苏教版初二下册：反比例函数
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苏教版八年级下册第11章反比例函数知识要点及经典例题解析
初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合1．（如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。
根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．解析：（1）∵已知反比例函数经过点，∴，即∴∴A(1，2)∵一次函数的图象经过点A(1，2)，∴∴∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为。
（2）由消去，得。
即,∴或。
∴或。
∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。
苏科版八年级下册数学11.1反比例函数课件(共18张)
总结：一般地，形如 y＝ k (k为常数，k≠0)的函数 x
称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
试一试
下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果 是，比例系数k是多少？如果不是，说明理由。
(1) y=-
1 2x
(2) y=
x 4
(3) y=1-x
(4) xy=2
(5) y=
2 x+3
(6) y=x-1
（1）体积是100 cm3 的圆锥，高 h (cm)随底面面积 S ( cm2 )的变化而变化． （2）现有一张100元人民币，如果把它换成其他面额的人民币
换成的每张面 值为 x（元）
50105Fra bibliotek21
换成的张数 y
（张）
2
10
20 50 100
换得的张数y随面值x的变化而变化．
实践探索
实验名称： 探索等积矩形中的函数关系
(7) y=x2
(8) y=
1 x
+1
思考：如何判断函数是反比例函数？
等价情势：（k ≠0）
y k x
y=kx-1
xy=k
y与x成反比例
实践探索
请写出2个反比例函数的表达式．
巩固练习
1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
（A）y
=
8
X+5
（B）y =
3 x
+7
（C）xy = 5
（D）y =
实验步骤：1、将附录6中的矩形纸片揭下来； 2、将所有矩形纸片贴在38页的平面直角坐标
系,使每个矩形纸片的一个顶点与原点O重合，相邻两边 分别放在对应x、y轴的正半轴上。
3、填写37页表格中实验数据,根据表格中的数 据，你有什么发现？
称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
试一试
下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果 是，比例系数k是多少？如果不是，说明理由。
(1) y=-
1 2x
(2) y=
x 4
(3) y=1-x
(4) xy=2
(5) y=
2 x+3
(6) y=x-1
（1）体积是100 cm3 的圆锥，高 h (cm)随底面面积 S ( cm2 )的变化而变化． （2）现有一张100元人民币，如果把它换成其他面额的人民币
换成的每张面 值为 x（元）
50105Fra bibliotek21
换成的张数 y
（张）
2
10
20 50 100
换得的张数y随面值x的变化而变化．
实践探索
实验名称： 探索等积矩形中的函数关系
(7) y=x2
(8) y=
1 x
+1
思考：如何判断函数是反比例函数？
等价情势：（k ≠0）
y k x
y=kx-1
xy=k
y与x成反比例
实践探索
请写出2个反比例函数的表达式．
巩固练习
1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
（A）y
=
8
X+5
（B）y =
3 x
+7
（C）xy = 5
（D）y =
实验步骤：1、将附录6中的矩形纸片揭下来； 2、将所有矩形纸片贴在38页的平面直角坐标
系,使每个矩形纸片的一个顶点与原点O重合，相邻两边 分别放在对应x、y轴的正半轴上。
3、填写37页表格中实验数据,根据表格中的数 据，你有什么发现？
苏教版八年级数学下册课件 9.1反比例函数
18 18 2 ， 3当y 18时， x
x 2 1，即x 1.
例4.已知y=y1+y2 ，y1与x成正 比例， y2与x2成反比例，且 x=2时，y=0；x=－1时， y=4.5.求y与x之间的函数关系 式.
k2 解析：设 y1 k1 x(k1 0)，y2 2 (k 2 0) x k2 则y y1 y2 k1 x 2 . x 依题意，得
面积为6400m的长方形的长ym随宽xm的变化而变化银行提供20万的无息贷款给社会福利厂平均年还款y万元随还款年限x年的变化而变化6400m随n的变化而变化游泳池的容积为6400m注满游泳池所用的时间yh随注水速度xmh的变化而变化请说出下列实际问题中的函数关系式的共同特征它们于y60x为常数下列关系式中的y是x的反比例函数吗
回顾2、形如 y = kx（k是常数且k≠0）的函数 叫做正比例函数.
问题
2、如果汽车从距南京50km 的A地出发开往上
海（全程约S km），速度60(km/h).则汽车距南
京的路程y与时间t(h)之间的函数关系为
y = 60x+50 ________,
回顾3、若y =kx+b（k、b为常数，k≠0）， 则y 是x的一次函数.
函数关系式为
1200 y x
请说出下列实际问题中的函数关系式 的共同特征 八年级新视野英语全册约有1200个生词，平均每 天要背诵的单词量为y（个）随计划背诵的天数x （天）的变化而变化. 银行提供20万的无息贷款给社会福利厂,平均年 还款y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化 实数m与n的积是- 6400, m随n的变化而变化 游泳池的容积为6400m3，注满游泳池所用的时 间y(h)随注水速度x(m3 /h)的变化而变化 面积为6400m2的长方形的长y(m)随宽x(m)的 变化而变化
苏科版八年级数学下册1反比例函数的图像与性质课件
△面积P1分A1别O、是△S1P、2AS22O、、S3△.则P（3A3DO，）设他们的y
A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3 C. S1＜S3＜S2
D. S1=S2=S3
P1 A1
P2
A2
P3
A3
ox
k
2．函数y= 与y=ax的图象的一个交点A的坐标
是(-1，-3)x，
(1)求这两个函数的解析式；
不相交
反比例函数y= k (k为常数，k≠0)的图 像是双曲线． x
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限， 在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限， 在每一个象限内，y随x的增大而增大．
课前复习
1.函数y=ax-a 与
y
a x
a
0
在同一条直角
坐标系中的图象可能是
列结论中，正确的是（ D ）
• A. y1 <y2 • B. y1 >y2 • C. y1 =y2 • D. y1 与y2之间的大小关系不能确定
活动二
y
yy k6 y xx
y
P2(1,6) P1(3,2) P(m,n)
P(m,n)
A P(m,n)
o
x
oA
xo
x
S=︱k︱
1 S= 2 ︱ k︱
1.A是双曲线y=
x
(4)求不等式kx b m 0 解集（看图写）.
x
练习．函数y= k 与y=ax的图象的一个交点A的坐标 是(-1，-3)， x
(1)求这两个函数的解析式； (2)在同一直角坐标系内，画出它们的图象； (3)你能求出这两个图象的另一个交点B的坐标
反比例函数(课件)八年级数学下册(苏科版)
探究新知
思考
反比例函数
(k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
因为 x 作为分母，不能等于零，
因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
因为 k≠0，x≠0 ，
因此函数值 y 的取值范围也是所有非零实数.
针对练习
1. 下列函数y是不是x的反比例函数？若是，请指出 k 的值.
y 3x 1
探究新知
反比例函数解析式的确定
k
我们通常用待定系数法求函数解析式，确定y ＝ (k≠0)中常数k的值，
x
它一般需经历：“设→代→求→写”这四步:
k
即：(1)设：设出反比例函数解析式y＝ ；
x
(2)代：把满足函数关系的一组对应值代入解析式；
(3)求：求出k的值；
(4)写：写出反比例函数的解析式．
典型例题
9
9
D.y=-
课堂练习
4.某公司推出的一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲.为此，某电子商城推出
分期付款购买新手机的活动.一部售价为9330元的新手机，前期付款2000元，后期
每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的
函数解析式是( )
A.
7330
y=
+2000
的变化而变化；
(3) 已知灵宝市的总面积为3011km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (人)
的变化而变化.
问题引入
问题2：观察以上三个解析式，试回答下列问题：
(1) 解析式右边都是 分式
是
形式，其中自变量在 分母 上，分子都
常数 。
(2) 如果用x，y表示两个变量(其中x是自变量)，k表示常数，以上
苏科版八年级下册1反比例函数的图象与性质课件
反比例函数图像与性质——k值问题
反比例函数图像与性质
——k值问题
热身练习
1.如果函数 = − 4
= - 4 .
2−17
是反比例函数，那么
热身练习
2.已知y与x成反比例关系，且当＝2时，＝3，则比例
系数=
6
.
3.已知P（2,3）在反比例函数 =
的图像上，则=
6
.
4
C
1
4
2
2
1
B
D
2
3
4
5
4
巩固练习
3.如图，正方形OABC边长为6，M、N在AB、BC上，
12
S △BMN =2，双曲线 =
10
过M、N，则k=
24 .
8
C
6
4
N B
M
2
5
O
5
2
4
A
10
15
20
25
30
A
1
AD:OA=3:4，则的值为（
D
2
3
4B6源自6巩固练习5
4
2.如图，点A、B在反比例函数 =
图象上，点C，D在反比例函数 =
的
3
2
的图象上， > > 0,AC//BD//轴,
AC，BD在x轴的两侧,AC=3,BD=5，
15
AC与BD间的距离为8，则 − ＝___.
A
10
=
8
C
6
4
,求k.
N B
M
反比例函数图像与性质
——k值问题
热身练习
1.如果函数 = − 4
= - 4 .
2−17
是反比例函数，那么
热身练习
2.已知y与x成反比例关系，且当＝2时，＝3，则比例
系数=
6
.
3.已知P（2,3）在反比例函数 =
的图像上，则=
6
.
4
C
1
4
2
2
1
B
D
2
3
4
5
4
巩固练习
3.如图，正方形OABC边长为6，M、N在AB、BC上，
12
S △BMN =2，双曲线 =
10
过M、N，则k=
24 .
8
C
6
4
N B
M
2
5
O
5
2
4
A
10
15
20
25
30
A
1
AD:OA=3:4，则的值为（
D
2
3
4B6源自6巩固练习5
4
2.如图，点A、B在反比例函数 =
图象上，点C，D在反比例函数 =
的
3
2
的图象上， > > 0,AC//BD//轴,
AC，BD在x轴的两侧,AC=3,BD=5，
15
AC与BD间的距离为8，则 − ＝___.
A
10
=
8
C
6
4
,求k.
N B
M
苏教科版初中数学八年级下册11.1 反比例函数
500
20
参 考 答 案 ： （ 1） y＝ ； （ 2） y＝ ； （ 3） t＝
x
n
生主动参与到 来，培养学生 识．
的天数 y(天)随日完成量 x(km)的变化
家银行为某社会福利厂提供了 20 万元 ，该厂的平均年还款额 y(万元)随还款
变化而变化； 泳池的容积为 5000m3，向池内注水， 需时间 t(h)随注水速度 v(m3/h)的变化
3
S
通过例题加 比例函数的概念 认识．
m)的变化而变化；
积是 100 cm3 的圆锥，高 h(cm)随底面
的变化而变化．
TB:小初高题库
苏科版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
苏科版初中数学
苏教科版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 苏科版初中数学 和你一起共同进步学业有成！
TB:小初高题库
数学教学设计
苏科版初中数学
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：王琦（盐城市毓龙路实验学校）
11.1 反比例函数
1．结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
数 m 与 n 的积为－200，m 随 n 的变化
数表达式具有什么共同特征？你还能举 例吗？
小组讨论，代表回答： k
一般地，形如 y＝ (k 为常数，k≠0)的函数称为反比 x
例函数，其中 x 是自变量，y 是函数．
注意：
通过学生相 养学生对问题的 纳能力，提高学 言表达能力．
1．反比例函数也可以表示为 y＝kx-1(k 为常数，k≠
苏教版八年级数学(下)第九章反比例函数复习讲义
当 $k > 0$ 时，双曲线的两支 分别位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分别位
于第二、四象限。
在每个象限内，随着 $x$ 的增 大，$y$ 的值逐渐减小，但永远
不会等于 0。
反比例函数性质总结
01
02
03
04
比例系数 $k$ 决定了反比例 函数的图像所在象限和增减性
。
反比例函数的图像关于原点对 称，即如果点 $(x, y)$ 在图像 上，则点 $(-x, -y)$ 也在图像
代数法
联立反比例函数和直线的方程，通过 解方程组判断是否有解，从而确定是 否有交点。
交点坐标求解方法
联立方程法
将反比例函数和直线的方程联立起来，解方程组即可求得交 点坐标。
图像法
在坐标系中分别画出反比例函数和直线的图像，通过图像的 交点确定交点坐标。
典型例题解析
例题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 和直线 $y = mx + b$，求它们的交点坐标。
经济问题中反比例关系分析
生产成本问题
在生产过程中，随着产量的增加，单位产品的成本通常会降低。这种关系可以通 过反比例函数来描述，帮助企业分析生产成本和制定合理的产量计划。
投资回报问题
在投资领域，投资回报率与投资金额之间往往存在反比例关系。通过建立反比例 函数模型，投资者可以预测不同投资金额下的预期回报，从而做出更明智的投资 决策。
函数$y = frac{m}{x}$图象的两个交点，且$x_1^2 + x_2^2 = 10$，
$x_1x_2 = -3$，求这两个函数的解析式及点$A$、$B$的坐标。
XXX
PART 05
新苏科版八年级下册初中数学 11-2 反比例函数的图像与性质 教学课件
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
y＝ 6 x
… -1 -1.5 -2 -3 -6
6
3 2 1.5
1…
第七页，共四十三页。
一般地，反比例函数y k（k为常数，k 0）的图像是
x
由两个 分支的曲线组成的，
叫做双曲线.
6y
2．描点．
5
4
3．连线．
3
2
1
用平滑的曲线按–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 x
是双曲线.
k＞0
双曲线的两支分别在第一、三象限， 在每个象限内，y随x的增大而减小。
k＜0
双曲线的两支分别在第二、四象限，
在每个象限内，y随x的增大而增大。
第十四页，共四十三页。
而1.减已小知，函那数么ky的取3值k x范4围在是每一象限k内，；4y随x的增大 3
第十五页，共四十三页。
2.已知函数 y m 2. x
–1
自变量从小到大 –2
的顺序连接各点
–3
–4
–5
–6
第八页，共四十三页。
分别画出反比例函数 y＝ 4、 y＝－的4图像．
x
x
第九页，共四十三页。
反比例函数 y = 的x6图像有什么特征?
①图像由两个分支组成，分别位于
y
第一、三象限。
6
②图像逐渐接近于x、y轴，但与两
5 4
y= 6 x
坐标轴永不相交。
第二十三页，共四十三页。
第二课时
第二十四页，共四十三页。
yy
kk xx
((kk
00))
形状
双曲线
双曲线
八年级数学下册【苏教版】 反比例函数
(2)一个物体重120N,物体对地面的压强 p(N/m2)随该物体与地面的接触面积 S(m2)的变化而变化;
写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数，如 果是，指出比例系数k的值.
(3)游泳池的容积为5000m3,向池内注水, 注满水所需时间t(h)随注水速度v(m3／h) 的变化而变化;
注意
1.反比例函数也可以表示为y=kx-1(k为
常数,k≠0)的形式.
2.反比例函数的自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数，如 果是，指出比例系数k的值.
(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2) 随底边上的高x(cm)的变化而变化;
(4)实数m与n的积为-200,m随n的变化而 变化.
例1.下列关系式中的y是x的反比例函数吗?如果是,比例系数k是多少?
(1)
y 4 ; (2)
x
y 1 ; (3) y=1-x ; 2x
(4) xy=1 ; (5)
x . y
解:(2)
y 可以改写1为
2 x 所以y是x的反比例函数,比例系数k=
2
11
y ( ) •
.
2x
1
2
练习 P64 2
例2 若 y (k 1)xk22 是反比例函数,
求此反比例函数的关系式.
分析:
k2-2=-1 k+1≠0
练习 函数
y
2(m 1)x m1 1 ,当m=_____时,
-3
它是正比例函数,当m=_____时,y2,y1是x的反比例函数,y2 是x 的正比例函数,当x=2时,y=-6;当x=1 时,y=3.
y 20 x
写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数，如 果是，指出比例系数k的值.
(3)游泳池的容积为5000m3,向池内注水, 注满水所需时间t(h)随注水速度v(m3／h) 的变化而变化;
注意
1.反比例函数也可以表示为y=kx-1(k为
常数,k≠0)的形式.
2.反比例函数的自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数，如 果是，指出比例系数k的值.
(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2) 随底边上的高x(cm)的变化而变化;
(4)实数m与n的积为-200,m随n的变化而 变化.
例1.下列关系式中的y是x的反比例函数吗?如果是,比例系数k是多少?
(1)
y 4 ; (2)
x
y 1 ; (3) y=1-x ; 2x
(4) xy=1 ; (5)
x . y
解:(2)
y 可以改写1为
2 x 所以y是x的反比例函数,比例系数k=
2
11
y ( ) •
.
2x
1
2
练习 P64 2
例2 若 y (k 1)xk22 是反比例函数,
求此反比例函数的关系式.
分析:
k2-2=-1 k+1≠0
练习 函数
y
2(m 1)x m1 1 ,当m=_____时,
-3
它是正比例函数,当m=_____时,y2,y1是x的反比例函数,y2 是x 的正比例函数,当x=2时,y=-6;当x=1 时,y=3.
y 20 x
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【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点（22
1
，）
，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】
⎩⎨⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132
212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线Θ ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+==+=∴2
21111121,12221
1y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为
()11--∴，另一个点为
【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线x
m
y =
在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.
图
解:因为直线m x y +=与双曲线x
m
y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A
A A A x m
y m x y =
+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,.
所以m y x AB OB S A A AOB 2
1
2121==•=
∆.而已知2=∆AOB S . 所以4=m .
【课堂演练】
1.反比例函数x
y 2
-=的图像位于（ ）
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、三象限
D ．第二、四象限
o
y x
y x
o
y x
o
y x
o
A B C D
2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）
A 、正比例函数
B 、反比例函数
C 、一次函数
D 、不能确定
3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）
4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A 、不小于54m 3
B 、小于5
4m 3
C 、不小于45m 3
D 、小于4
5
m 3
5．如图 ，A 、C 是函数x
y 1
=
的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt ΔAOB
的
面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ） A ． S 1 ＞S 2 B ． S 1 <S 2
C ． S 1=S 2
D ． S 1与S 2的大小关系不能确定
6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1
n x
+的图象都经过点A （-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；
（3）△AOB 的面积．
O
y
x
A
B
C
D
（件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件. （1）请写出y 关于x 的函数关系式；
（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？
10．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数m
y x
=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。
【课后提高】：
1．对与反比例函数x
y 2
=
，下列说法不正确的是（ ） A ．点（1,2--）在它的图像上 B ．它的图像在第一、三象限 C ．当0>x 时，的增大而增大随x y D ．当0<x 时，的增大而减小随x y 2.已知反比例函数()0k
y k x
=≠的图象经过点（1，-2）
，则这个函数的图象一定经过（ ）。