$，则$z=-\frac{4}{5}+i\frac{3}{5}$。

5.已知双曲线$2-y^2=1$左焦点与抛物线$y^2=-12x$的焦点重合，则双曲线的右准线方程为$x=3$。

6.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则正四棱锥的体积为$16\sqrt{2}$。

7.设等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$，若$a_1=-2$，$S_3=9S_6$，则$a_5=16$。

8.已知锐角$\theta$满足$\tan\theta=6\cos\theta$，则$\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=5$。

9.已知函数$f(x)=x-kx+4$对任意的$x\in[1,3]$，不等式$f(x)\geqslant 0$恒成立，则实数$k$的最大值为$\frac{3}{2}$。

10.函数$y=\cos x-x\tan x$的定义域为$\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$，其值域为$\left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$。

江苏专版2020届高三数学一轮复习典型题精选精练统计与概率一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．2、（南京市2019高三9月学情调研）已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．3、（南京市2019高三9月学情调研）不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．4、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）若一组样本数据3，4，8，9，a的平均数为6，则该组数据的方差s2＝▲．5、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲．7、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为▲．8、（南师附中2019届高三年级5月模拟）某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．9、（南师附中2019届高三年级5月模拟）3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．10、（苏州市2018高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2: 3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．11、（徐州市2019届高三上学期期中）某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有▲个网箱产量不低于50 kg．12、（海安市2019届高三上学期期中）已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．13、（海安市2019届高三上学期期中）有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．14、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图是某次青年歌手大奖赛上5位评委给某位选手打分的茎叶图，则这组数据的方差为▲15、（如皋市2019届高三上学期期末）为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为▲16、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为．17、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝▲18、（泰州市2019届高三上学期期末）从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为19、（无锡市2019届高三上学期期末）史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．20、（宿迁市2019届高三上学期期末）春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为▲．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为.22、（南京市2019届高三第三次模拟）已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为▲．23、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））随机抽取100名年龄在［10,20），［20,30），…，［50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在［50,60）年龄段抽取的人数为＿＿24、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为▲.25、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲．26、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．27、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为．28、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．29、（盐城市2019届高三第三次模拟）现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_____.30、（江苏省2019年百校大联考）某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习．（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记X Y期望．4、（徐州市2018高三上期中考试）某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是13、14、34，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．6、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x xy e a e =+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 第4题图11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x -≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图F18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数. （1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值； （3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.A B ED F O · 第21(A)图C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===. （1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A CD O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ． 所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A M C ，1A M ⊂平面1A M C ，所以BN∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1AM MC M =， 所以1AB ⊥平面1A M C ． ……………12分 又1AC ⊂平面1A M C ，所以11AB AC ⊥． ……………14分16．解：（1）因为2c =，则由正弦定理，得sin 2C B =． ……………2分 又2C B=，所以s in 2s i n2B B =，即4sn c o s5s i nB B =． ……………4分 又B是ABC ∆的内角，所以s i n B >，故co B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而223cos 25a c bB ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==． 从而3c o 44B Bππ+=． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RM T O MO T =-=． 从而2R B EMT==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=. ……………4分 又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分E（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分 18．解：（1）由2N Q ，得直线NQ 的方程为32y x =…………………2分 令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N 的坐标22213+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =在y kx =0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k=． 所以直线BN 的斜率2BN BQ k k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得M x =．用2k代k，得6316N x =． ………………12分 又2DN NM =，所以2(N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故23=0k >，解得k =． 所以直线BM 的方程为2y x =． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=． …………………10分 又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得21433y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C的方程中，得2119x =．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为M ．……………14分故直线BM 的方程为2y x =． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n nn n n n n nb b +-----=-=， 所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分 （3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …． ①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-； 由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()bg x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分 （2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aa x c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以3)c a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． 8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …． 故c最小值为3. ………………10分 （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分 令21xt x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t tϕ=+-，所以22111()0t t t t t ϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122x x x b x x x-<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2x x y y =⎧⎨=⎩，解得012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分 代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=， 得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分 曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即ABE DF O ·第21(A)图1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y +≤， ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -． 所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =． 则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分C第22题图在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分 （2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n nnC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立． 方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!r r nn r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n nrC C rC C nC C -----==． 故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n nnC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -． 而右边1(1)n n xx -++()()0111n nn nC C x------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n nC C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n nC C C C C C -----+++． 另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -． 故0111121111n n n n n n n n nn nC C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++ ③． 两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -． 右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n nnC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

苏北四市2018届高三第一次调研测试数学试题2018.1参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则AB = ▲ ．2．已知复数2i 2iz +=-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P 到直线:0l x +=的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}na 满足a 13579=10，a 8222=36，则a 11的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)xy r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14.如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC == ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则·的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在△中，角所对的边分别为，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值； ⑵若13c =，求△的面积.（第14A DC E16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 与其内接等腰三角形绕底边上的高所在（第16直线旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 ，设∠θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S 2．⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，)为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF FC =，求BF FD的值；⑶设直线，的斜率分别为k 12，是否存在实数m ，使得k 21，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．（第1820．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x tl y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d+++++++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； ⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． ⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．549．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==， 所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. (4)分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =， 所以sin B B =， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. (14)分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点， 所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点， 所以1//,PM B N 且1PM B N =. (2)分所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ， 所以//MN 平面11ABB A . (6)分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分而AN ⊂面1AB N ， 所以1A B AN⊥.……………………………………………………………………………14分17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，…………………………………………………………2分 在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分 所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<< ……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==- (8)分设3(),(01)f x x x x =-<<则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<所以()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x 在x 时取得极大值，也是最大值；所以当sin 3θ=时，侧面积S取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为．…………14分18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF方程为3430x y --=， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为x x =是该方程的一个解，所以C点的横坐标8552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--，同理，D点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-， 即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+， 所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-= (2)分所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同， 则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得： 222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分 又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x=-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞． (16)分20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥), 所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=，……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠， 所以12nn b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ）， 当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ，①当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ，②当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得233214+q q q q q ++=+λμ，③②①q ，得21q =λ ， ③②q ，得31q =λ ，解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分（3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． (12)分由12a =，23a =，12λ=，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =， 所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n n a a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆， 所以BD BE BA BF ⋅=⋅．…………………………………………………………5分又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AEAF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅，∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分 B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． (10)分C.把直线方程12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． (3)分将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=， 即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l 的距离d ==所以直线l与圆C相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分22．（1）因为11,2AB AA==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以(1,0,0)=-AC ，1(,2=BE ， ………………………………………2分记直线AC和BE所成角为α，则11cos|cos,||4α-⨯=<>==AC BE，所以直线AC和BE所成角的余弦值为．………………………………………4分（2）设平面1BFC的法向量为111(,,)x y z=m，因为(0,FB=，11(,0,2)2FC=-，则111131202FB yFC x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩mm，取14x=得：(4,0,1)=m (6)分设平面1BCC的一个法向量为222(,,)x y z=n，因为1(2CB=，1(0,0,2)CC=，则2212122CB x yCC z⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩nn，取2x=1,0)=-n (8)分cos,∴<>==m n根据图形可知二面角1F BC C--为锐二面角，所以二面角1F BC C--的余弦值为……………………………………10分23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ， 则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n=，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ (4)分（2）设2(1,)+Q t t ，1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+所以1122=-t y t，3223=+y t t ， (6)分所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t tt=+-+=++>．……………………………………8分令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t'>得t>()0f t'<得0t<<所以()f t在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t=()f t取得极小值也是最小值，即AB取得最小值此时21s t=+=．……………………………………………………………10分。

（第7题）2018年省镇江一中高三数学模拟卷（4.14）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2.命题“0x ∃> ,使得2210x x -+<成立”的否定为 ▲ ．3.复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的虚部是 ▲ ． 4.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校A 专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中最多有 ▲ 人能报考A 专业．5.函数22log (32)y x x =--的单调减区间为 ▲ ．6. 若在区间(1,1)-内任取实数a ,在区间(0,1)内任取实数b ,则直线0a x b y -=与圆22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为___ ▲______.7.若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．8.已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．9.已知平面α ，β，直线m ，n ，给出下列命题：① 若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥；② 若//αβ，//,//m n αβ，则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④ 若βα⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．10.设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+， 则d 的值为 ▲ ．（第16题）11.平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足 AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅的值为 ▲ ．12.若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=， 且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知1a =，b =π6B A -=． （1）求sin A 的值；（2）求c 的值．16.如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．（第18题）17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成 直四棱柱1111A BC D ABCD -，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，DAB ∠=60°，1AA AD =，设DAO θ∠=．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）当sin θ取何值时，四棱柱1111A BC D ABCD -的体积最大？并求出最大值． （注：木材的长度足够长）19．（本小题满分16分）已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <．（ⅰ）若213t t =，求a 的值；（ⅱ）若对任意的12[]x t t ∈，，都有()16f x a -≤成立，求a 的取值范围．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围； （3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年省镇江一中高三数学模拟卷（4.14）参考答案1.{}0; 2.0x ∀> ,有22100x x -+≥成立; 3.1; 4.18; 5.(-1,1); 6.516;7.4; 8.36; 9.③④; 10.-10; 11.-6; 12.3; 13.14; 14．λ≤14.解析：由条件，sin sin sin sin A B A Bλ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=，所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2a b A B A B c λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤15．(本小题满分14分)解：（1）在△ABC 中，因为1a =，b =π6B A -=，由正弦定理得，1sin πsin A A +…… 2分于是ππsin cos cos sin 66A A A =+，即cos A A =， …… 4分又22sin cos 1A A +=，所以sin A =． …… 6分（2）由（1）知，cos A =，则sin 22sin cos A A A ==，213cos212sin 14A A =-=， …… 10分在△ABC 中，因为πA B C ++=，πB A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-113=⨯1114=． ……12分由正弦定理得，sin sin a C c A = …… 14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC //平面PDE ， BC ⊂平面ABC ，平面PDE平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ……6分（2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点． 因为AC BC =，所以AB CD ⊥， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC =CD ，AB ⊂平面ABC ，则AB ⊥平面PCD ． ……12分 因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ……14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ， 联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ，………… 12分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分 18．(本小题满分16分)【解】（1）由条件可得，2cos AD θ=，所以梯形的高sin 603h AD θ==．又2cos(60)AB θ=-，2cos(120)CD θ=-， …… 3分 所以梯形ABCD 的面积12cos(60)2cos(120)3cos 2S θθθ⎡⎤=-+-⨯⎣⎦ …… 5分 cos(60)cos(60)3cos θθθ⎡⎤=--+⨯⎣⎦(2sin60sin )θθ=3sin 2θ=（2dm ）． …… 8分 （2）设四棱柱1111A B C D ABCD -的体积为V ，因为12cos AA AD θ==， 所以123sin 22cos 6sin (1sin )2A V S A θθθθ=⋅⨯==-． …… 10分设sin t θ=，因为060θ︒<<，所以0t ⎛∈ ⎝，所以23()6(1)6()V t t t t t =-=-+，0t ⎛∈ ⎝．由2()6(31)18(V t t t t '=-+=-， …… 12分令()0V t '=，得t =，()V t 与()V t '的变化情况列表如下：由上表知，()V t 在t =时取得极大值，即为最大值，且最大值V = 15分答：当sin θ=时，四棱柱1111A B C D ABCD -3dm ．… 16分19．（1）2()36(2)f x x x a '=-+-，其判别式2(6)12(2)12(+1)a a ∆=---=．①当1a -≤时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞．………………………………………1分②当1a >-时，由()0f x '>，得x <或x >所以()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞． 3分综上，当1a -≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当1a >-时，()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞．4分 （2）（ⅰ）方程()0f x =，即为323(2)0x x a x -+-=，亦即2[3(2)]0x x x a -+-=，由题意1t ，2t 是方程23(2)0x x a -+-=的两个实根， ………………5分 故123t t +=，122t t a =-，且判别式21(3)4(2)0a ∆=--->，得14a >-． 由213t t =，得134t =，294t =， ………………………………………8分 故1227216t t a =-=，所以516a =．………………………………………9分（ⅱ）因为对任意的12[]x t t ∈，，()16f x a -≤恒成立． 因为123t t +=，12t t <，所以1232t t <<， 所以120t t <<或120t t <<．①当120t t <<时，对12[]x t t ∈，，()0f x ≤， 所以016a ≤-，所以16a ≤．又1220t t a =->，所以2a <．………………………………………12分②当120t t <<时，2()36(2)f x x x a '=-+-，由（1）知，存在()f x 的极大值点11(0)x t ∈，，且1x =（方法1）由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤，将1x =(72a +，解得11a ≤．…14分又1220t t a =-<，所以2a >．因此211a <≤．…………………………15分综上，a 的取值范围是1(2)(211]4-，，．………………………………………16分（方法2）211362a x x =-+，由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤， 将211362a x x =-+，代入化简得31(1)8x --≥，得11x -≥，故110x -<≤，因为211362a x x =-+在1[10)x ∈-，上递减，故(211]a ∈，． 综上，a 的取值范围是1(2)(211]4-，，． ……………………………………16分20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分 （2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*）， 特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥，因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-，又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n n SS +≤，所以1312112×2n n n nS S S S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=， 又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥， 又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<，所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分 假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=， 即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<， 于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分。

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页绝密★启用前镇江2018一模考试范围：集合、复数、简易逻辑、数列、函数、三角与向量、导数、解析几何、立体几何、矩阵、坐标系与参数方程、空间向量、分布列与数学期望； 考试时间：120分钟；理科附加30分钟. 一、填空题1．已知集合={2,0,1,3}A -， {}1,0,1,2B =-，则A B ⋂=__________．2．已知,x y R ∈，则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个） 3．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像两对称轴的距离为__________． 4．设复数z 满足345ii z+=，则z =__________． 5．已知双曲线2221xy a-=左焦点与抛物线212y x =-的焦点重合，则双曲线的右准线方程为__________． 6．已知正四棱锥的底面边长为2，则正四棱锥的体积为__________． 7．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若12a =-， 639S S =，则5a 的值为__________． 8．已知锐角θ满足tan θθ=，则sin cos sin cos θθθθ+=-__________．9．已知函数()24f x x kx =-+对任意的[]1,3x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数k 的最大值为________．10．函数cos tan y x x x =-的定义域为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其值域为__________． 11．已知圆C 与圆2210100x y x y+++=相切于原点，且过点()0,6A -，则圆C 的标准方程为__________．12．已知点()1,0P ，直线:l y x t =+与函数2y x =的图像相交于A B 、两点，当·PA PB 最小时，直线l 的方程为__________．13．已知,a b R ∈， 4a b +=，则221111a b +++的最大值为__________． 14．已知k 为常数，函数()2,0{ 1,0x x f x x lnx x +≤=->，若关于x 的方程()2f x kx =+有且只有4个不同解，则实数k 的取值集合为__________．二、解答题15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos 2cos b A a B c C +=-. （1）求C 的大小；（2）若2b a =，且ABC ∆的面积为c .16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， D 为BC 中点， AB AC =， 11BC B D ⊥求证：（1）1//AC 平面1ADB （2）平面111A BC ADB ⊥17．如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成,AD CD 两段，其中两固定点,A B 间距离为1米， AB 与杆AC 的夹角为60︒，杆AC 长为1米，若制作AD 段的成本为/a 元米，制作CD 段的成本是2/a 元米，制作杆BD 成本是4/a 元米.设ADB α∠=，则制作整个支架的总成本记为S 元.（1）求S 关于α的函数表达式，并求出α的取值范围； （2）问AD 段多长时， S 最小？18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为，左焦点()2,0F -，直线:l y t =与椭圆交于,A B 两点， M 为椭圆上异于,A B 的点.第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页（1）求椭圆E 的方程；（2）若()1M -，以AB 为直径的圆P 过M 点，求圆P 的标准方程； （3）设直线,MA MB 与y 轴分别交于,C D ，证明： OC OD ⋅为定值. 19．已知0b >，且1b ≠，函数()xxf x e b =+，其中e 为自然对数的底数：（1）如果函数()f x 为偶函数，求实数b 的值，并求此时函数的最小值；（2）对满足0b >，且1b ≠的任意实数b ，证明函数()y f x =的图像经过唯一的定点； （3）如果关于x 的方程()2f x =有且只有一个解，求实数b 的取值范围.20．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r 使得1n n a p -=， n n S q r =-恒成立：数列{}n b 的前n 项和n T ，且对任意正整数n ， 2n n T nb =恒成立. （1）求常数,,p q r 的值； （2）证明数列{}n b 为等差数列；（3）若12b =，记31222224n n n n n b n b n b P a a a +++=++ 1212222n n n n n nn b n b a a ---+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ， n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由.21．选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形， BC BD =， BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至F .求证： AE 是DAF∠的角平分线.22．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值. 23．选修4-3：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x acos y bsin ϕϕ==（0a b >>， ϕ为参数），且曲线C 上的点(M 对应的参数3πϕ=，以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 上的,A B 两点的极坐标分别为()1,A ρθ， 2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求221211ρρ+的值.24．选修4-4：不等式选讲已知函数()f x x a x a =-++，若对任意x R ∈，不等式()23f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围.25．如图， AC BC ⊥， O 为AB 中点，且DC ⊥平面ABC ， //DC BE .已知2A C B C D C B E====.（1）求直线AD 与CE 所成角；（2）求二面角O CE B --的余弦值.26．某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立.规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级则加5分，记1ξ表示该生的加分数， 2ξ表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值.（1）求1ξ的数学期望； （2）求2ξ的分布列.。