高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像

1 1.5 正弦函数的性质与图像

问题导学

1．正弦函数的图像

活动与探究1

(1)用“五点法”作y＝2－sin x的图像时，首先描出的五个点的纵坐标是( )．

A．0,1,0，－1,0

B．0,2,0，－2,0

C．2,1,2,3,2

D．2,3,2，－3,2

(2)用“五点法”作函数y＝－1＋sin x(x∈[0,2π])的简图．

迁移与应用

1．正弦函数y＝sin x(x∈R)的图像的一条对称轴是( )．

A．x轴 B．y轴

C．直线x＝π2 D．直线x＝π

2．用“五点法”作出y＝2sin x，x∈[0,2π]的简图．

作函数y＝asin x＋b的图像的步骤

2．正弦函数的定义域问题

活动与探究2

求函数y＝log21sin

x－1的定义域．

迁移与应用

求下列函数的定义域：

(1)y＝1－2sin x；

(2)y＝log2sin x；

(3)y＝log122sin x－1．

含正弦函数的复合函数的定义域的求法：

(1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．

(2)列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x的不等式，利用数形结合，在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．

3．正弦函数的值域、最值问题

活动与探究3

求下列函数的值域：

(1)y＝3－2sin 2x；

(2)y＝sin2x－sin x＋1，x∈π3，3π4．

迁移与应用

求函数y＝74＋sin x－sin2x(x∈R)的值域． 2

有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：

(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的求最值或值域问题，利用正弦函数的有界性，即|sin

x|≤1；

(2)形如y＝psin 2x＋qsin x＋r(p≠0)的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[m，n]上的二次函数的最值问题，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题求解；

(3)形如y＝asin x＋bcsin x＋d的函数求最值或值域问题，可化为sin x＝f(y)的形式，通过|f(y)|≤1求解，或利用分离常数法求解．

4．正弦函数的单调性及应用

活动与探究4

利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小．

(1)sin 190°与sin 200°；

(2)sin－π10与sin－π11；

(3)sin15π8与sin10π9．

迁移与应用

不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零．

(1)sin 135°－sin 144°；

(2)sin－π18－sin－π10；

(3)sin－23π5－sin－17π4．

1．对正弦函数单调性的理解：

(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数．

(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．

2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤：

(1)异名函数化为同名函数．

(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．

(3)利用函数的单调性比较大小．

3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．

在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性．

5．三角函数的奇偶性问题

活动与探究5

判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝xsin(π＋x)；

(2)f(x)＝2sin x－1；

(3)f(x)＝lg(sin x＋1＋sin2x)．

迁移与应用

已知f(x)＝ax＋bsin3x＋1(a，b为常数)．

(1)若g(x)＝f(x)－1，试证明g(x)为奇函数；

(2)若f(5)＝7，求f(－5)．

(1)判断函数奇偶性的方法 3

特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x)＝－sin x的应用．

(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．

当堂检测

1．函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是( )．

A．π2 B．π C．3π2 D．2π

2．函数y＝sinx3的定义域是( )．

A．R B．[－1,1]

C．－13，13 D．[－3,3]

3．函数y＝sin xπ6≤x≤2π3的值域是( )．

A．[－1,1] B．12，1

C．12，32 D．32，1

4．函数f(x)＝sin x－x3x是( )．

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

5．令a＝sin－π18，b＝sin1110π，则a与b的大小关系是__________．

6．用五点法作出函数y＝sin x－2在x∈[－2π，2π]上的图像．

提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．(2)(0,0) π2，1 (π，0) 3π2，－1 (2π，0)

预习交流1 略

预习交流2 4 (1)－π，－π2和π2，π －π2，π2 －π2 1 π2 －1

(2)x x≠3π2＋2kπ，k∈Z [－2,4]

2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1 (1)C (2)略

迁移与应用 1．C

2．解：①列表：

x

0 π2 π 3π2 2π

y＝2sin x 0 2 0 －2

0

②描点绘图，如下图．

活动与探究2 解：为使函数有意义，需满足 log21sin x－1≥0，sin x>0，

即 sin x≤12，sin x>0，由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．

5 所以函数的定义域为

 x 2kπ

 2kπ＋5π6≤x<2kπ＋π，k∈Z.

迁移与应用 解：(1)x 2kπ－7π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z

(2){x|2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z}

(3) x2kπ＋π6

活动与探究3 解：(1)∵－1≤sin 2x≤1，∴－2≤－2sin 2x≤2.

∴1≤3－2sin 2x≤5.

∴函数的值域为[1,5]．

(2)y＝sin2x－sin x＋1＝sin x－122＋34.

设t＝sin x，∵x∈π3，3π4，

∴由正弦函数的图像知22≤t≤1.

而函数y＝t－122＋34在22，1上单调递增，

∴当t＝22，即x＝3π4时，ymin＝3－22，当t＝1，即x＝π2时，ymax＝1.

∴函数的值域是3－22，1.

迁移与应用 解：设sin x＝t，则t∈[－1,1]．

∴y＝－t2＋t＋74＝－t－122＋2.

∴当t＝－1时，ymin＝－14；

当t＝12时，ymax＝2.∴所求函数值域为－14，2.

活动与探究4 解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°，

sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°.

∵y＝sin x在(0°，90°)上单调递增，

∴sin 10°＜sin 20°，

从而－sin 10°＞－sin 20°，

∴sin 190°＞sin 200°.

(2)∵y＝sin x在－π2，π2上单调递增，

且－π2＜－π10＜－π11＜π2，

∴sin－π10＜sin－π11.

(3)sin15π8＝sin2π－π8＝－sinπ8， 6 sin10π9＝sinπ＋π9

＝－sinπ9，

∵π2＞π8＞π9＞0，

∴sinπ8＞sinπ9.

∴－sinπ8＜－sinπ9.

∴sin15π8＜sin10π9.

迁移与应用 (1)＞0 (2)＞0 (3)＜0

活动与探究5 解：(1)f(x)＝－x·sin x，定义域为R.

∵f(－x)＝x·sin(－x)＝－x·sin x＝f(x)，

∴函数f(x)为偶函数．

(2)由2sin x－1≥0得sin x≥12，

∴x∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6

(k∈Z)．

定义域不关于原点对称，

故f(x)为非奇非偶函数．

(3)∵1＋sin2x＞|sin x|≥－sin x，

∴sin x＋1＋sin2x＞0.

∴函数的定义域为R，关于原点对称．

又f(－x)＋f(x)

＝lg(－sin x＋1＋sin2x)＋lg(sin x＋1＋sin2x)

＝lg[(－sin x＋1＋sin2x)(sin x＋1＋sin2x)]

＝lg(1＋sin2x－sin2x)

＝lg 1＝0，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

迁移与应用 (1)略 (2)－5

【当堂检测】

1．D 2．A 3．B 4．B

5．b＜a 6．略