不定积分、定积分及其应用-定积分的应用

1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )

Fx

fx

,

Fx

fx

A ．偶函数 B． 奇函数

C． 非奇非偶函数 D．不能确定

2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数

fxcosx

gx2

x

fgx



为 ( )

A ． B． 2

x2

cosx

C． D ．2

cosxcosx

3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )

fx

A． 1

22

2fxdxfxc



B ．

22fxdxfxc



C． 



222fxdxfx





D． 

2fxdxfxc



4．设且

22

cossinfxx



,则=( )

00f

fx

A ． B．

21

2xx

21

2x

C． D ．1x

31

3xx

5．设是的一个原函数,则2x

e

fx

( )

02()

lim

xfxxfx

x







A． B．2

2x

e2

8x

e

C． D．2

2x

e

2

4x

e

6．设,则=( )

x

fxe



lnfx

dx

x



A． B

． 1

xclnxcC．

D． 1

c

xlnxc

7．若是的一个原函数,则lnxxfx

= 

fx

8．设的一个原函数为

tan2fxkx

,则 2

lncos2

3xk

9．若,则

2

fxdxxc

= 

23

1xfxdx

10．





2cos2

sin2d





11．若,则

fxdxFxc



xx

efedx



12．若,则

lncosfxx







fx

13．计算2

3xx

edx

14

．计算

sinlncoslnxx

dx

x





15．计算ln(tan)

sincosx

dx

xx

16．计算

21

arctan

1x

dxx

17．计算1

1sindx

x

18．计算

1

21dx

xx

19．计算3

2

1x

dx

x20

．计算

21

4dx

xx

不定积分与定积分 复习提纲

主要知识点：不定积分和定积分

1. 不定积分相关概念

2. 不定积分的计算

3. 定积分的相关概念

4. 定积分的计算及其应用

一、 不定积分相关概念

1. 原函数

导函数：函数yfx，则称fx为函数fx的导函数。

原函数：函数yfx，则称fx为函数fx的原函数。

说明：函数fx若存在原函数Fx，则一定有无数个原函数FxC，并且任意原函数之间相差一个常数C。

例：函数xe3为 的一个原函数。

例：若函数xf的一个原函数为xln,则xf=

2. 不定积分的定义：所有原函数集合

()fxdxFxC

例： 2xdx

例： 1dxx

3. 不定积分的性质：

 (()())d()d()dfxgxxfxxgxx

 ()d()d,fxxfxx为常数

4. 不定积分和导数之间的关系：

fxdxFxCfxdfxdxFxCdxfxdx 先积后导（微），作用抵消

FxdxfxdxFxCdFxFxdxfxdxFxC 先导（微）后积，作用抵消

例：xdxarcsin ；

xdcos=

.

xdxdxdarcsin

；xdxxdxdsin

；

二、 不定积分的计算

1. 直接使用积分公式计算

例：dxeexx112 dxxxxsincos2cos dxxxexxx232

dxxxx dxeexx112 dxxxcos2sin

2. 凑微分法（第一类换元法）基础:常见的凑微分形式

（1）Cxddx （2）Ckxdkdx1

不定积分与定积分

在微积分学中，积分是一个重要的概念，它可以分为不定积分和定积分两种。不定积分和定积分虽然有相同的思想基础，但在计算方法、应用场景以及符号表示上有所不同。

一、不定积分

不定积分又称原函数或不定积分，是对导数的逆运算。给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)满足F'(x)=f(x)，那么我们就称F(x)是f(x)的一个原函数。并且，我们用∫f(x)dx表示f(x)的不定积分，其中∫是积分符号。

不定积分没有明确的上下限，其计算结果是一个函数加一个常数。这个常数称为积分常数，因为不定积分只关心函数的变化情况，而不关心具体的数值。

不定积分的计算方法有很多种，常见的有用基本积分公式、换元法、分部积分法等。这些方法可以根据具体的题目要求选择合适的计算工具，以求得准确的结果。

二、定积分

定积分也称为积分或定积分，是将函数在一个确定的区间上进行积分运算。给定一个函数f(x)，如果在[a,b]区间上存在一个常数A，使得A等于函数f(x)在[a,b]区间上的面积，那么我们就称A是f(x)在[a,b]上的定积分。 定积分的计算方法主要有用定积分的定义式、换元法、分部积分法、几何法等。这些方法可以根据具体的题目要求选择合适的计算工具，以求得准确的结果。

与不定积分不同的是，定积分计算出来的结果是一个具体的数值，表示了函数在某一区间上的累积变化量。定积分可用于求函数曲线与坐标轴之间的面积、质量、体积、平均值等物理和数学问题。

三、不定积分与定积分的关系

不定积分和定积分之间存在着密切的联系。根据微积分的基本定理，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的定积分可以通过F(x)在[a,b]区间的不定积分来计算。

具体来说，设F(x)是f(x)的一个原函数，则根据牛顿-莱布尼茨公式，有：

∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)

这个公式将不定积分与定积分联系在了一起，使得我们可以通过求不定积分来计算定积分。这个公式被称为定积分的基本性质，为我们解决各种积分计算问题提供了便利。

不定积分、定积分与反常积分及定积分的应⽤

不定积分、定积分与反常积分

不定积分

⼀、不定积分概念

1.定义

\begin{align} &原函数：设对于区间I上的任意⼀点x均有F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的⼀个原函数\\ &不定积分：设函数f(x)于区间I上有原函数,则其余原函数的全体称为f(x)于区间I上

的不定积分,记为\int{f(x)dx}\\ &线性：\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}

2.计算

\begin{align} &计算⽅法\begin{cases}&1.基本公式\\&2.线性\\&3.积分法\begin{cases}&1.换元法\\&2.分部积分法\\\end{cases}\\\end{cases}\\ \end{align}

(1)第⼀换元法(凑微分)

\begin{align} &设F'(u)=f(u),则\int{f(\Phi(x))\Phi'(x)}dx=\int{f(\Phi(x))d(\Phi(x))}=F(\Phi(x))+C\\ &注解：找到合适的凑微分\Phi'(x)dx=d(\Phi(x)) \end{align}

常见凑微分：

\begin{align} &1.\int{f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int{f(ax+b)d(ax+b)}}(a\neq0)\\ &eg1.\int{\sin (2x+3)}dx=\frac{1}{2}\int\sin (2x+3)d(2x+3)=\frac{1}{2}\cos{(2x+3)}+C\\\ &2.\int{f(ax^n+b)x^{n-

1}dx}=\frac{1}{na}\int{f(ax^n+b)d(ax^n+b)}\\ &eg2.\int{\cos(2x^4+3)x^3dx}=\frac{1}{4*2}\int{\cos(2x^4+3)d(2x^4+3)}=\frac{1}{8}\cos{(2x^4+3)}+C\\ &3.\int{f(a^x+c)a^xdx}=\frac{1}