2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案

1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：

$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$

为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

解：根据题意可列出

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分，要求直接将答案写在横线上。）

1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$（$b>0$）的图像上，则$ab$的最大值是______。

解：由题意知，$\log_a(4-b)=1$，即$a+b=4$，且$a>0$，$a\neq 1$，$b>0$，从而$ab\leq 4$。当$a=b=2$时，$ab$的最大值是4.

2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。

解：$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。

3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则实数$a$的值是______。

解：设函数$f(x)=|ax+1|$，则$f(-2)=f(1)=3$，故$a=2$。

4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是______。

解：有两类情况：同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$，同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$，所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。

5.在平面直角坐标系$xOy$中，设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$，则$e$的值是______。

2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一．选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．已知数列na的通项公式2245nann，则na的最大项是 （ ）

A1a B2a C3a D4a

2．函数3log3xy的图象是 （ ）

A B C D

3．已知抛物线22ypx，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有 （ ）

A0个 B2个 C4个 D6个

4．设fx是定义在R上单调递减的奇函数．若120xx，230xx，310xx，则( ）

A1230fxfxfx B1230fxfxfx

C1230fxfxfx D123fxfxfx

5．过空间一定点P的直线中，与长方体1111ABCDABCD的12条棱所在直线成等角的直线共有（ ）

A0条 B1条 C4条 D无数多条

6．在△ABC中，1tan2A，310cos10B．若△ABC的最长边为1，则最短边的长为（ ）

A455 B355 C255 D55

二．填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．集合3,,010AxxnnNn，5,,06ByymmNm，则集合AB的所有元素之和为 ． 8．设2cos23，则44cossin的值是 ．

9．323xx的展开式中，5x的系数为 ．

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)

1.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解

2.填空题

1.已知向量$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角等于$\frac{\pi}{4}$。

2.已知集合$A=\{x| (ax-1)(a-x)>0\}$，且$a\in A$，$3\notin

A$，则实数$a$的取值范围是$1\leq a<2$或$2

3.已知复数$z=\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})$，则$z^3+z^2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$。

4.在平面直角坐标系$xOy$中，设$F_1$，$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点，$P$是双曲线右支上一点，$M$是$PF_2$的中点，且$OM\perp PF_2$，$3PF_1=4PF_2$，则双曲线的离心率为$5$。

5.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$。若函数$y=\log_2x$的定义域为$[a,b]$，值域为$[0,2]$，则区间$[a,b]$的长度的最大值与最小值的差为$3$。

6.若关于$x$的二次方程$mx^2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)$的两个互异的根都小于$1$，则实数$m$的取值范围是$\left(\frac{3+\sqrt{7}}{4},+\infty\right)$。

7.若$\tan4x=\frac{3\sin4x\sin2x\sin