高一数学复习考点知识与题型讲解
第12讲 二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设
，求 在 上的最大值与最小值．
分析：将 配方，得顶点为
、对称轴为
；
当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 上 的最值：
(1)当
时，
的最小值是
的最大值是 中的较大者．
(2)当
时，由 在 上是增函数，则 的最小值是 ，最大值是 ．
(3)当
时，由 在 上是减函数，则 的最大值是 ，最小值是 ．
当 时，可类比得结论．
【题型一】定轴动区间
已知 是二次函数，不等式 的解集是 ，且 在区间 上的最大值是 ．
(1)求 的解析式；
(2)设函数 在 上的最小值为 ，求 的表达式．
【解析】(1) 是二次函数，且 的解集是 ，
可设 － ．(待定系数法，二次函数设为交点式)
在区间 － 上的最大值是 ．
由已知得 ， ，
－ ．
(2)由(1)得
，函数图象的开口向上，对称轴为
(讨论对称轴 与闭区间 的相对位置)
①当 时，即 时， 在 上单调递减，(对称轴在区间右侧)
此时 的最小值
；
②当 时， 在 上单调递增，(对称轴在区间左侧)
此时 的最小值
；
③当 时，函数 在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)
此时， －
综上所述，得 的表达式为：
．
【点拨】
①利用待定系数法求函数解析式；
②对于二次函数
,对称轴 是确定的，而函数的定义域
不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.
【题型二】动轴定区间
求
在区间 上的最大值和最小值．
【解析】
的对称轴为 ．
①当 时，如图①可知， 在 上递增，
，
．
②当 时，
在 上递减，在 上递增，
而
，(此时最大值为 和 中较大者)
当 时，
第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题
一．知识点介绍
1.区间的概念
设a、b是两个实数，且a
（1）满足不等式bxa的实数的x集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
（2）满足不等式bxa的实数的x集合叫做开区间，表示为(a,b)；
（3）满足不等式bxa的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
（4）满足不等式bxa的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；
说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；
②在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；
③实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足xa, x>a, xb, x
我们把以上区间记为A，若x是A中的一个数，就说x属于A，记作x∈A。
否则就说x不属于A，记作xA。
2. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在x∈[α,β]上的最值：
当a>0时，有三种情况：
从上述a>0的三种情况可得结论：
（1）若[,]2ba，则当2bxa时，2min4()24bacbyfaa，它的最大值为()f与()f中较大的一个。
(2) 若[,]2ba，则最大值为()f与()f中较大的一个，另一个即为最小值。
当a<0可作同样处理。
二．例题讲解：
类型一“轴定区间定”
例1：已知f(x)=x2-x+2，当x在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。
(1) x∈[-1,0] (2) x∈[0,1] (3) x∈[1,2]
变式1：求26yxx的最值。
域为［３ｍ，３，ｚ］，且ｚ 一２ｘ＋４一（Ｉｚ一１）。＋３≥３，可知 ３ ≥３，即 ≥１，故厂（ ）一 。一２ｘ＋４在［ ， ］上是 增函数，由此可得，（ｚ）：ｚ 一２ｘ＋４（ｚ∈Ｅｍ， ］）的 值域为［厂（ ），厂（ｎ）］，于是，（ｍ）一３ｍ，，（”）一３ｎ．又 ＜，ｚ，所以ｌ＂ｒｌ，７＂１是方程厂（ｚ）一３ｘ的２个根，于是可 得 ＝＝＝１，７ｚ一４． 彝 主 息，预支了 ，ｎ一部分范围，从而回避了分类讨论，简 化了解题过程，这也是根据具体问题具体分析的原 理，逆向思维的结果；而解法１未能抓住这一关键信 息，从而导致解题过程的繁琐． 题型４动区间动轴 例４ 已知厂（ｚ）一～ｚ。＋４ａｘ一３ａ （ｏ＜ｎ＜１）， 函数ｆ＿， （ｚ）ｆ≤ｎ在 ＋１，ａ＋２］上恒成立，求ａ范围． 分析这类题十分复杂，属高难度的问题．根据 区间与二次函数对称轴的位置关系，需要分两种情形 讨论：①二次函数的对称轴经过这个区间；②二次函 数的对称轴不经过这个区间。然后作相应的图形，根 据图象的顶点的位置或函数在这个区间上的单调性， 从图形上观察二次函数的最大（小）值．但是，从仔细 研究条件（Ｏ＜ａ＜１）的作用，发现对称轴ｚ一２ａ位置 活动范围很有限，仅仅介于（０，２）之间，再细看发现 ２口一ｎｑ－ａ＜ａ＋１，因此，对称轴ｚ一２ｎ在［ １，ａ＋２］ 的左侧．这样分类讨论就大大简化了． 因为Ｏ＜ａ＜１，所以２ａ一口ｑ－ａ＜ａ＋１．因此 厂ｌ解析函数对称轴ｘ＝２口在［ｎ＋１，ａ＋２］的左侧， 在［ｎ＋１，ａ＋２］上为单调递减．ｆ／（ ）ｆ≤口等价 于一ａ≤，（ｚ）≤ｎ，故ｆ（ａ＋１）≤ａ，ｆ（ａ＋２）≥一ａ，解 侍ｉ．ｉ４≤ｎ＜１． 森言 兰 器 是预支了ａ的部分范围，也让条件Ｏ＜ａ＜１提前实现 存在的价值，它确定了对称轴的较为准确的位置，使 得问题的讨论大大地简化了．像这样提前预支某些条 件或者将某些条件起用的时机提前，并让其最大限度 地发挥存在价值的策略，我们把它称作预支法． 总之，对于所给二次函数在给定区间的最值问 题，不论函数是确定的函数还是含参数的函数，也不 论所给区间是确定的区间还是待定的区间，解决二次 函数在闭区间的最值问题主要是确定顶点的横坐标 与区间的位置关系对函数最值的影响． （作者单位：江苏省江都市仙城中学） ◇甘肃闫新旭 函数的单调性是高考中考查最多、要求最高的函 数性质，特别是导数的出现，又给判断单调性和求单 调区间以新的考查方式．函数的单调性有着广泛的应 用，考题既有选择题与填空题，又有解答题，难、中、易 均有，是知识交汇处命题的一个亮点． １单调性的理解 １）给定区间 增函数、减函数是相对于相应区间而言的，离开 相应区间就根本谈不上增减性，如对于单独的一个点 就没有增减变化，所以不存在单调性的问题．即函数 的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质，是 局部性质． ２）“任意两个”和“都有” 两个自变量都必须取自给定区间，不能从区间外 取．若区间是封闭的，能否取其端点？当然可以．“任 意两个”是指不能取特定的值来判断，而“都有”则是 说只要ｚ ＜ ，ｆ（ｘ ）就必须恒小于－厂（ｚｚ）或恒大于 ＿厂（ｚｚ）． ３）单调区间不能求并集 如，ｙ一 在（一ｃ×３，０）上是单调递减的，并且在 （０，＋ｃ×３）上也是单调递减的，只能说（一。。，ｏ）和（０， ＋。。）是函数Ｙ一 的两个单调递减区间，不能说 （一。。，０）Ｕ（Ｏ，＋。。）是此函数的单调递减区间． ２单调性的判定方法 １）定义法 用定义法判断或证明函数在某区问上的单调性 的步骤：设一代人一作差一变形一定号一得出结论． 例１求证：：ｌｇ誓吾在（例 求证：函数－厂（ ）： 在（１，＋。。）上 是增函数． 证明 设１＜ １＜ｚ２，则，（ ２）一Ｌ， （ｚ１）一 ｌｇ ｘｚ－－１＿１ｇ ． 胸有凌云志，元高不可攀，
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析
1. 我们可以观察函数的开口方向。如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =
2ax + b。令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子
假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。令f'(x) = 0，解得x = -b/2。这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。假设b=2，我们有f(1) = 1^2 + 2 + c，f(3) = 3^2 +
