高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
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1 1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质
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1.正切函数的性质
(1)周期性
由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠2+kπ,k∈Z可知正切函数是周期函数,周期是π.
(2)奇偶性
由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,且x≠2+kπ,k∈Z,可知正切函数是奇函数.
(3)单调性
如图1-4-11(1)(2),由正切函数线的变化规律得,正切函数在(-2,2)内是增函数,又由周期性可知正切函数在开区间(-2+kπ, 2+kπ),k∈Z内都是增函数.
图1-4-11
(4)值域
如图1-4-11(1),当x大于-2且无限接近-2时,正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸;如图1-4-11(2),当x小于2且无限接近2时,正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(-2,2)内可取任意实数,但没有最大值、最小值.
2.正切函数的图象
正切函数的图象的画法与正弦函数图象的画法类似,正切函数的图象是利用单位圆上的正切线来作的.如图1-4-12.
图1-4-12 2
图1-4-13
根据正切函数的周期性,我们可把图象向左、向右连续平移,得到y=tanx,x∈(-2+kπ,
2+kπ),k∈Z的图象的正切曲线.
如图1-4-13,可以看出,正切曲线是由通过点(2+kπ,0)(k∈Z)且被与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成.
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1.判断函数f(x)=lg1tan1tanxx的奇偶性.
分析:判断函数奇偶性分两步:
①考察定义域是否关于原点对称;②考察f(-x)=±f(x)是否成立.
解:要使y=lg1tan1tanxx有意义,函数应满足1tan1tanxx＞0,即tanx＞1或tanx＜-1.
∴函数的定义域为(kπ-2,kπ-4)∪(kπ+4,kπ+2)(k∈Z).
∴定义域关于原点对称的f(-x)=lg1)tan(1)tan(xx
=1tantan1lg)1tantan1lg(1tan1tanlg1xxxxxx=-f(x).
∴y=1tan1tanlgxx是奇函数.
2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(12,0),则y可以是( )
A.-6 B.6 C.-12 D.12
解析:∵y=tan(2x+φ)过(12,0),∴tan(6+φ)=0.
∴6+φ=kπ.∴φ=kπ-6.∴k=0时,φ=-6.
答案:A
3.根据正切函数的图象,写出下列不等式的解集.
(1)tanx≥-1;(2)tan2x≤-1.
解析:作出y=tanx的图象,如图1-4-14. 3
图1-4-14
(1)∵tanx≥-1,tan(-4)=-1,在(-2,2)内,满足条件的x为-4≤x＜2,由正切函数的图象,可知满足此不等式的x的集合为{x|-4+kπ≤x＜2+kπ,k∈Z}.
(2)在(-2,2)内,tan(-4)=-1,
∴不等式的解集由不等式kπ-2＜2x≤kπ-4 (k∈Z)确定.
解得2k-4＜x≤k2-8 (k∈Z).
∴不等式tan2x≤-1的解集为{x|2k-4＜x≤2k-8,k∈Z}.
答案:(1){x|-4+kπ≤x＜2+kπ,k∈Z};
(2){x|2k-4＜x≤2k-8,k∈Z}.
