高考数学复习不等式选讲不等式的证明课时作业理选修-

2021年高考数学大一轮复习第二节不等式的证明课时作业理（选修4-5）一、填空题1．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m与n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴m＝a－b>0，n＝a－b>0.∵m2－n2＝(a＋b－2ab)－(a－b)＝2b－2ab＝2b(b－a)<0，∴m2<n2，从而m<n.答案：m<n2．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是y__________x(填“>”、“<”、“＝”)．解析：x2＝14(a＋b)2＝14(a＋b＋2ab)，y2＝a＋b＝12(a＋b＋a＋b)≥12(a＋b＋2ab)>14(a＋b＋2ab)．又x>0，y>0，∴y>x.答案：>3．已知a、b、c、d均为正数，且a2＋b2＝4，cd＝1，则(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)的最小值为________．解析：(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)＝(a2c2＋b2d2)·(a2d2＋b2c2)≥(a2cd＋b2cd)2＝(a2＋b2)2＝42＝16.答案：164．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________．解析：∵a≠b，∴ab＋b>2a，ba＋a>2b，∴ab＋b＋ba＋a>2a＋2b，∴ab＋ba>a＋b.即M>N.答案：M>N5．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．解析：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥4 25.当且仅当x3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825. 答案：425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫625，8256．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________． 解析：∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.答案：S <17．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________． 解析：∵1＝x ＋2y ＋4z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16， ∴x 2＋y 2＋z 2≥121，当且仅当x ＝y 2＝z 4，即x ＝121，y ＝221，z ＝421时x 2＋y 2＋z 2的最小值为121.答案：1218．以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<23，其中正确命题的序号是________．解析：①|a |－|b |≤|a －b |<1，所以|a |<|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |<2，|y |>3，所以1|y |<13，因此|x ||y |<23. ∴①②③均正确． 答案：①②③9．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为________．解析：由柯西不等式可得(3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥(1＋1＋1)2，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥9，所以13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1(当且仅当a ＝b＝c 时取等号)．答案：1二、解答题10．(1)设x ，y 是不全为零的实数，试比较2x 2＋y 2与x 2＋xy 的大小；(2)设a ，b ，c 为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：1a 2＋1b 2＋1c2－2a 3＋b 3＋c 3abc≥3.解：(1)解法1：2x 2＋y 2－(x 2＋xy )＝x 2＋y 2－xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋34y 2.∵x ，y 是不全为零的实数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋34y 2>0，即2x 2＋y 2>x 2＋xy . 解法2：当xy <0时，x 2＋xy <2x 2＋y 2；当xy >0时，作差：x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy >0； 又x ，y 是不全为零的实数， ∴当xy ＝0时，2x 2＋y 2>x 2＋xy . 综上，2x 2＋y 2>x 2＋xy .(2)证明：当a ＝b ＝c 时，取得等号3.作差比较：1a 2＋1b 2＋1c2－2a 3＋b 3＋c 3abc－3＝a 2＋b 2＋c 2a 2＋a 2＋b 2＋c 2b 2＋a 2＋b 2＋c 2c 2－2a 3＋b 3＋c 3abc－3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋1c 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1c 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2bc ＋b 2ac ＋c 2ab＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1a 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b 2>0.∴1a 2＋1b 2＋1c2－2a 3＋b 3＋c 3abc≥3.11．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. 解：(1)f (x )<4，即|x ＋1|＋|x －1|<4， 当x ≤－1时，－x －1＋1－x <4，得x >－2， ∴－2<x ≤－1；当－1<x <1时，x ＋1＋1－x <4，得2<4，恒成立， ∴－1<x <1；当x ≥1时，x ＋1＋x －1<4，得x <2，∴1≤x <2. 综上，M ＝{x |－2<x <2}．(2)证明：当a ，b ∈M 时，－2<a <2，－2<b <2， 即a 2<4，b 2<4，∴4－a 2>0,4－b 2>0，∴(4－a 2)(4－b 2)>0，即16－4a 2－4b 2＋a 2b 2>0， 也就是4a 2＋4b 2<16＋a 2b 2， ∴4a 2＋8ab ＋4b 2<16＋8ab ＋a 2b 2，即(2a ＋2b )2<(4＋ab )2，即2|a ＋b |<|4＋ab |.1．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.2．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |， ∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，且a ，b ，c 大于0，a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ，＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c≥3＋22ab 2ab＋23c a ·a 3c＋23c 2b ·2b3c＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.26783 689F 梟1#32587 7F4B 罋A@348208804 蠄30270 763E 瘾29824 7480 璀(25890 6522 攢22402 5782 垂28569 6F99 澙 37861 93E5 鏥。

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第2课时 不等式的证明1．不等式证明的方法 (1）比较法： ①作差比较法：知道a 〉b ⇔a －b 〉0，a <b ⇔a －b 〈0，因此要证明a >b 只要证明a －b 〉0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法：由a >b 〉0⇔ab >1且a 〉0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a 〉b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为作商比较法． (2）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3）分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等），从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立,这种方法叫做反证法．②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显,从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法． （5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立;②假设当n＝k（k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式(1）柯西不等式：①柯西不等式的代数形式:设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2）(c2＋d2）≥(ac＋bd）2(当且仅当ad＝bc时，等号成立）．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则｜α|｜β|≥|α·β｜，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时,等号成立．③柯西不等式的三角不等式:设x1，y1，x2,y2，x3，y3∈R，则x1－x22＋y1－y22＋错误!≥错误!.④柯西不等式的一般形式：设a1,a2，a3,…，a n，b1，b2,b3，…,b n是实数,则（a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）(b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0 (i＝1,2,…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i（i＝1，2,…,n)时,等号成立．(2）算术—几何平均不等式若a1,a2，…,a n为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．1．设a，b，m,n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求错误!的最小值．解根据柯西不等式（ma＋nb）2≤(a2＋b2）（m2＋n2)，得25≤5（m2＋n2)，m2＋n2≥5,错误!的最小值为5。

课时作业82 不等式的证明一、填空题1．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________． 解析：∵a >b >0，∴m ＝a －b >0，n ＝a －b >0. ∵m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b ) ＝2b －2ab ＝2b (b －a )<0， ∴m 2<n 2，从而m <n . 答案：m <n2．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是y __________x (填“>”、“<”、“＝”)．解析：x 2＝14(a ＋b )2＝14(a ＋b ＋2ab )，y 2＝a ＋b ＝12(a ＋b ＋a ＋b )≥12(a ＋b ＋2ab )>14(a ＋b ＋2ab )．又x >0，y >0，∴y >x .答案：>3．已知a 、b 、c 、d 均为正数，且a 2＋b 2＝4，cd ＝1，则(a 2c 2＋b 2d 2)(b 2c 2＋a 2d 2)的最小值为________．解析：(a 2c 2＋b 2d 2)(b 2c 2＋a 2d 2)＝(a 2c 2＋b 2d 2)·(a 2d 2＋b 2c 2)≥(a 2cd ＋b 2cd )2＝(a 2＋b 2)2＝42＝16.答案：164．若a ，b 均为正实数，且a ≠b ，M ＝a b ＋b a，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________． 解析：∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，ba＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a >2a ＋2b ， ∴a b ＋ba>a ＋b .即M >N . 答案：M >N5．若直线3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________，最小值点为________．解析：由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2， 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.当且仅当x 3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.答案：425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫625，8256．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________．解析：∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.答案：S <17．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________． 解析：∵1＝x ＋2y ＋4z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16， ∴x 2＋y 2＋z 2≥121，当且仅当x ＝y 2＝z 4，即x ＝121，y ＝221，z ＝421时x 2＋y 2＋z 2的最小值为121.答案：1218．以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a－b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<23，其中正确命题的序号是________．解析：①|a |－|b |≤|a －b |<1，所以|a |<|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |<2，|y |>3，所以1|y |<13，因此|x ||y |<23.∴①②③均正确． 答案：①②③9．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为________．解析：由柯西不等式可得(3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥(1＋1＋1)2，即 9⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥9，所以13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．答案：1 二、解答题10．(1)设x ，y 是不全为零的实数，试比较2x 2＋y 2与x 2＋xy 的大小； (2)设a ，b ，c 为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：1a 2＋1b 2＋1c2－a 3＋b 3＋c 3abc≥3.解：(1)解法1：2x 2＋y 2－(x 2＋xy )＝x 2＋y 2－xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋34y 2.∵x ，y 是不全为零的实数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋34y 2>0，即2x 2＋y 2>x 2＋xy . 解法2：当xy <0时，x 2＋xy <2x 2＋y 2；当xy >0时，作差：x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy >0； 又x ，y 是不全为零的实数， ∴当xy ＝0时，2x 2＋y 2>x 2＋xy . 综上，2x 2＋y 2>x 2＋xy .(2)证明：当a ＝b ＝c 时，取得等号3. 作差比较：1a 2＋1b 2＋1c2－a 3＋b 3＋c 3abc－3＝a 2＋b 2＋c 2a 2＋a 2＋b 2＋c 2b 2＋a 2＋b 2＋c 2c 2－a 3＋b 3＋c 3abc－3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋1c 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1c 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2bc ＋b 2ac ＋c 2ab ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1a 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b 2>0.∴1a 2＋1b 2＋1c2－a 3＋b 3＋c 3abc≥3.11．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. 解：(1)f (x )<4，即|x ＋1|＋|x －1|<4， 当x ≤－1时，－x －1＋1－x <4，得x >－2， ∴－2<x ≤－1；当－1<x <1时，x ＋1＋1－x <4，得2<4，恒成立， ∴－1<x <1；当x ≥1时，x ＋1＋x －1<4，得x <2，∴1≤x <2. 综上，M ＝{x |－2<x <2}．(2)证明：当a ，b ∈M 时，－2<a <2，－2<b <2， 即a 2<4，b 2<4，∴4－a 2>0,4－b 2>0，∴(4－a 2)(4－b 2)>0，即16－4a 2－4b 2＋a 2b 2>0， 也就是4a 2＋4b 2<16＋a 2b 2， ∴4a 2＋8ab ＋4b 2<16＋8ab ＋a 2b 2，即(2a ＋2b )2<(4＋ab )2，即2|a ＋b |<|4＋ab |.1．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.2．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |， ∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，且a ，b ，c 大于0，a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ， ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥3＋22ab 2ab＋23c a ·a 3c＋23c 2b ·2b3c＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.。

分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实 质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要 搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思 路，用综合法书写证题过程．
2.设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，
求证1＋1≥ ab
4.
证明： 由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b＝3，
[证明] 因为 a，b，c 为正实数，由基本不等式可得a13＋b13＋c13 ≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，所以a13＋b13
＋c13
＋
abc≥ 3 ＋ abc
abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
选修4-5 不等式选讲
第2讲 不等式的证明
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋b≥ ab，当且仅当 a＝b
2 时，等号成立．
定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
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2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法 等．