全等三角形判定2

例01．如图，已知：21∠=∠，43∠=∠. 求证：BCD ADC ∆≅∆.分析：ADC ∆与BCD ∆的对应边是DC 与DC ，AD 与BC ，AC 与BD . 对应角是1∠与2∠，ADC ∠与BCD ∠，DAC ∠与CBD ∠. 由条件已有一对应边DC 与DC ，和一对应角1∠和2∠相等，只需证明BCD ADC ∠=∠，就可以证明两三角形全等.证明：21∠=∠，43∠=∠（已知），∴ 4231∠+∠=∠+∠. 即BCD ADC ∠=∠ 在ADC ∆与BCD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(12)()(已知公共边已证CD DC BCD ADC ∴ )(ASA BCD ADC ∆≅∆例02．已知：如图，21∠=∠，C B ∠=∠. 求证：COD BOE ∆≅∆.分析：欲证COD BOE ∆≅∆，已有两组条件，即C B ∠=∠和COD BOE ∠=∠. 因此，必须再具备一组对应边相等这一条件. BE 和CD 是在BOE ∆和COD ∆中，但直接证明CE BE =比较困难. 若证OE 和OD 相等或OB 和OC 相等，可以分别转化到证明AOD AOE ∆≅∆和AOC AOB ∆≅∆. 由已知条件，不难证出这两对三角形分别全等.证明：∵ 21∠=∠（已知），DOC EOB ∠=∠（对顶角相等）， ∴ DOC EOB ∠+∠=∠+∠21. 即 AOC AOB ∠=∠. 在AOB ∆与AOC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(公共边已证已知AO AO AOC AOB C B ∴ )(AAS AOC AOB ∆≅∆. ∴CO BO =在EOB ∆与COD ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(已知已证对顶角相等C B CO BO COD EOB∴ COD BOE ∆≅∆（ASA ）例03．如图，已知：AB 与CD 相交于点O ，且OD OC BD AC =,//，E 、F 为AB 上两点，且BF AE =.求证：DOF COE ∆≅∆.分析：欲证DOF COE ∆≅∆，已具备了两个条件，OD OC =和DOF COE ∠=∠. 所以只需证另一对角相等或证明OF OE =，即可. 证明另一对角相等，比较困难. 所以就证明OF OE =. 因为有BF AE =. 要证OF OE =只需证OB OA =即可. 由已知条件容易证得BOD AOC ∆≅∆，从而证明OB OA =.证明：∵BD AC //（已知）∴B A ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 在AOC ∆与BOD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知对顶角相等已证OD OC BOD AOC B A ∴)(AAS BOD AOC ∆≅∆∴BO AO =（全等三角形的对应边相等） ∵BF AE =（已知）， ∴BF BO AE AO -=-. 即OF OE =在COE ∆与DOF ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已证对顶角相等已知OE OE DOE COE DO CO ∴)(SAS DOF COE ∆≅∆例04．如图，已知：CE BD ACE ABD DAE BAC =∠=∠∠=∠,,. 求证：AE AD =.分析：欲证相等的两条线段AD ，AE 分别在ABD ∆和ACE ∆中，由于CE BD =，ACE ABD ∠=∠，所以只需再证CAE BAD ∠=∠即可，这由已知条件DAE BAC ∠=∠容易得到.证明：∵DAE BAC ∠=∠（已知） ∴DAC DAE DAC BAC ∠-∠=∠-∠ 即CAE BAD ∠=∠ 在ABD ∆与ACE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=)()()(已证已知已知CAE BAD ACE ABD CE BD ∴)(AAS ACE ABD ∆≅∆∴AE AD =（全等三角形的对应边相等）例05．已知：（如图）21,∠=∠∠=∠D A . 求证：DO AD =分析：要证DO AD =，只要证DOC AOB ∆≅∆即可，在AOB ∆和DOC ∆中，已知D A ∠=∠，DOC AOB ∆=∆，只要再证一边对应相等即可，根据已知可得DCB ABC ∆≅∆，从而可证DC AB =，进而可证DO AO =，思路即为：DO AO =⇐DOC AOB ∆≅∆⇐DC AB =⇐DCB ABC ∆≅∆⇐“AAS ”证明：在ABC ∆和DCB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(21公共边已知已知CB BC D A ∴)(AAS DCB ABC ∆≅∆∴DC AB =（全等三角形的对应边相等）在AOB ∆和DOC ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已证已知对顶角相等DC AB D A DOC AOB ∴ )(AAS DOC AOB ∆≅∆∴ DO AO =（全等三角形的对应边相等）例06．求证：三角形的一边的两端到这边的中线或中线的延长线的距离相等.分析：这是一道了题，必须先根据题意画出图形，再结合题意写出已知，求证，再证明.已知：AD 是ABC ∆的中线. 如图，且AD CF ⊥于F ，AD BE ⊥的延长线于E ， 求证：CF BE =证明：∵AD 为ABC ∆的中线（已知） ∴ CD BD =（中线定义）∵ AD BE ⊥ AD CF ⊥（已知）∴ ︒=∠=∠90CFD BED （等于定义） 在BED ∆与CFD ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()(21)(已证对顶角相等已知CD BD CFD BED ∴CFD BED ∆≅∆（AAS ）∴CF BE =（全等三角形对应边相等）说明 本题还可利用面积相等来证明，提示，过A 作BC AN ⊥于N ，希同学们自己来证明.例07．已知：如图，BC AD CD AB //,//， 求证：CD AB =.分析：因为四边形，我只学过三角形的有关知识，因此只要连结四边形的对角线从而把四边形的总是转化为三角形的总是来解决.证明：连结AC∵BC AD CD AB //,//（已知）∴43,21∠=∠∠=∠（两直线平行内错角相等）在ABC ∆和CDA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已知CA AC∴ )(ASA CDA ABC ∆≅∆∴CD AB =（全等三角形的对应边相等）例08．已知：如图，AO CO DO BO ==,求证：OF OE =证明：在BOC ∆和DOA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知对顶角相等已知OA OC DOA BOC DO BO ∴ )(SAS DOA BOC ∆≅∆∴ D B ∠=∠（全等三角形的对应角相等） 在BOE ∆和DOF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(对顶角相等已知已证DOF BOE DO BO D B ∴)(ASA DOF BOE ∆≅∆∴OF OE =（全等三角形的对应边相等）说明 找到题目中的隐性条件并加以应用是关键.例09．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，43,21∠=∠∠=∠，P 是BC 上任意一点， 求证：PD PA =.证明：在ABC ∆和DBC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已知公共边已知BC BC ∴ )(ASA DBC ABC ∆=∆∴ DB AB =（全等三角形对应边相等） 在ABP ∆和DBP ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知已证BP BP DB AB ∴ )(SAS DBP ABP ∆≅∆∴ PD PA =（全等三角形对应边相等）说明：本题也可通过DBC ABC ∆≅∆，得到DC AC =，从而证DCP ACP ∆≅∆，得到PD PA =.选择题（1）已知ABC Rt ∆与C B A Rt '''∆，︒=∠90C ，︒='∠90C ，B A '∠=∠.B A AB ''=.那么下列结论正确的是（ ）（A ）C A AC ''= （B ）C B BC ''= （C ）C B AC ''= （D ）以上答案都不对（2）在ABC ∆和C B A '''∆，甲：B A AB ''=；乙：C B BC ''=；丙：C A AC ''=；丁：A A '∠=∠；戊：B B '∠=∠；己：C C '∠=∠，则不能保证ABC ∆≌C B A '''∆成立的条件为（ ）（A ）丙、丁、己 （B ）甲、丙、戊 （C ）甲、乙、戊 （D ）乙、戊、己 （3）如图，已知ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形，那么ADC ∆≌ABE ∆的根据是（ ）（A ）ASA （B ）SAS（C ）AAS （D ）以上都不对（4）如图，C 是BE 上一点，CD AB =，D A ∠=∠，E BCA ∠=∠，那么（ ）（A ）ECD B ∠=∠ （B ）C 是BE 的中点 （C ）CD AB //（D ）以上结论都正确参考答案：（1）C （2）B （3）B （4）D填空题（1）如图，已知：21∠=∠，D C ∠=∠. 求证：AD AC =.证明：在ACB ∆与ADB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠) _______()()(21AB D C 已知已知 ∴ACB ∆≌ADB ∆（ ） ∴AD AC =（2）如图，已知：BC AB ⊥，DC AD ⊥，垂足分别为B ，D .21∠=∠. 求证：AD AB =.证明：在ABC ∆与ADC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠) ()(21)(AC AC ADC ABC ∴ ABC ∆≌ADC ∆（ ） ∴AD AB =（ ）（3）如图，已知：CE AE =，C A ∠=∠.求证：ADE ∆≌CEB ∆.证明：在AED ∆与CEB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠) _____(______)()(已知CE AE C A ∴ AED ∆≌CEB ∆（ASA ）（4）如图，已知：C B ∠=∠，AD AE =.求证：AEC ∆≌ADB ∆.证明：在AEC ∆与ADB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠) ()()(AE AE C B A A 已知 ∴AEC ∆≌ADB ∆（ ）参考答案：（1）AB ；公共边；AAS ；全等三角形的对应边相等（2）垂直定义；已知；公共边；AAS ；全等三角形的对应边相等. （3）已知：AED ∠；CEB ∠；对顶角相等 （4）公共角；已知；AAS证明题1．如图，已知，21∠=∠，DCB ABC ∠=∠. 求证：DC AB =.2．如图，已知：E D ∠=∠，AM EM CN DN ===. 求证：点B 是线段AC 的中点.3．如图，已知：21∠=∠，AE AD =. 求证：OC OB =.4．如图，已知：在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于C ，求证：AF AE =.5．如图，已知：E 在AC 上，21∠=∠，43∠=∠. 求证：DE BE =.6．如图，已知：BC AD //，21∠=∠，43∠=∠，直线DC 过E 点交AD 于D ，交BC 于C .求证：AB BC AD =+.7．求证：三角形一边的两个端点到这边上的中线的距离相等. 8．如图，已知：DE AB =，直线AE ，BD 相交于点C ，︒=∠+∠180D B ，DE AF //，交BD 于F .求证：CD CF =.9．如图，已知：AB 与CD 相交于点O ，O 是AB ，CD 的中点，过点O 引直线EF 分别与AD ，BC 相交于E 、F 两点.求证：BF AE =.参考答案：1．证：由DCB ABC =∠，21∠=∠，可得ACB DBC ∠=∠.易证ABC ∆≌DCB ∆，∴ DC AB =2．证：易证DNB ∆≌EMB ∆，∴ EB DB =，由此可证：EA DC =.因此，可证DCB ∆≌EAB ∆.∴BC AB =，∴B 是AC 的中点.3．易证ABE ∆≌ACD ∆，∴C B ∠=∠，AC AB =，又∵AE AD =，∴CE BD =.由此可证BOD ∆≌COE ∆，∴OC OB =4．︒=∠=∠90AFD AED ，FAD EAD ∠=∠，AD AD =，∴AFD AED ∆≅∆，∴AF AE =.5．∵ 21∠=∠，AC AC =，43∠=∠，∴ABC ∆≌ADC ∆，∴AD AB =，又∵21∠=∠,AE AE =，∴ADE ABE ∆≅∆，∴DE BE =6．在AB 上取一点F ，使BF BC =，又∵43∠=∠，EB EB =，∴EC B EFB ∆≅∆，∴C EFB ∠=∠，又∵BC AD //，由此可推出D EFA ∠=∠.可证AFE ADE ∆≅∆，∴AF AD =，∴BC AD AB +=.7．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AD BF ⊥于F ，AD CE ⊥于E . 求证：CE BF =.证：︒=∠=∠90BFD CED ，BDF CDE ∠=∠，BD CD =，∴ BFD CED ∆≅∆,∴ CE BF =8．证：∵ DE AF //， ∴AFC D ∠=∠，又∵︒=∠+∠180AFB AFC ，︒=∠+∠180D B ，∴ AFB B ∠=∠∴ DE AF AB ==，∴ 可证ECD ACF ∆≅∆，∴CD CF =9．证：BO AO =，BOC AOD ∠=∠，CO DO =，∴B O C A O D ∆≅∆，∴B A ∠=∠.而BOF AOE ∠=∠，BO AO =，∴BOF AOE ∆≅∆，∴ BF AE =能力：1、如图1，已知：AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD ，CD ，并延长相交AC 、AB 于F 、E 点.则图形中有（ ）对全等三角形.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：C.2、如图2，已知：∠1=∠2，AB=DC ，图中全等三角形的对数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3答案：A3、如图3，已知：△ABC 中，DF=FE ，BD=CE ，AF ⊥BC 于F ，则此图中全等三角形共有（ ）A 、5对B 、4对C 、3对 D2对答案：C.1、如图4，已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AD=BD ，DE=DC ，延长BE 交AC 于F ，求证：BF 是△ABC 中边上的高. 图1 A B B 、E F D C AD B O C 1 2 图2 图3 D FE C AF C D B E 图4提示：关键证明△ADC ≌△BFC2、如图5，已知：∠D=∠E ，DN=EM ，AM=CN ，求证：点B 是线段AC 的中点.提示：欲证点B 是线段AC 的中点，只需证AB ＝BC.选择AB 、BC 所在的两个三角形，然后证这两个三角形△AMB ≌△CNB.由条件可得△EMB ≌△DNB ，所以得到∠EMB ＝∠DNB ，MB ＝NB由此易证△AMB ≌△CNB.3、如图6，已知：AB=CD ，∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB提示：欲证∠ABC=∠DCB ，选择这两个角所在的三角形，只需证△ABC ≌△DBC由条件可知△ADC ≌△DAB ，所以得到∠DAC ＝∠ADB ，BD ＝AC ，加之条件利用边角边公理可证△ABC ≌△DBC4、如图7，已知：在△ABC 中，∠ACB=090,AC=BC ，AE 是BC 边上的中线过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D.（1）求证：AE=CD.（2）AC=12cm ，求BD 的长.提示：欲证AE=CD ，只需证△ACE ≌△CBD 由条件可知∠CAE ＝∠BCD （同角的余角相等）加之其它两个条件易证得结论.由E 是BC 的中点，EC ＝BE又BD ＝EC ，BC ＝AC 知BD ＝6 cm5、如图8，已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=90，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，求证：BD=2CE提示：本题的关键是从结论BD=2CE 出发，想到构造线段CF ＝2CE ，再证BD ＝CFA M N E C DB 图5 A D BC 图6 O E ┛ ┓ ┏D A CF 图7 B A E C D 图8 F。

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）． 【例】已知：如图点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC B C =∠=∠，．求证：AD AE =．EDCB A分析：AD 和AE 分别在ADC △和AEB △中，所以要证AD AE =，只需证明ADC AEB ≌△△即可． 证明：在ADC △和AEB △中,A AAC AB C B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADC AEB ≌△△ ()ASA ∴AD AE =．问题：①在一个三角形中，两角确定，第三个角一定确定，对吗？为什么？②可不可以不作图，用“ASA ”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？如图，在ABC △和DEF △中，A D B E BC EF ∠=∠∠=∠=，，，ABC △与DEF △全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？全等三角形判定（二）新知学习FED CBA证明：∵180A B C D E F ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ A D B E ∠=∠∠=∠，∴A B D E ∠+∠=∠+∠∴C F ∠=∠在ABC △和DEF △中 B EBC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC DEF ≌△△ ()ASA两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）．【例1】在ABC △和A B C '''△中，A A'BC B'C'∠=∠=，，C C'∠=∠,则ABC △与'''A B C △ .【例2】如图，点CF 在BE 上，ACB DFE BC EF ∠=∠=，，请补充一个条件，使ABC DEF ≌△△,补充的条件是 .F EDC B A【例3】如图，已知MB ND =，MBA NDC ∠=∠，下列条件不能判定是ABM CDN ≌△△的是（ ）A ．M N ∠=∠ B. AB CD =C ．AM CN = D. AM CN ∥MNDC B A基础演练【例4】如图，90E F ∠=∠=︒，B C AE AF ∠=∠=，，给出下列结论：①CAD BAD ∠=∠ ②BE CF = ③ACN ABM ≌△△ ④CD DN =其中正确的结论是_________ _________NMFEDCB A【例5】如图，在ABC △和DCB △中，AB DC =，要使ABO DCO ≌△△，请你补充条件________________(只填写一个你认为合适的条件).ODC BA【例6】如图，已知A C ∠=∠，AF CE =，DE BF ∥，求证：ABF CDE ≌△△. FEDCBA【例7】如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D E 、，BE 交CD 于F ，且AD DF = 求证：AC BF =FEDC BA【例8】已知：如图，AD AE =，ACD ABE ∠=∠求证：BD CE =.ED CB A【例9】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E ，求证：DE BD CE =-【例10】已知：如图，C D BAC ABD ∠=∠∠=∠，求证：OC OD =ODCBAN EDCBA【例11】如图,已知：AB CD =，AD BC =，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E F ，.求证：AE CF =.FOEDCBA斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（HL ） 【例】已知：如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，AD BC =，求证:AB CD =.DBCA证明：∵AB BD ⊥，CD BD ⊥ ∴ABD CDB ∠=∠在Rt ABD △与Rt CDB △中 AD CBBD BD=⎧⎨=⎩ ∴Rt ABD Rt CDB ≌△△ ()HL ∴AB CD =【习题1】如图，已知321∠=∠=∠，AB AD =.求证：BC DE =.新知学习课后练习321O EDCBA【习题2】已知：如图，AB CD ∥，AE CF =求证：AB CD =OFEDCBA【习题3】如图，已知：BE CD =，B C ∠=∠，求证：12∠=∠21OED CBA【习题4】如图，ABC △中，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，E F 、分别为垂足，且AE AF =，求证：DE DF =，AD 平分BAC ∠.21FEDBA【习题5】如图，在ABC △中,D 是BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E F 、，且DE DF =， 证明：AB AC =.FEDCBA【习题6】如图，AB CD=，DF AC⊥于F，BE AC⊥于E，DF BE=，求证：AF CE=.F EDCBA至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理边边边()SSS边角边()SAS角边角()ASA角角边()AAS HL（仅用在t R△中）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．知识总结。

3、三角形全等的判定2教学设计一等奖【教学目标】1.使学生理解边边边公理的内容，能运用边边边公理证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；2.继续培养学生画图、实验，发现新知识的能力.【重点难点】1.难点：让学生掌握边边边公理的内容和运用公理的自觉性；2.重点：灵活运用SSS判定两个三角形是否全等.【教学过程】一、创设问题情境，引入新课请问同学，老师在黑板上画得两个三角形，△ABC与△全等吗？你是如何判定的.（同学们各抒己见，如：动手用纸剪下一个三角形，剪下叠到另一个三角形上，是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等，三个角对应相等.）上一节课我们已经探讨了两个三角形只满足一个或两个边、角对应相等条件时，两个三角形不一定全等.满足三个条件时，两个三角形是否全等呢？现在，我们就一起来探讨研究.二、实践探索，总结规律1、问题1：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？做一做：给你三条线段、、，分别为、、，你能画出这个三角形吗？先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述书写出步骤.步骤：（1）画一线段AB使它的长度等于c（4.8cm）.（2）以点A为圆心，以线段b（3cm）的'长为半径画圆弧；以点B为圆心，以线段a （4cm）的长为半径画圆弧；两弧交于点C.（3）连结AC、BC.△ABC即为所求把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？换三条线段，再试试看，是否有同样的结论请你结合画图、对比，说说你发现了什么？同学们各抒己见，教师总结：给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的. 这样我们就得到判定三角形全等的一种简便的方法：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）.2、问题2：你能用相似三角形的判定法解释这个（SSS）三角形全等的判定法吗？（我们已经知道，三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，三条边就分别对应相等了，这两个三角形不但形状相同，而且大小都一样，即为全等三角形.）3、问题3、你用这个“SSS”三角形全等的判定法解释三角形具有稳定性吗？（只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了）4、范例：例1 如图19.2.2，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，试说明△ABC≌△CDA. 解：已知AD＝BC，AB＝DC ，又因为AC是公共边，由（S.S.S.）全等判定法，可知△ABC ≌△CDA5、练习：6、试一试：已知一个三角形的三个内角分别为、、，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，你发现了什么？（所画出的三角形都是相似的，但大小不一定相同）.三个对应角相等的两个三角形不一定全等.三、加强练习，巩固知识1、如图，，，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？2、如图，AD是△ABC的中线， . 与相等吗？请说明理由.四、小结本节课探讨出可用（SSS）来判定两个三角形全等，并能灵活运用（SSS ）来判定三角形全等.三个角对应相等的两个三角不一定会全等.五、作业4、三角形全等的判定2教学设计一等奖教学建议直角三角形全等的判定知识结构重点与难点分析：本节课教学方法主要是“自学辅导与发现探究法”。

1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。

2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

典型例题知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。

请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。

求证：AD∥BC。

知识点二：全等三角形判定2（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC综上：AD∥BC，AD＝BC例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B ＝∠B，这两个三角形全等吗？。

解答过程：（1）全等；（2）不全等。

解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。

在证明题中尤其要注意这一点。

知识点三：全等三角形判定3 例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。

求证：AM是△ABC的中线。

解答过程：∵BE⊥AE，CF ⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

一、全等三角形的性质全等三角形对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，周长相等，面积相等．二、全等的性质和判定（1）全等三角形的判定方法：()tSSS SAS ASA AAS HL R、、、、△（2）全等三角形的图形变换形式：平移、对称、旋转（3）由全等可得到的相关定理：①角平分线定理②等腰、等边三角形性质和判定③垂直平分线定理共顶点等腰三角形旋转模型——“手拉手”模型证明全等的基本思想“SAS”等边三角形共顶点全等三角形性质与判定知识回顾知识讲解共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形【例1】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．【解析】通过“SAS ”证明BCD ACE ≌△△，得到AE BD =.【例2】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形． 求证：（1）AN BM =；（2）DE AB ∥；（3）CF 平分AFB ∠．同步练习【解析】通过“SAS ”证明MCB ACN ≌△△，得到AN BM =.通过“SAS ”证明MCE ACD ≌△△，得到CE CD =，从而推出DCE △为等边三角形， ︒=∠=∠60NCB DEC DE AB ∥.【变式练习】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．【解析】通过“SAS ”证明BCD ACE ≌△△，得到CBD CAE ∠=∠. 再通过“SAS ”证明CAN CBM ≌△△，得到CM CN =.【例3】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．【解析】通过“SAS ”证明MCB ACN ≌△△，得到CMB CAN MB AN ∠=∠=，.再通过“SAS ”证明CAD CME ≌△△，得到MCE ACD CE CD ∠=∠=，，从而推出︒=∠60DCE .【变式练习】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥．若2BE =，则CD = ．【解析】通过“SAS ”证明BDE ADC ≌△△，得到1322-====CD AB BE AC ，，．【例4】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 平分．【解析】通过“SAS ”证明，得到ACB AFD △≌△，DF CB CE ==； 再通过“SAS ”证明，得到BCA BED △≌△，DE AC CF ==； 得到四边形ABCD 为平行四边形，对角线互相平分．【例5】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD ∆也是等边三角形．【解析】连接CH 交AD 于M通过“SAS ”证明FCH FDK △≌△，得到CH DK AD ==，60AMC ∠=︒,推出DAB HCB ∠=∠； 再通过“SAS ”证明，得到ABD CBH △≌△，HB HD BHC BDA =∠=∠，； 进一步推出HBD △也是等边三角形．【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．【解析】通过“SAS ”证明CDG ADE ≌△△，得到DG AE =.【变式练习】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE =BG ，且CE ⊥BG ．【解析】通过“SAS ”证明ABG AEC ≌△△，得到ABG AEC BG CE ∠=∠=，， 再通过“8”字图导角得到BG CE ⊥.【例7】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．【解析】通过“ASA ”证明ADE ABF △≌△，得到DE BF =．【变式练习】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长．【解析】过点D 作DE BC ⊥交BC 延长线于通过“AAS ”证明DPA DEC △≌△，得到DE DP =，从而推出四边形ABCD 是正方形 =164ABCD DPBE S S DP ==，【例8】 如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．QRPOD CBA【解析】通过“ASA ”证明ADQ DCP △≌△，得到DQ CP =，再通过“SAS ”证明，得到ODQ OCP △≌△，POC QOD ∠=∠从而推出OP OQ ⊥．【变式练习】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．【解析】通过“ASA ”证明AOE BOF △≌△，得到AE BF =，从而推出AE CF AB +=．【例9】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．【解析】连接OB通过“SAS ”证明BOE COF △≌△，得到BE CF =. BE BF BF CF BC a +=+==【变式练习】等腰直角三角形ABC ，90ABC =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，45EOF =︒∠，试猜想，BE 、BF 、EF 三者的关系．【解析】过点O 作OD OE ⊥交BC 于D通过“SAS ”证明BOE COD △≌△，得到OE OD BE CD ==，. 再通过“SAS ”证明0E F DOF △≌△，得到EF DF =. 可以推出BE BF EF CD DF BF BC AB a ++=++===【例10】 已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【解析】延长EB 至M ，使得BM DF =，通过“SAS ”证明ADF ABM △≌△，得到AM AF =. 再通过“SAS ”证明AME AFE △≌△，得到AB AH =.【例11】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =M EFHGD CBA【解析】(1)通过“SAS ”证明AFC ABH △≌△，得到CF BH =. (2)过F H 、分别作FN MD D HK MD K ⊥⊥于，于,再通过“AAS ”证明BDA ANF HKA ADC △≌△，△≌△，得到FN HK =. 再通过“8”字全等证明FNM HKM △≌△，从而得到MF MH =.【注】这道题有很多重要的结论，条件结论互换依然成立，2,ABC AFH BC AM S S ==△△【例12】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而变化【解析】见下题 【答案】B【例13】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．【解析】（1）过点A 作AD 的垂线AF ，使得AD AF =，连接EF CF 、通过“SAS ”证明ABD ACF △≌△，得到45B ACF BD CF ∠=∠==，. 再通过“SAS ”证明ADE AFE △≌△，得到DE EF =.在Rt ECF △中满足勾股定理，，得到222.CE CF EF +=，故222.CE BD DE += （2）同理可证222.CE BD DE +=【例14】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM =DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时LQ=_________ ⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN =x ，则Q =_________(用x ，L 表示．图③图②图①ABCD MNABCD MNN MD CBA【解析】（1）MN BM CN =+，Q 2=L 3（2）延长AC 至E ，使得CE BM =，连接DE通过“SAS ”证明DBM DCE △≌△，得到DE DM =.再通过“SAS ”证明MDN EDN △≌△，得到MN NE BM CN ==+ 2223Q MN AN AM ME AN AC BM NC L x =++=+++==+ （3）在AC 上截取CE BM =，连接DE通过“SAS ”证明DBM DCE △≌△，得到DE DM =.再通过“SAS ”证明MDN EDN △≌△，得到MN NE CN BM ==- 2223Q MN AN AM NE AN AC BM NC L x =++=+++==+【变式练习】（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋FD ; （2）如图在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． （3）如图在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．FED CBAF EDCBA【解析】（1）延长BC 至M ，使得DK BM =，连接AM 通过“SAS ”证明ADF ABM △≌△，得到AF AM =.再通过“SAS ”证明AME AFE △≌△，得到EF EM BE DF ==+ （2）同理可证 （3）同理可证【变式练习】如图所示，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C =90°，∠B =135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长为AB 的2倍，求∠KDN 的度数．【解析】延长BC 至E ，使得CE AK =，连接DE 、BD 通过“HL ”证明ABD CBD △≌，得到AD CD =.通过“SAS ”证明ADK CDE △≌△，得到DK DE ADK CDE =∠=∠，.再通过“SSS ”证明KDN EDN △≌△，得到122.52NDK NDE KDN ADC ∠=∠∠=∠=，【例15】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．【解析】延长DE 至F ，使得BC EF =，连接AC 、AF 、AD 通过“SAS ”证明ABC AEF △≌△，得到AC AF =. 再通过“SSS ”证明ACD AFD △≌△， 12212ABCDE ADE S S DF AE==∙∙=△同步课程˙全等三角形性质与判定 【变式练习】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE =BC +DE =2．求该五边形的面积．【解析】延长DE 至F ，使得BC EF =，连接AC 、AF 、AD 通过“SAS ”证明ABC AEF △≌△，得到AC AF =. 再通过“SSS ”证明ACD AFD △≌△， 12242ABCDE ADE S S DF AE ==∙∙=△【变式练习】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．【解析】延长DE 至F ，使得BC EF =，连接AC 、AF 通过“SAS ”证明ABC AEF △≌△，得到AC AF =. 再通过“SSS ”证明ACD AFD △≌△，得到ADC ADF ∠=∠.【习题1】如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由．【解析】通过“SAS ”证明ABD ACE △≌△，得到BD CE AC CD ==+.【习题2】已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【解析】通过“ASA ”证明ADE CDF △≌△，得到DE DF =.【习题3】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．课后练习【解析】通过“SAS ”证明ACN MCB △≌△，得到CAN CMB ∠=∠. 再通过“AAS ”证明CAG CMH △≌△，得到CG CH =．【习题4】如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．QP DCBA【解析】延长AB 至M ，使得BM DQ =，连接CM 依题可知：PQ DP BP =+通过“ASA ”证明CDQ CBM △≌△，得到,CQ CM DCQ BCM =∠=∠. 再通过“ASA ”证明CQP CMP △≌△，得到45QCP MCP ∠=∠=【习题5】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．【解析】通过“ASA ”证明MBP MCP △≌△，得到BMP CMQ BM CM ∠=∠=，，从而推出 MPQ ∆是等腰直角三角形，点P 从B 出发向C 运动，MP 先变小在变大， 故MPQ ∆的面积先变小再变大．同步课程˙全等三角形性质与判定【习题6】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．【解析】延长EB 至M ，使得BM DF =，通过“SAS ”证明ADF ABM △≌△，得到AFD M DAF BAM ∠=∠∠=∠，. 通过导角推出M EAM ∠=∠，从而推出AE ME =，故BE DF AE +=．【习题7】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．【解析】依题可知，AE DF =，通过“SAS ”证明ABE DBF △≌△，得到ABE DBF BE BF ∠=∠=，. 从而推出BEF △为等边三角形．【习题8】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】延长AC 至E ，使得BM CE =，通过“SAS ”证明DBM DCE △≌△，得到BDM CDE ∠=∠. DM DE =，再通过“SAS ”证明MDN EDN △≌△，得到MN EN MN BM CN ==+，.。

C'B'A'CBACBADCBA2111.2三角形全等的判定（2）SAS营山希望学校任画一个△ABC求作：'''A B C∆，使''A B AB=，''B C BC=，'A A∠=∠作图步骤：(2) 把△'''A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）在△ABC和'''A B C∆中,∵''AB A BBBC=⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC≌三、合作探究例如图，AC=BD，∠1＝∠2,求证:BC＝AD.1、如图，已知AC，BD相交于O，AO=DO，BO=CO，证明：∠A=∠D2．如图，AE是，BAC的平分线∠AB=AC.证明△ABD≌△ACD3 已知：如图，BD=CE，AD=AE，求证：BE=CD.5 如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：BE=DCDABQCPE1图2图3图6 如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。

7 如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.证明：△ABC ≌△BAD（提高题）如图，已知CA=CB,AD=BD,M 、N 分别是CA 、CB 的中点，求证：DM=DNAC E DDC12 O。