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初一上册数学青岛版第三章有理数的运算知识点归纳（史上最全面的总结）一、有理数的加法1.加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值。
（3）互为相反数的两个数相加得零。
（4）一个数与0相加仍得这个数。
2 . 加法运算律（1）加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a注意事项：对于三个或三个以上的数相加，加法交换律仍使用。
（2）加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)注意事项：对于三个以上的数相加，加法结合律仍使用。
（3）常见结合方法a 把正数和负数分别结合。
b 把同分母分数或易通分的分数相结合。
C 把相加得零的几个数相结合。
d 把相加得整数的几个小数相结合。
e几个整数和分数相加，通常整数与分数分别结合。
3.重要结论（1）在有理数范围内，和不一定大于每一个加数。
（2）ba+≠a+b二、有理数的减法1.减法法则减去一个数等于加上它的相反数。
2.数轴上两点间的距离公式设点A表示有理数a,点B表示有理数b,则AB=ba-3.重要结论（1）在有理数范围内，差不一定小于被减数。
（2）任何数减去0仍得这个数。
（3）0减去一个数得这个数的相反数。
（4）ba-≠a-b（5）设a,b为任意有理数a>b ⟺ a-b>0a=b⟺ a-b=0a<b⟺a-b<0三、有理数的乘法1.乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负。
并把绝对值相乘。
2.多个数相乘的乘法法则（1）几个不为0的数相乘，积的符号是由负因数的个数决定的，当负因数为偶数个时，积为正。
当负因数的个数为奇数时，积为负，并把绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0.3.乘法运算律（1）乘法交换律两数相乘，交换因数的位置，积不变。
（2）乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1、作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1 已知A＝987654321×987654324，B＝987654323×987654322，试比较A和B的大小．解：设987654321＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0．∴A＜B．2、作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3、倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4、变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6 比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7比较374--和-（-4）的大小．特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8 比较78-和89-的大小．6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9 已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10 比较a与2a的大小．解：a 表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a ＞0时，a ＜2a ；当a ＝0时，a ＝2a ；当a ＜0时，a ＞2a ．8、裂项比较法将一个数分成两个数的和或差，称之为裂项．例11 比较的大小与2005200420042003--解：因为2005120041,20051120052004,20041120042003>-=-=而 故2005200420042003<，所以2005200420042003->-． 分析：先比较的大小与2005200420042003，前面的几种方法都可使用，但因2003、2004、2005三个数比较大，计算量就比较大，转而考虑2005200420042003与均小于1，从而想到比较它们与1的差．。
一、知识概述1、有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数与0相加，仍得这个数．2、有理数加法步骤分两步：第一步，确定和的符号；第二步，求和的绝对值．3、加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a＋b=b＋a．加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，它们的和不变，即(a＋b)＋c=a＋(b＋c).4、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数.这个法则用式子可以表示为a－b=a＋(－b).注意：有理数的减法，不像算术里那样直接相减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算.因此，掌握有理数减法的关键是正确地将减法转变为加法.再按有理数的加法法则计算.注意两个“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数），牢记一个“不变”，被减数与减数的位置不能交换，也就是说，减法没有交换律．5、有理数加减混合运算（1）代数和：几个正数或负数的和称代数和，是在代数和里把加号及加号前的括号省去不写的简写形式，简写后的代数和的符号都是性质符号，而运算符号“＋”均已省略.如－5－2＋3－5实际表示－5，－2，＋3，－5的和.（2）有理数加减混合运算的步骤：首先变减为加，再写成省略加号的和的形式，然后利用加法交换律和结合律简化计算.（3）使用加法交换律交换数的位置时，要连同数前面的符号一起交换.（4）利用交换律的结合律进行简化计算时应遵循几条法则：①正数和负数分别结合相加；②分母相同或易于通分的分数结合相加；③和为整数的结合相加；④互为相反数的结合相加.二、例题讲解例1、计算：（1）（－18）＋（－22）；（3）（－3）＋（－3）；（4）（－2010）＋0.分析：有理数加法步骤分两步：第一步，确定和的符号；第二步，求和的绝对值．解：（1）（－18）＋（－22）＝－(18＋22)＝－40；（2）（3）（－3）＋（－3）＝－（3＋3）＝－6；（4）（－2010）＋0＝－2010例2、计算分析：进行三个以上的有理数的加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，通过观察分析，根据题中数字的特点，重新组合，分别相加，使运算简便．解：（1）原式（2）原式例3、M国股民A上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况：（单位：元）（1）星期三收盘时，每股多少元？（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？（3）已知A买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付交成交额的1.5‰的手续费和1‰的交易税，若股民A在星期六收盘前将股票全部卖出，试问他的收益如何？解析：这是一道有理数加法的应用问题，贴近我们的实际生活，同学们可能对这个问题有一定的兴趣，下面让我们一起来解这道题．（1）星期三收盘时，每股的股价为：27＋（＋4）＋（＋4.5）＋（－1）=34.5（元）（2）通过计算可知，本周内的最高价是星期二那天的股价为27＋（＋4）＋（＋4.5）=35.5（元）最低价是星期五那天的股价为27＋（＋4）＋（＋4.5）＋（－1）＋(－2.5)＋(－6)=26（元）（3）因为星期六该股的股价为27＋（＋4）＋（＋4.5）＋(－1)＋(－2.5)＋(－6)＋（＋2）=28（元）所以：28×1000×(1－1.5‰－1‰)－27×1000×(1＋1.5‰)=889.5元.即股民A收益了889.5元.例4、计算（1）（＋32）－（－78）（2）（－7）－（－5）－（－15）－11分析：进行有理数的减法运算时，首先是把减法运算转化为加法运算，然后按照有理数加法法则运算．解：（1）原式=（＋32）＋（＋78）=110（2）原式=（－7）＋（＋5）＋（＋15）＋（－11）=[（－7）＋（－11）]＋（5＋15）=（－18）＋20=2例5、计算：分析：在做加减混合运算时，通常将加减运算统一为加法运算或改写为省略加号的和的形式。
七年级数学上册有理数难题巧算方法讲解归纳【知识要点】1．乘法分配律法2．约分法3．倒写相加法4．裂项相消法有些求若干个分数之和的计算题，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．下面给出五类常见的裂项公式：(1）()11+n n 型裂项公式：()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 （3）)(k n n k +型裂项公式：kn n k n n k +-=+11)(． （4）)2)((1k n k n n ++型裂项公式： )2)((1k n k n n ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)((1)(121k n k n k n n k （5）)2)((2k n k n n k ++型裂项公式：()()()k n k n k n n k n k n n k 211)2)((2++-+=++ 5.错位相减法6．整体换元法【典型例题】1．乘法分配律法例1 计算：① .21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯② 103451194911994199411949145199414511949+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯2．约分法 * 例2 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+1719116191319121911911917118171317121711713．倒写相加法例3 设n 为正整数，计算：43424131323332312122211+++++++++++.1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++4．裂项相消法例4 计算201120081191611613113101⨯--⨯-⨯-⨯-* 例51111232349899100+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯* 例6:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++199911411311211199914113112114131121131211215.错位相减法* 例7 200843220081200812008120081200811++++++6．整体换元法例8 计算)20071......3121()20081......31211()20081......3121()20071......31211(+++⨯-----+++⨯----1．1436.171464.8295135159513518⨯+⨯+⨯-⨯2．求和19993222221+++++= S3201918143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++99113112119914113112114131121131211215.计算：.311212311999212000312001212002-++-+-1．填空题（1）4213012011216121-----=________________ （2） 20÷（0.30+0.31+0.32+…+0.69）的值的整数部分是_________（3） 111111123456761220304256++++++=__________________ （4） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+-10001141131121110201970198019902000 =_____________（5） ()()_____________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯； （6）____________19197676767676191919=-；2．计算：（1） 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-110031120021120031120041（3）.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯751517315151537319315151537319751517537319751517315151（5） 311021983278%12541153881568825.1⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯（6） 200020001999199919992000⨯-⨯2)6543187(36-+-⨯-（7） 求和20083277771+++++= S3．已知+21+51+81+111+201+411+110116401=1， 求--21-51+81+111+201+411+110116401的值4．若n=7217561542133011209127311+-+-+-，求n 的负倒数5．217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-766554433276655443322116．2001200420002004200120012001200120012001200020002000200020002000个个+++++7．n n n n n n 93186293142842421⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯ ** 8.求 ++++3227252321共2008项的和.。
有理数运算技巧归类例析有理数及其运算，是整个初中学习数学的基础，对于有理数的混合运算，我们要善于观察问题的结构特征，选择合理的运算路径，灵活使用运算律，可以简化计算，提高解题的速度和能力．运算中常采用的技巧如下：一. 灵活运用运算律例1. 计算：21123627161245371057+-+-+-++()()()()． 分析：利用加法的交换律、结合律把同分母的数结合在一起，可以减少运算量． 解 原式=[()][()()()]21121612362745371057+-+-+-++ =57166+-=-()．例2. 计算：531292115412⨯-⨯-⨯-()()()． 分析：多个因数相乘时，积的符号的确定是关键，利用乘法的交换律与结合律，把易于约分的先相乘，提高解题的速度．解 原式=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-⨯=-531293115925313115299213113()()．二. 逆用运算律例3. 计算：()()()()-⨯+-⨯---⨯568356135628．分析：本题每项含有-56，因此可逆向运用分配律来计算． 解 原式=()[()]-⨯+--56831328 =()-⨯=-564235．三. 倒序相加例4. 计算：22222223181920-----+…．分析：直接计算繁琐，可从后两项开始，逐步计算．解 原式=22222223181920----+-+…() =22222231819---+……=22222223171819---+-+……() =22222231718----+…… =……=+=2262．四. 凑数法 例5. 计算： 9899899989998509++++…………个．（“信利杯”竞赛题）分析：直接计算繁琐，观察其特征，发现每个数加2都是10n ，所以把各项凑成10的倍数计算．解 原式=()()()()100210002100002100002-+-+-++-…………=()10010001000010000502++++-⨯…………=1000100001000011111000++=…………．五. 拆项法例6. 计算：135157119971999⨯+⨯+⨯…．（天津市竞赛题） 分析：通分来解显然行不通，可采用拆项法．解 原式=121315121517121199711999()()()-+-++-… =121315151711997119991213119999985997()()-+-++-=-=…．六. 错位相减法例7. 计算：333332342006+++++……．分析：考虑到后一项与前一项的比都是3，所以可采用错位相减法．解 设S =+++++333332342006…，则33333323420062007S =++++…． 所以23333220072007S S =-=-，，即原式=-3322007．七.用字母代替数例8. 计算：199720002000200019971997⨯-⨯．解 设1997=a ，则原式=⨯+++-+⨯+a a a a a a [()()]()[]1000033310000=⨯+-+⨯a a a a 10013310001()()=+-+100013100013a a a a ()()=0．八.分解相消例9. 计算：19491950195119521997199819992222222-+-++-+…．（北京市竞赛题）分析：此题满足平方差公式a b a b a b 22-=+-()()，所以可用因式分解来简便运算． 解 原式 =++-++-++1949195119501951195019531952195319522()()()()…()()()1999199819991998194919501951195219981999194922+-=++++++=+ (50195019992)3897326()+=．练习计算：（1）()()()()()112113114119111022222-----……； （2）略（3）987654321987654324987654323987654322⨯-⨯；（4）121323142434110021003100410099100++++++++++++()()()……．［参考答案］ （1）1120；（2）200101；（3）-2；（4）2475．。
