高考数学分项汇编 专题10 立体几何文科
- 格式：doc
- 大小：8.72 MB
- 文档页数：25
专题10 立体几何
一．基础题组
1. 【2012全国新课标，文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(
)
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
2. 【2010全国新课标，文7】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
【答案】：B
3. 【2007全国2，文7】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于( )
(A) 36 (B)34 (C) 22 (D) 32
【答案】：A 4. 【2006全国2，文7】如图，平面平面，,,ABAB与两平面、所成的角分别为4和6。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为'A、',B若AB=12,则''AB( )
（A）4 （B）6 （C）8 （D）9
【答案】B
【解析】连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为'4BAB，在Rt△BAB'中有'22ABa，同理可得AB与平面β所成的角为'6ABA，所以'12AAa，因此在Rt△AA'B'中''22211()()222ABaaa，所以''1::2:12ABABaa，又因为AB=12,所以''6AB
5. 【2005全国3，文4】设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为 （ ）
A．16V B．14V C．13V D．12V
【答案】C
6. 【2005全国2，文2】正方体1111ABCDABCD中，P、Q、R分别是AB、AD、11BC的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）
(A) 三角形 (B)
四边形 (C) 五边形 (D)
六边形
【答案】D
7. 【2007全国2，文15】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.
【答案】：242
【解析】这个正四棱柱，体对角线为2cm，底面为边长1cm的正方形，则根据勾股定理2222211h，解得2h，则表面积11412242S.
8. 【2014全国2，文18】（本小题满分12分）
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E是PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB//平面AEC；
（Ⅱ）设1,3APAD，三棱锥PABD的体积34V，求A到平面PBC的距离.
ADBCPE
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）31313
OADBCPEH
9. 【2013课标全国Ⅱ，文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD. 由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，22AB得∠ACB＝90°，2CD，16AD，3DE，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以VC－A1DE＝1163232＝1.
10. 【2012全国新课标，文19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
11. 【2010全国新课标，文18】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若AB＝6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P—ABCD的体积．
12. 【2005全国2，文20】(本小题满分12分)
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E、F分别为CD、PB的中点．
(Ⅰ) 求证：EF平面PAB；
(Ⅱ) 设2ABBC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
(II)解：不妨设BC=1，则PD=AD=1，AB=2，PA=2，AC=3
∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1且AF⊥PB
∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直
∴PB⊥平面AEF
连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH∥平面AEF
∠GAH为AC与平面AEF所成的角
由△EGC∽△BGA可知EG=12GB，EG=13EB，AG=23AC=233
由△EGH∽△EBF可知GH=13BF=13
∴sin∠GAH=36GHAG ∴AC与平面AEF所成的角为3arcsin6。
方法二
以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。
∴异面直线AC、PB所成的角为3arccos6
211(,,)222AFuuur
∴AFPB•uuuruuur=0，PB⊥AF
又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线
∴PB⊥平面AEF ∴AC与平面AEF所成的角为2－33arccosarcsin66
即AC与平面AEF所成的角为3arcsin6。
二．能力题组
1. 【2014全国2，文6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A.2717 B.95 C.2710 D.31
【答案】C
2. 【2013课标全国Ⅱ，文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
【答案】：A
【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：
则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A.
3. 【2012全国新课标，文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为(
)
A．6π B．43π
C．46π D．63π
【答案】B
4. 【2010全国2，文8】已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(
)
A. 34 B. 54 C. 74 D. 34
【答案】：D
【解析】法一：(几何法)如图，取BC中点D，连结AD、SD.
法二：(向量法)以A为原点，分别以AB、AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，3，0)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．
则(,,)(1,3,0)0(,,)(2,0,3)0BCxyzBSxyznnuuuruuur，
得n＝(3，3，2)，又ABuuur＝(2,0,0)，
∴当α为AB与平面SBC所成的角时，sinα＝|cos〈ABuuur，n〉|＝ABABnnuuuruuur＝6216＝34
5. 【2010全国新课标，文15】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的____________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
【答案】：①②③⑤
6. 【2006全国2，文14】圆1o是以R为半径的球O的小圆，若圆1o的面积1S和球O的表面积S的比为1:2:9SS，则圆心1o到球心O的距离与球半径的比1:OOR＿＿＿＿＿。
【答案】13
【解析】
7. 【2006全国2，文20】（本小题１２分）
如图，在直三棱柱111ABCABC中，,ABBCD、E分别为1BB、1AC的中点。
（I）证明：ED为异面直线1BB与1AC的公垂线；
（II）设12,AAACAB求二面角11AADC的大小
不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝2ED＝OB＝1，EF＝AE×EDAD＝23，
tan∠A1FE＝3，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
8. 【2005全国3，文19】(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
设(1,,)nyzr是面VDB的法向量，则
11303(1,,)(,1,)0(1,1,)22330(1,,)(1,1,0)03xnVByznznBDyzruurrruuur……9分
∴3(0,1,0)(1,1,)213cos,72113ABnuuurr，……………………………………11分
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为21arccos7…………12分
三．拔高题组
1. 【2014全国2，文7】正三棱柱111ABCABC的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱
