高中立体几何球的课件

例3、已知地球半径为R，地面上点A位于东经20o北 纬60o，B点位于东经140o北纬60o，C点位于东经140o 北纬30o。试求A、B两点及B、C两点的球面距离。
练习：
地球半径为R，A、B是北纬 45°纬 线圈上两点，它们的经度差是90°，求A、 B两地的球面距离。
小结： 1.球及其相关概念。
2 R 2 2 3 3
6、球面上有M、N两点，在过M、N的球的大圆O上，弧Байду номын сангаасN
的度数为90o，在过M、N的小圆O1上，弧MN的度数为120o， 又MN= 3 cm，求OO1的长度及M、N的球面距离。
（ OO1=
2 2
cm，M、N的球面距离为
6 （cm) 4
）
思考题
￭自半径为R的球面上一点Q作球的三条两两垂直的弦QA、 QB、QC，求QA2+QB2+QC2的值。
2． 经度和纬度的计算方法 ① 某点的经度——经过这点的经线与
北极
纬线 O1
地轴确定的半平面和0o经线（即本初子 午线，简称子午线）与地轴确定的半 平面所成的二面角的度数。 东经和西经：0o经线以东的经线叫东经， 经线 0o经线以西的经线叫西经。
A
B
O 赤道
0°
南极
东经和西经各180o，东经180o和西经180o是同一条经线。
2.球的截面性质。
3.球的大圆和小圆。
4.球面距离。
5.地球的经纬度和球面距离的计算。
②
某点的纬度—— 经过这点的球半径与赤道平面所成的角的度数。
O1 α
B
O
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
3． 地球上两点的球面距离
① 同纬度不同经度的两地间的球面距离：设同一纬线上的A、B两地的经度分 别是α 1 ，α 2， 1o、若A、B同在东经或西经，不妨设α 1＜α 2，则∠AO1B=α 2-α 2o、若A、B在子午线异侧： 当α 1+α 2≤π 时，∠AO1B =α 1+α

栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.

简单几何体的表面积与体积
第2课时 球的表面积与体积
课标定位
素养阐释
1.了解球体的表面积与体积公式的推导过程.
2.掌握球体的表面积与体积公式,能用公式解决
简单的实际问题.
3.用类比、联系的运动变化思想推导公式,感受
数学运算与几何直观的过程,感受球体的表面积
与体积公式在生产活动中的数学建模.
自主预习·新知导学
【例1】 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径
相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.
解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,球的半径为 R,
由题意得



·


=
= ,




,
2
3,解得

π(2R)
·
h=
πR


R=h,r=2h,
则 l= + = h,
解析:计算得
3
3
2
V 甲=πa ,S 甲=4πa ,V 乙=πa ,S 乙=πa2,
故 V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙.
答案:C
探究二 与球有关的切接问题
【例2】 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则
圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(
)
A.4∶3
B.3∶1
C.3∶2
D.9∶4
由 S 圆锥侧=πrl=π×2h× h=2 πh2,S 球=4πR2=4πh2,

圆锥侧


得
=
=

球

.

有关球体的体积与表面积的问题
(1)求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能

【解析】 由三视图得直观图如图，三棱锥 O－ABC 中 OA，OB，OC 两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2， 可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的 对角线，即为球的直径，长为 32＋42＋22，
.精品课件.
35
故外接球半径为
229，外接球的表面积 S 球＝4π
29 2
2＝29π.
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
.精品课件.
21
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R.
因为 V球
4 R3 ,V 圆柱 3
R2 2R 2 R3,
所以，V球
2
V 圆柱
3
（2）因为 S球 4 R2 ， NhomakorabeaS = 圆柱侧 2 R 2R 4 R2 ，
所以, S球 S 圆柱侧.
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5
制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？
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6
把氢气球充满，需要多少氢气呢？
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7
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8
怎样求球的体积?
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9
怎样求球的体积?
m
=rV
V
=
m r
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10
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
.精品课件.
11
实验：排液法测小球的体积
放入小球后
H h
S
，
1
S
，
2
S 3 ,
,Sn
则球的表面积为
S = S1 S2 S3 Sn
Si
O Vi
.精品课件.
18
半径是 R的球的表面积：S = 4 R 2

四、地球的经度纬度
1、地球的经度
某点的经度是经过这点的经线和地轴确定 的半平面与0度经线(本初子午线）和地轴确 定的半平面所成二面角的度数
• 地球的经线就是 球面上从北极到 南极的半个大圆
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
本 初 子 午
线
北极
P 地
轴 O
A
道
赤
B
2、地球的纬度
某点的纬度就是经过
之间的最短连线 就是经过这两点
O
P
的大圆在这两点
间的劣弧的长度
Q
——这个弧两点的大 圆的劣弧？
例1：
我国首都北京靠近北纬40度，求北纬40 度纬线的长度（地球半径约是6370km)
C
本
地
初
子
轴
北京
午
线
O 纬度40
经度116
A
B
赤
道
解：如图， 设纬线的圆心为D点， DP为纬线半径 ∴ OD⊥DP ∵DPO= POB=40°，
赤道上有A、B两点，它们的经度相差 60º，求它们的球面距离（地球半径约 为6 370 km，精确到1 km）。
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别浪费了，留着这坛子好酒给店里赚钱吧！天儿这么晚了，咱们随便吃点儿就行了！”耿英和耿直也都坚持不让开酒坛。酒店 老板和伙计们对这三兄妹更加刮目相看。老板说：“那咱就不用喝酒了。这些饭菜，咱们随意吃吧！”大家愉快地吃饭不提。 饭毕告辞时，老板对耿正兄妹三人说：“今儿个熬得太晚了，又是这么个情况，你们一定很累了。明儿个就不用来上班了，咱 们的契约今天就算是终止了。好好歇息一下，准备你们以后的创业途径吧！还有啊，你们在以后创业的过程中，如果遇到什么 难处了，请一定来和我说一声。咱们酒店还有些个实力，一定会倾力相帮的！”耿正说：“多谢您！可酒店里明天就没有”老 板说：“放心，已经说好了，明儿个一早，就会有一家子献艺的人来应试的！我看他们人挺不错，先试用几天吧！”那个机灵 的演唱台伺应生伙计赶快跑到台后的乐器存放柜里取来二胡。老板接过来拿在手里小心地摸一摸，一边将其递到耿正的手上， 一边说：“耿兄弟啊，你的这把二胡非同寻常哇，你拉二胡的手法也真是少见的好，简直就是人胡合一，美妙得很哪！让人听 得，啧啧，我无法用语言来说得清楚呢！”耿正伸双手接过二胡来，谦逊地说：“您过奖了！只要学一学，谁都能拉得很好听 的。”老板说：“不，这不一样！唉，咱不说这些了，你们快回去休息吧！这天儿太晚了，你们又住得偏僻，让两个伙计护送 你们回去吧！”耿正说：“多谢老板关心，但不用护送了，我们三个人呢！”有两个伙计说：“我俩就住在那一带呢，咱们一 起走吧！”老板将五人送出酒店，对两个伙计说：“你俩可一定要把他们送到出租房的门口啊！巷子太深，这么晚了怕是不安 全呢！”两个伙计都说：“老板放心，我俩一定会把他们送到出租房门口的！”走在路上时，其中的一个伙计对耿正说：“耿 兄弟啊，你这个妹妹可真厉害，不但现编现唱来得那么快，表演得那么好，而且那个气势，啧啧，真正少见呢！”另一个伙计 也说：“是啊！耿妹子，你怎么就那么有把握呢？知道唱完了就一准儿能赢得满堂大喝彩！”耿英说：“因为有大多数客人们 的支持啊！我看得出来，他们早就看不下去了！只要我们能坚持唱下去，大家就肯定能为我们喝大彩的！”耿正说：“正如那 位做证人的老先生所言，邪不压正啊！”一个伙计说：“是这样的！”另一个伙计说：“不过这耿妹子还真是很了不起呢！还 有啊，耿兄弟你和你的这个小弟弟也很了不起！你们兄妹三个不但有志向能吃苦，而且实在是具有超人的智慧和胆识呢！佩服， 佩服啊！”耿英说：“您就别夸我们了。唉，什么智慧啊胆识的，都是被逼出来的啊！”耿正也说“确实是被逼出来的！这人 啊，想要活得好很难，想要做成一些事情就更难嘞！”说着摸摸耿直

课
主
堂
预
小
习
结
探
[跟进训练]
·
提
新
素
知
2．圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻 养
合 璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下 课
作
时
探
究 降多少？
分 层
释
作
疑
业
难
·
返
首
页
12/12/2021
第二十三页，共四十七页。
·
自 主
[解]
设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为
第十三页，共四十七页。
·
自
课
主
堂
预
小
习 探
(1)B
(2)
5 2
[(1)34πR3＝332π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π.
·
结 提
新
素
知
(2)设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R， 养
合 作 探 究
则由题意得13πr2·h＝34πR3，
课 时 分
释
r＝2R，
习
结
探 PH＝x，如图所示．
·
提
新
素
知
∵AC＝ 3r，PC＝3r，
养
·
·
合
∴以 AB 为底面直径的圆锥的容积为
课
作
时
探
究 释
V 圆锥＝31πAC2·PC
分 层 作
疑
业
难
＝13π( 3r)2·3r＝3πr3，V 球＝43πr3.
返
首
页

【跟踪训练】
圆柱形容器的内壁底半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出
这个铁球(水的损耗不计),测得容器的水面下降了 5 cm,则这个铁球的表面
3
积为( )
A.50π cm2
C.5 0 0 cm2
3
B.500π cm2 D.100π cm2
【解析】选D.设实心铁球的半径为R,则 4 πR3=π×102× 5 ,解得R=5,故这个
又AO1=2 3 3 1.
32
所以SO1= 2 .
所以正四面体的体积V=1 3
2
3 2
6.
34
4
设内切球球心为O,半径为r,连接OS,OA,OB,OC.
所以VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC1+V4O-AB3C=
2
3 r
3r
6，
34
4
所以r= 2 ,
4
所以球的体积V球=4r3 4( 2)3 2.
2
AB=10,求球的表面积与球的体积.
【解析】如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,则OO1=3 R.在△ABC中,
2
因为AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,所以O1是AB的中点,即O1B=O1A=5.
又 O O+12 O1A2=OA2,
所以 ( 3 R+) 52 2=R2,所以R2=100,R=10.
【解题策略】 1.解决与球有关的“切”“接”问题关键是把空间问题平面化. (1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找 准切点,通过作截面来解决. (2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决 这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半 径.

∴OM= (√2)2 + 1 = √3,即球的半径为√3,
4
∴V=3π(√3)3=4√3π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)由题知△SAC,△SAB,△SBC均为直角三角形,O是SC的中点,如图
所示.
1
3
3
所以 OB=OA=2SC=OS=OC=2,即球 O 的半径为2,
所以球 O 的表面积为 S=4π×
内注入水并且放入一个半径为 3√225 的铁球,这时水面恰好和球面
相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少?
分析:设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,则水面降
落,减少的体积就是球的体积,建立一个关系式来解决.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:设△PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面
答案:(1)4√3π (2)9π
3 2
2
=9π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.计算球的表面积和体积关键是计算球的半径,而计算
半径的关键是寻找球心的位置.
2.当球的半径增加为本来的2倍时,球的表面积增加为本来的4倍,
球的体积增加为本来的8倍.
3.注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时,
4
解析:球的半径为 3,S 球=4π×32=36π;V 球= π×33=36π.
3
答案:D
名师点拨1.球的表面积与体积由它的半径唯一确定,因此求球的
表面积、体积的关键是求出球的半径.
2.球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,
即使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的

解:一个浮标的表面积为 2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2),
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
分割
以直代曲
取极限
……
n=6
作圆的内接正六，十二边形，…
思想方法：
思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你知道这个公式是如何推出的吗？ 是谁想出来这种方法的呢？
n=12
第一步：分割将球O 的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
第二步：以直代曲当n 越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是
球的接与切
(2R)2=a2+b2+c2(a,b,c是长方体的棱长)
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即
∴ 球的表面积为
14π
结论:
结论：
A
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即
2R = 2，∴R = 1.
∴ 球的体积为
练习 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.
即球与圆柱的体积之比为2:3.
外接球：将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上
内切球：球体在几何体里面，且球体与几何体每个面均相切。
棱切球：球体与几何体每条棱均相切。
结论：正方体内切球的直径等于正方体棱长。
切点：各个面的中心.球心：正方体的中心.直径：相对两个面中心连线.

表示方法
通常用大写字母表示球心，用小 写字母或数字表示半径，如球 $O$的半径为$r$。
球的半径、直径和圆心角
01
02
03
半径
连接球心和球面上任意一 点的线段称为球的半径。
直径
通过球心且其端点在球面 上的任意线段称为球的直 径，直径等于两倍的半径 。
圆心角
两个相交半径之间的夹角 称为圆心角。
球面、球内、球外点概念
解题思路
将已知的体积代入公式$V=frac{4}{3}pi r^{3}$，解方程求出半径$r$。
组合几何体中球体相关计算问题
01
02
03
04
例题5
在一个边长为$a$的正方体中 内切一个球，求球的半径和表
面积。
解题思路
根据正方体和内切球的关系， 求出球的半径$r=frac{a}{2}$
，再代入公式求表面积。
将公式中的各个部分与具体的形象或 场景联系起来，形成深刻的印象，以 便记忆。
实际应用：计算水球容量
水球是一种常见的娱 乐设施，其容量可以 通过球的体积公式来 计算。
通过计算水球的容量 ，可以合理安排注水 量和排水量，避免浪 费水资源。
在实际应用中，需要 注意单位的换算，以 及测量半径时的准确 性。
，其中$r$为球的半径。
02 球的表面积公式 推导与应用
表面积公式推导过程
球的表面积公式为
S = 4πr²
推导过程
设球的半径为r，球的表面积为S，将球分成n个微小扇形，每个扇形的弧长近似为球的周 长的一部分，所有扇形面积之和近似为球的表面积。当n趋近于无穷大时，近似值趋近于 真实值，即得到球的表面积公式。
17世纪，法国数学家笛卡尔创立了解析几何学， 将代数方法引入几何学，使得几何学的研究更加 精确和深入。