二次函数在闭区间上的最值

高一数学复习考点知识与题型讲解

第12讲 二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

设

，求 在 上的最大值与最小值．

分析：将 配方，得顶点为

、对称轴为

；

当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 上 的最值：

(1)当

时，

的最小值是

的最大值是 中的较大者．

(2)当

时，由 在 上是增函数，则 的最小值是 ，最大值是 ．

(3)当

时，由 在 上是减函数，则 的最大值是 ，最小值是 ．

当 时，可类比得结论．

【题型一】定轴动区间

已知 是二次函数，不等式 的解集是 ，且 在区间 上的最大值是 ．

(1)求 的解析式；

(2)设函数 在 上的最小值为 ，求 的表达式．

【解析】(1) 是二次函数，且 的解集是 ，

可设 － ．(待定系数法，二次函数设为交点式)

在区间 － 上的最大值是 ．

由已知得 ， ，

－ ．

(2)由(1)得

，函数图象的开口向上，对称轴为

(讨论对称轴 与闭区间 的相对位置)

①当 时，即 时， 在 上单调递减，(对称轴在区间右侧)

此时 的最小值

；

②当 时， 在 上单调递增，(对称轴在区间左侧)

此时 的最小值

；

③当 时，函数 在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)

此时， －

综上所述，得 的表达式为：

．

【点拨】

①利用待定系数法求函数解析式；

②对于二次函数

,对称轴 是确定的，而函数的定义域

不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.

【题型二】动轴定区间

求

在区间 上的最大值和最小值．

【解析】

的对称轴为 ．

①当 时，如图①可知， 在 上递增，

，

．

②当 时，

在 上递减，在 上递增，

而

，(此时最大值为 和 中较大者)

当 时，

第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题

一．知识点介绍

1.区间的概念

设a、b是两个实数，且a

（1）满足不等式bxa的实数的x集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）满足不等式bxa的实数的x集合叫做开区间，表示为(a,b)；

（3）满足不等式bxa的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；

（4）满足不等式bxa的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；

说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；

②在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；

③实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足xa, x>a, xb, x

我们把以上区间记为A，若x是A中的一个数，就说x属于A，记作x∈A。

否则就说x不属于A，记作xA。

2. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在x∈[α,β]上的最值：

当a>0时，有三种情况：

从上述a>0的三种情况可得结论：

（1）若[,]2ba，则当2bxa时，2min4()24bacbyfaa，它的最大值为()f与()f中较大的一个。

(2) 若[,]2ba，则最大值为()f与()f中较大的一个，另一个即为最小值。

当a<0可作同样处理。

二．例题讲解：

类型一“轴定区间定”

例1：已知f(x)=x2-x+2，当x在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。

(1) x∈[-1,0] (2) x∈[0,1] (3) x∈[1,2]

变式1：求26yxx的最值。

含参数的二次函数在闭区间上的最值问题

含参数的二次函数在闭区间上的最值问题

导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。

引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。

一、函数的性质分析

1. 我们可以观察函数的开口方向。如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。

2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =

2ax + b。令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。

3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。

二、实际例子

假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。

1. 观察函数的开口方向。由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。

2. 求导。对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。令f'(x) = 0，解得x = -b/2。这个x值就是函数的驻点。

3. 比较端点值和驻点值。在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。假设b=2，我们有f(1) = 1^2 + 2 + c，f(3) = 3^2 +

二次函数在闭区间上的最值(详解)

二次函数在闭区间上的最值

一、知识要点：

一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。

分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。

当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：

1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。

2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a

当a<0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.

练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。

例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。

对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下：

当a>0时：

1）若-b/2a∈[m,n]，则f(x)的最小值是f(-b/2a)，最大值是max{f(m),f(n)}。