第五章函数概念与性质1函数的概念(一) ............................................................................................................ - 1 - 2函数的概念(二) ............................................................................................................ - 5 - 3函数的图象 ................................................................................................................ - 10 - 4函数的表示方法......................................................................................................... - 15 - 5分段函数 .................................................................................................................... - 20 -6.函数的单调性............................................................................................................. - 26 -7函数的最大值、最小值............................................................................................. - 35 - 8函数奇偶性的概念..................................................................................................... - 46 - 9函数奇偶性的应用..................................................................................................... - 50 -1函数的概念(一)基础练习1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( )A.f:x→y=xB.f:x→y=xC.f:x→y=xD.f:x→y=x【解析】选D.对于A中的任意一个元素,在对应关系f:x→y=x;f:x→y=x;f:x→y=x下,在B中都有唯一的元素与之对应,故能构成函数关系.对于A中的元素8,在对应关系f:x→y=x下,在B中没有元素与之对应,故不能构成函数关系.2.(2020·朝阳高一检测)函数f(x)=的定义域为( )A.{x|x≤2或x≥3}B.{x|x≤-3或x≥-2}C.{x|2≤x≤3}D.{x|-3≤x≤-2}【解析】选A.由x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3,所以函数f(x)=的定义域为{x|x≤2或x≥3}.3.函数f(x)=的定义域为 ( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.[2,3)∪(3,+∞)【解析】选C.函数f(x)=中,解得x>2且x≠3;所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).4.已知集合M={x,y,z},N={-1,1},则从M到N的函数中,满足f(x)=1的有______个.【解析】由题意满足f(x)=1的有共4个.答案:45.求下列函数的值域.(1)f(x)=.(2)y=2x2+4x-3.【解析】(1)函数的定义域为R,f(x)==≤=2,且f(x)>0,所以其值域为(0,2].(2)因为y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5≥-5,故函数y=2x2+4x-3的值域为{y|y≥-5}.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数.那么与函数y=x2,x∈{-1,0,1,2}为同族函数的有( )A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数,函数解析式为y=x2,值域为{0,1,4}时,定义域中,0是肯定有的,正负1,至少含一个,正负2,至少含一个.它的定义域可以是{0,1,2},{0,1,-2},{0,-1,2},{0,-1,-2},{0,1,-2,2},{0,-1,-2,2},{0,1,-1,-2},{0,1,-1,2,-2},共有8种不同的情况.2.(2020·启东高一检测)函数f(x)=的定义域为( )A.B.C.(-∞,-2)∪D.(-∞,-2)∪【解析】选C.由解得x≤且x≠-2.所以函数f(x)=的定义域为(-∞,-2)∪.3.已知f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,那么f(72)= ( )A.p+qB.3p+2qC.2p+3qD.p3+q2【解析】选B.因为f(ab)=f(a)+f(b),所以f(9)=f(3)+f(3)=2q,f(8)=f(2)+f(2)+f(2)=3p,所以f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)=3p+2q.4.(多选题)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数定义判断,其中能构成从M到N的函数的是 ( )A.y=B.y=x+1C.y=2|x|D.y=x2【解析】选CD.在A中,当x=-1时,y=-1∉N,故A错误;在B中,当x=-1时,y=-1+1=0∉N,故B错误;在C中,任取x∈M,总有y=2|x|∈N,故C正确;在D中,任取x∈M,总有y=x2∈N,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.设函数f(x)=x0+,则其定义域为________.【解析】函数f(x)=x0+,则解得-3≤x≤3且x≠0.所以函数f(x)的定义域是[-3,0)∪(0,3].答案:[-3,0)∪(0,3]6.函数y=的定义域为R,则a∈________.【解析】因为任意x∈R,根式恒有意义,所以ax2+ax+1≥0的解集为R,①a=0时,1≥0恒成立;②a≠0时,解得0<a≤4,综上得,a∈{a|0≤a≤4}.答案:{a|0≤a≤4}三、解答题7.(10分)已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,k∈N*,x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B.【解析】根据对应关系f,有1→4;2→7;3→10;k→3k+1.若a4=10,则a∉N*,不符合题意,舍去;若a2+3a=10,则a=2(a=-5不符合题意,舍去).故3k+1=a4=16,得k=5.综上a=2,k=5,集合A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.2函数的概念(二)基础练习1.与函数y=2x2+1不是同一个函数的是( )A.y=|x2|+|x2+1|B.y=C.y=|2x2+1|D.y=【解析】选 D.函数y=2x2+1的定义域为R,值域为[1,+∞),选项A中的函数y=|x2|+|x2+1|=x2+x2+1=2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;选项B中的函数即y==2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;选项C中的函数y=|2x2+1|=2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;选项D中的函数的定义域为{x|x≠-1},故它和已知函数不是同一个函数.2.(2020·哈尔滨高一检测)下列函数中,表示同一个函数的是( )A.y=x2与y=()4B.y=x2与y=t2C.y=与y=D.y=·与y=【解析】选B.A.y=x2的定义域为R,y=()4的定义域为[0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;B.y=x2与y=t2显然是同一个函数;C.y=的定义域为{x|x≠0},y=的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;D.y=·的定义域为[1,+∞),y=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,不是同一个函数.3.(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为( )A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(-1,1)【解析】选B.函数f(x)的定义域为(-1,1),则对于函数g(x)=f+f(x-2),应有解得1<x<2,故g(x)的定义域为(1,2).4.(2020·宜春高一检测)已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4},值域为B={7,8,9},且对任意的x<y,恒有f(x)≤f(y),则满足条件的不同函数共有________个.【解析】如图,满足条件的函数共有3个.答案:35.(2020·同仁高一检测)已知f(x)=(x∈R,x≠-2),g(x)=x2+1(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值.(2)求f(g(3))的值.(3)作出f(x),g(x)的图象,并求函数的值域.【解析】(1)f(2)==,g(2)=22+1=5.(2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)==.(3)作出图象如图,则f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的值域为[1,+∞). 【补偿训练】已知f(x)=(x∈R,x≠2),g(x)=x+4(x∈R).(1)求f(1),g(1)的值.(2)求f(g(x)).【解析】(1)f(1)==1,g(1)=1+4=5.(2)f(g(x))=f(x+4)===-(x∈R,且x≠-2).提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.若f(x)=2x-1,则f(f(x))= ( )A.2x-1B.4x-2C.4x-3D.2x-3【解析】选C.因为f(x)=2x-1,所以f(f(x))=2f(x)-1=2(2x-1)-1=4x-3.2.若函数y=f(x)的定义域为{x|0<x<1},则函数y=f(|2x-3|)的定义域为( )A.(0,1)B.(1,2)C.∪D.(1,3)【解析】选C.函数y=f(x)的定义域为{x|0<x<1},则对于函数y=f(|2x-3|),应有0<|2x-3|<1,即-1<2x-3<1,且2x-3≠0,解得1<x<2,且x≠.3.函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=-f(x),若f(1)=-5,则f(f(9))=( ) A.2 B.5C.-5D.-【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),所以f(f(9))=f(f(1))=f(-5),因为f(x)=-f(x+2),所以f(-5)=-f(-3)=f(-1)=-f(1)=5.4.(多选题)(2020·济南高一检测)下列各组函数是同一个函数的是( )A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1B.f(x)=与g(x)=xC.f(x)=与g(x)=D.f(x)=x与g(x)=【解析】选AC.对于A,f(x)=x2-2x-1的定义域为R,g(s)=s2-2s-1的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;对于B,f(x)==-x的定义域为{x|x≤0},g(x)=x的定义域为{x|x≤0},对应关系不同,不是同一个函数;对于C,f(x)==1的定义域为{x|x≠0},g(x)==1的定义域为{x|x≠0},定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;对于D,f(x)=x的定义域为R,g(x)==|x|的定义域为R,对应关系不同,不是同一个函数.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则函数y=f(x)的定义域为________,y=f(2x)+的定义域为________.【解析】因为y=f(x+1)的定义域是[-2,3],所以-2≤x≤3,则-1≤x+1≤4,即函数f(x)的定义域为[-1,4].由得得-<x≤2,即函数y=f(2x)+的定义域为.答案:[-1,4]6.一个变量y随另一变量x变化.对应关系是“2倍加1”:(1)填表.x … 1 2 3 4 …y ……(2)根据表格填空:x=2α时,y=________.(3)写出解析式:y=________.【解析】因为变量y随另一变量x变化,对应关系是“2倍加1”:(1)完整的表格如表所示:x … 1 2 3 4 …y … 3 5 7 9 …(2)根据表格填空:x=2α时,y=2×2α+1=4α+1.(3)函数的解析式:y=2x+1.答案:(1)3 5 7 9 (2)4α+1 (3)2x+1三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=+的定义域为集合A,B={x|x<a}.(1)求集合A;(2)若A⊆B,求a的取值范围;(3)若全集U={x|x≤4},a=-1,求U A及A∩(UB).【解析】(1)使有意义的实数x的集合是{x|x≤3},使有意义的实数x的集合是{x|x>-2}.所以,这个函数的定义域是{x|x≤3}∩{x|x>-2}={x|-2<x≤3}.即A={x|-2<x≤3}.(2)因为A={x|-2<x≤3},B={x|x<a}且A⊆B,所以a>3.即a的取值范围为(3,+∞).(3)因为U={x|x≤4},A={x|-2<x≤3},所以UA=(-∞,-2]∪(3,4].因为a=-1,所以B={x|x<-1},所以UB=[-1,4],所以A∩(UB)=[-1,3].3函数的图象基础练习1.(2020·朝阳高一检测)图中,能表示函数y=f(x)的图象的是( )【解析】选D.根据题意,对于A,B两图,可以找到一个x与两个y对应的情形;对于C图,当x=0时,有两个y值对应;对于D图,每个x都有唯一的y值对应.因此,D图可以表示函数y=f(x).2.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.将点(5,4)代入f(x)=x-,得m=5.3.将反比例函数y=(k为非零常数)的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得的图象过点(-3,1),则k=________.【解析】将反比例函数y=(k为非零常数)的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,平移后的函数为y=-2,根据所得的图象过点(-3,1),则-2=1,所以k=-6.答案:-64.若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8且x≠5},值域为{y|-1≤y≤2且y≠0},则y=f(x)的图象可能是________(填序号).【解析】①中函数的值域为{y|-1≤y<2},不满足条件,③中图象出现了一个x对多个y的情况,不满足函数的定义.只有②符合条件.答案:②5.作出下列函数的图象.(1)y=(-2≤x≤2,且x≠0);(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).【解析】(1)描点作出图象,如图所示.(2)因为x∈[0,3),所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x在0≤x<3之间的一段弧,描点作出图象,如图所示.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知函数y=ax2+b的图象如图所示,则a和b的值分别为( )A.0,-1B.1,-1C.1,0D.-1,1【解析】选B.由图象可知,当x=1时,y=0;当x=0时,y=-1,即解得2.如图所示,函数y=x+的图象是 ( )【解析】选C.对于y=x+,当x>0时,y=x+1,当x<0时,y=x-1,即y=故图象为C.3.函数y=-x2+2x与函数y=1(x∈R)的图象的公共点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.在同一坐标系里画出两函数的图象(图略)可知有一个交点.4.(多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论,其中正确的是( )A.b2>4acB.2a-b=1C.a-b+c=0D.5a<b【解析】选AD.因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确.对称轴为x=-1,-=-1,2a-b=0,B错误.结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误.由对称轴为x=-=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数y=-3x2+bx+c的图象是由函数y=-3x2+6x+1的图象向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度得到的,则b=________,c=________.【解析】y=-3x2+6x+1=-3(x-1)2+4向上平移3个单位,得y=-3(x-1)2+7,再向左平移2个单位,得y=-3(x-1+2)2+7=-3x2-6x+4=-3x2+bx+c,比较系数得b=-6,c=4.答案:-6 4【补偿训练】如图所示某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象,根据图象回答下列问题:(1)在这个月中,日最低营业额是在4月________日,达到________万元.(2)这个月中最高营业额是在4月________日,达到________万元.【解析】(1)由图象可知当日期在9日时,日营业额最小,此时为2万元.(2)由图象可知当日期在21日时,日营业额最大,此时为6万元.答案:(1)9 2 (2)21 66.已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)与0的大小关系是________.【解析】因为二次函数f(x)=x2+x+a(a>0)的对称轴是x=-,且图象与y轴正半轴相交,所以由图象可知f(x)<0的解集的区间长度小于1,故若f(m)<0,则必有f(m+1)>0.答案:f(m+1)>0三、解答题7.(10分)函数y=f(x)的图象如图所示.(1)比较f,f,f的大小;(2)若-1<x1<x2<2,试比较f与f的大小.【解析】(1)根据函数的图象,容易发现,f<f<f.(2)根据函数的图象,容易发现若-1<x1<x2<2,则f>f.4函数的表示方法基础练习1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为( )A.f(x)=-xB.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1【解析】选D.设f(x)=ax+b(a≠0),则有所以a=-1,b=1,所以f(x)=-x+1.2.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f= ( )A.15B.1C.3D.30【解析】选A.令g(x)=,得1-2x=,解得x=.所以f=f===15.3.一次函数g(x)满足g(g(x))=9x+8,则g(x)的解析式是( )A.g(x)=9x+8B.g(x)=3x-2C.g(x)=-3x-4或g(x)=3x+2D.g(x)=3x+8【解析】选C.因为g(x)是一次函数,所以设g(x)=kx+b(k≠0),所以g(g(x))=k(kx+b)+b,又因为g(g(x))=9x+8,所以解得:或所以g(x)=3x+2或g(x)=-3x-4.【光速解题】逐一代入验证是否满足g[g(x)]=9x+8.4.(2020·南京高一检测)已知f(x)=2x+1,g(x+1)=f(x),则g(x)=__________. 【解析】依题意,g(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,所以g(x)=2x-1.答案:2x-1【补偿训练】已知f(x+1)=x2,则f(x)=________.【解析】由f(x+1)=x2,得到f(x+1)=(x+1-1)2,故f(x)=(x-1)2.答案:(x-1)25.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)求y=f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,即解得a=1,b=-1,又由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=x2-x+1.(2)由(1)知,函数f(x)=x2-x+1的图象开口方向朝上,以x=为对称轴的抛物线,故在区间[-1,1]上,当x=-1时,函数取最大值f(-1)=3.【补偿训练】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f(x)的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0,①又因为|x1-x2|==2,所以b2-4ac=8a2,②又由已知得c=1.③由①②③解得b=2,a=,c=1,所以f(x)=x2+2x+1.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知f=2x+3,则f(6)的值为( )A.15B.7C.31D.17【解析】选C.令-1=6,则x=14,则f(6)=2×14+3=31.2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)= ( )A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3【解析】选A.因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.3.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20y 2 3 4 5A.[2,5]B.{2,3,4,5}C.(0,20]D.N*【解析】选B.由表格可知,y的值为2,3,4,5.故函数的值域为{2,3,4,5}.4.(多选题)(2020 ·宿迁高一检测)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是( )A.f(3)=9B.f(-3)=4C.f(x)=x2D.f(x)=(x+1)2【解析】选BD.f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)+1,故f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,故选项C错误,选项D正确;f(3)=16,f(-3)=4,故选项A错误,选项B正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·淮安高一检测)已知f(+2)=x+4,则f(x)的解析式为____,f=______.【解析】令t=+2,则x=(t-2)2且t≥2,因为f(+2)=x+4,所以f(t)=t2-4,则f(x)=x2-4(x≥2),f=-.答案:f(x)=x2-4(x≥2) -6.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次试验的数据.根据该函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.【解析】由题意知,函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数)经过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),所以解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以得到最佳加工时间为3.75分钟.答案:3.75三、解答题7.(10分)在未实行大规模绿化造林之前,我国是世界上受荒漠化危害最严重的国家之一,如图1表示我国土地沙化总面积在1950-2000年的变化情况,由图1中的相关信息,试将上述有关年份中,我国从1950-1970、1970-1990、1990-2000年的平均土地沙化面积在图2中表示出来.【解析】由题图1可知:1950-1970:土地沙化面积增加了3.2(万平方千米), 年平均沙化面积为:0.16(万平方千米)=16(百平方千米)1970-1990:年平均沙化面积为:0.21(万平方千米)=21(百平方千米)1990-2000:年平均沙化面积为:0.25(万平方千米)=25(百平方千米)如图:5分段函数基础练习1.已知函数f(x)=若f(x)=5,则x的值是 ( )A.-2B.2或-C.2或-2D.2或-2或-【解析】选A.由题意知,当x≤0时,f(x)=x2+1=5,得x=-2(x=2舍去);当x>0时,f(x)=-2x=5,得x=-,舍去.【误区警示】本题容易出现忽视各段自变量的取值对x值的限制,出现错解.2.函数f(x)=x2-2|x|的图象是( )【解析】选C.f(x)=分段画出.3.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是( )A.{x|x≤1}B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤1}D.{x|x<0}【解析】选A.当x≥0时,f(x)=1,xf(x)+x≤2⇔x≤1,所以0≤x≤1;当x<0时,f(x)=0,xf(x)+x≤2⇔x≤2,所以x<0.综上,x≤1.4.(2020·西城高一检测)因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是________(写出所有正确的图标序号).【解析】图①③所反映的是公司会挣钱,而图②公司会亏本;所以反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是①③.答案:①③5.已知函数f(x)=(1)画出函数f(x)的简图(不必列表).(2)求f(f(3))的值.(3)当-4≤x<3时,求f(x)取值的集合.【解析】(1)由分段函数可知,函数f(x)的简图为:(2)因为f(3)=4-32=4-9=-5,所以f(f(3))=f(-5)=1-2×(-5)=1+10=11.(3)当-4≤x<0时,1<f(x)≤9;当x=0时,f(0)=2;当0<x<3时,-5<f(x)<4,综上f(x)取值的集合为(-5,9].提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·武汉高一检测)AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示3月1日的AQI指数值为201.则下列叙述不正确的是( )A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.这12天的AQI指数值的中位数是90.5D.从3月4日到9日,空气质量越来越好【解析】选C.根据图象:有6天AQI指数小于100,所以这12天中有6天空气质量为“优良”,所以A叙述正确;这12天中,AQI指数的最小值是3月9日的67,所以12天中空气质量最好的是3月9日,所以B叙述正确;由图象知,AQI指数值的中位数是=99.5,所以C叙述错误;通过图象可以看出,从3月4日到9日,AQI 的值逐渐减小,即空气质量越来越好,所以D叙述正确.2.已知f(x)=g(x)=3-2x,则f(g(2))= ( )A.-3B.-2C.3D.-1【解析】选 C.因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.3.已知f(x)=则f(x)的图象大致为( )【解析】选A.由f(2)=-<0,排除选项B;f=-2+<0,排除选项D;函数在x=1处是连续的,排除C.4.(多选题)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图所示).那么对于图中给定的t和t1,下列判断中一定正确的是( )A.在t1时刻,甲车的速度大于乙车的速度B.t时刻后,甲车的速度小于乙车的速度C.在t时刻,两车的位置相同D.在t时刻,甲车在乙车前面【解析】BD.由图可知,当时间为t1时,甲车的速度小于乙车的速度;t时刻之前,甲车的速度一直大于乙车,时间相同的情况下,甲车行驶路程大于乙车行驶路程,故t时刻甲车在乙车前面;t时刻后,甲车的速度小于乙车的速度.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·徐州高一检测)若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是__________.【解析】当x≤1时,f(x)≤2+a;当x>1时,f(x)=(x-a)2+1-a2,所以①a>1时,f(x)≥1-a2,由于f(x)的值域为R,所以2+a≥1-a2,解得a∈R,所以a>1;②a≤1时,f(x)>(1-a)2+1-a2=2-2a,由于f(x)的值域为R,所以2+a≥2-2a,解得a≥0,所以0≤a≤1,综上,实数a的取值范围是[0,+∞).答案:[0,+∞)【补偿训练】若函数f(x)=则f(-3)=__________________.【解析】f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案:66.已知函数f(x)=则f(1)=________,若f(f(0))=a,则实数a=________.【解析】依题意知f(1)=3+2=5;f(0)=3×0+2=2,则f(f(0))=f(2)=22-2a=a,求得a=.答案:5三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|,g(x)=|x-3|.(1)在平面直角坐标系里作出f(x),g(x)的图象.(2)∀x∈R,用min(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记作min(x)={f(x),g(x)},请用图象法和解析法表示min(x).(3)求满足f(x)>g(x)的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=g(x)=则对应的图象如图:(2)min(x)图象如图:解析式为min(x)=(3)若f(x)>g(x),则由图象知在A点左侧,B点右侧满足条件.此时对应的x满足x>0或x<-2,即不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).6.函数的单调性基础练习1.函数f(x)=在R上( )A.是减函数B.是增函数C.先减后增D.先增后减【解析】选B.画出该分段函数的图象,由图象知,该函数在R上是增函数.【补偿训练】函数f(x)=在( )A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数【解析】选C.f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1,因为函数y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数,由平移关系得,f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数.2.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上( )A.是增函数B.是减函数C.先减后增D.先增后减【解析】选C.函数y=x2-6x+10图象的对称轴为直线x=3,此函数在区间(2,3)上是减函数,在区间(3,4)上是增函数.3.函数y=的减区间是( )A.(-∞,1),(1,+∞)B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.{x∈R|x≠1}D.R【解析】选A.单调区间不能写成单调集合,也不能超出定义域,故C,D不对,B表达不当.4.(2020·海淀高一检测)下列函数中,在区间(1,+∞)上是增函数的是( )A.y=-3x-1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+2【解析】选D.由一次函数的性质可知,y=-3x-1在区间(1,+∞)上是减函数,故A错误;由反比例函数的性质可知,y=在区间(1,+∞)上是减函数,故B错误,由二次函数的性质可知,y=x2-4x+5在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,故C错误;由一次函数的性质及图象的变换可知,y=|x-1|+2在(1,+∞)上是增函数.5.(2020·淮安高一检测)已知函数f(x)=x|x-4|,则不等式f(2x)≤f(2)的解集为________.【解析】因为f(x)=x|x-4|,所以由f(2x)≤f(2)得,2x|2x-4|≤4,所以x|x-2|≤1,所以或,解得x≤+1,所以f(2x)≤f(2)的解集为{x|x≤+1}.答案:{x|x≤+1}6.已知函数f(x)=,证明函数在(-2,+∞)上是增函数.【证明】设x1,x2是(-2,+∞)上的任意两个值,且x1>x2>-2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1>x2>-2,所以x1-x2>0,x1+2>0,x2+2>0,所以>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上是增函数.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有 ( )A.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)先增后减D.函数f(x)先减后增【解析】选A.由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.2.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)【解析】选D.对A,B,C三个选项,令a=0就都排除了,对D项,由a2+1-a= +>0,得a2+1>a,从而f(a2+1)<f(a),故D正确.3.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )【解析】选B.已知函数的图象判断其在定义域内的单调性,应从它的图象是上升的还是下降的来考虑.根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数.【补偿训练】下列函数y=f(x)的图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )【解析】选D.因为f>f(3)>f(2),所以函数y=f(x)有增有减,排除A,B.在C中,f<f(0),f(3)>f(0),即f<f(3),排除C.在D中,由图象知,D正确.4.(2020·常州高一检测)若f(x)=是R上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.函数f(x)=-x+3a在(-∞,1)上是减函数,又f(x)=是R上的单调函数,所以f(x)=在[1,+∞)上是减函数,即a>0,并且≤-1+3a,即a≥.综上所述,a的取值范围为.【误区警示】解答本题时易只考虑两段上的单调性,忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系,但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列四个函数中,在(-∞,0]上是减函数的是( )A.f(x)=x2-2xB.f(x)=2x2C.f(x)=x+1D.f(x)=【解析】选AB.在A中,f(x)=x2-2x的减区间为(-∞,1],故A正确;在B中,f(x)=2x2的减区间为(-∞,0],故B正确;在C中,f(x)=x+1在R上是增函数,故C错误;在D中,f(x)=中,x≠0,故D错误.6.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论不一定正确的是 ( )A.y=在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:对于A,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,A错误;对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,C错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),对于y=-f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0,则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020·南京高一检测)定义区间[a,b]的长度为b-a,已知f(x)=2x+m,x∈[0,m],值域为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大3,则m=__________. 【解析】因为f(x)=2x+m在[0,m]上是增函数,所以m≤f(x)≤3m,由题意可得,a=m,b=3m,区间长度b-a=2m,所以2m=m+3,所以m=3.答案:38.(2020·南通高一检测)设函数f(x)=|x2-1|的定义域和值域都是[a,b](a<b),则a+b=______.【解析】作出f(x)的图象如图:则函数f(x)的值域为[0,+∞),则必有0≤a<b,①若b≤1,则f(x)在[a,b]上是减函数,则即两式作差得b2-a2=b-a,即b+a=1,由1-a2=b=1-a,得1+a=1,得a=0,b=1,此时满足条件,②若0≤a≤1<b,此时函数的最小值为f(1)=0,即值域为[0,b],此时a=0,f(b)=b2-1=b,得b2-b-1=0,解得b=(负值舍去),此时a+b=,③若1≤a<b,此时函数f(x)=x2-1为增函数,则满足即a,b是方程f(x)=x的两个根,即x2-x-1=0, 则a+b=1,与a+b>1矛盾.综上a+b=1或.答案:1或四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=(1)在图中画出函数f(x)的大致图象.(2)写出函数f(x)的递减区间.【解析】(1)函数f(x)的大致图象如图所示.(2)由函数f(x)的图象得出,函数的减区间为[2,4].10.(2020·辽阳高一检测)已知函数f(x)=mx+,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图象上的两点.(1)求m,n 的值.(2)用定义法证明:f(x)在[2,+∞)上是增函数. 【解析】(1)由题意可得,解得(2)由(1)可得,f(x)=x+,设x 1,x 2是[2,+∞)上任意两个值,且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1-x 2+-=x 1-x 2+=,因为2≤x 1<x 2, 所以<0,即f(x 1)<f(x 2),所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.创新练习1.已知f(x)是定义在(-∞,0]上的增函数,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)<3的x 的取值范围是________.【解析】由题意知,f(2x-3)<f(-2),因为f(x)在(-∞,0]上是增函数,则2x-3<-2,解得x<.答案:x<2.已知函数f(x)=.(1)判断并证明函数f(x)在(-2,+∞)上的单调性.(2)若函数f(x)的定义域为(-2,2),且满足f(-2m+3)>f(m2),求m的取值范围. 【解析】(1)f(x)==3+,f(x)在(-2,+∞)上是减函数,证明如下:设x1,x2是(-2,+∞)上的任意两个值,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1>x2>-2,所以x1+2>0,x2+2>0,x2-x1<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上是减函数.(2)由(1)可知,当x∈(-2,2)时,函数f(x)是减函数,所以由f(-2m+3)>f(m2)得,解得1<m<,所以m的取值范围为(1,).【补偿训练】已知函数f(x)=-x+,其定义域为(0,+∞).(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明.(2)若f(x+1)<f(2x),求x的取值范围.【解析】(1)是减函数,证明如下:设0<x1<x2,则f(x 1)-f(x 2)=x 2-x 1+-=x 2-x 1+=(x 2-x 1),因为0<x 1<x 2, 所以(x 2-x 1)>0,所以f(x 1)>f(x 2),函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.(2)因为f(x+1)<f(2x), f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以x+1>2x>0,解得,0<x<1.7函数的最大值、最小值基础练习1.函数y=x 2+2x-1在[0,3]上的最小值为 ( ) A.0B.-4C.-1D.-2【解析】选C.因为y=x 2+2x-1=(x+1)2-2,其图象的对称轴为直线x=-1, 所以函数y=x 2+2x-1在[0,3]上是增函数, 所以当x=0时,此函数取得最小值,最小值为-1. 2.函数f(x)=的最大值是 ( )A. B. C. D.【解析】选D.令t=1-x(1-x)=+≥,所以0<f(x)≤,即f(x)的最大值为.3.(2020·海淀高一检测)设函数f(x)=4x+-1(x<0),则f(x) ( )A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值-5D.有最大值-5【解析】选D.当x<0时,f(x)=4x+-1=-(-4x)+-1≤-2-1=-5.当且仅当-4x=-,即x=-时,上式取等号.所以f(x)有最大值为-5.4.(2020·成都高一检测)函数f(x)=2x-的最小值为________.【解析】因为f(x)=2-2=2-,所以f(x)min=f=-.答案:-5.对于函数f(x),在使f(x)≥M恒成立的所有实数M中,我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界,则对于a∈R,f(a)=a2-4a+6的下确界为________.【解析】f(a)=a2-4a+6,f(a)≥M,即f(a)min≥M.而f(a)=(a-2)2+2,所以f(a)min=f(2)=2.所以M≤2.所以Mmax=2.答案:26.(2020·温州高一检测)已知函数f(x)=x2+.求函数f(x)在区间[-3,-1]上的最值.【解析】设x1,x2是[-3,-1]上的任意两个值,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(x1+x2)-,又由-3≤x1<x2≤-1,得x1-x2<0,-6<x1+x2<-2,4<(x1-1)(x2-1)<16,则有(x1+x2)-<0,则有f(x1)-f(x2)>0,故函数f(x)在区间[-3,-1]上是减函数,故f(x)max=f(-3)=4,f(x)min=f(-1)=-.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.函数y=x+的最值的情况为( )A.最小值为,无最大值B.最大值为,无最小值C.最小值为,最大值为2D.最大值为2,无最小值【解析】选A.因为y=x+在定义域,+∞上是增函数,所以函数最小值为,无最大值.2.(2020·连云港高一检测)已知a>,则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是( )A.a2+1B.a+C.a-D.a-【解析】选D.函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时,函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-,函数在[a,+∞)上是增函数,其最小值为a2;当x<a时,f(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=,当x=时函数求得最小值为a-.因为a2-=a2-a+=>0.所以a2>a-.所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.3.对任意x∈R,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的最大者,则f(x)的最小值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选A.分别作出y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3的图象如图(阴影部分边界对应的曲线为ABCDE),则由图象可知函数f(x)在C处取得最小值,由得即f(x)的最小值为2.4.(2020·无锡高一检测)若关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1,3]上有解,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,5)B.(-∞,5]C.(-∞,4)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)【解析】选A.关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1,3]上有解,即m<x+在x∈[1,3]上能成立.设f(x)=x+,则f(x)在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,故当x=2时,f(x)取得最小值4,又f(1)=5,f(3)=,故当x=1时,函数f(x)取得最大值.则实数m<5.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是( )A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1B.当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1D.当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1【解析】选AD.当a<0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上是减函数,当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数取得最小值为2a+1.当a>0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上是增函数,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.6.函数y=(x≠1)的定义域为[2,5),下列说法正确的是( )A.最小值为B.最大值为4C.无最大值D.无最小值【解析】选BD.函数y==1+在[2,5)上是减函数,即在x=2处取得最大值4,由于x=5取不到,则最小值取不到.三、填空题(每小题5分,共10分)7.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=________.【解析】根据题意,二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则解得a=-1. 答案:-18.(2020·杭州高一检测)对于任意的实数x1,x2,min{x1,x2}表示x1,x2中较小的那个数,若f(x)=2-x2,g(x)=x,则集合{x|f(x)=g(x)}=________;min{f(x),g(x)}的最大值是________.【解析】由题作出函数f(x),g(x)的图象,令f(x)=g(x),即2-x2=x,解得x=-2或x=1,则集合{x|f(x)=g(x)}={-2,1},由题意及图象得min{f(x),g(x)}=由图象知,当x=1时,min{f(x),g(x)}最大,最大值是1.答案:{-2,1} 1四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·常州高一检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),对称轴为直线x=2,且f(0)=1.(1)若函数f(x)的最小值为-1,求f(x)的解析式;(2)函数f(x)的最小值记为g(a),求函数H(a)=a·g(a)的最大值.【解析】(1)因为f(x)的对称轴为直线x=2,所以-=2,则b=-4a.又f(0)=1,所以c=1.所以f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,因为a>0,所以当x=2时f(x)有最小值1-4a=-1,所以a=,所以f(x)=x2-2x+1.(2)由(1)知f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a.所以g(a)=f(2)=1-4a.所以H(a)=a(1-4a)=-4+,a∈(0,+∞),所以H(a)的最大值为.10.(2020·太原高一检测)已知函数f(x)=,g(x)=x-1.(1)求解不等式f(x)≥g(x).(2)若x>,求y=3f(x)+2g(x)的最小值.【解析】(1)当x>时,由f(x)≥g(x),得(2x-1)(x-1)≤3,解得<x≤2.当x<时,由f(x)≥g(x),得(2x-1)(x-1)≥3,解得x≤-.所以不等式f(x)≥g(x)的解集为x<x≤2或x≤-.。
