多元方差分析导入：在一元统计中，关于正态总体)(2,N μσ的均值μ和方差2σ的各种检验，已经给出了μ检验﹑t 检验﹑F 检验和2χ检验等。
在多元统计中，对于多个指标的正态总体(,)P N μ∑,各种实际问题同样要求对μ和∑进行统计推断。
本章我们主要讨论多元正态总体(,)P N μ∑的均值向量μ的检验，把一元统计中的单个正态总体，两个正态总体，多个正态总体均值μ的检验（一元方差分析）方法类比推广到单个多元正态总体，两个多元正态总体，多个多元正态总体的均值向量μ的检验（多元方差分析）。
1. 预备知识1.1霍特林（Hotelling ）2T 分布 1.1.1霍特林（Hotelling ）2T 分布的定义 在一元统计中，若(0,1)X N , 2()Y n χ 且X 和Y 相互独立，则随机变量()t t n=下面把221()X YT X X Y n n-'==的分布推广到p 元总体，设(0,)P X N ∑ ,随机矩阵(,)P W W n ∑ ，我们来讨论21()W T X X n-'=的分布。
定义1 设(0,)P X N ∑ ，随机矩阵(,)P W W n ∑ (0,)n p ∑>≥，且X 和W 相互独立,则称统计量21()W T X X n-'=为霍特林（Hotelling ）2T 统计量，其分布称为服从自由度为n 的2T 的分布，记为22(,)T T p n 。
1.1.2霍特林（Hotelling ）2T 分布的性质性质1 设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，则统计量 21()()T n X S X μμ-'=--证明：因为1(,)p X N nμ∑ )(0,)p X N μ-∑ 又(1)(1,)p n S W n --∑ 且X 和S 相互独立，那么2112()()()][(1)])](,1)T n X S X n X n S X T p n μμμμ--''=--=-----性质 2 （2T 和F 分布的关系）设(0,)P X N ∑ ,22(,)T T p n ，则21(,1)n p T F p n p p n-+⋅-+ 证明：1211111(,1)1n p n p X X p T X S X F p n p X X np pn p X S X----'-+-+∑'==-+'∑-+' 其中 12()X X p χ-'∑ ，1211(1)X X n p n p X S Xχ--'∑-+-+' 性质 3设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，统计量21()()T n X S X μμ-'=--则2(,)1n p T F p n p p n -⋅--证明：见性质2性质 4 2T 统计量对非退化的线性变换保持不变证明：设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，给定观测值(1,2,,)j x j n = 及变换式111p p p p p C X d Y ⨯⨯⨯⨯=+,C 为非奇异矩阵，则y Cx d =+及11()()1ny j j j S y y y y CSC n =''=--=-∑ 又()()()()Y E Y E CX d E CX E d C d μμ==+=+=+因此，从y 与假设值00Y C d μμ=+算出的2T 为 2100()()Y Y Y T n y S y μμ-'=-- = 100(())()(())n C x CSC C x μμ-''-- =00()()()n x C CSC C x μμ'''-- =11100()()()n x C C S C C x μμ---'''-- =100()()n x S x μμ-'--威尔克斯（Wilks ）分布1.2.1威尔克斯（Wilks ）分布的定义定义：设112(n ,) P p W W W W ∑∑ 2，（n ）10,n ∑>≥（p ），且1W 和2W 独立，则称 112=W W W Λ+为威尔克斯统计量，其分布称为威尔克斯分布，记为ΛΛ 12（p,n ,n ）。
