2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
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2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 1 页 共 5 页 2012年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分细则
一 试
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1．若4a
－3ab
＝16，log
2a＝1a
b
，则ab
＝ ．
答案：16；由log
2a＝1a
b
，得ab
＝2a+1
，代入4a
－3ab
＝243得，22a
－6×2a
－16＝0，解之得：
2a
＝8，2a
＝－2(舍去)，所以，ab
＝2a+1
＝16.
2．圆上30个点将圆等分，任取其中3个不同的点，这3个点顺次连结形成正三角形的概率
为 ． 答案：1
406；从30个点中取3个不同的点有3
30C种方法，而形成正三角形的共有10种，故概率为
3
3010
C.
3．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱为4，则此正三棱锥的外接球半径为 ．
答案：4；由题意A到面BCD的距离为2，取BCD中心为O，则球P在直线OP上.设OP
长为x，则x2
+12＝PB2
＝PA2
＝(2－x)2
，解之得：x＝－2.故球的半径为4.
4．在等差数列{a
n}中，若S
4≤4，S
5≥15，则a
4的最小值是 ．
答案：7；设公差为d，由条件得：2a
4≤2+3d，d≤a
4－4，所以，2a
4≤2+3d≤2+3(a
4－3)，
所以，a
4≥7．
5．设n∈N*，且n4
＋2n3
＋5n2
＋12n＋5为完全平方数，则n＝ ．
答案：1，或2；因为(n2
+n+2)2
＜n4
+2n3
+5n2
+12n+5＜(n2
+n+4)2
，
所以n4
+2n3
+5n2
+12n+5＝(n2
+n+3)2
，解之得n＝1，2.
6．若不等式22
sincos1≥axxa对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．
答案：a＝0；令cosx＝－1，sinx＝0，22
sincos1≥axxa，得a2
≤0.而当a＝0，原式显
然恒成立成立.故a＝0.
7．在△ABC中，AB＝10，AB边上的高为3，当AC·BC最小时，AC+BC＝ ．
2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 2 页 共 5 页 答案：
410；由三角形的面积公式得1
2·AC·BCsinC＝1
2×3×10＝15，
所以AC·BC ≥30.当且仅当∠C＝90º时，等号成立，即AC2
+BC2
＝100，
所以 (AC+BC)2
＝AC2
+BC2
+2AC·BC＝160，即AC+BC＝
410.
8．在给定的一个正n
(n≥10)
边形的n个顶点中任取k个点，使这k个点中存在4个点是某
个四边形的顶点，且该四边形有三条边是所给定的正n边形的边，则k的最小值
是 ． 答案：3
[]1
4n
k；将这正n边形的n个顶点顺次标记为A
1，A
2，…，A
n.一个四边形的三
条边为所给定的正n边形的充分必要条件是它的四个顶点是正n边形的4个相邻的顶点.
记集合A为除去A
4k(k＝1,2，…，[]
4n
)及A
n点(若4|n，则A
n＝
4[]
4nA)，显然集合A中无正
n边形中连续的顶点，故k≥ 3
[]1
4n
．
反之正n边形中任意3
[]1
4n
中构成的集合中，一定有4个相邻的顶点.即在n个点中删除了1
[]
4n个点后，因为3
[]1
4
3
1
[]
4n
n
，故删除的相邻两点中，必有一个包含4个顶点相
邻的顶点，所以k≤3
[]1
4n
．
二、解答题（本题满分16分）
设△ABC的内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c．已知a＋b＋c＝16，求
b2
·cos2
2C
＋c2
·cos2
2B
＋2bc·cos
2Bcos
2Csin
2A
的值．
解法一：b2
cos2
2C
＋c2
cos2
2B
＋2bccos
2Bcos
2Csin
2A
＝21
(1cos)
2bC+21
(1cos)
2cB+2bc cos
2Bcos
2Ccos
2BC
＝21
(1cos)
2bC+21
(1cos)
2cB+2bc cos2
2B
cos2
2C
－2 bc cos
2Bcos
2C sin
2Bsin
2C
＝21
(1cos)
2bC+21
(1cos)
2cB+1
2bc(1+cosB)(1+cosC)－1
2bc sinBsinC ＝1
2b2+1
2c2+1
2b(bcosC+ccosB)+ 1
2c(bcosC+ccosB) +1
2bc+1
2bccos(B+C) ……8分 ＝1
2b2+1
2c2+1
2ab+ 1
2ac +1
2bc－1
2bccosA
2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 3 页 共 5 页 ＝1
4(b2
+c2
－2bccosA)+ 1
4b2+1
4c2+1
2ab+ 1
2ac +1
2bc ＝1
4(a2
+b2
+c2
+2ab+ 2ac +2bc)2＝1
4 (a+b+c)2
＝64． ……………………16分
解法二：b2
cos2
2C
＋c2
cos2
2B
＋2bccos
2Bcos
2Csin
2A
＝4R2
(sin2
Bcos2
2C
＋sin2
Ccos2
2B
＋2sinBsinCcos
2Bcos
2Csin
2A
)
＝16R2
cos2
2B
cos2
2C
( sin2
2B
＋sin2
2C
＋2sin
2Asin
2Bsin
2C
) ……………………8分
＝16R2
cos2
2B
cos2
2C(1cos
2B＋1cos
2C＋coscoscos1
2ABC
)
＝16R2 (cos
2Acos
2Bcos
2C
)2
＝R2
(sinA＋sinB＋sinC)2
＝(
2abc
)2
＝64． ……………………16分
解法三：如图，延长BC至E，使CE＝AC＝b，延长CB至F，使BF＝AC＝c，连AE，AF.
设AE，AF的中点分别M，N，则AM＝b·cos
2C
，AN＝c·cos
2B
，
∠MAN＝∠A+1
2(∠B+∠C)＝
2+
2A
． …………………8分
所以b2
cos2
2C
＋c2
cos2
2B
＋2bccos
2Bcos
2Csin
2A
＝AM2
+AN2
－2AM·ANcos∠MAN＝MN2
＝2
()
2abc
＝64. …………………16分
三、解答题（本题满分20分）
已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1
(a＞b＞0)
右焦点为F，右准线l交x轴于点N，过椭圆上一点P作
PM垂直于准线l，垂足为M．若PN平分∠FPM，且四边形OFMP为平行四边形，
证明：e＞2
3．
证法一：设点P(x
0,y
0).由对称性，不妨设y
0＞0
． A
BC EFM
N
x y
O F P
M
N l
