(数学)全国高中数学联赛江苏复赛试题Word版含答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）

1.若数列na满足Nnaaaannn,232,2111，则2017a的值为．

2.若函数baxxxxf221对于任意Rx都满足xfxf4，则xf的最小值是．

3.在正三棱柱111CBAABC中，ED,分别是侧棱11,CCBB上的点，BDBCEC2，则截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小是．

4.若13cos2coscos3sin2sinsinxxxxxx，则x．

5. 设yx,是实数，则9422244yxyx的最大值是．

6. 设,3,2,1,,,2121maaaSNnnammn,则201721,,,SSS中能被2整除但不能被4整除的数的个数是．

7. 在直角平面坐标系xOy中，21,FF分别是双曲线01222bbyx的左、右焦点，过点1F作圆122yx的切线，与双曲线左、右两支分别交于点BA,，若ABBF2，则b的值是．

8. 从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为．

二、解答题 9.已知Ryx,，且yxyx,222，求2211yxyx的最小值.

10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆13:22yxC的上顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆C交于QP,两点，且.0AQAP

（1）直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

（2）过QP,两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B，求BPQ面积的取值范围.

11.设函数.!1!2112nnxnxxxf

（1）求证：当Nnx,,0时，xfenx；

（2）设Nnx,0，若存在Ry使得ynnxexnxfe1!11，求证：.0xy

2017年全国高中数学联赛江苏赛区

复赛参考答案与评分规范

加试

1. 已知圆O的内接五边形ABCDE中AD与BE相交于点CFF,的延长线交圆O于点P，且.EDBCCDAB

求证：.AEOP

2.设yx,是非负实数，22,yxbyxa，若ba,是两个不相邻的整数，求ba,的值，

3.平面上n2个点Nnn,1，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意12n条线段染成红色.

求证：三边都为红色的三角形至少有n个.

4.设n为正整数，nnban131211，

其中nnba,为互素的正整数，对素数p，令集合npapNnnS,，

证明：对每一个素数5p，集合pS中至少有三个元素.

试卷答案

1.30261 2. 16 3. 045 4.Zkk,

5.14 6.252 7.13 8.3432

二、解答题

9.解：因为222yx，所以422yxyx，

所以222222114111yxyxyxyxyxyx

.111412

当0,2yx时，.11122yxyx

所以2211yxyx的最小值为.1

10.解：（1） 因为0AQAP，所以.AQAP

直线AQAP,与x轴平行时，P或Q与A重合，不合题意.

设1:kxyPA，则.11:xkyQA

将1kxy代入3322yx，得.063122kxxk

所以2262,1.1313PPkxykk

同理.361,3622kykkxQQ 所以，直线:PPQPQPyyxxlyyxx,即kxkkxkykyklQQ63163121312131:2222，

化简得.2141:2xkkyl

直线l纵截距是常数21，故直线l过定点.21,0

（2）由 （1） ，223116kkkAP，同理，.31622kkAQ

所以 222222222222222223313131363131136kkkkkkkkkkPQ

.3103115151362242462kkkkkk

不妨设0k，令kkt1，则2t，可化得22222431236tttPQ，

即 .4312622tttPQ

设00,yxB，则切点弦PQ的方程是3300yyxx，

又QP,在2141:2xkkyl上，所以20y，

从而.21320kkx

所以B到PQ的距离.122316121213222222ttkkkkd

因此的面积.43294312612232121232222tttttttPQdS

令tu1，则210u，化得.34293uuS 当210u时，uu343递增，

所以23403uu，即49S，当且仅当21u，即1,2kt时，等号成立，

故BPQ的面积S的取值范围是.,49

11.解： （1） 用数学归纳法证明如下：

（ⅰ）当1n时，令11xexfexfxx，则,0,01xexfx恒成立，

所以xf在区间,0为增函数，

又因为00f，所以0xf，即.1xfex

（ⅱ）假设kn时，命题成立，即当,0x时，xfekx，

则1kn时，令121!11!1!211kkxkxxkxkxxexfexg，

则0!1!2112xfexkxxexgkxkx，所以xg在区间,0为增函数，

又因为00g，所以,0,0xxg恒成立，即,0,1xxfekx，

所以1kn时，命题成立.

由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，Nn，当,0x时，.xfenx

（2）由（1）可知xfenx1，即11!11!11nnynnxnxfexnxf，

所以1ye，即0y，下证：.xy

下面先用数学归纳法证明：当.,!1!11!211,012Nnexnxnxxexxnnx

（ⅰ）当1n时，令xxexexF1，则,0,0xxexFx，

所以xF在区间,0单调增，

又00F，故0xF，即.1xxxee （ⅱ）假设kn时，命题成立，

即当,0x时，.!1!11!21112kkkxexkxkxxe

则当1kn时，令xxkkeexkxkxxxG12!11!1!211，

0!11!11!1!211112xkxxkxkexkeexkexkxxxG，

所以xG在区间,0上为增函数，又00G，故0xG，即

,0,!11!1!21112xexkxkxxexkkx.

由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设，

可知当,0x时，,!11!1!21112xnnxexnxnxxe对Nn成立，

所以xnnynnxexnxnxxexnxnxxe1212!11!1!211!11!1!211，

从而xyee即xy，证毕.

复赛加试答案

1.证明：连接.,PEPA

因为五边形ABCDE内接于圆O，

所以EDFABFDEFBAF,,

所以EDFABF~,

所以.FDFBEDAB①

同理，BFPFBCPE, ②

.PFDFPADC③

由①②③得.1PADCBCPEEDAB 因为EDBCCDAB,所以.1EDDCBCAB

所以PAPE，即点P是弧AE的中点，

所以.AEOP

2.解：因为ba,是不相邻的整数，

所以yyxxyxyxab22222

.32222222222yyxx

由于ab是整数，所以.2ab

设Znnbna,1,1，即122,1nyxnyx，

则122,1nyxyxnyxyx，

则122,1nyxyxnyxyx，

于是1122,112nyxnxnyxnx，

从而yxnxnyxnxn221212,112，

故.2121xnnxn

又因为.2222xx①

令xt，得1212nntnx，代入①得

01212222nntnnnt，

于是nnnnnnnnnnnnnntx221141281412222，

nnnnnnxny22111，

因此，2n，并且211nnnnn，

即0122nn，解之得2121n，

从而212n，且Zn，故.2n